专题1.2 集合间的基本关系专题训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合间基本关系，通过8类题型系统覆盖子集、相等、空集等核心概念，形成从概念理解到参数应用的递进训练，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |子集真子集确定|5题|直接判断或写出子集、真子集|从元素与集合关系切入，夯实基础概念| |子集个数问题|6题|计算有限集的子集、真子集个数|应用2ⁿ公式，强化数量关系认知| |集合相等判断|6题|比较元素特征判断集合关系|深化集合相等的本质（元素完全相同）| |集合相等求参数|5题|根据元素对应关系列方程求参数|体现集合相等的应用，培养推理能力| |空集性质应用|5题|判断空集关系及含空集子集问题|突出空集特殊性，完善集合关系体系| |Venn图表示|3题|用图形直观表示集合间关系|数形结合，培养几何直观| |集合关系判断|7题|分析元素特征判断包含关系|综合应用概念，提升抽象思维| |根据关系求参数|5题|由子集关系建立不等式求参数范围|综合应用，培养逻辑推理与运算能力|

专题1.2 集合间的基本关系（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型 1··子集、真子集的确定 1 题型 2··集合的子集(真子集)的个数问题 2 题型3·判断两个集合是否相等 4 题型 4··根据两个集合相等求参数 6 题型 5··空集的判断、性质及应用 8 题型 6··Venn 图表示集合的关系 10 题型 7·集合间关系的判断 12 题型 8·根据集合间关系求参数 14 题型 1··子集、真子集的确定 1．集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以的子集有，； 故选：D. 2．集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】 ，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 3．写出集合的一个真子集__________. 【答案】 答案不唯一 【分析】先求出集合的元素，在结合真子集的定义即可. 【详解】由，则，则是其一个真子集. 故答案为： 4．已知集合，则集合的所有子集为_______. 【答案】，，， 【分析】明确集合，根据子集的概念可得集合的所有子集. 【详解】由 或，所以. 所以集合的子集为：，，，. 故答案为：，，， 5．设集合，若，则__________. 【答案】 【分析】先列出集合的子集，即可得到集合. 【详解】因为集合，集合的子集有：， 所以 . 故答案为： 题型 2··集合的子集(真子集)的个数问题 6．已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．8 B．7 C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据“若一个集合中有n个元素，则这个集合有个真子集”，即可得出答案. 【详解】真子集的个数为. 故选：B. 7．满足的集合的个数为（   ） A．7 B．8 C．16 D．15 【答案】C 【分析】根据，列出满足要求的集合即可. 【详解】因为，所以集合中至少含有0， 所以满足条件的集合为，，，，， ，，，，，， ，，，，，共16个， 故满足的集合的个数为16. 故选：C. 8．已知集合，则A的非空真子集共有（   ） A．5个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】D 【分析】求出集合，再根据集合非空真子集个数计算公式即可得到答案. 【详解】， 则A的非空真子集共有个. 故选：D. 9．集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，集合有个元素，故集合的真子集个数为. 10．已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【分析】应用元素和集合关系及集合的包含关系判断求解. 【详解】已知，，且，所以的个数为. 11．已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】D 【详解】集合，集合有4个元素， 所以集合的子集个数为. 题型3·判断两个集合是否相等 12．已知集合，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的基本运算即可解决. 【详解】由，可知 . 13．设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知有，进而分析集合间的包含关系. 【详解】由题设，其中表示奇数， 而中，故. 故选：A 14．已知集合 ，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将集合中的元素的性质表达式化简成统一的形式，通过其表示的数集的范围即可判断集合之间的关系. 【详解】对于，； 对于，； 对于，. 因，则，则表示偶数，故易得. 故选：D. 15．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将集合内式子进行通分，列举法判断表示的数即可比较． 【详解】， ∵，∴表示所有奇数，也表示所有奇数， ∴， 故选：D． 16．已知集合，，则（    ） A．M与N的关系不确定 B． C． D． 【答案】C 【分析】将集合、中表达式化为、，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定、的包含关系. 【详解】集合中的元素，满足，， 集合 中的元素，满足，， 因为集合和都表示被除余数为的整数的集合； 所以， 所以 故选：C. 17．下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用相同集合的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，与表示不同的点，则，二者不是同一集合； 对于B，是数集，是点集，二者不是同一集合； 对于C，集合表示大于或者等于的数，集合也表示大于或者等于的数， 则，二者是同一集合； 对于D，集合表示二次函数中取值的集合，为数集， 而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，为点集， 则，二者不是同一集合. 故选：C. 题型 4··根据两个集合相等求参数 18．已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【分析】利用集合相等的知识求解. 【详解】因为集合，所以或. 显然不成立，当时，,符合题意. 所以. 19．设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合、中元素的对应相等关系进行分类讨论，结合集合元素满足互异性可求出、的值，即可得解. 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 20．已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，， 且，所以，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意. 21．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 22．已知集合，，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个集合相等，则元素相同，据此分类讨论求解即可. 【详解】由题意可知，故或， 或或 由集合元素互异性可知， 则实数的取值集合为. 故选：. 题型 5··空集的判断、性质及应用 23．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据属于关系、相等关系及包含关系的定义判断可得. 【详解】选项A：空集的定义是不含任何元素的集合，因此，该关系错误； 选项B：是包含元素的非空集合，和不含任何元素的空集不可能相等，该关系错误； 选项C：是以空集作为唯一元素的集合，和元素为数字的集合元素完全不同，不可能相等，该关系错误； 选项D：因为规定：“空集是任意集合的子集”，因此，该关系正确. 24．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用集合的基本关系与概念：集合间的包含关系（子集、相等集合）；空集的定义与性质；元素与集合、集合与集合的区别. 【详解】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 25．已知，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合元素的意义和常用集合的意义逐一判定. 【详解】选项 A：空集 是一个集合，而 是一个数集，因此错误 ,故该选项错误. 选项 B： 满足 ，因此 ，故该选项错误. 选项 C： 满足 ，因此 ，故该选项正确. 选项 D： 表示自然数集（ ），集合 包含非整数元素， 如 （满足 ，故 )，但 ，因此 不是 的子集，故该选项错误. 故选：C 26．下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义，结合选项即可求解. 【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 27．若集合的子集只有一个，则实数的取值情况是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】集合是空集的时候满足题意， 求无解时的取值范围即可. 【详解】集合的子集只有一个，所以集合是空集， 当时，，满足条件； 当时，有，即，集合是空集，满足条件， 综上所述，集合的子集只有一个时，， 故选：C. 【点睛】本题考查了集合的性质，空集的性质. 题型 6··Venn 图表示集合的关系 28．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R| x2＝x}关系的Venn图是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】先求集合N,再判断集合间的关系 【详解】N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N  M. 故选：B 【点睛】本题考查集合间的关系，是基础题 29．已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N={ x |x+x=0} 关系的韦恩（Venn）图是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：先化简集合N，得N={﹣1，0}，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案． 解：由N={x|x2+x=0}， 得N={﹣1，0}． ∵M={﹣1，0，1}， ∴N⊂M， 故选B． 考点：Venn图表达集合的关系及运算． 30．已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】先求得集合，判断出的关系，由此确定正确选项. 【详解】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N⊆M，所以选B. 故选：B 题型 7·集合间关系的判断 31．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 32．已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 33．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，的唯一元素是零，而，所以，故A错误； 对于B，是无理数，是有理数集，故B错误； 对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误； 对于D，由集合的无序性可得D正确. 34．已知集合，则（    ） A． B． C． D．⫋ 【答案】C 【分析】根据集合的描述法将集合化成列举法，根据集合中的元素确定集合的关系. 【详解】， ， 则，故. 故选：C. 35．如果，那么正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的定义，逐一分析选项中的元素与集合的关系即可. 【详解】由，则，，，故AB错误，D正确， 而，故C错误. 故选：D. 36．在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合中方程组的解集，然后根据集合之间的关系进行判断即可. 【详解】因为集合，集合， 因为是元素与集合之间的关系，而均为点集，所以A错误； 因为集合包含，所以B正确，C,D错误. 故选：B. 37．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【答案】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解. 【详解】由，因为，所以， 又，所以， 故选：A. 题型 8·根据集合间关系求参数 38．已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 39．设集合，，若，则______． 【答案】1 【分析】由 ，利用 推出 ，从而确定 ，再检验 中的另一个元素是否也属于 ． 【详解】因为 ，且 ，所以 ． 又 ，其中 ，，所以只能有 ，解得 ． 当 时，，，此时 ，符合题意． 40．已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可. 【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为. 41．已知集合，，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】先解方程得，再根据集合间的基本关系，分类讨论计算参数即可. 【详解】由可得或，则， 而当时，此时，符合题意； 当时，则，即， 要符合题意，需，或，即或， 综上所述实数的取值范围是. 故答案为： 42．已知集合，，，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【分析】本题可先根据得出，再分，为单元素集、三种情况讨论，进而求出实数的取值范围. 【详解】因为，可知， 那么可能为，也可能是单元素集合或. 对于一元二次方程，其判别式， 当时， 当时，方程无实数根，此时， 由，即，得， 解不等式，得; 当为单元素集时， 当时，方程有且仅有一个实数根，此时为单元素集， 由，即，得，解得或， 当时，方程变为，解得，此时，不满足; 当时，方程变为，解得，此时，满足; 当时， 若，则方程是方程的两个根， 根据韦达定理方程， 由可得，即；由，可得，这两个结果矛盾，所以这种情况不成立. 综合以上三种情况，实数的取值范围. 故答案为： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 集合间的基本关系（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型 1··子集、真子集的确定 1 题型 2··集合的子集(真子集)的个数问题 1 题型3·判断两个集合是否相等 2 题型 4··根据两个集合相等求参数 3 题型 5··空集的判断、性质及应用 3 题型 6··Venn 图表示集合的关系 4 题型 7·集合间关系的判断 5 题型 8·根据集合间关系求参数 5 题型 1··子集、真子集的确定 1．集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 2．集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 3．写出集合的一个真子集__________. 4．已知集合，则集合的所有子集为_______. 5．设集合，若，则__________. 题型 2··集合的子集(真子集)的个数问题 6．已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．8 B．7 C．3 D．1 7．满足的集合的个数为（   ） A．7 B．8 C．16 D．15 8．已知集合，则A的非空真子集共有（   ） A．5个 B．8个 C．7个 D．6个 9．集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 10．已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 11．已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 题型3·判断两个集合是否相等 12．已知集合，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 13．设，，则（   ） A． B． C． D． 14．已知集合 ，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 15．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 16．已知集合，，则（    ） A．M与N的关系不确定 B． C． D． 17．下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型 4··根据两个集合相等求参数 18．已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 19．设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 20．已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 21．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 22．已知集合，，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 题型 5··空集的判断、性质及应用 23．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 24．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．已知，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 26．下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 27．若集合的子集只有一个，则实数的取值情况是（    ） A．或 B． C． D． 题型 6··Venn 图表示集合的关系 28．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R| x2＝x}关系的Venn图是（    ） A．B．C．D． 29．已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N={ x |x+x=0} 关系的韦恩（Venn）图是（ ） A． B． C． D． 30．已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A．B． C．D． 题型 7·集合间关系的判断 31．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 32．已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 33．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 34．已知集合，则（    ） A． B． C． D．⫋ 35．如果，那么正确的结论是（    ） A． B． C． D． 36．在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 37．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 题型 8·根据集合间关系求参数 38．已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 39．设集合，，若，则______． 40．已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 41．已知集合，，则实数的取值范围是_______. 42．已知集合，，，则实数的取值范围为_______. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $