精品解析：四川省彭州中学2025-2026学年高二上学期期中质量监测数学试题

2025-2026学年度四川省彭州中学高2024级高二上期中质量监测 数学学科试题 注意事项： 1.开考前，请将自己的姓名、准考证号、座位号涂写在试卷和答题卡的相应位置. 2.选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分用0.5mm黑色墨迹签字笔书写. 3.考试结束后，将试卷，答题卡，草稿纸交回.考生不允许带走任何考试材料，否则按照违规处理. 4.再次提醒，如果考试出现违纪行为，将被记录在学生档案，因此产生的后果自负. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线+=0与直线2+3+5=0平行，的值为（ ） A. -6 B. 6 C. D. 3. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，点到平面yOz的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6. 已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示，则（ ） A. 甲得分的极差大于乙得分的极差 B. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 10. (多选题)在正方体中，有下列说法，其中正确的有（ ） A. B. C. 的夹角为60° D. 正方体的体积为 11. 在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”，则下列说法中正确的是（ ） A. 若点C在线段AB上，则有 B. 若A，B，C是三角形的三个顶点，则有 C. 到，两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线 D. 若O为坐标原点，点B在直线上，则d（O，B）的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义行列式运算，设向量，，．已知，，则_________． 13. 一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为，，，当且仅当，时称为“凹数”如，等，若，，，且，，互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是__________． 14. “直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知，是直线系中的两条直线，若，则，之间的距离为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： （1）平面的一个法向量 （2）直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 16. 已知直线与直线． （1）若，求m的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 17. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝，PA＝2. （1）取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB； （2）求直线AC与PD所成角的余弦值； （3）在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由． 18. 甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的类问题以及难度系数较高的类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为，甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立． （1）当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望． （2）设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为． （ⅰ）证明：为等比数列． （ⅱ）求的最大值以及对应n的值． 19. 已知点，向量，点在一条直线上，且满足. （1）求； （2）证明在同一个圆上，并求该圆的圆心和半径； （3）过引圆的切线，记切线与轴的交点为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度四川省彭州中学高2024级高二上期中质量监测 数学学科试题 注意事项： 1.开考前，请将自己的姓名、准考证号、座位号涂写在试卷和答题卡的相应位置. 2.选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分用0.5mm黑色墨迹签字笔书写. 3.考试结束后，将试卷，答题卡，草稿纸交回.考生不允许带走任何考试材料，否则按照违规处理. 4.再次提醒，如果考试出现违纪行为，将被记录在学生档案，因此产生的后果自负. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的斜率公式与直线平行的性质求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以， 又，所以. 故选：C. 2. 已知直线+=0与直线2+3+5=0平行，的值为（ ） A. -6 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据两直线平行的等价条件即可求出a的值. 【详解】直线(-2)+-1=0与直线2+3+5=0平行, , 解得， 故选：B 3. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据A，B是相互独立事件，结合对立事件和相互独立事件概率运算的性质，直接进行计算即可. 【详解】解：由，得， 则. 故选：A. 4. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B. 5. 在空间直角坐标系中，点到平面yOz的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到平面yOz的距离是即可求出结果. 【详解】点到平面yOz的距离是, 故选：A. 6. 已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的坐标，利用点到平面距离的向量求法计算作答. 【详解】依题意，，所以点P到平面的距离为. 故选：D 7. 若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将方程配方即可得解. 【详解】将方程配方得 所以圆心坐标为, 又因为方程表示圆，且圆心位于第四象限， 所以，解得. 故选：A 8. 某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用均值公式、方差公式逐项判断正误即可 【详解】选项A：，所以，若，则， 故选项A正确. 选项B： ， 所以 ,不妨令则 ， 故选项B错误. 选项C：若，则故选项C正确. 选项D:若， 因为，所以， 则． 又， 所 故选项D正确. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示，则（ ） A. 甲得分的极差大于乙得分的极差 B. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】BC 【解析】 【分析】将甲乙得分由低到高排列，再按照极差、平均数、中位数、方差的定义计算即可. 【详解】甲场比赛得分由低到高分别为， 乙场比赛得分由低到高分别为， 则甲的极差为，乙的极差为， 故甲得分的极差小于乙得分的极差，故A错误； 甲的平均数，乙的平均数， 则甲得分的平均数大于乙得分的平均数，故B正确； 甲的中位数为，乙的中位数为， 则甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正确； 甲的方差， 乙的方差， 故甲得分的方差小于乙得分的方差，故D错误. 故选：BC 10. (多选题)在正方体中，有下列说法，其中正确的有（ ） A. B. C. 的夹角为60° D. 正方体的体积为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用空间向量的加减运算法则及向量夹角的定义判断即可. 【详解】如图所示， ，故A正确； ，故B正确； 与的夹角是夹角的补角， 而的夹角为，故的夹角为，所以C错误； 正方体的体积为. 故选：AB. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算及空间向量的夹角问题，较简单，解答时类比平面向量的解法进行即可. 11. 在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”，则下列说法中正确的是（ ） A. 若点C在线段AB上，则有 B. 若A，B，C是三角形的三个顶点，则有 C. 到，两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线 D. 若O为坐标原点，点B在直线上，则d（O，B）的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据“折线距离”的定义化简可得；对B，由绝对值不等式可判断；对C，设出点的坐标，根据定义列出方程即可求解；对D，由可判断. 【详解】对A，若点在线段上，设， 则在之间，在之间， 则 ，故A正确； 对B，在中， ，故B错误； 对C，设到两点的“折线距离”相等的点的坐标为， 则，解得，故C正确； 对D，设，则，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查“折线距离”的应用，属于新定义问题，解题的关键是正确理解定义，并结合绝对值不等式进行化简判断. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义行列式运算，设向量，，．已知，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由新定义即可直接求解. 【详解】由 可得： 所以， 故答案为： 13. 一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为，，，当且仅当，时称为“凹数”如，等，若，，，且，，互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先找到组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本点数，再找到“凹数”的个数，用古典概型的知识相除即可． 【详解】组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本点共有个， 而满足三位数是“凹数”的有，，，，，，，共个， 所以这个三位数为“凹数”的概率为． 14. “直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知，是直线系中的两条直线，若，则，之间的距离为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】设，，根据直线平行列方程，然后利用两角差的正弦公式和正弦函数性质得或，从而，最后代入平行直线距离公式求解即可. 【详解】不妨设，， 因为，所以，所以，由题意，所以或， 不妨设，此时，即，由于的常数项为，而，故两直线不重合， 所以，之间的距离为. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： （1）平面的一个法向量 （2）直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】（1） （2）方向向量，法向量为 【解析】 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； 【小问2详解】 直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 16. 已知直线与直线． （1）若，求m的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可知，所以可得，从而可求出m的值； （2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程 【小问1详解】 因为，所以，且， 由，得，解得或（舍去） 所以. 【小问2详解】 因为点在直线上， 所以，得，所以点的坐标为， 所以设直线的方程为（）， 令，则，令，则， 因为直线在两坐标轴上的截距之和为0， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 17. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝，PA＝2. （1）取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB； （2）求直线AC与PD所成角的余弦值； （3）在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】取的中点，连接，则，以A为原点，AE所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系. （1）计算，利用向量法求证即可； （2）利用向量的夹角公式计算异面直线所成的角； （3）假设存在点M符合题意，根据二面角、线面角的向量求法计算即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，则，， 所以四边形为矩形，所以， 以A为原点，AE所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，， 取中点，则，， 所以，故，又平面，平面， 所以DN∥平面PAB. 【小问2详解】 由（1）知，，， . 故直线AC与PD所成角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在，且， 则点为，所以， 设平面的法向量是， ， 令，，（易知t=1不合题意） 又是平面的一个法向量， ， 解得(舍去)，则． 此时平面的一个法向量可取，， 设与平面所成的角为， 则， 由知，. 与平面所成角的大小为． 18. 甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的类问题以及难度系数较高的类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为，甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立． （1）当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望． （2）设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为． （ⅰ）证明：为等比数列． （ⅱ）求的最大值以及对应n的值． 【答案】（1）分布列： X 0 1 2 3 4 P 数学期望为1 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）当时，取到最大值为 【解析】 【分析】（1）由已知可得X的可能取值，分别求解概率即可得分布列和期望； （2）（ⅰ）根据等比数列的定义证明即可；由（ⅰ）可证为等比数列，可得，结合不等式的性质和函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 X可以取0，1，2，3，4， 每次回答A类问题且回答正确的概率为， 回答A类问题且回答不正确的概率为， 每次回答B类问题且回答正确的概率为， 回答B类问题且回答不正确的概率为， ， ， ， ；， X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ； 【小问2详解】 （ⅰ），， 由题意得甲累计得分为n分的前一轮得分只能为分或分， 故当时，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （ⅱ）根据（ⅰ）可知，①， 易得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， 令②－①可得， 所以， 经检验，时均满足上式，故， 所以， 而显然随着n的增大而减小， 故， 又因为，所以当时，取到最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是深入理解游戏得分的规则，找出累计得分分与分，分之间的概率递推关系，从而得到与，的关系式. 19. 已知点，向量，点在一条直线上，且满足. （1）求； （2）证明在同一个圆上，并求该圆的圆心和半径； （3）过引圆的切线，记切线与轴的交点为，求证：. 【答案】（1）； （2）和； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设坐标，利用向量的坐标表示结合等差数列的通项公式计算即可； （2）设坐标，利用向量共线的充要条件及数量积的坐标表示消元计算即可； （3）根据直线与圆的位置关系计算切线方程得出的坐标，再利用放缩法计算和即可. 【小问1详解】 设，则由题意可知， 所以，即分别成公差为1的等差数列， 由已知， 则，即，所以； 【小问2详解】 设，即， 因为共线，且满足， 则有， 当时，易知，即， 此时， 即， 当时，解方程组可得，也满足上式， 所以在以为圆心，为半径的圆上， 圆心和半径； 【小问3详解】 由（2），解方程得， 则， 所以处的切线方程斜率为， 则切线方程为， 令得，即， 易知， 则 ，证毕. 【点睛】方法点睛：根据向量的坐标运算结合消参法可计算轨迹方程；根据直线与圆的位置关系得出切线方程，再由放缩法证明即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $