第一章 集合与常用逻辑用语单元自测卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合与常用逻辑用语单元核心内容，通过基础题、情境题及创新题梯度设计，全面检测抽象能力、推理意识与应用意识，如社区体育调查情境题（第8题）考查容斥原理，字符串表示集合题（第14题）培养数学抽象。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合运算、命题否定、充要条件|第5题结合Venn图考查集合交并补，体现几何直观| |多选题|3/18|集合关系、元素个数|第11题含参数集合关系判断，发展推理能力| |填空题|3/15|子集个数、集合性质|第14题用字符串表征集合，创新抽象能力考查| |解答题|5/77|集合运算、参数范围、命题真假|第19题探究集合性质，培养逻辑推理与创新意识|

第一章 集合与常用逻辑用语单元自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，集合（   ） A． B． C． D． 2．命题“，使”的否定是（   ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 3．已知集合，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 6．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 8．现在，人们的生活水平有了很大的提高，在工作和生活之余喜欢参加体育锻炼活动.为了解居民在这方面的兴趣情况，某社区选取某一栋楼房的居民进行了对骑自行车、打羽毛球、打篮球是否有兴趣的问卷调查，要求每位居民至少选择一项，经统计有45人对骑自行车感兴趣，71人对打羽毛球感兴趣，60人对打篮球感兴趣，同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣的有35人，同时对打羽毛球和打篮球感兴趣的有40人，同时对骑自行车和打篮球感兴趣的有18人，三种都感兴趣的有10人，则该栋楼房的居民人数为（   ） A．91 B．93 C．95 D．97 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．中有5个元素 D．集合有个子集 10．下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 11．设集合，集合，若，则实数的值可以为（   ） A． B． C．0 D．1 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．集合的非空真子集的个数是______ 13．已知集合，若，则______. 14．设全集，且U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.已知，，若集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数为________. 四．解答题：本题共5小题（第15题13分，第16题-17题每小题15分，第18一-19题每小题17，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设全集. (1)求； (2)求. 16．设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 17．已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 18．设集合，； (1)用列举法表示集合A； (2)若是的充分条件，求实数m的值； (3)求，. 19．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则. (1)判断是否正确，并说明理由； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语单元自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知， ． 2．命题“，使”的否定是（   ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 【答案】A 【详解】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可判断， 所以命题“，使”的否定是“，使”. 3．已知集合，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解不等式的解集，再判断即可. 【详解】由题意得，，故A选项正确，BCD错误. 4．是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】∵ 解方程，可得或. 若成立，则可以为或，无法推出一定成立，故该条件不是充分条件. 若成立，代入可得，即成立，故该条件是必要条件. 因此是的必要不充分条件. 5．已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，阴影部分为． 6．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】原命题中的量词为，改为；原命题结论为，其否定为， 所以原命题的否定为：，. 7.条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，当，，此时不等式无解， 当，此时，所以，解得，即, 已知，且是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以. 8．现在，人们的生活水平有了很大的提高，在工作和生活之余喜欢参加体育锻炼活动.为了解居民在这方面的兴趣情况，某社区选取某一栋楼房的居民进行了对骑自行车、打羽毛球、打篮球是否有兴趣的问卷调查，要求每位居民至少选择一项，经统计有45人对骑自行车感兴趣，71人对打羽毛球感兴趣，60人对打篮球感兴趣，同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣的有35人，同时对打羽毛球和打篮球感兴趣的有40人，同时对骑自行车和打篮球感兴趣的有18人，三种都感兴趣的有10人，则该栋楼房的居民人数为（   ） A．91 B．93 C．95 D．97 【答案】B 【分析】利用容斥原理求解即可. 【详解】因为同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣的有35人，同时对打羽毛球和打篮球感兴趣的有40人，同时对骑自行车和打篮球感兴趣的有18人，三种都感兴趣的有10人， 所以同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣但对打篮球不感兴趣的有人， 同时对打羽毛球和打篮球感兴趣但对骑自行车不感兴趣的有人， 同时对骑自行车和打篮球感兴趣但对打羽毛球不感兴趣的有人， 因为有45人对骑自行车感兴趣，71人对打羽毛球感兴趣，60人对打篮球感兴趣， 所以有人只对骑自行车感兴趣， 有人只对打羽毛球感兴趣， 有人只对打篮球感兴趣， 则该栋楼房的居民人数为 . 故选：B. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．中有5个元素 D．集合有个子集 【答案】AD 【分析】先解不等式求出集合，再利用集合的表示方法、元素与集合的关系、集合间的关系及集合中元素的个数，逐一分析判断各选项． 【详解】， 选项A： ，，故A正确； 选项B：，，故B错误； 选项C：，集合中有4个元素，故C错误； 选项D：中有4个元素，有个子集，故D正确． 故选：． 10．下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】对A，两个集合的元素不相同，不是同一集合； 对B，两个集合都是2和3两个元素，是同一集合， 对C，集合的元素是点（或有序实数对），集合的元素是实数，不是同一集合， 对D，两个集合都是由大于2的实数构成，是同一集合， 故选：BD． 11．设集合，集合，若，则实数的值可以为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】ACD 【分析】由，则，分和进行讨论，从而确定的取值. 【详解】由，则， 又， 当时，则，此时符合题意； 当时，即，则， 当，即，此时，，符合题意； 当，即，此时，，符合题意； 故选：ACD. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．集合的非空真子集的个数是______ 【答案】14 【分析】先求出集合中的元素，再求出其非空真子集的个数. 【详解】因为，所以集合的非空真子集个数为. 故答案为：14. 13．已知集合，若，则______. 【答案】 【分析】根据题意结合属于关系可得或，运算求解，注意集合的互异性. 【详解】因为，且， ①若，则，当时，，不符合题意； ②若，则， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 14．设全集，且U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.已知，，若集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数为________. 【答案】4 【解析】由，集合表示的字符串为101001，得出表示的集合，进而求出集合B，从而得到答案. 【详解】由集合表示的字符串为101001，可知 而，， 则B可能为，，，，故满足条件的集合B的个数是4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：本题以集合的新定义的形式，考查集合的运算和判断子集的个数问题，解题的关键是能将新定义的内容与已学的集合的内容联系起来，考查学生的分析解题能力，属于基础题. 四．解答题：本题共5小题（第15题13分，第16题-17题每小题15分，第18一-19题每小题17，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设全集. (1)求； (2)求. 【答案】(1)；；； (2)； 【分析】（1）根据集合的交并补运算定义计算即得； （1）根据集合的补集定义计算即得. 【详解】（1）由题意，； ； ；； （2）；. 16．设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用子集概念来确定参数满足的条件即可求解； （2）利用分类讨论，子集有可能是空集和非空集，然后进行列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又， 所以，解得，所以的取值范围是． （2）因为，所以． 若，则，可得，满足； 若，要使，则，不等式组无解． 综上，的取值范围是． 17．已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2)或. 【分析】（1）根据为真命题列不等式，由此求得的取值范围. （2）求得均为假命题时的取值范围，进而求得命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围. 【详解】（1）若为真命题，则，所以，所以. （2）当为假命题时，即“ ”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 由（1）知命题为假命题时，的取值范围为. 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 18．设集合，； (1)用列举法表示集合A； (2)若是的充分条件，求实数m的值； (3)求，. 【答案】(1) (2) (3) 当时，，； 当时，，； 当且时，，. 【分析】（1）直接解方程即可得到集合； （2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值. （3）对分3种情况讨论，结合交集、并集的概念即可求解. 【详解】（1）集合，即； （2）由已知，， 若是的充分条件，则， 情形一：若，则，故满足题意； 情形二：若，则，故满足题意； 情形三：若且，则存在，但，这与矛盾，故此情形不符合题意； 综上所述，满足题意的的值为1或2； （3）， 情形一：当时，，此时，； 情形二：当时，，此时，； 情形三：当且时，，此时，； 综上所述，当时，，；当时，，；当且时，，. 19．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则. (1)判断是否正确，并说明理由； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则. 【答案】(1) 正确，理由如下： 由①知，，由②可得，， 由③可得. (2) 证明：由①知，由题意， 所以由②可知，又，所以即证. (3) 证明： ，由②可知，由③可知，， 所以，即，所以， 由（2）结论可知，即，即证 【分析】（1）根据集合的条件，先根据①②得，，进而有③可得； （2）先由①②得，进而可得； （3）先证，可得，，进而得，再结合可证. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $