专题14.1 全等三角形及其性质 同步精讲义 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦全等三角形及其性质核心知识点，先梳理全等图形的定义与性质（形状相同、大小相等），再过渡到全等三角形的概念（对应顶点、边、角及表示方法），最后落实全等三角形的性质（对应边、角相等，延伸高、中线等），构建从图形到三角形、从概念到性质的学习支架。 资料设计亮点突出，含思维导图助力几何直观，题型讲练融入动态动点问题（如点运动使三角形全等）培养推理意识，中考真题与分层训练（基础10题、培优10题）兼顾不同层次。课中辅助教师系统授课，课后学生可通过变式练习和真题演练查漏补缺，提升应用意识。

专题14.1 全等三角形及其性质「重点难点同步培优讲义」 （知识梳理+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【人教版数学新教材•八年级上册（第14章 全等三角形） 原卷版】 思维导图 1 知识梳理 2 知识点一 全等图形 2 知识点二 全等三角形 2 知识点三 全等三角形的性质 3 题型讲练 3 题型一 图形的全等 3 题型二 全等三角形的概念 5 题型三 全等三角形的性质 6 中考真题演练 7 难度分层训练 8 【基础夯实】 8 【培优拔高】 11 知识点一 全等图形 全等图形的定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形. 【知识要点】全等图形具有以下两个性质特征 （1）形状相同：两个图形的对应的角度、边数等几何结构完全一致，没有任何形状上的差异。 （2）大小相等：两个图形的所有对应线段长度相等，对应角的度数相等，面积、周长等度量值也完全相同。 如图1，两幅图形形状、大小完全相同，这两幅图形就是全等图形。 图1 知识点二 全等三角形 1. 全等图形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.如图2的两个三角形形状、大小完全相同，这两个三角形就是全等三角形。 图2 2. 全等三角形对应顶点、对应角、对应边 （1） 对应顶点：当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点称为对应顶点; （2） 对应角：两个全等三角形中，由对应顶点出发的角，或重合时互相重叠的角，称为对应角; （3） 对应边：两个全等三角形中，由对应顶点所连接的边，或重合时互相重叠的边，称为对应边. 图3 3. 全等三角形表示方法 （1）表示方法：如果△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，“≌”读作“全等于”； 【知识要点】（1）写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角. （2）如图3，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 知识点三 全等三角形的性质 性质：1.全等三角形对应角相等；2. 全等三角形对应边相等. 数学语言： （已知） （全等三角形对应边相等） （全等三角形对应角相等） 【知识要点】全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 题型一 图形的全等 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，画图并回答下列问题． (1)画 其中，，点C 在y 轴正半轴上，且距离原点1个单位； (2)若点 D 满足 轴， 轴，则点 D 的坐标是 ； (3)若 与 全等，请写出所有满足条件的点 E 的坐标 ． 【变式训练1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 【变式训练3】（2024·山西·模拟预测）如图，边长为的正方形纸片被分成全等的四部分（图），阴影四边形的最短边为，将其重新拼接得到新的正方形（图），则如图小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 题型二 全等三角形的概念 【典例精讲】（25-26八年级上·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，，和是对应角． 在中，是最长边．在中，是最长边，且． (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段及线段的长度． 【变式训练2】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)三角形的面积为______； (3)以为边作与全等的三角形，则可作出______个三角形与全等； 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系xOy中，，，．    (1)在图中作出关于y轴的对称图形； (2)如果要使以点A、B、D（不与点C重合）为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D的坐标． 题型三 全等三角形的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，和交于点G．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ） A．或 B．或2 C．或2 D．或 【变式训练2】（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点从点出发在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在、运动到某处时，有与全等，则此时的长度为______． 【变式训练3】（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，连接、，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．3或6 【真题演练1】（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【真题演练2】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是______． 【真题演练3】（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为______． 【真题演练4】（2025·四川成都·中考真题）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为___________．    【真题演练5】（2026·四川成都·中考真题）如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【基础夯实】 1．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，两个三角形全等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，已知，若，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 3．（2026·山东济南·二模）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法：①三角形中至少有一个内角不小于；②三角形的重心是三角形三条中线的交点；③周长相等的两个圆是全等图形；④到三角形的三条边距离相等的点是三角形三条高的交点．其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，若，，，则的度数是______． 6．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 7．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则______ （用含有t的式子表示）；当与全等时，点的运动速度为________． 8．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，已知线段与相交于点E，且，点F在线段的延长线上，，求证：． 9．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 10．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，已知，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，，的延长线分别交，于点F，G，且，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 4．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为_________． 5．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，，，，如果点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则的值是______． 6．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 7．（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在一条直线上，，，，，．求： (1)的长； (2)的度数． 8．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 9．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点．，，均在格点上，则是格点三角形． (1)在图1中，画出与全等的格点（找到一个即可，且点不与重合）； (2)在图2中，画出与面积相等，但不与全等的格点； (3)在图3中，只用无刻度的直尺作出边上的高． 10．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.1 全等三角形及其性质「重点难点同步培优讲义」 （知识梳理+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【人教版数学新教材•八年级上册（第14章 全等三角形） 解析版】 思维导图 1 知识梳理 2 知识点一 全等图形 2 知识点二 全等三角形 2 知识点三 全等三角形的性质 3 题型讲练 3 题型一 图形的全等 3 题型二 全等三角形的概念 7 题型三 全等三角形的性质 11 中考真题演练 15 难度分层训练 18 【基础夯实】 18 【培优拔高】 23 知识点一 全等图形 全等图形的定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形. 【知识要点】全等图形具有以下两个性质特征 （1）形状相同：两个图形的对应的角度、边数等几何结构完全一致，没有任何形状上的差异。 （2）大小相等：两个图形的所有对应线段长度相等，对应角的度数相等，面积、周长等度量值也完全相同。 如图1，两幅图形形状、大小完全相同，这两幅图形就是全等图形。 图1 知识点二 全等三角形 1. 全等图形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.如图2的两个三角形形状、大小完全相同，这两个三角形就是全等三角形。 图2 2. 全等三角形对应顶点、对应角、对应边 （1） 对应顶点：当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点称为对应顶点; （2） 对应角：两个全等三角形中，由对应顶点出发的角，或重合时互相重叠的角，称为对应角; （3） 对应边：两个全等三角形中，由对应顶点所连接的边，或重合时互相重叠的边，称为对应边. 图3 3. 全等三角形表示方法 （1）表示方法：如果△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，“≌”读作“全等于”； 【知识要点】（1）写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角. （2）如图3，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 知识点三 全等三角形的性质 性质：1.全等三角形对应角相等；2. 全等三角形对应边相等. 数学语言： （已知） （全等三角形对应边相等） （全等三角形对应角相等） 【知识要点】全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 题型一 图形的全等 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，画图并回答下列问题． (1)画 其中，，点C 在y 轴正半轴上，且距离原点1个单位； (2)若点 D 满足 轴， 轴，则点 D 的坐标是 ； (3)若 与 全等，请写出所有满足条件的点 E 的坐标 ． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 、、 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意先得到点，然后在坐标系中描点、连线即可； （2）根据平面直角坐标系中点的坐标特点进行解题； （3）根据图形全等的性质，即对应边相等，结合网格的特点，找到点E进行解题． 【规范解答】（1）解：由题意知，， 如图所示，即为所求： （2）解：∵轴，轴， ∴点的纵坐标与的纵坐标相同，为1；点的横坐标与的横坐标相同，为2； ∴； 故答案为：． （3）解：如图，满足条件的点有三个，坐标分别为、、． 故答案为：、、． 【变式训练1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 【答案】A 【思路引导】此题考查了全等图形，根据图示可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形，进而利用全等图形的性质解答即可，解题的关键是根据三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形解答． 【规范解答】解：如图， 由图可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形， ∴，， ∴图中阴影部分小于余下白色部分的面积， 故选：． 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路引导】本题考查了复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键． （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形即可； （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可． 【规范解答】（1）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形， ； （2）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形， ． 【变式训练3】（2024·山西·模拟预测）如图，边长为的正方形纸片被分成全等的四部分（图），阴影四边形的最短边为，将其重新拼接得到新的正方形（图），则如图小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等图形的性质，一元一次方程，设中间小正方形的边长为，由题意可得，然后解方程即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，设中间小正方形的边长为， 由题意可得：， ∴， ∴中间小正方形的面积为， 故选：． 题型二 全等三角形的概念 【典例精讲】（25-26八年级上·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 【答案】 4 13 【思路引导】本题主要考查了新定义的理解，全等三角形的定义， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），先确定符合条件的n的值，再确定最大整数即可. 【规范解答】解：如图所示，中两边长为2和3，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，伴生数不是4，所以n的最大整数是13. 故答案为：4；13. 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，，和是对应角． 在中，是最长边．在中，是最长边，且． (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段及线段的长度． 【答案】(1)其他对应边：和，和；其他对应角：和，和 (2)线段和线段的长度分别为和 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边是解此题的关键． （1）根据，和是对应角可得到两个三角形中对应相等的三边和三角； （2）根据全等三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【规范解答】（1）解：其他对应边：和，和；其他对应角：和，和． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴线段和线段的长度分别为和． 【变式训练2】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)三角形的面积为______； (3)以为边作与全等的三角形，则可作出______个三角形与全等； 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)3 【思路引导】本题考查了画轴对称图形，构造全等三角形，分割法计算三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质，三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）根据轴对称的定义去构图即可． （2）运用分割法计算． （3）利用对称法、构造平行四边形法和同侧共边全等法构造即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得 ． 故答案为：3． （3）解：利用轴对称法、构造平行四边形法，确定全等三角形如下： 共有3个， 故答案为：3． 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系xOy中，，，．    (1)在图中作出关于y轴的对称图形； (2)如果要使以点A、B、D（不与点C重合）为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点D坐标为、、 【思路引导】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据网格特点和全等三角形的判定画出图形，即可得到点D的坐标． 【规范解答】（1）解：如图所示；    （2）如图，满足条件的点D有三个，点D坐标为、、．    【考点剖析】本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质是解答的关键． 题型三 全等三角形的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，和交于点G．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，由等腰三角形的性质得到，由全等三角形的性质推出，判定，推出． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式训练1】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ） A．或 B．或2 C．或2 D．或 【答案】C 【思路引导】此题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分两种情况讨论：①，②，继而可解． 【规范解答】解：设两点所用的时间为，则，，， 中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则，， 则，解得； 若，则 则， 解得， 的值为：或2； 故选：C． 【变式训练2】（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点从点出发在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在、运动到某处时，有与全等，则此时的长度为______． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【规范解答】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长度为或， 故答案为：或． 【变式训练3】（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，连接、，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．3或6 【答案】A 【思路引导】此题考查了全等三角形的判定与性质，长方形的性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．分两种情况进行讨论：①当，时，；②当，时，，然后分别计算出t的值，进而得到a的值． 【规范解答】解：设点P的运动时间为t秒， 依题意，得，，， ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 如果与全等，那么可分两种情况： ①当，时，， ∴，， ∴，， 此时，不符合； ②当，时，， ∴，， 解得，， 综上所述：当a的值为1时，能使与全等． 故选：A． 【真题演练1】（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【规范解答】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 【真题演练2】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是______． 【答案】 【思路引导】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出． 【规范解答】解：∵点在第一象限（不与点重合），且与全等， ∴，， ∴可画图形如下， 由图可知点C、D关于线段的垂直平分线对称，则． 故答案为：． 【真题演练3】（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为______． 【答案】/100度 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【规范解答】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【真题演练4】（2025·四川成都·中考真题）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为___________．    【答案】3 【思路引导】利用全等三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：由全等三角形的性质得：， ∴， 故答案为：3． 【考点剖析】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 【真题演练5】（2026·四川成都·中考真题）如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴． 【基础夯实】 1．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，两个三角形全等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【规范解答】解：∵两个三角形全等，对应的角是边的夹角， ∴． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，已知，若，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【思路引导】根据全等三角形的对应边相等即可得出结果． 【规范解答】解：∵，， ∴． 3．（2026·山东济南·二模）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 4．下列说法：①三角形中至少有一个内角不小于；②三角形的重心是三角形三条中线的交点；③周长相等的两个圆是全等图形；④到三角形的三条边距离相等的点是三角形三条高的交点．其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形相关定义定理和圆的性质根据三角形相关定义定理和圆的性质，逐一判断四个说法的正误，统计正确说法的个数即可得到答案． 【规范解答】解： ① ∵三角形内角和为， 若三个内角都小于，则内角和小于，与三角形内角和定理矛盾， ∴三角形中至少有一个内角不小于， 故①说法是正确； ②根据三角形重心的定义，三角形的重心就是三角形三条中线的交点， 故②说法是正确； ③∵圆的周长，周长相等则半径相等，半径相等的圆能完全重合， 周长相等的两个圆是全等图形， 故③说法是正确； ④到三角形三条边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是三条高的交点， 故④说法是错误； 综上，正确说法共个， 5．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，若，，，则的度数是______． 【答案】/100度 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 【答案】 【规范解答】解：在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：． 7．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则______ （用含有t的式子表示）；当与全等时，点的运动速度为________． 【答案】 2或3 【思路引导】本题考查了动点几何、全等三角形的性质，设点的运动速度为时，有，，，当与全等时，需要分和两种情况讨论，根据全等三角形对应边相等，可得关于、的方程，解方程即可求出的值． 【规范解答】解：设点的运动速度为时，与全等， 则有，，， 当时， 可得：，， ，， ， 解得：， 点的运动速度为； 当时， 可得：，， ， 解得：， 点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：；或． 8．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，已知线段与相交于点E，且，点F在线段的延长线上，，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是关键；由全等三角形的性质得，结合得，由平行线的判定即可证明． 【规范解答】解：， ． ， ． ． 9．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查的知识点是全等三角形的性质、外角性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． （1）根据全等三角形的性质可得，，再由即可得解； （2）先由外角性质求出，再结合全等三角形的性质、三角形内角和定理求出、即可求解． 【规范解答】（1）解：， ，， ； （2）解：是的外角， ， 又，， ， ， ，， ， ． 10．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)96； (2)，理由见解析． 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， ． 又， ． 又， ． ． （2）解：． 理由：， ， ， ， ， ． ． ． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，已知，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】利用全等三角形性质推出，再结合对顶角性质和三角形内角和推出，即可解题． 【规范解答】解：如下图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 2．（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，，的延长线分别交，于点F，G，且，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据得到,进而求出，，根据三角形内角和定理即可求出． 【规范解答】解：∵， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意，分类讨论：当时，，；当时，，；由全等三角形性质计算的值是否符合题意，即可求解． 【规范解答】解：点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后， ∴米，米， ∴（米）， 当时，，， ∴， 解得，， 此时，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 解得，， 此时，符合题意； 综上所述，与全等，的值为， 故选：A ． 4．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为_________． 【答案】24 【思路引导】利用全等三角形的性质求出和的长可得结论． 【规范解答】解： ， ，， ， ， ． 5．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，，，，如果点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则的值是______． 【答案】1或 【思路引导】本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．由题意，可知，，然后分，或两种情况分类讨论即可得出答案． 【规范解答】解：∵点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，运动时间为t秒， ∴，， ∵与全等， ∴，或， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，的值是1或； 故答案为：1或． 6．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】或2或6 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米，当点P在线段上时，只有这种情况，当点P在的延长线上时，只存在和两种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可． 【规范解答】解：设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米， ∵，， ∴， 当点P在线段上时， ∵， ∴此时只有这种情况， ∴厘米，厘米， ∴， 解得； 当点P在的延长线上时，， ∴只存在和两种情况， 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 综上所述，v的值为或2或6． 故答案为：或2或6． 7．（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在一条直线上，，，，，．求： (1)的长； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据，利用全等三角形的性质得出，再根据线段的和差关系得出，即可解答；（2）根据，利用全等三角形的性质得出，再利用外角的性质得出，即可解答． 【规范解答】（1）解： ， ． ， 即， ． 答：的长为． （2）解： ， ． ， ． 答：的度数为． 8．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 【答案】(1)，； (2)； (3)点N的速度为每秒，全等时 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）由点的运动速度也为每秒，则，，再由，则，所以，然后求解即可； （）由点的运动速度和点的速度不相等，则，，则，，即为中点，所以，然后求解即可； 【规范解答】（1）解：由题意得：，； （2）解：∵点的运动速度也为每秒， ∴，， ∵； ∴， ∴，解得， ∴时，； （3）解：由点的运动速度和点的速度不相等，则， ∵， ∴，， ∴为中点， ∴，解得：， ∴点的速度为每秒． 9．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点．，，均在格点上，则是格点三角形． (1)在图1中，画出与全等的格点（找到一个即可，且点不与重合）； (2)在图2中，画出与面积相等，但不与全等的格点； (3)在图3中，只用无刻度的直尺作出边上的高． 【答案】(1)见解析． (2)见解析． (3)见解析． 【思路引导】本题考查了格点三角形的全等、面积计算及三角形高的作法，解题关键是利用格点的边长与位置特征，结合全等三角形、面积公式及垂心的性质进行作图与分析． （1）利用格点边长，找与三边对应相等的格点，使与全等． （2）根据三角形面积公式（底高），保持底或高与一致，调整另一边长，确定格点． （3）借助格点找的高（如），交于垂心，延长交得高． 【规范解答】（1）如图1：即为所求（答案不唯一）； （2）如图2：为满足和面积相等的格点（答对一个即可）； （3）取格点、，连接交于，连接并延长交于，如图： 即为所求． 理由∶ 由图可知，是的高， 是的垂心， 是的高． 10．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)2 (3)4或 (4)或 【思路引导】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）用的长减去点P运动的路程即可得到答案； （2）当点P与点C重合时求得，则可证明此时点Q从点C运动到点B的途中，由即可求解； （3）分三种情况：，和，根据等腰直角三角形的定义可得，据此建立方程求解即可； （4）分三种情况：，和，由全等三角形的性质可得，据此建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：当点P与点C重合时，， ∴点Q的运动路程为， ∵， ∴当点P与点C重合时，点Q在从点C运动到点B的途中， ∴； （3）解：点P从点A运动到点C的时间为秒，点P从点A出发再回到点A的时间为秒，当点Q在从C运动到点B的时间为秒， ∵，是等腰直角三角形， ∴； 当时，则，解得， 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为4或； （4）解：当时，∵， ∴， ∴， 解得； 当时，∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull