专题29.2 圆的有关性质（培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦圆的有关性质核心知识点，系统梳理垂径定理及其推论，圆周角定理及推论，弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系，构建从圆的对称性到性质应用的学习支架。 资料通过17类分层题型（含例题与变式）、探究式学习（如“环中点平四”定义探究）及实际应用（筒车、赵州桥问题），培养学生几何直观、推理意识与模型意识，课中辅助教师精准教学，课后通过检测与复盘笔记帮助学生查漏补缺。

简一数理 初中专题讲义 专题29.2 圆的有关性质 （新教材人教版） 知识点一、垂径定理 2 知识点二、圆周角定理 2 知识点三、弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 3 【题型1 利用垂径定理求值】 3 【题型2 利用垂径定理求平行弦问题】 6 【题型3 利用垂径定理求同心圆问题】 10 【题型4 利用垂径定理求其他问题】 12 【题型5 垂径定理的推论】 17 【题型6 垂径定理的实际应用】 19 【题型7 圆心角概念及简单运算】 23 【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 25 【题型9 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 28 【题型10 求圆弧的度数】 32 【题型11 圆周角的概念及简单运算】 35 【题型12 圆周角定理】 37 【题型13 同弧或等弧所对的圆周角相等】 40 【题型14 半径（直径）所对的圆周角是直角】 42 【题型15 90度的圆周角所对的弦是直径】 45 【题型16 已知圆内接四边形求角度】 49 【题型17 求四边形外接圆的直径】 51 【探究式学习】 56 【课后检测】 60 【复盘笔记】 77 知识点一、垂径定理 1．圆的对称性 圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心． 2．垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 知识点二、圆周角定理 定理 示例 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 如图，． 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 如图，是半圆（AB是直径），则 推论2：圆内接四边形的对角互补． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即． 知识点三、弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系． 1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等． 2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等． 3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条． 【题型1 利用垂径定理求值】 【例1】如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长度． 【详解】解：，， ，， ， 在中，， ． 【变式1-1】如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】通过垂直弦这一条件想到垂径定理得到，再利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解： 连接， ∵，且， ∴， 设圆的半径为R， ∵， 则在中，有即， 解得，即， 故选项D符合题意． 【变式1-2】如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理得出，由，知是等边三角形，，从而得出，再由勾股定理计算得出即可． 【详解】解： ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ． 【变式1-3】如图，为的直径，弦，连接，若，的半径为6，则的长为（     ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】连接，利用垂径定理的性质求得，再利用等边三角形的判定求出答案． 【详解】如图所示，连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵的半径为6， ∴． 【题型2 利用垂径定理求平行弦问题】 【例2】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 【变式2-1】已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【答案】A 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则， ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， 同理，， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：A． 【变式2-2】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 【变式2-3】．半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离． 【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图， ， ， ，， 而，， ，， 在中，，； 在中，，； 当圆点在、之间，与之间的距离； 当圆点不在、之间，与之间的距离； 所以与之间的距离为7或1． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用． 【题型3 利用垂径定理求同心圆问题】 【例3】如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 【变式3-1】如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关键． 当与小圆相切时有一个公共点，此时可知最小；当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，此时最大，由此可以确定所以的取值范围． 【详解】解：如图，当与小圆相切时有一个公共点， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴； 当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点， 此时， 所以的取值范围是． 故选：A． 【变式3-2】如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、扇形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由大圆的弦与小圆相切可得，再根据垂径定理得，进而推出是等腰直角三角形，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：大圆的弦与小圆相切， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 扇形的面积． 故选：C． 【变式3-3】如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握圆的直径性质，切线性质，垂径定理，勾股定理，是解题的关键． 根据已知条件和图形分析可得当是大圆直径时，的值最大，从而可得的最大值；进一步分析可得当与小圆相切的时，最小，利用勾股定理可得的最小值．若大圆的弦与小圆有两个公共点，即与小圆相交，再结合上面分析即得答案． 【详解】解：设圆心为O，大圆的弦与小圆相交，如图． 当是大圆直径时，的值最大， ∵大圆半径为5， ∴最大值为． 当与小圆相切时，最小． 设切点为C，连接， 则， ∴， ∵小圆的半径为4， ∴， ∴． ∵大圆的弦与小圆有两个公共点，即相交， ∴． 故答案：． 【题型4 利用垂径定理求其他问题】 【例4】如图，点A，B是上两点，连接，交于点C，垂足为点D，优弧⊥一点E，连接，已知，则的大小为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理及圆周角定理，根据垂径定理可得，由圆周角定理可得即可求解． 【详解】∵交于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式4-1】生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的莱洛三角形，是由三段相等的圆弧构成，虽然不是圆但是做成滚轮同样不会颠簸，其原理为每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，已知的中心O到三个顶点的距离均为，则这个莱落三角形的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，弧长的计算．连接，，过点作于点，先求，进而得到周长为，再用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， 是等边三角形，中心O到三个顶点的距离均为， ，，且、、三点共圆，为圆心， ，， ， ， ， ， ， 每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长， 这个莱落三角形的周长， 故选：B． 【变式4-2】如图，的两条高线AD、BE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF垂直BC于F，OH与AF相交于G，则与面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理，三角形中位线性质，相似三角形的判定与性质，掌握垂径定理、三角形中位线性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点O作于P，连接，可得P为中点，根据、、可得是中位线且，从而得出，根据得，由相似三角形的性质即可知答案． 【详解】解：如图，过点O作于P，连接， ∴P为中点， ∵， ∴，即， 又∵，且， ∴，且F为中点， ∴、， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式4-3】已知内接于，，点D是上一点，则下列命题正确的是（    ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若平分，则 D．若平分，则四边形的面积 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理及其推论、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练运用相关知识时解决问题的关键．根据垂径定理的推论即可判定选项A；画出图形即可判定选项B；延长至点F，使得，连接，证明，是等腰直角三角形，即可得到．所以选项C错误；根据选项C的结论即可判定选项D． 【详解】解：A、平分，如图1， 当为直径时，与不一定垂直，选项A不正确； B、如图2， ， ∴平分， ，得不到， 不一定平分， 则B不正确； C、如图3，延长至点F，使得，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故C错误； D、， 四边形的面积， 是等腰直角三角形， ， 四边形的面积，故D正确． 故选：D． 【题型5 垂径定理的推论】 【例5】下列命题中真命题是（     ） A．一个角的补角一定大于这个角 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．等边三角形是中心对称图形 D．平分弦的直径垂直于弦 【答案】B 【详解】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，例如的角，其补角为，，则此项是假命题； B、平行于同一条直线的两条直线平行，则此项是真命题； C、等边三角形旋转后无法与原图形重合，不是中心对称图形，则此项是假命题； D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，则此项是假命题． 【变式5-1】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　） A． B．3m C． D．4m 【答案】C 【分析】先根据垂径定理的逆定理得出，再根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵点M是的中点，且经过点O，， ∴， ∴． 设半径为r，则，根据勾股定理，得 ， 解得， 所以半径为． 【变式5-2】如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得、 ，，无法得到，，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接、， ∵是的直径，为弦，于点， ∴，，， ∴，， ∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意， 无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意． 故选：B． 【变式5-3】如图，为的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，掌握相关知识是解题的关键．先根据为的直径，，得到，则，再根据圆周角定理得到，进而即可求解． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【题型6 垂径定理的实际应用】 【例6】如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 【变式6-1】《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 【答案】D 【分析】设的半径为r，在中， ，则有，解方程可得r，进而确定直径． 【详解】解：设的半径为r， ∵， ∴， 在中， ， 则有， 解得， ∴圆形木材的直径是为10寸． 【变式6-2】花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，连接，根据矩形的性质和垂径定理求得的值，通过构建直角三角形，利用勾股定理进行计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接，如图： 根据题意可得：四边形是矩形，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴，， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得， ∴拱门最高点到地面的距离是． 【变式6-3】赵州桥（图①）建于年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形．如图②，桥的跨度（弧所对的弦长），拱高（弧的中点到弦的距离），则赵州桥桥拱所在圆的半径约为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理列方程求解半径是解题的关键． 先根据垂径定理求出，再结合拱高用勾股定理列出关于半径的方程，最后解方程即可得到圆的半径． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 解得． 故选：B． 【题型7 圆心角概念及简单运算】 【例7】如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：，都是的半径， ， ， ， 所对的圆心角等于． 【变式7-1】如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是圆心角，不符合题意； B、不是圆心角，不符合题意； C、是圆心角，符合题意； D、不是圆心角，不符合题意． 【变式7-2】如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长． 【详解】解：∵ ，的半径为4， ∴，是直角三角形， ∴， ∴弦的长为． 【变式7-3】如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【例8】在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 【变式8-1】如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先作于，作于，利用“等弦对等弦心距”得出 ，进而判定 平分 并求出 的度数，随后在四边形 中利用内角和算出 ，最后通过证明 实现角度转化，从而求得 的度数． 【详解】如图，作于，作于， 平分 在与中 【变式8-2】如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆内接四边形对角互补结合已知角度关系求出的度数，再根据等弧对等弦判定为等腰三角形，最后计算得到的度数． 【详解】∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 【变式8-3】如图，是的半径，分别以点A、点O为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接是上不与点重合的点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，证明为等边三角形，可得，根据弧、圆心角的关系求出，再由圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接， 作图知垂直平分， ∴，弧弧， 为等边三角形， ， 弧弧， ， ． 【题型9 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【例9】如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 【变式9-1】观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的圆心角、弧、弦的相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．根据圆的圆心角、弧、弦的相关知识逐一分析即可解答． 【详解】解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，两条弧相等，所对弦相等，故B选项正确，符合题意； C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则，故C选项错误，不符合题意； D、因为不是圆心角，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式9-2】如图，平行四边形，，，以点为圆心，为半径画弧，分别交、于，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，圆心角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，根据平行四边形的性质得到，，得到，求出，可证明是等边三角形，继而得到得出阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 弓形面积弓形面积， 阴影部分的面积， 故选：A 【变式9-3】如图，中，，是的外接圆，的延长线交边于点．若，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接并延长，交于点H，过点A作，交的延长线于点E，根据垂径定理得出，，证明，得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，求出结果即可． 【详解】解：连接并延长，交于点H，过点A作，交的延长线于点E，如图所示：    ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 根据勾股定理得：， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理推理，圆周角和弦的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定和性质． 【题型10 求圆弧的度数】 【例10】如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 【变式10-1】如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，作辅助线是解答本题的关键． 作D关于的对称点E，连接，则，然后再根据的度数为知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，即可解答． 【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接，则, ∵的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 【变式10-2】已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了考查了圆的有关性质，等腰三角形的有关性质，平行线的性质，根据题意画图分情况分析即可，熟练掌握知识点的应是解题的关键． 【详解】如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 综上可知：的度数是或， 故选：． 【变式10-3】如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 【答案】C 【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的度数20°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键． 【题型11 圆周角的概念及简单运算】 【例11】下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据圆周角的定义，选项C中的为圆周角． 【变式11-1】下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义，可以判断哪个选项是正确的． 【详解】解：∵顶点在圆上，角的两条边都与圆相交的角叫做圆周角， ∴选项A、C、D中的角不是圆周角，选项B中的角是圆周角． 【变式11-2】图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．角的顶点在圆上，角的两边是圆的两条弦，这样的角是圆周角． 【详解】解：根据圆周角的定义，只有A选项符合， 故选：A． 【变式11-3】．如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设半圆的半径为，则，圆心到点的距离，利用勾股定理列方程，解方程求半径，求的长度． 【详解】解：设半圆的半径为，则，圆心到点的距离， ， ， 连接， ， ∴是直角三角形， 根据勾股定理： ， 代入已知，得： ， 解得，， ， ∴． 故答案为：B． 【题型12 圆周角定理】 【例12】如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式12-1】如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，先利用圆心角与弦、弧的关系求出，再由圆周角定理可得，结合三角形内角和定理可得．容易判断和是等边三角形，则，作差求出即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵弦， ∴， 又∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式12-2】已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用三线合一求得圆心角的度数，再分点在优弧、劣弧两种情况，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质计算的度数. 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 当点在优弧上时，. 当点在劣弧上，如图点的位置时，. 【变式12-3】如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用菱形性质得到，结合半径相等推导出、为等边三角形，求出圆心角，再依据圆周角定理求出． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 【题型13 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例13】如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 【变式13-1】如图，，，是的直径，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和求出，再根据直径得到，求出，根据圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式13-2】如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，求解即可； 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【变式13-3】如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直径所对的圆周角等于求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型14 半径（直径）所对的圆周角是直角】 【例14】如图，是的直径，是上一点，若，，则的长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先利用直径所对的圆周角为直角确定为直角三角形，再结合角的性质与勾股定理计算的长度． 【详解】解：∵是的直径，点C在上， ∴，即是直角三角形． 在中，， ∴， ∴． 【变式14-1】如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式14-2】如图，是的外接圆，为的直径，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理，得， 则，求解即可； 【详解】解：连接， ∵与都对， ∴， ∵为的直径， ∴ 在中，，， 根据勾股定理得：， 则； 【变式14-3】如图①，点A，B是上两定点，且，圆上一动点P从点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A．设运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图②中m的值是（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系． 先由图象得最大值为直径，求出圆半径和点运动速度，再根据时为等边三角形，算出点转过的角度，最后求时间． 【详解】解：从图②可知，线段的长度的最大值为 当点运动到点的对径点时，的长度达到最大，等于圆的直径 因此，圆的直径为，半径 点从点出发，运动到点的对径点时，用时2秒 已知 点从点逆时针运动到的对径点，转过的圆心角为 所以，点的运动速度为： 从图②可知，当时， 因为圆的半径 ，所以此时 因此，是一个等边三角形 所以， 点从点出发，逆时针运动到点（使得 ），它转过的总角度是 根据图②，的值在2的右侧，说明点已经经过了的对径点，正在向点运动 所以点位于点的另一侧 因此，点转过的总角度为： 计算时间： 所以，的值是． 故选：C． 【题型15 90度的圆周角所对的弦是直径】 【例15】如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，且，则线段的长不可能为（     ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意可得，从而得到点F在以为直径的半圆上运动，设的中点为O，以为直径画圆，连接， 设与圆O交于点，则圆O的半径为，则当点F与点重合时，线段最小，最小值为，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， 如图，设的中点为O，以为直径画圆，连接， 设与圆O交于点，则圆O的半径为， ∴当点F与点重合时，线段最小，最小值为， 在中，，， ∴， 即的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值大于，故A选项符合题意． 【变式15-1】如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，最短，再进一步求解即可． 【详解】解： 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在上运动， 由题意知：当B、P、O三点共线时，最短，而， ， ∵， ， ∴的长度最小值为． 故选：B 【变式15-2】在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点C在上或其内部，且，则称点C是弦的“可及点”．如图，点，．若点C是弦的“可及点”，则点C的横坐标的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】取中点为H，连接，可确定点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），当轴时，点C横坐标最大，可求，故点C的横坐标的最大值为． 【详解】解：取中点为H，连接， ∵， ∴， ∴点C在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B）， ∴当点轴时，点C横坐标最大， ∵，， ∴， ∴， ∵点，， ∴， ∴此时， ∴点C的横坐标的最大值为， 故选B． 【点睛】本题考查了新定义，圆周角定理，勾股定理，直角三角形斜边的中线，正确添加辅助线是解题的关键． 【变式15-3】图是用制作的表盘模型，其中点，分别与整钟点“时”，“时”重合，要使，则点应位于（    ）    A．“时”处 B．“时”处 C．“时”处 D．“时”处 【答案】B 【分析】本题主要考查了的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握的圆周角所对的弦是直径是解题的关键，根据的圆周角所对的弦是直径求解即可。 【详解】解：如图，连接，，    ∵， ∴是的直径，即 ∵点，与整钟点“时”重合， ∴点应位于“时”处， 故选： 【题型16 已知圆内接四边形求角度】 【例16】下列命题是假命题的是（     ） A．正五边形的内角和为 B．矩形的对角线相等 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．圆内接四边形的对角互补 【答案】C 【分析】直接利用垂径定理的推论以及五边形的内角和定理、矩形的性质、圆内接四边形的性质分别判断得出答案． 【详解】解：A、正五边形的内角和为，是真命题，故此选项不合题意； B、矩形的对角线相等，是真命题，故此选项不合题意； C、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，是假命题，故此选项符合题意； D、圆内接四边形的对角互补，是真命题，故此选项不合题意． 【变式16-1】．如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式16-2】如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用圆内接四边形的性质和的度数求得的度数，然后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴． 【变式16-3】．如图，已知四边形内接于，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， 与是同弧所对的圆心角与圆周角， ． 【题型17 求四边形外接圆的直径】 【例17】如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、，先根据等腰三角形的性质得到，，由于根据圆周角定理得到点A和点M都在以为直径的圆上，所以． 【详解】解：如图，连接、、， ∵，而为的中点， ∴，平分，即， ∵， ∴点和点都在以为直径的圆上， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理和等腰三角形性质，熟练掌握各个定理是解题的关键． 【变式17-1】如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论； 【详解】解：连接BD， ∵ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A ∵ ∴ ∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120° ∵ ∴△CBE为等边三角形 ∴∠BCE＝∠A=60°， ∵点C为的中点， ∴∠CDB＝∠DBC=30° ∴∠ABD=90°，∠ADB=30° ∴AD为直径 ∵AB=2 ∴AD=2AB=4 ∴的面积是= 故答案选：D 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键． 【变式17-2】如图，已知为四边形的外接圆，，，则的半径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆内接四边形对角互补可得，根据一个角是的等腰三角形是等边三角形，可得是同圆中的内接正三角形，延长AO交圆于点E，，，计算出圆的直径，从而得到半径的长． 【详解】解：如图，连接BD，延长AO交圆于点E，连接ED， ∵为四边形的外接圆，， ∴， ∵， ∴的内接是等边三角形（一个角是的等腰三角形是等边三角形）， ∴的角平分线经过圆心， ∴， ∵AE是直径， ∴（直径所对圆周角是），是直角三角形； ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求四边形外接圆的半径，圆内接四边形对角互补，等边三角形性质，圆的基本性质，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题关键． 【变式17-3】如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 【探究式学习】 1．【定义】如图1，是的直径，平移直径得到平行四边形，当对边的中点M落在圆上时，我们称这个平行四边形是的“环中点平四”． (1)【探究1】求证： (2)【应用】在（探究1）的条件下，当点C落在上时，且，求平行四边形的面积． (3)【探究2】如图2，在正方形中，，以为直径作，平移直径得到线段，当平行四边形是的“环中点平四”时，直接写出的最大值． 【答案】(1)证明：如图，连接， 四边形是平行四边形， ，， M 是中点，O是中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 落在圆上， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）连接，先证明四边形是平行四边形，可得 ，进而可证得结论； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，结合勾股定理和（1）中的结论，求得，即可求解； （3）利用探究（1）的结论可知点在以点为圆心，半径为3的圆上，然后根据正方形的性质和勾股定理求得即可解答． 【详解】（1）略 （2）解： 如图，连接， 点C落在圆上，是直径， ， 由（1）可知， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴平行四边形的面积； （3）解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵平行四边形是的“环中点平四”， ∴由（1）可知，， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为3的圆上（不包括点），如图所示， ∴当点在同一直线上，且在线段上时，取得最大值， 最大值为． 2．综合与实践： “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．    探究展示： 如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，    则，（依据 ， ， 点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上，（依据 点，，，四点在同一个圆上； 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号） 依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补； ②对角互补的四边形四个顶点共圆； ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上； （2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为______．    【答案】（1）①，③（2） 【分析】（1）根据探究展示过程和圆的性质，确定圆的条件填空即可； （2）作过，，的，在劣弧上取点，连接，，由，可得，故，有，，，共圆，即在过，，的上，即知，，，，共圆，从而． 【详解】解：（1）由探究展示过程可知，的依据是：①圆内接四边形对角互补； 点，在点，，所确定的上的依据是：③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 故答案为：①，③； （2）作过，，的，在劣弧上取点，连接，，如图：   ， ， ， ， ，，，共圆，即在过，，的上， 在过，，的上， ，，，，共圆， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查四点共圆，解题的关键是读懂阅读材料，掌握圆的相关性质并能灵活运用． 【课后检测】 1．如图，点均在上，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形性质求出圆心角，再利用圆周角定理求解． 【详解】解：， ， ， 与是同弧所对的圆周角与圆心角， ． 2．如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明为等腰直角三角形．设，则，根据勾股定理求得的值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ． 又， ， 为等腰直角三角形． 设，则， 根据题意得：， 即， 解得：，(不符合题意，舍去)， ∴． 3．如图，等腰三角形内接于，，连接、，与相交于点D，已知，，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由等边对等角和圆周角定理得出，，则为等边三角形，从而得到，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：，， ，． ， 为等边三角形． ，． ． ∴． 4．如图，是的外接圆，连接，．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆周角定理得到的度数，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 5．将以点O为中心点的量角器与直角三角板（其中）按如图所示方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点D为斜边上一点，作射线交于点E，若点E所对应的读数为，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据直角三角形斜边上的中线的性质推出点C在上，结合圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，连接、， 由题意，可知，，， ∴， ∴点C在上， ∴， ∴， ∴． 6．下列说法正确的是（） A．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离 B．平分直径的弦会垂直于这条直径 C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．相等的角是对顶角 【答案】A 【详解】解：A、点到直线距离的定义为：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，A说法正确． B、若平分直径的弦不一定垂直于该直径，B说法错误． C、只有同一平面内垂直于同一条直线的两条直线才互相平行，选项未说明该前提，C说法错误． D、相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等，但不属于对顶角，D说法错误． 7．如图，是的内接三角形，，，连接，，则的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，由垂径定理求出，根据圆周角求出圆心角，然后算出，设短直角边为，则斜边即圆的半径为，用勾股定理列方程求解半径． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故的半径是． 8．如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同弧对等角和对顶角相等推出和的度数，最后根据内角和定理即可求出度数． 【详解】解：由图可知，，， ，， ，， ． 9．如图，是⊙的直径，、是⊙上异于、的两点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用等弧转化与的关系，结合题干条件把用表示，再根据圆周角定理得到与的关系式，最后利用求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ∵是⊙的直径，， ， ∴． 10．如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【分析】过O作于E，连接，，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，则可判断是等腰直角三角形，求出的度数，根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可判定是等腰直角三角形，可求出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过O作于F，连接，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 11．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 【答案】30° 【分析】由“圆内接四边形对角互补”得到，由“直径所对的圆周角等于”得到，最后． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ，（圆内接四边形对角互补） 又， ． 是的直径， ， ． 12．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 【答案】26 【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，可得寸，再设出圆的半径为x寸，表示出，最后根据勾股定理建立关于x的方程进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ，且寸， 寸， 设圆O的半径的长为x寸， 寸， 在中， 解得， ， 寸． 13．如图，是的直径，点B，C在上，若，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得，则可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 14．如图，线段是的直径，弦，如果，那么________． 【答案】 【分析】由垂径定理可知，根据同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半即可解答． 【详解】解：是的直径，弦， ， ． 15．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 16．如图，在中，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的数量关系证明是等边三角形，再结合等边三角形性质即可证明． 【详解】略 17．如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）连接，根据垂径定理，以及弧、弦、圆心角之间的关系推出，再结合圆周角定理求解即可； （2）利用勾股定理推出，再结合垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：连接． ∵，且为的半径， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 18．如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∴． (2) 【分析】（1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 19．问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周． (1)问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周： ①作的任意直径； ②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：____________________________________________________________． (2)拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成． 【答案】(1)①作的任意直径，如图： ②过点作的垂线，与相交于，两点，四等分圆周如图所示： 依据：,得到的圆心角,在中，相等的圆心角所对的弧相等，所以得到四段相等的圆弧,故点，，，将四等分． (2)圆周八等分如图所示： 【分析】（1）①过点O作的任意直径；②过点作的垂线，与相交于，两点，此时，得到的圆心角， 根据相等的圆心角所对的弧相等，即可证明四等分． （2）根据（1）的解题思路，相等的圆心角所对的弧相等，所以只需要分别作第一问中四个圆心角的角平分线，形成八个相等的圆心角，得到八段相等的圆弧，即可使圆八等分．具体作法：分别以点B，D为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点M，连接，交于点F，同理，分别以点A，D为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点N，连接，交于点H，再分别以点B，C为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点Q，连接，交于点G，最后分别以点A，C为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点P，连接，交于点E，此时，八个圆心角大小相等，得到八段相等的圆弧，即完成八等分． 【详解】（1）略． （2）略． 20．如图，在中，，，，点为直线右侧一点，连结、，． (1)求线段的长度． (2)当点D落在线段上时，求的长． (3)连结，求面积的最大值． (4)当点D在边上时，点E是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，当点B的对应点落在的角平分线上时，直接写出点到边的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）在中，利用勾股定理即可得到的长度； （2）由得到为直角三角形，利用含的直角三角形的性质求出斜边，再通过勾股定理算出； （3）利用同弦所对的圆周角相等可确定点的轨迹是以为弦的，推导出为等边三角形得到圆半径，算出圆心到直线的距离，得到圆上点到最大距离，结合三角形面积公式求出面积最大值； （4）过点作于点，利用角平分线定义得到，设，由折叠得，在中由勾股定理列出一元二次方程，求解可得到点到边的距离． 【详解】（1）解：， 在中，； （2）解：点在线段上，， ， 如图， 在中，，， ， ； （3）解：，，定弦定角，满足条件的动点的轨迹是圆，设圆心为， 点在以为弦的上， 如图，为的直径，过圆心作于点，延长交于点，点，，，均在上， 同弧所对的圆周角相等， ， ， ， 是等边三角形， ， 的半径为， ， ， 在中，， ， 圆上的点到的最大距离为， 面积为动点到边的距离，， 当点在点处时，面积最大， 面积的最大值为； （4）解：如图，过点作于点， 点在的角平分线上， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）得， 又，Y ， 由折叠得， 设， 当点在点和点中间时，， 当点在点和点中间时，，Y ， ， ， 在中，， ，化简得， ， 或， 点到边的距离为或． 【复盘笔记】 第 2 页 共 77 页 第 1 页 共 77 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题29.2 圆的有关性质 （新教材人教版） 知识点一、垂径定理 2 知识点二、圆周角定理 2 知识点三、弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 3 【题型1 利用垂径定理求值】 3 【题型2 利用垂径定理求平行弦问题】 4 【题型3 利用垂径定理求同心圆问题】 5 【题型4 利用垂径定理求其他问题】 6 【题型5 垂径定理的推论】 7 【题型6 垂径定理的实际应用】 8 【题型7 圆心角概念及简单运算】 9 【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 10 【题型9 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 10 【题型10 求圆弧的度数】 12 【题型11 圆周角的概念及简单运算】 13 【题型12 圆周角定理】 13 【题型13 同弧或等弧所对的圆周角相等】 14 【题型14 半径（直径）所对的圆周角是直角】 15 【题型15 90度的圆周角所对的弦是直径】 16 【题型16 已知圆内接四边形求角度】 17 【题型17 求四边形外接圆的直径】 18 【探究式学习】 20 【课后检测】 22 【复盘笔记】 28 知识点一、垂径定理 1．圆的对称性 圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心． 2．垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 知识点二、圆周角定理 定理 示例 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 如图，． 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 如图，是半圆（AB是直径），则 推论2：圆内接四边形的对角互补． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即． 知识点三、弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系． 1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等． 2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等． 3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条． 【题型1 利用垂径定理求值】 【例1】如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 【变式1-1】如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 【变式1-2】如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，为的直径，弦，连接，若，的半径为6，则的长为（     ） A．6 B． C．3 D． 【题型2 利用垂径定理求平行弦问题】 【例2】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2-1】已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【变式2-2】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【变式2-3】．半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【题型3 利用垂径定理求同心圆问题】 【例3】如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【变式3-1】如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 【题型4 利用垂径定理求其他问题】 【例4】如图，点A，B是上两点，连接，交于点C，垂足为点D，优弧⊥一点E，连接，已知，则的大小为（        ） A． B． C． D． 【变式4-1】生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的莱洛三角形，是由三段相等的圆弧构成，虽然不是圆但是做成滚轮同样不会颠簸，其原理为每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，已知的中心O到三个顶点的距离均为，则这个莱落三角形的周长等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，的两条高线AD、BE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF垂直BC于F，OH与AF相交于G，则与面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知内接于，，点D是上一点，则下列命题正确的是（    ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若平分，则 D．若平分，则四边形的面积 【题型5 垂径定理的推论】 【例5】下列命题中真命题是（     ） A．一个角的补角一定大于这个角 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．等边三角形是中心对称图形 D．平分弦的直径垂直于弦 【变式5-1】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　） A． B．3m C． D．4m 【变式5-2】如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，为的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型6 垂径定理的实际应用】 【例6】如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 【变式6-2】花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】赵州桥（图①）建于年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形．如图②，桥的跨度（弧所对的弦长），拱高（弧的中点到弦的距离），则赵州桥桥拱所在圆的半径约为（    ）． A． B． C． D． 【题型7 圆心角概念及简单运算】 【例7】如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【变式7-1】如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【变式7-3】如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【例8】在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【变式8-1】如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，是的半径，分别以点A、点O为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接是上不与点重合的点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型9 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【例9】如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 【变式9-2】如图，平行四边形，，，以点为圆心，为半径画弧，分别交、于，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，中，，是的外接圆，的延长线交边于点．若，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【题型10 求圆弧的度数】 【例10】如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 【变式10-2】已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【变式10-3】如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 【题型11 圆周角的概念及简单运算】 【例11】下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【变式11-2】图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】．如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 【题型12 圆周角定理】 【例12】如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式12-2】已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式12-3】如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【题型13 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例13】如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】如图，，，是的直径，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式13-3】如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型14 半径（直径）所对的圆周角是直角】 【例14】如图，是的直径，是上一点，若，，则的长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【变式14-1】如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【变式14-2】如图，是的外接圆，为的直径，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式14-3】如图①，点A，B是上两定点，且，圆上一动点P从点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A．设运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图②中m的值是（   ） A． B． C． D．5 【题型15 90度的圆周角所对的弦是直径】 【例15】如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，且，则线段的长不可能为（     ） A． B． C．5 D．6 【变式15-1】如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【变式15-2】在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点C在上或其内部，且，则称点C是弦的“可及点”．如图，点，．若点C是弦的“可及点”，则点C的横坐标的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式15-3】图是用制作的表盘模型，其中点，分别与整钟点“时”，“时”重合，要使，则点应位于（    ）    A．“时”处 B．“时”处 C．“时”处 D．“时”处 【题型16 已知圆内接四边形求角度】 【例16】下列命题是假命题的是（     ） A．正五边形的内角和为 B．矩形的对角线相等 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．圆内接四边形的对角互补 【变式16-1】．如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式16-2】如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式16-3】．如图，已知四边形内接于，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【题型17 求四边形外接圆的直径】 【例17】如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】如图，已知为四边形的外接圆，，，则的半径长为（   ） A． B． C． D． 【变式17-3】如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【探究式学习】 1．【定义】如图1，是的直径，平移直径得到平行四边形，当对边的中点M落在圆上时，我们称这个平行四边形是的“环中点平四”． (1)【探究1】求证： (2)【应用】在（探究1）的条件下，当点C落在上时，且，求平行四边形的面积． (3)【探究2】如图2，在正方形中，，以为直径作，平移直径得到线段，当平行四边形是的“环中点平四”时，直接写出的最大值． 2．综合与实践： “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．    探究展示： 如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，    则，（依据 ， ， 点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上，（依据 点，，，四点在同一个圆上； 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号） 依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补； ②对角互补的四边形四个顶点共圆； ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上； （2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为______．    【课后检测】 1．如图，点均在上，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 2．如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则(     ) A． B． C． D． 3．如图，等腰三角形内接于，，连接、，与相交于点D，已知，，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 4．如图，是的外接圆，连接，．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．将以点O为中心点的量角器与直角三角板（其中）按如图所示方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点D为斜边上一点，作射线交于点E，若点E所对应的读数为，则的大小为（     ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（） A．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离 B．平分直径的弦会垂直于这条直径 C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．相等的角是对顶角 7．如图，是的内接三角形，，，连接，，则的半径是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（     ）    A． B． C． D． 9．如图，是⊙的直径，、是⊙上异于、的两点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 11．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 12．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 13．如图，是的直径，点B，C在上，若，则的度数为____________． 14．如图，线段是的直径，弦，如果，那么________． 15．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 16．如图，在中，，．求证：． 17．如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 18．如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 19．问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周． (1)问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周： ①作的任意直径； ②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：____________________________________________________________． (2)拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成． 20．如图，在中，，，，点为直线右侧一点，连结、，． (1)求线段的长度． (2)当点D落在线段上时，求的长． (3)连结，求面积的最大值． (4)当点D在边上时，点E是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，当点B的对应点落在的角平分线上时，直接写出点到边的距离． 【复盘笔记】 第 2 页 共 77 页 第 1 页 共 77 页 学科网（北京）股份有限公司 $