29.2.1 垂直于弦的直径 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

课题

29.2.1 垂直于弦的直径

学科

数学

年级

九年级

教材版本

人教版（2026）

课时

第1课时

课型

新授课

教学目标

（1）理解垂径定理，并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题；

（2）通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加以理解；

（3）经历猜想、折叠验证到逻辑证明的过程，体会转化的思想方法。

教学重点

垂径定理及其运用。

教学难点

探索并证明垂径定理，以及利用垂径定理解决一些实际问题。

教学方法

动手折叠法、猜想验证法、几何证明法

教学准备

圆形纸片、直尺、多媒体课件

课后练习

必做：垂径定理推论的证明、教材第132页习题第6题；巩固：教材P125练习。

板书设计

见板书设计部分

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

一、复习导入

【复习导入】

①在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。以点 O 为圆心的圆记作“☉O”，读作“圆 O”。

②连接圆上任意两点的线段叫作弦（如图线段 AC、AB）；③经过圆心的弦叫作直径（如图线段 AB）。

④圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；以 A、C 为端点的弧，读作“圆弧 AC”或“弧 AC”；大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧。

⑤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条

口述圆、弦、直径、弧、半圆的定义及圆的轴对称性。

梳理圆的基本概念与轴对称性，为垂径定理的发现做铺垫。

弧都叫作半圆。

⑥圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

教师过渡：由圆的轴对称性，直径垂直于弦时会有怎样的特殊关系？这就是今天的垂径定理。

（设计意图：复习弦、直径、弧、半圆及圆的轴对称性，为探究垂径定理做准备。）

二、探究新知
垂径定理

【探究新知】垂径定理

按要求完成下题：如图，AB 是☉O 的一条弦，作直径 CD，使 CD⊥AB，垂足为 M。

（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。

老师点评：（1）是轴对称图形，其对称轴是 CD。（2）AM=BM，⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD，即直径 CD 平分弦 AB，并且平分弧 AC 和弧 AD。

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

（设计意图：通过折叠观察，猜想并归纳垂径定理，培养合情推理能力。）

用圆形纸片折叠，观察直径垂直于弦时弦与弧被平分，归纳垂径定理。

以折叠、观察、猜想积累直观经验，得出垂径定理。

三、证明与推论

【逻辑证明】

已知：直径 CD、弦 AB，且 CD⊥AB，垂足为 M。求证：AM=BM，⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD。

分析：要证 AM=BM，只要证 AM、BM 所在的两个三角形全等，因此只需连接 OA、OB 或 AC、BC。

证明：连接 OA、OB，则 OA=OB。在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中，OM=OM、OA=OB，故

经历“连 OA、OB→证 Rt 全等→由轴对称得弧相等”的证明，理解并识记垂径定理及推论。

以逻辑证明巩固垂径定理，由“平分弦的直径”延展推论，深化理解。