29.2.1 圆的对称性——垂直于弦的直径（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

年级组

九年级

学科组

数学

主备人

审阅人

授课教师

授课时间

课  题

29.2.1 圆的对称性——垂径定理（第1课时）

课   型

新授课

教学

目标

1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，能准确运用定理进行证明和计算。

2.经历折叠操作、观察猜想、推理论证的过程，掌握"半径—半弦—弦心距"构成直角三角形的方法，培养几何推理能力。

3.在探究垂径定理的过程中，体会对称美和转化思想，培养严谨的逻辑推理素养。

★核心素养：逻辑推理（定理证明）、几何直观（图形分析）、数学运算（勾股定理计算）

重点

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

★关键：定理的三个条件——①直径（过圆心）；②垂直于弦；③结论：平分弦+平分弧

难点

理解垂径定理的证明思路，灵活运用"半径、半弦、弦心距"构成直角三角形解决计算问题。

★突破策略：①通过折叠实验直观验证；②构造直角三角形（半径为斜边）；③牢记公式r²=d²+()²

教学

方法

操作实验法、定理归纳法、应用训练法、小组合作探究法

★学法指导：操作—猜想—证明—应用，利用轴对称性理解定理本质

教学过程设计

教

学

过

程

及

方

法

目标导学

二次备课

一、情境导入

1.生活情境：

①把一张圆形纸片沿任意一条直径对折，两边能完全重合吗？这说明圆具有什么性质？

②赵州桥是世界闻名的石拱桥，它的桥拱是圆弧形。工匠们是如何保证桥拱的对称性的？

③自行车的车轮辐条为什么都交汇于中心？车轮转动时为什么能保持平稳？

2.互动提问：

①圆是轴对称图形吗？如果是，它有多少条对称轴？

②如果在圆中作一条弦，再作一条垂直于这条弦的直径，会发现什么特殊性质？

3.揭示课题：今天我们学习圆的轴对称性的重要应用——垂径定理。

任务驱学

任务1：将圆形纸片沿直径CD折叠，观察圆的两部分是否重合，验证圆是轴对称图形，直径所在直线是对称轴。

任务2：在圆中作弦AB，再作直径CD⊥AB，垂足为E。沿CD折叠，观察点A与点B是否重合，AE与EB是否相等，弧AC与弧BC是否相等。

任务3：尝试用几何推理证明折叠中发现的结论，思考为什么垂直于弦的直径能平分弦和弦所对的弧。

【设计意图】通过动手折叠让学生直观感知垂径定理，再从直观感知上升到理性证明，培养几何推理能力。

二次备课

二、合作探究

探究1  圆的轴对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。

★深度剖析：

①对称轴是"直径所在的直线"，不是直径本身（直径是线段，对称轴是直线）；

②圆的对称轴有无数条，每一条过圆心的直线都是对称轴；

③圆也是中心对称图形，圆心是对称中心。

探究2  垂径定理

定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E。

求证：AE=EB，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。

证明：连接OA、OB。∵OA=OB（半径相等），∴△OAB是等腰三角形。

∵CD⊥AB，∴OE是等腰三角形底边AB上的高，∴AE=EB（等腰三角形三线合一）。

又∵圆沿CD折叠时A与B重合，∴弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合，

即弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。

探究3  垂径定理的推论

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

★注意：被平分的弦不能是直径！因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直。

★易错点提示：

①垂径定理的条件是"直径垂直于弦"，缺一不可；只有直径没有垂直不行，只有垂直没有过圆心也不行；

②推论中"弦不是直径"这个条件不可省略，否则结论不成立；

③利用垂径定理计算时，常作辅助线：连接半径（构造直角三角形）或作弦心距。

★数学思想渗透：

转化思想：将圆的问题转化为直角三角形问题（半径—半弦—弦心距）；

对称思想：利用圆的轴对称性理解定理的本质。

教

学

过

程

及

方

法

激思展学

例1  如图1，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，求证：AE=EB，弧AC=弧BC。

证明：连接OA、OB。

∵OA=OB（同圆半径相等），∴△OAB是等腰三角形。

∵CD⊥AB于E，即OE⊥AB，

∴OE是等腰△OAB底边AB上的高，

∴AE=EB（等腰三角形三线合一）。

又∵CD是直径所在直线，是圆的对称轴，

沿CD折叠，点A与点B重合，

二次备课