四川省彭州中学2025-2026学年高二上学期期中质量监测数学试题

**基本信息** 2025-2026学年彭州中学高二上期中数学试卷，聚焦立体几何、解析几何、概率统计核心内容，通过基础巩固与创新应用梯度设计，考查空间观念、运算能力及数据意识，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线倾斜角、独立事件概率、空间距离|基础概念辨析，强调运算准确性| |多选题|3/18|统计图表分析、正方体空间向量、折线距离新定义|结合创新情境（如折线距离），考查逻辑推理| |填空题|3/15|行列式运算、古典概型（凹数）、直线系距离|融入数学文化（凹数），体现应用意识| |解答题|5/77|空间坐标系法向量、四棱锥线面关系、概率分布列|综合考查空间想象与数学建模，如四棱锥存在性问题|

2025-2026学年度四川省彭州中学高2024级高二上期中质量监测 数学学科试题 注意事项： 1. 开考前，请将自己的姓名、准考证号、座位号涂写在试卷和答题卡的相应位置。 2. 选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分用0.5mm黑色墨迹签字笔书写。 3. 考试结束后，将试卷，答题卡，草稿纸交回。考生不允许带走任何考试材料，否则按照违规处理。 4. 再次提醒，如果考试出现违纪行为，将被记录在学生档案，因此产生的后果自负。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角，若直线，则直线的斜率为(    ) A. B. C. D. 2.已知直线与直线平行，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.已知事件，相互独立，且，，则(    ) A. B. C. D. 4.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则  (    ) A. B. C. D. 5.在空间直角坐标系中，点到平面的距离是  (    ) A. B. C. D. 6.已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 7.若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9.甲、乙两名篮球运动员连续场比赛的得分如图所示，则(    ) A. 甲得分的极差大于乙得分的极差 B. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 10.在正方体中，下列命题正确的是(    ) A. B. C. 与的夹角为 D. 正方体的体积为 11.在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”，则下列说法中正确的是(    ) A. 若点在线段上，则有 B. 若，，是三角形的三个顶点，则有 C. 到，两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线 D. 若为坐标原点，点在直线上，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.定义行列式运算，设向量，，已知，，则           ． 13.一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为，，，当且仅当，时称为“凹数”如，等，若，，，且，，互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是          ． 14.“直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线已知，是直线系：中的两条直线，若，则，之间的距离为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： 平面的一个法向量 直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 16.本小题分 已知直线：与直线：，． 若，求的值 若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程． 17.本小题5分 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，． 取的中点，求证：平面； 求直线与所成角的余弦值； 在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的大小；如果不存在，请说明理由． 18.本小题分 甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题难度系数较低的类问题以及难度系数较高的类问题供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题甲遇到每类问题的概率均为甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记分，否则记分甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记分，否则记分总得分记为分甲回答每个问题相互独立． 当进行完轮游戏时，求甲的总分的分布列与数学期望； 设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为分的概率为． (ⅰ)证明：为等比数列； (ⅱ)求的最大值以及对应的值． 19.本小题7分 已知点，，向量，点在一条直线上，且满足． 求； 证明在同一个圆上，并求该圆的圆心和半径； 过引圆的切线，记切线与轴的交点为，求证：． 2025-2026学年度四川省彭州中学高2024级高二上期中质量监测 数学学科试题答案 1.【答案】  【解析】直线的倾斜角，直线， 则的倾斜角也等于， 的斜率为 2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了直线平行的等价条件，属于基础题． 根据两直线平行的等价条件即可求出的值． 【解答】 解：由题意可知两直线的斜率存在， 直线与直线平行， ， 解得． 故选B． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题． 由对立事件概率的计算公式求出，进而利用相互独立事件概率乘法公式求解即可． 【解答】 解：由，得， 则， 故选A． 4.【答案】  【解析】圆可化为，则圆心，半径为； 设，切线为、，则， 中，，所以， 所以． 故选：． 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用空间向量求点、线、面之间的距离，属于基础题． 利用空间向量求点与面之间的距离，计算得结论． 【解答】  解：点在内，， ． 又平面 的法向量为 ， 点到平面的距离   ． 故本题选D． 7.【答案】  【解析】解：将方程化为圆的一般形式，其中，，。 由，得： 可得，解得或． 圆心坐标为第四象限要求横坐标即，纵坐标恒成立． 综上可得． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了分层随机抽样，平均数，方差，属于较难题． 利用均值公式、方差公式逐项判断正误即可 【解答】 解：选项A：，所以，若，则， 故选项 A正确． 选项B： ， 所以 ，不妨令 则 ， ， 当与很接近时，与相差较大时，可能大于零，故选项B错误． 选项C：若，则故选项 C正确． 选项D若， 因为，所以， 则 ． 又， 所 ， 故选项D正确． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：甲场比赛得分由低到高分别为， 乙场比赛得分由低到高分别为， 则甲的极差为，乙的极差为， 故甲得分的极差小于乙得分的极差，故A错误； 甲的平均数为，乙的平均数为， 则甲得分的平均数大于乙得分的平均数，故B正确； 甲的中位数为，乙的中位数为， 则甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正确； 甲的方差为， 乙的方差为， 故甲得分的方差小于乙得分的方差，故D错误． 故选：． 10.【答案】  【解析】如图，； ；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为，故与的夹角为；正方体的体积为． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查新定义及其应用，动点的轨迹方程，属于中等题． 对，根据折线距离的定义化简可得；对，由绝对值不等式可判断；对，设出点的坐标，根据定义列出方程即可求解；对，由可判断． 【解答】 解：对，若点在线段上，设，，， 则在，之间，在，之间， 则 ，故A正确； 对，在中，设，，， ，故B错误； 对，设到，两点的“折线距离”相等的点的坐标为， 则，解得，故C正确； 对，设，则，即的最小值为，故D正确． 故选：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量运算的坐标表示，属于基础题． 利用题设的求解方法求解即可． 【解答】 解：由题可知， ，， ， 可得：， ， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了古典概型，属于基础题． 首先找到组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本点数，再找到“凹数”的个数，用古典概型的知识相除即可． 【解答】 解： 组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本点共有个， 而满足三位数是“凹数”的有，，，，，，，共个， 所以这个三位数为“凹数”的概率为． 故答案为． 14.【答案】  【解析】解：设对应，对应，不妨，，， 因为，则其法向量与平行， 则，即， 因为，，， 则， 则 方程：， 方程：，即， 则，之间的距离为． 故答案为：． 15.【答案】解因为平面，底面为矩形，所以，，两两垂直． 如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，， 于是，． 设为平面的法向量， 则即 所以 令，则． 所以平面的一个法向量为 如图，，， 所以即为直线的一个方向向量． 设平面的法向量为， 因为， 所以， 则即 所以 令，则． 所以平面的一个法向量为   【解析】略 16.【答案】解：因为，所以，且， 由，得，解得或舍去 所以， 因为点在直线上， 所以，得，所以点的坐标为， 易知直线斜率存在且不为，所以设直线的方程为 令，则， 令，则， 因为直线在两坐标轴上的截距之和为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或．  【解析】本题考查两条直线平行的判定，考查直线截距，是中档题． 利用两条直线平行的判定，得到，即可求解 代入可得，设出直线的方程为，分别写出直线在两坐标轴上的截距，即可求解的值，直线方程即可解得． 17.【答案】解：取的中点，连接，交于点，连接， 则，四边形为平行四边形，又，， 则为正方形，，为的中点，， 又点为中点，则，又平面，则平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 证明：中点， ， 设平面的法向量为，由，， 可得：一个法向量，， 平面，平面． ，， 设直线与所成角， ． 故直线与所成角的余弦值为． 假设存在点使得平面与平面的夹角为， 设及， ， 设平面的法向量为， 由，， 由，可得一个法向量， 平面的一个法向量为， ，解得． 故存在点，，，， 设与平面所成角为， ， ． 故与平面所成角为．   【解析】本题考查利用空间向量研究立体几何中的问题，属于中档题． 取的中点，连接，交于点，连接，则，平面，以为原点，建立空间直角坐标系． 计算和平面的法向量，利用向量法求证即可； 利用向量的夹角公式计算异面直线所成的角； 假设存在点符合题意，根据二面角、线面角的向量求法计算即可． 18.【答案】解：可以取，，，，． 每次回答类问题且回答正确的概率为， 回答类问题且回答不正确的概率为， 每次回答类问题且回答正确的概率为， 回答类问题且回答不正确的概率为， ， ， ， ， ， 的分布列为： ； 证明：，， 由题意得甲累计得分为分的前一轮得分只能为分或分， 故当时，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； (ⅱ)根据(ⅰ)可知， ， 当时，易得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以． 令可得， 所以， 经检验，时均满足上式，故G， 所以， 而显然随着的增大而减小， 故G， 又因为， 所以当时，取到最大值，为．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】． 19.【答案】解：因为，，所以， 又因为，所以， 于是． 因为点，，在一条直线上，设， 于是， 因为，所以，解得：， 所以， 设，，则，带入， 整理得：， 所以在同一个圆上，且圆心，半径． 直线的斜率是， 所以圆在点处的切线的斜率为， 所以圆在点处的切线的方程是， 与轴的方程联立解得：，所以， 又因为， 所以．  【解析】本题考查了向量坐标的线性运算，与圆相关的轨迹问题，过两点的斜率公式，裂项相消法求和，属于较难题． 因为，所以，于是可得结果． 因为点，，在一条直线上，设，于是， 因为，得，所以，设，， 化简可得． 根据题意可得，求和即可证明． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $