14.1全等三角形及其性质 同步讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦“全等三角形及其性质”核心知识点，从全等图形概念切入，通过平移、翻折、旋转变换理解全等三角形定义，系统梳理对应顶点、边、角识别方法及“对应边相等、对应角相等”等性质，构建从概念到性质再到应用的递进学习支架。 资料以8类题型（概念辨析、性质应用等）和A/B/C分层训练为特色，结合图形变换培养几何直观（数学眼光），通过推理题提升逻辑推理能力（数学思维），规范符号语言与推理表达（数学语言）。课中辅助教师精准授课，课后助力学生分层巩固，有效查漏补缺。

14.1全等三角形及其性质 学习目标和重难点 1、经历图形平移、翻折、旋转等变换过程，理解全等形及全等三角形的概念，能准确识别并规范表示对应顶点、对应边和对应角。 2、掌握全等三角形的性质，体会“对应思想”，并能运用“对应边相等、对应角相等”进行简单的几何推理与计算。 教学重点 1、全等三角形的定义及符号语言（“≌”）的规范书写。 2、全等三角形“对应边相等、对应角相等”的核心性质。 教学难点 1、在复杂图形（特别是经过旋转、翻折变换后）中准确寻找并识别对应元素。 2、将全等三角形的性质转化为规范的几何推理语言（即“因为全等，所以对应边/角相等”的逻辑表达）。 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 全等三角形的概念 题型2 由全等三角形的性质判断正误 题型3 由全等三角形的性质求角度 题型4 由全等三角形的性质求线段长度 题型5 由全等三角形的性质求周长 题型6 由全等三角形的性质求面积 题型7 由全等三角形的性质证明结论 题型8 分割全等三角形 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 教材◆核心知识 知识点01 全等图形 （1）形状相同：两个图形的对应的角度、边数等几何结构完全一致，没有任何形状上的差异。 （2）大小相等：两个图形的所有对应线段长度相等，对应角的度数相等，面积、周长等度量值也完全相同。 【针对训练】 1、下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2、下列各组图形中是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 3、下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 知识点02 全等三角形及其相关概念 1. 全等三角形的概念： 形状 和 大小 完全一样的两个三角形叫做全等三角形。即能够 完全重合 的两个三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的相关概念： 如图，若△ABC与△DEF全等。则其中： 能够重合的点叫做全等三角形的 对应点 。 能够重合的边叫做全等三角形的 对应边 。 能够重合的角叫做全等三角形的 对应角 。 用符号“≌”连接，读作 全等于 。表示 △ABC≌△DEF 。对应点必须写在对应的位置。 【针对训练】 1、如图，已知△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角． 知识点03 全等三角形的性质 1. 全等三角形的性质： 由全等三角形的性质及其相关概念可知： ①全等三角形的对应边 相等 。对应角也 相等 。 ②全等三角形对应边上的中线、高线、角平分线分别 对应相等 。 ③全等的两个三角形它们的周长和面积分别 对应相等 。 【针对训练】 1、如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（　　） A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD 2、已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（　　） A．50° B．58° C．60° D．72° 3、如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5cm，BF＝7cm，则EC长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 题型解析◆精准备考 【题型1 全等三角形的概念】 【典例1】如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 【题型2 由全等三角形的性质判断正误】 【典例1】如图，点A在直线l上，△ABC与关于直线l对称，连接，分别交AC，于点D，，连接，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在与中，．若，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【题型3 由全等三角形的性质求角度】 【典例1】如图，，且，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知图中两个三角形全等，则的度数是 ． 【题型4 由全等三角形的性质求线段长度】 【典例1】如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ． 【变式1】如图，已知（与，与分别对应），，，则的值为 ． 【题型5 由全等三角形的性质求周长】 【典例1】如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 【变式1】如图， ， 的周长为，且，则 的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【题型6 由全等三角形的性质求面积】 【典例1】如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ． 【变式1】如图，若，且，则阴影部分的面积 ．    【题型7 由全等三角形的性质证明结论】 【典例1】如图所示，已知于D． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)已知，求的长． 【变式7-1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，，． (1)求的度数与的长； (2)求证：． 【题型8 分割全等三角形】 【典例1】你能把一个等边三角形分成2个、3个、4个、6个全等三角形吗？在图中分别画出分割图形． 【变式1】如图：网格中每个小正方形的边长均为1，等腰的三个顶点在小正方形的顶点上，按要求完成以下问题： 在图中，用一条线段将分成2个全等的直角三角形； 1．若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，若，且，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 3．在中若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．13 4．已知下图中的两个三角形全等，其中的字母表示三角形的边长，则 的度数是（   ） A． 或 B． C． D． 5．如图，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，与交于点，已知△△，，，则的度数为______． 7．如图，已知，，，则的度数为______． 8．如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 9．如图，已知，点、为对应点，，则这两个三角形的对应边是_________与_________，_________与_________，_________与_________；对应角是_________与_________，_________与_________，_________与_________． 10．如图，，写出其中相等的角． 11．如图，，，，延长交于点，交于点．试说明． 12．如图，，点C在线段上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 13．如图，若，，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 14．如图，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在中，于点D、E是上一点，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 16．下列四组图形中，是全等图形的是（    ） A．B．C． D． 17．如图，已知，且，，则的长为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 18．如图，，的延长线经过点且交于点．，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 19．如图，在长方形中，，，点从点出发，以2个单位/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以个单位/秒的速度沿向点运动，设运动时间为秒，在运动过程中，当与全等时的值为（   ） A．3或 B．2或3 C．2或 D．或 20．与的位置如图所示，点、、在同一条直线上，点在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 21．如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为________米． 22．在中，，，点D为的中点．如果点P在线段上由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向A点运动．则当_______时，以点B，P，D为顶点的三角形与全等． 23．如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长度：______； (2)若与全等（其中与为对应角），求a的值． 24．如图，直角坐标系中O为原点，点A、B的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)_____， ； (2)当的面积等于6时，求t的值； (3)过P作垂直于直线交于点D，交y轴于Q．在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.1全等三角形及其性质 学习目标和重难点 1、经历图形平移、翻折、旋转等变换过程，理解全等形及全等三角形的概念，能准确识别并规范表示对应顶点、对应边和对应角。 2、掌握全等三角形的性质，体会“对应思想”，并能运用“对应边相等、对应角相等”进行简单的几何推理与计算。 教学重点 1、全等三角形的定义及符号语言（“≌”）的规范书写。 2、全等三角形“对应边相等、对应角相等”的核心性质。 教学难点 1、在复杂图形（特别是经过旋转、翻折变换后）中准确寻找并识别对应元素。 2、将全等三角形的性质转化为规范的几何推理语言（即“因为全等，所以对应边/角相等”的逻辑表达）。 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 全等三角形的概念 题型2 由全等三角形的性质判断正误 题型3 由全等三角形的性质求角度 题型4 由全等三角形的性质求线段长度 题型5 由全等三角形的性质求周长 题型6 由全等三角形的性质求面积 题型7 由全等三角形的性质证明结论 题型8 分割全等三角形 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 教材◆核心知识 知识点01 全等图形 （1）形状相同：两个图形的对应的角度、边数等几何结构完全一致，没有任何形状上的差异。 （2）大小相等：两个图形的所有对应线段长度相等，对应角的度数相等，面积、周长等度量值也完全相同。 【针对训练】 1、下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误； B、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误； C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误； D、两个图形能够完全重合，故本选项正确． 故选：D． 2、下列各组图形中是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A．是全等图形，符合题意； B．钝角三角形和直角三角形，形状不同，不是全等图形，不符合题意； C．两个圆大小不同，不是全等图形，不符合题意； D．两个正方形大小不同，不是全等图形，不符合题意； 故选：A． 3、下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 【答案】B 【解答】解：全等的两个图形是①和③， 故选：B． 知识点02 全等三角形及其相关概念 1. 全等三角形的概念： 形状 和 大小 完全一样的两个三角形叫做全等三角形。即能够 完全重合 的两个三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的相关概念： 如图，若△ABC与△DEF全等。则其中： 能够重合的点叫做全等三角形的 对应点 。 能够重合的边叫做全等三角形的 对应边 。 能够重合的角叫做全等三角形的 对应角 。 用符号“≌”连接，读作 全等于 。表示 △ABC≌△DEF 。对应点必须写在对应的位置。 【针对训练】 1、如图，已知△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角． 【答案】对应边是BC和EF，AB和DE，AC和DF；对应角是∠ABC和∠DEF，∠ACB和∠DFE，∠BAC和∠EDF． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点， ∴这两个三角形的对应边是：BC和EF，AB和DE，AC和DF； 对应角是：∠ABC和∠DEF，∠ACB和∠DFE，∠BAC和∠EDF． 知识点03 全等三角形的性质 1. 全等三角形的性质： 由全等三角形的性质及其相关概念可知： ①全等三角形的对应边 相等 。对应角也 相等 。 ②全等三角形对应边上的中线、高线、角平分线分别 对应相等 。 ③全等的两个三角形它们的周长和面积分别 对应相等 。 【针对训练】 1、如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（　　） A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD 【答案】A 【解答】解：∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE， ∴BE＝CD，B成立，不符合题意； ∠ADB＝∠AEC， ∴∠ADE＝∠AED，C成立，不符合题意； ∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAD，D成立，不符合题意； AC不一定等于CD，A不成立，符合题意， 故选：A． 2、已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（　　） A．50° B．58° C．60° D．72° 【答案】A 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴α＝50°． 故选：A． 3、如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5cm，BF＝7cm，则EC长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴EF＝BC＝5cm， ∵BF＝7cm，BC＝5cm， ∴CF＝7﹣5＝2（cm）， ∴EC＝EF﹣CF＝3cm， 故选：C． 题型解析◆精准备考 【题型1 全等三角形的概念】 【典例1】如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【详解】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等图形、全等三角形的定义等知识点，掌握全等形的概念是解题的关键． 根据全等形的概念以及全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意； D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意． 故选：B． 【题型2 由全等三角形的性质判断正误】 【典例1】如图，点A在直线l上，△ABC与关于直线l对称，连接，分别交AC，于点D，，连接，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用轴对称的性质和全等三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：与关于直线对称， ，，，，， ，，即选项A、B正确； 由轴对称的性质得：， ，即，选项C正确； 由轴对称的性质得：，但不一定等于，即选项D不一定正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 【变式1】如图，在与中，．若，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据证明，再根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴（）， ∴，，， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【题型3 由全等三角形的性质求角度】 【典例1】如图，，且，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理以及三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】如图，已知图中两个三角形全等，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．由三角形内角和及全等的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， 已知图中的两个三角形全等， ， 所以的度数为． 故答案为：． 【题型4 由全等三角形的性质求线段长度】 【典例1】如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，根据全等三角形的性质得到，再根据图形面积之间的关系可得，设点P到线段和线段的距离分别为，连接，根据三角形面积计算公式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积比的面积大25， ∴， 设点P到线段和线段的距离分别为，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点到线段和线段的距离之和为， 故答案为：． 【变式1】如图，已知（与，与分别对应），，，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 【题型5 由全等三角形的性质求周长】 【典例1】如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故答案为：． 【变式1】如图， ， 的周长为，且，则 的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得出的周长为．由全等三角形的性质得出的周长为，进而得出的周长的周长即可． 【详解】解：∵ ，的周长为， ∴的周长为，， ∴的周长 的周长 ． 故选：A． 【题型6 由全等三角形的性质求面积】 【典例1】如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了全等三角形的性质、与三角形中线有关的面积的计算，由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】如图，若，且，则阴影部分的面积 ．    【答案】16 【分析】根据“全等三角形的对应边相等”推知，然后结合三角形的面积公式作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∴． 故答案为：16． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形的面积，熟记知识点是关键． 【题型7 由全等三角形的性质证明结论】 【典例1】如图所示，已知于D． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)已知，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练应用全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据垂线的定义得到，由全等三角形的性质得到，据此可利用三角形内角和定理证明，据此可得结论； （2）根据全等三角形的性质可得，，从而求得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，即。 （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，已知，，，，． (1)求的度数与的长； (2)求证：． 【答案】(1)，6 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能根据全等三角形的性质得出，，，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，难度适中． （1）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，，即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 【题型8 分割全等三角形】 【典例1】你能把一个等边三角形分成2个、3个、4个、6个全等三角形吗？在图中分别画出分割图形． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形、等边三角形、中线等知识根据要求画出图形即可． 【详解】解：如图所示，能分成两个、三个、四个、六个全等的三角形． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计，重点考查了全等三角形、等边三角形、中线线等知识，理解相关知识，熟知等边三角形性质并根据要求灵活应用是解题关键． 【变式1】如图：网格中每个小正方形的边长均为1，等腰的三个顶点在小正方形的顶点上，按要求完成以下问题： 在图中，用一条线段将分成2个全等的直角三角形； 【答案】见详解 【详解】解：依题意，如图所示：即为所求， 1．若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 2．如图，若，且，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选A． 3．在中若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．13 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，利用全等三角形对应边相等的性质，结合题目中给出的对应顶点关系找到对应边即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边， 又∵， ∴， 故选：A． 4．已知下图中的两个三角形全等，其中的字母表示三角形的边长，则 的度数是（   ） A． 或 B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 观察两个三角形的对应情况，直接求解即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴， 故选：C． 5．如图，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ． 故选：A． 6．如图，与交于点，已知△△，，，则的度数为______． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【详解】解：△△，，， ． 7．如图，已知，，，则的度数为______． 【答案】/100度 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 8．如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】由全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ． 9．如图，已知，点、为对应点，，则这两个三角形的对应边是_________与_________，_________与_________，_________与_________；对应角是_________与_________，_________与_________，_________与_________． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，结合已知条件及对应点、对应角的关系，确定对应顶点，进而写出对应边和对应角． 【详解】解：∵，点、为对应点，， ∴对应顶点为：点与点，点与点，点与点， 这两个三角形的对应边是：与，与，与； 对应角是：与，与，与． 10．如图，，写出其中相等的角． 【答案】，，， 【知识点】全等三角形的性质 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴. 11．如图，，，，延长交于点，交于点．试说明． 【答案】 解：， ， ， ， ， ， ． 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质可知，进而得到，根据三角形内角和定理可得，即可证明． 【详解】略 12．如图，，点C在线段上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，，根据内角和定理得到． 【详解】解： 、 故选：B． 13．如图，若，，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，通过全等三角形得到对应边相等是解题的关键． 首先根据全等三角形得到，，即可求解的长． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 14．如图，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由全等三角形的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 15．如图，在中，于点D、E是上一点，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质，可得，再根据周长为，即可求解． 【详解】解：， ， ， 则的周长为． 故选：D． 16．下列四组图形中，是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形． 根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案． 【详解】解：A、大小不等，不是全等图形，故此选项不合题意； B．形状不同，不是全等图形，故此选项不合题意； C．形状相同，大小相等，旋转后能够完全重合，是全等图形，故此选项符合题意； D．形状不同，不是全等图形，故此选项不合题意； 故选：C． 17．如图，已知，且，，则的长为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质 【详解】解：， ， ． 18．如图，，的延长线经过点且交于点．，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用邻补角互补求角度、对顶角相等、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】利用邻补角的性质得，利用三角形内角和定理及对顶角的性质得，利用全等三角形的性质得，再根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．如图，在长方形中，，，点从点出发，以2个单位/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以个单位/秒的速度沿向点运动，设运动时间为秒，在运动过程中，当与全等时的值为（   ） A．3或 B．2或3 C．2或 D．或 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】解：当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2或． 20．与的位置如图所示，点、、在同一条直线上，点在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质可得，，进而根据三角形的内角和定理求出，最后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：，，， ，， ， 平分， ． 21．如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为________米． 【答案】或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】设秒时，和全等，则米，米，米，再分两种情况：①，②，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：设秒时，和全等，则米，米， ∵米， ∴米， ∵射线，射线， ∴， 则分以下两种情况： ①当时， ∴，， ∴， 解得， ∴（米）； ②当时， ∴，， ∴， 解得， ∴（米）； 综上，线段的长度为32米或60米． 22．在中，，，点D为的中点．如果点P在线段上由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向A点运动．则当_______时，以点B，P，D为顶点的三角形与全等． 【答案】2或4 【知识点】等边对等角、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，然后分两种情况讨论：当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴， ∵在中，， ∴， 当时，，， ∵， ∴； 当时， ∴． 故答案为：2或4． 23．如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长度：______； (2)若与全等（其中与为对应角），求a的值． 【答案】(1) (2)或2 【知识点】列代数式、动点问题（一元一次方程的应用）、全等三角形的性质 【分析】（1）根据题意，可知，线段的和差关系表示出即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∴． （2）解：∵，点D为的中点， ∴． 由题意可知，，． 当与全等时，分以下两种情况： 当时，，， ∴，． 解得，． 当时，，， ∴，． 解得，． 综上所述，a的值为或2． 24．如图，直角坐标系中O为原点，点A、B的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)_____， ； (2)当的面积等于6时，求t的值； (3)过P作垂直于直线交于点D，交y轴于Q．在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，t的值为或 【知识点】已知点所在的象限求参数、绝对值非负性、有理数的乘方运算、全等三角形的性质 【分析】（1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出、即可； （2）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算； （3）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：，，， ∴， ，， 解得，； （2）解：由（1）可得， ∴，， 当点在线段上时，， ∵的面积等于6， ∴， 解得； 当点在线段的延长线上时，则， ∵的面积等于6， ∴， 解得， 综上所述，t的值为2或10； （3）解：如图，当点在线段上时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， ，即， 解得； 如图，当点在线段的延长线上时， 同理可得， ，即， 解得； 综上所述，存在，t的值为3或9． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $