2026年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷01

**基本信息** 立足学业水平合格性考试，以基础为本，融合数学史（如对数发明评价）与现实情境（如班级互赞），梯度设计考查数学抽象、逻辑推理与数据分析等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18题/54分|集合、逻辑、函数、三角、向量等|如第3题命题否定考查逻辑推理，夯实基础| |填空题|3题/12分|复数、方差、幂函数|第20题通过射击成绩比较方差，培养数据意识| |解答题|4题/34分|三角函数、立体几何、实际应用|第25题“互赞表”结合班级互动，体现数学语言表达现实世界；第24题立体几何证明与体积计算，考查空间观念|

2026年北京市学考仿真模拟试卷 数学·答题卡姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（本大题共18题，每小题3分，共计54分。 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 17 [A] [B] [C] [D] 18 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计15分） 19．_______________________ 20．_______________________ 21．_______________________ 22. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （续22题） 23． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24． 25. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷01·参考答案 一、选择题（本大题共18题，每小题3分，共计54分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C A D D B C B A C 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A C A C D B A D C 二、填空题（本题共3小题，每小题4分，共计12分） 19．3 20．小于 甲 21．①③ 三、解答题（本题共4小题，共34分） 22．（本小题满分8分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由三角函数定义可得：；…………………………………4分 （2）由（1）可得：.…………………………………8分 23．（本小题满分10分） 【答案】（1）①A  ；  ②B；（2）③A   ； ④A   ； ⑤B．…………………………………10分（每个2分） 【详解】解：因为， （1）因为，所以， 因为，所以 （2）因为时，有， 而且，所以在上的最大值为． 又因为时，有， 而且，所以在上的最大值为1． 综上，的最大值为． 24．（本小题满分8分） 【详解】（1）因为，，平面， 所以平面.…………………………………4分 （2）因为，四边形的面积等于10， 所以， 即四棱锥的体积为.…………………………………8分 25．（本小题满分8分） 【答案】(1)表2是“互赞表”， “互赞对”有2对 (2)31 (3)0 【详解】（1）表2是互赞表，互赞对：共2对.…………………3分 （2）由于此表恰好为“互赞表”，对于一对“互赞对”包含两次点赞，则总点赞次数62次时，最多可以有31对“互赞对”.…………………………………5分 （3）由于原表中每一条，在回点表中都有一条对应，所以，.…………………………………8分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷01 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共18题，每小题3分，共计54分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合并集的概念和集合的表示方法求解即可. 【详解】因为集合，，则， 故选：C 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由可以推出，故充分性成立， 反之或，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由特称命题否定定义可得答案. 【详解】由题可得命题“”的否定是“”. 故选：D 4．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由. 所以函数的定义域为. 5．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据解析式判断函数的单调性，再由零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由在上单调递增，而， 所以零点所在区间是. 故选：B 6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】运用余弦定理进行求解即可. 【详解】. 故选：C 7．的内角、、的对边分别为、、.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理可求出的值. 【详解】在中，，，， 由正弦定理，可得. 故选：B. 8．已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【详解】由向量平行的坐标表示，结合题意得 ，解得. 9．若，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值法、不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】因为，， 对于A选项，不妨取，，则，A错； 对于B选项，当时，由不等式的基本性质可得，B错； 对于C选项，由不等式的基本性质得，C对； 对于D选项，取，，则，D错. 故选：C. 10．不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】直接解一元二次不等式即可求解. 【详解】不等式可化为，则解集为， 故选：A. 11．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过特殊角三角函数值即可求解. 【详解】. 12．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式直接计算即可. 【详解】由诱导公式知. 故选：A 13．如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点.若，则三棱锥的体积是（    ） A．72 B．54 C．36 D．18 【答案】C 【分析】求出，三棱锥的高为6，利用锥体体积公式求出答案. 【详解】正方体中，棱长为6， 故， 又三棱锥的高为6， 故. 故选：C 14．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题一定正确的是（    ） A．，，则 B．，，则 C．，，则 D．，，则 【答案】D 【分析】根据线面、面面位置关系可判断ABC选项；利用线面垂直的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，，则或、异面，A错； 对于B选项，若，，则或、相交，B错； 对于C选项，若，，则或、异面或、相交，C错； 对于D选项，若，，则，D对. 故选：D. 15．一支田径队有男运动员人，女运动员人，若按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽取一个容量为的样本，那么应抽取女运动员的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分层抽样可求得女运动员所抽取的人数. 【详解】设女运动员抽取的人数为，由分层抽样得，解得. 故选：B. 16．为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将4罐这种饮料装成一箱，其中2罐是中奖饮料，若从一箱中随机一次性抽出2罐饮料（每罐饮料被抽出的概率相等），则抽出的饮料中有中奖饮料的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设中奖的2罐为，不中奖的2罐为，再列举求概率即可． 【详解】根据题意，设中奖的2罐为，不中奖的2罐为， 从一箱中随机一次性抽出2罐饮料， 则有共6种情况， 符合题意的有5种， 抽出的饮料中有中奖饮料的概率． 故选：A． 17．已知，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C．6 D．8 【答案】D 【分析】直接利用基本不等式可得答案. 【详解】因为， 所以， 当且仅当 即时取等号. 故的最小值为8. 故选：D 18．恩格斯曾经把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价.根据对数的相关知识，下列四个命题中真命题的个数为（    ）个. ①        ②，则 ③        ④若，， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】注意判断各式的准确性即可. 【详解】因为成立，故①正确； 由，故②正确； 根据对数的运算性质：成立，故③正确； 根据对数的运算性质：，时，，故④错误. 故选：C 二、填空题（本题共3小题，每小题4分，共计12分） 19．已知为虚数单位，设复数，，则复数的实部为_____. 【答案】3 【分析】利用复数的加法运算和复数的定义求解. 【详解】因为复数，， 所以复数， 所以复数的实部为3， 故答案为：3 20．两名射击运动员在10次测试中的成绩分别如下（单位：环）： 甲 8 9 10 9 7 9 9 10 9 10 乙 9 10 8 10 9 9 10 9 6 10 则甲的样本方差______乙的样本方差，可以估计______运动员的成绩更加稳定．（前面一空选填“大于”或“小于”，后面一空选填“甲”或“乙”） 【答案】 小于 甲 【分析】分别计算甲乙运动员射击成绩的平均数及方差即可得出结论. 【详解】甲成绩的平均数， 方差， 乙成绩的平均数， 方差， 由以上数据可知，甲的方差小于乙的方差，甲运动员的成绩更稳定. 故答案为：小于；甲 21．关于幂函数，下列结论正确的有 ①．当时，图象关于原点对称 ②．当时，定义域为 ③．所有幂函数都过点 【答案】①③ 【分析】直接根据幂函数的图象和性质判断可得. 【详解】因为幂函数， 对①：若时，，所以函数图象关于原点对称，故①正确； 对②：若时，，所以函数的定义域为，故②错误； 对③：当时，，所以所有幂函数都过点，故③正确； 故选：①③ 三、解答题（本题共4小题，共34分） 22．（本小题满分8分）已知角终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义求出,； （2）利用同角三角函数的商数关系即可得到结果. 【详解】（1）由三角函数定义可得：；…………………………………4分 （2）由（1）可得：.…………………………………8分 23．（本小题满分10分）阅读下面题目及其解答过程． 已知函数， （1）求f（－2）与f（2）的值； （2）求f(x)的最大值． 解：（1）因为－2＜0，所以f（－2）＝ ① ． 因为2＞0，所以f（2）＝ ② ． （2）因为x≤0时，有f(x)＝x＋3≤3， 而且f（0）＝3，所以f(x)在上的最大值为 ③ ． 又因为x＞0时，有， 而且 ④ ，所以f(x)在（0，＋∞）上的最大值为1． 综上，f(x)的最大值为 ⑤ ． 以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ① A．（－2）＋3＝1     B． ② A．2＋3＝5     　　  B． ③ A．3         　　　　　  B．0 ④ A．f（1）＝1     　　　  B．f（1）＝0 ⑤ A．1           　　　　　B．3 【答案】（1）①A  ；  ②B；（2）③A   ； ④A   ； ⑤B．…………………………………10分（每个2分） 【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解； 【详解】解：因为， （1）因为，所以， 因为，所以 （2）因为时，有， 而且，所以在上的最大值为． 又因为时，有， 而且，所以在上的最大值为1． 综上，的最大值为． 24．（本小题满分8分）如图，在四棱锥中，，. (1)证明：平面； (2)若，四边形的面积等于10，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)20 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理得证； （2）根据棱锥体积公式计算即可得解. 【详解】（1）因为，，平面， 所以平面.…………………………………4分 （2）因为，四边形的面积等于10， 所以， 即四棱锥的体积为.…………………………………8分 25．（本小题满分8分）为增强班级凝聚力，某班积极开展了同学间的交互点赞活动.小明将同学们的单向点赞记录整理在表格中：每行记录“”（其中与不同），表示给点了一个赞；允许自我点赞；同一个人可以给多人点赞，也可以接受多人的点赞.若表中每一条“”记录都对应存在“”记录，则该表称为“互赞表”一一即点赞行为是相互的，谁给谁点赞，对方也会回点. (1)下面两张点赞表，节点都是1，2，3，4. 表1：         表2：             问：哪一张是“互赞表”？写出该表里“互赞对”的个数； （互赞对：一对反向记录只算1个，如与算1对） (2)共20人参与活动，目前统计到的总点赞次数为62次（包含自赞）.如果此表恰好为“互赞表”，那么其中“互赞对”最多能有多少对？ (3)对任意一张点赞表，定义它的“回点表”：把原表中每一条，在回点表中都再补一条；每一条，在回点表中只需再补一条.记原表点赞次数为，回点表点赞次数为，若原表已经是“互赞表”，求的值. 【答案】(1)表2是“互赞表”， “互赞对”有2对 (2)31 (3)0 【分析】（1）根据题目所给“互赞表”的定义求解即可； （2）根据一对“互赞对”包含两次点赞,而总次数62次为偶数，则可得结果. （3）根据原表与回点表中的元素一一对应求解即可. 【详解】（1）表2是互赞表，互赞对：共2对.…………………3分 （2）由于此表恰好为“互赞表”，对于一对“互赞对”包含两次点赞，则总点赞次数62次时，最多可以有31对“互赞对”.…………………………………5分 （3）由于原表中每一条，在回点表中都有一条对应，所以，.…………………………………8分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷01 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共18题，每小题3分，共计54分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 5．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．2 7．的内角、、的对边分别为、、.若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 9．若，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 11．（   ） A． B． C． D． 12．若，则（    ） A． B． C． D． 13．如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点.若，则三棱锥的体积是（    ） A．72 B．54 C．36 D．18 14．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题一定正确的是（    ） A．，，则 B．，，则 C．，，则 D．，，则 15．一支田径队有男运动员人，女运动员人，若按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽取一个容量为的样本，那么应抽取女运动员的人数为（    ） A． B． C． D． 16．为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将4罐这种饮料装成一箱，其中2罐是中奖饮料，若从一箱中随机一次性抽出2罐饮料（每罐饮料被抽出的概率相等），则抽出的饮料中有中奖饮料的概率为（    ） A． B． C． D． 17．已知，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C．6 D．8 18．恩格斯曾经把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价.根据对数的相关知识，下列四个命题中真命题的个数为（    ）个. ①        ②，则 ③        ④若，， A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共3小题，每小题4分，共计12分） 19．已知为虚数单位，设复数，，则复数的实部为_____. 20．两名射击运动员在10次测试中的成绩分别如下（单位：环）： 甲 8 9 10 9 7 9 9 10 9 10 乙 9 10 8 10 9 9 10 9 6 10 则甲的样本方差______乙的样本方差，可以估计______运动员的成绩更加稳定．（前面一空选填“大于”或“小于”，后面一空选填“甲”或“乙”） 21．关于幂函数，下列结论正确的有 ①．当时，图象关于原点对称 ②．当时，定义域为 ③．所有幂函数都过点 三、解答题（本题共4小题，共34分） 22．（本小题满分8分）已知角终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点. (1)求，的值； (2)求的值. 23．（本小题满分10分）阅读下面题目及其解答过程． 已知函数， （1）求f（－2）与f（2）的值； （2）求f(x)的最大值． 解：（1）因为－2＜0，所以f（－2）＝ ① ． 因为2＞0，所以f（2）＝ ② ． （2）因为x≤0时，有f(x)＝x＋3≤3， 而且f（0）＝3，所以f(x)在上的最大值为 ③ ． 又因为x＞0时，有， 而且 ④ ，所以f(x)在（0，＋∞）上的最大值为1． 综上，f(x)的最大值为 ⑤ ． 以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ① A．（－2）＋3＝1     B． ② A．2＋3＝5     　　  B． ③ A．3         　　　　　  B．0 ④ A．f（1）＝1     　　　  B．f（1）＝0 ⑤ A．1           　　　　　B．3 24．（本小题满分8分）如图，在四棱锥中，，. (1)证明：平面； (2)若，四边形的面积等于10，求四棱锥的体积. 25．（本小题满分8分）为增强班级凝聚力，某班积极开展了同学间的交互点赞活动.小明将同学们的单向点赞记录整理在表格中：每行记录“”（其中与不同），表示给点了一个赞；允许自我点赞；同一个人可以给多人点赞，也可以接受多人的点赞.若表中每一条“”记录都对应存在“”记录，则该表称为“互赞表”一一即点赞行为是相互的，谁给谁点赞，对方也会回点. (1)下面两张点赞表，节点都是1，2，3，4. 表1：         表2：             问：哪一张是“互赞表”？写出该表里“互赞对”的个数； （互赞对：一对反向记录只算1个，如与算1对） (2)共20人参与活动，目前统计到的总点赞次数为62次（包含自赞）.如果此表恰好为“互赞表”，那么其中“互赞对”最多能有多少对？ (3)对任意一张点赞表，定义它的“回点表”：把原表中每一条，在回点表中都再补一条；每一条，在回点表中只需再补一条.记原表点赞次数为，回点表点赞次数为，若原表已经是“互赞表”，求的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $