23.1 平均数与加权平均数 课件-2026-2027学年冀教版数学九年级上册

该初中数学课件围绕算术平均数与加权平均数展开，通过农业试验田小麦产量比较引入算术平均数，再以买菜价格问题过渡到加权平均数，构建从具体实例到抽象概念的学习支架。 其亮点在于结合生活情境，如小麦产量、鸭蛋质量、主持人大赛评分等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过运算推理发展数学思维，以数据模型强化数学语言表达。学生能在解决实际问题中理解概念，教师可借助实例提升教学直观性与有效性。

课时1 算术平均数 为加快建设农业强国，深入实施种业振兴行动，某农科院培育出两个优质小麦品种，现将一块长方形试验田分成面积相等的9块，每块100 m2，在土壤肥力、施肥、管理等都相同的条件下试种A，B两个品种的小麦.小麦产量如下表： A1 B1 A2 B2 A3 B3 A4 B4 A5 品种A A1 A2 A3 A4 A5 产量/kg 95 93 82 90 100 品种B B1 B2 B3 B4 产量/kg 94 100 105 85 活动1 认识算术平均数 品种A A1 A2 A3 A4 A5 产量/kg 95 93 82 90 100 品种B B1 B2 B3 B4 产量/kg 94 100 105 85 问题1：将上面的数据绘制成如下所示的统计图，观察下图，哪个品种小麦的产量更高些？ 从图形直观上来看，B品种小麦的产量更高些. 品种A A1 A2 A3 A4 A5 产量/kg 95 93 82 90 100 品种B B1 B2 B3 B4 产量/kg 94 100 105 85 问题2：以100 m2为单位，如何比较A，B两个小麦品种的单位面积产量？ 问题3：如果只考虑产量这个因素，哪个品种更适合当地种植？ A品种的平均产量： (kg)， B品种的平均产量： （kg）. 从问题2中的结果可以得到：B品种小麦比A品种小麦 的平均产量高，所以B品种更适合当地种植. 同一品种在不同试验田上的产量有差异，比较两个品种哪个产量高，通常情况下是比较它们的平均产量. 思考：计算A品种每块地的产量与平均产量的差的总和，你发现了什么？ 其和为0，即平均数可以抵消各数据之间的差异. 品种A A1 A2 A3 A4 A5 产量/kg 95 93 82 90 100 品种B B1 B2 B3 B4 产量/kg 94 100 105 85 即 思考：1.通过对上题的解决，你能说出平均数的大小与什么有关吗？ 平均数的大小与一组数据的每个数据都有关系，若这组数据中的一个数据变大，则其平均数将变大；若这组数据中的一个数据变小，则平均数将变小． 平均数是一组数据的数值大小的集中代表值，它刻画了这组数据整体的平均状态，体现了这组数据的整体性质，但是对于这组数据的个体性质不能作出什么结论． 2.试说出平均数的作用和特点. 算术平均数：一般地，我们把n个数据x1，x2，x3， ··· ， xn 的和与n的比，叫作这n个数的算术平均数，简称平均数，记作 读作“x拔”，即 平均数可以抵消各数据之间的差异 平均数是一组数据的代表值，反映了数据的“一般水平”. 因为算术平均数具有性质 从一批鸭蛋中任意取出20个，分别称得质量(单位：g)如下： 80 85 70 75 85 85 80 80 75 85 85 80 75 85 80 75 85 70 80 75 问题1：整理数据，填写统计表. 质量/g 70 75 80 85 频数 2 5 6 7 问题2：求这20个鸭蛋的平均质量(列出式子即可). 活动2 算术平均数的应用 从一批鸭蛋中任意取出20个，分别称得质量(单位：g)如下： 80 85 70 75 85 85 80 80 75 85 85 80 75 85 80 75 85 70 80 75 质量/g 70 75 80 85 频数 2 5 6 7 小明：（70+75+80+85）÷4=77.5(g) 小亮：（70×2+75×5+80×6+85×7）÷20=79.5(g) × √ 问题3：在求20个鸭蛋的平均质量时，小明和小亮得到了不一样的答案，请你分析一下谁对谁错？为什么？ 频数对平均数起着权衡轻重的作用 由于70，75，80，85出现的频数不同，它们对平均数的影响也不同 注意：在计算算术平均数时， ①要计算所有数据的和；②要明确数据的个数；③计算两者的商. 归纳：当数据信息以表格或图象形式呈现时，要结合条件读懂表格或图象，并从中获取有用的信息，计算平均数时要记住是数据总和除以数据总个数． 小红是这样计算平均数的：她先将各数据同时减去80，得到如下一组新数据. 0 5 -10 -5 5 5 0 0 -5 5 5 0 -5 5 0 -5 5 -10 0 -5 容易求得这组数据的和为-10，则这组数据的平均数为 你认为小红的计算方法正确吗？ 这批鸭蛋的平均质量： 小亮：（70×2+75×5+80×6+85×7）÷20=79.5(g) 小红： 当数据重复出现时，可以用小亮的方法； 当数据都接近某一数值时，可以用小红的方法. 小红和小亮的计算方法，各有什么特点？ 算术平均数 概念 统计意义 反映数据集中趋势的一个统计量，是反映数据的平均水平(或中等水平)的一个特征量 计算 一般地，我们把n个数x1，x2，…，xn 的和与n的比，叫做这n个数的算术平均数 ，简称平均数，记作 ，读作“x拔” 1.某学习小组有8人，在一次数学测验中的成绩分别是：102，115，100，105，92，105，85，104，则他们成绩的平均数是_______． 2.一组数据7，8，10，12，13的平均数是(　　) A．7 B．9 C．10 D．12 3.一组数据的和为87，平均数是3，则这组数据的个数为(　　) A．87 B．3 C．29 D．90 101 C C 5.为监测某河道水质，进行了6次水质检测，绘制了如图的氨氮含量的折线统计图．若这6次水质检测氨氮含量平均数为1.5 mg/L，则第3次检测得到的氨氮含量是________mg/L. 4.已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是5，则数据x1＋3，x2＋3，x3＋3，x4＋3的平均数是________． 8 1 6.一组数据7，8，10，12，13的平均数是 ( ) A.7 B.9 C.10 D.12 C 7.已知一个班级有40人，数学老师第一次统计这个班的平均成绩为85分，在复查时发现漏记了一个学生的成绩80分，那么这个班的实际平均成绩应为 ( ) A.85分 B.84.875分 C.87分 D.84.5分 C 课时2 加权平均数 在篮球比赛中，队员的身高是反映球队实力的一个重要因素，如何衡量两个球队从员的身高? 怎样理解“甲队队员的身高比乙队更高”? 要比较两个球队队员的身高，需要收集哪些数据呢? 假期里，小红和小惠结伴去买菜，三次购买的西红柿价格和数量如下表： 单价/（元/千克） 6 5 4 合计 小红购买的数量/kg 1 2 3 6 小惠购买的数量/kg 2 2 2 3 从平均价格来看，谁买的西红柿要便宜一些？ 提示：小红购买不同单价的西红柿的数量不同，所以平均价格不是三个单价的平均数.实际上，平均价格是总花费金额与购买总量的比值. 从平均价格看，小红买的西红柿要便宜些.　　 解： 小红： 小惠： 活动1 认识加权平均数 一组数据的加权平均数，不仅与组中的每个数据有关，还跟每个数据的“重要程度”(即权重)有关. 如上题中： 6的权 5的权 4的权 权的和 定义：一般地，已知n个数x1，x2，…，xn，若w1，w2，…，wn为一组正数，则把 叫作n个数x1，x2，…，xn的加权平均数，w1，w2，…，wn分别叫作这n个数的权重，简称权. 权的意义 假期里，小红和小惠结伴去买菜，三次购买的西红柿价格和数量如下表： 单价/（元/千克） 6 5 4 合计 小红购买的数量/kg 1 2 3 6 小惠购买的数量/kg 2 2 2 3 计算小惠平均价格的算术平均数，并与加权平均数相比，你发现了什么？为什么？ 算术平均数中各个数据的权重相同，即一组数据中每个数据的权重相同时可用算术平均数计算，若每个数据的权重不相同，则用加权平均数. 1. 当一组数据中某些数据重复出现时，一般选用加权平均数公式来求平均数． 2. 在加权平均数公式中：分子是各数据与其权乘积的和；分母为权的和，不能简单看成数据个数之和． 测试项目 专业素质 综合素质 外语水平 临场应变能力 测试成绩/分 甲 9.0 8.5 7.5 8.8 乙 8.0 9.2 8.4 9.0 某电视节目主持人大赛要进行专业素质、综合素质、外语水平和临场应变能力四项测试，各项测试均采用10分制，两名选手的测试成绩如下表所示： 提示：占比百分数表示重要程度不同，暗示着要用加权平均数 问题1：如果按四项测试成绩的算术平均数排名次，名次如何？ 问题2：如果规定专业素质、综合素质、外语水平和临场应变能力四项测试的成绩占60%，20%，10%，10%计算总成绩，名次有什么变化？ 活动2 加权平均数的应用 问题1：如果按四项测试成绩的算术平均数排名次，名次如何？ 因为乙测试成绩的算术平均数高于甲的，所以乙排名第一、甲排名第二. 测试项目 专业素质 综合素质 外语水平 临场应变能力 测试成绩/分 甲 9.0 8.5 7.5 8.8 乙 8.0 9.2 8.4 9.0 甲 乙 因为甲测试成绩的加权平均数高于乙的，所以甲排名第一、乙排名第二. 甲=9.0×0.6+8.5×0.2+7.5×0.1+8.8×0.1=8.73(分) 乙=8.0×0.6+9.2×0.2+8.4×0.1+9.0×0.1=8.38(分) 测试项目 专业素质 综合素质 外语水平 临场应变能力 测试成绩/分 甲 9.0 8.5 7.5 8.8 乙 8.0 9.2 8.4 9.0 问题2：如果规定专业素质、综合素质、外语水平和临场应变能力四项测试的成绩占60%，20%，10%，10%计算总成绩，名次有什么变化？ 权 注意：用百分数赋权重需要注意各权重之和为1，但在计算平均值时分母是1，分母就可以省略，计算书写更加方便. 按测试成绩的算术平均数排名次，实际上是将四项测试成绩同等看待.而按加权平均数排名次，则是对每项成绩分配不同的权，体现每项成绩的重要程度不同.如专业素质成绩的权重为60%，说明专业素质对主持人最重要. 当各数据的重要程度不同时，一般采用加权平均数作为代表值. 用权重解决决策问题的方法：不同的权重，直接影响最后决策的结果，在实际生活中，我们经常会遇到这类问题，当需要在某个方面要求比较高的时候，往往可以加大这方面的权重，以达到预想的结果． 算术平均数是加权平均数各项的权都相等的一种特殊情况，即算术平均数是加权平均数，而加权平均数不一定是算术平均数． 思考：说说算术平均数与加权平均数有哪些联系与区别. 由于权的不同，导致结果不同，故权的差异对结果有影响． 为了解某学校九年级男生的体重情况，从全体九年级男生中任意选出100人，分5组测量他们的体重(单位：kg)，并计算各小组学生体重的平均数，结果如下表： 小组编号 1 2 3 4 5 人数 15 18 20 25 22 平均体重 48 53 56 60 63 求这100名男生的平均体重. 解：这100名男生的平均体重为 以上计算数据平均数的方法，称为分布式计算方法，其结果为各小组平均体重的加权平均数，权重为各小组人数所占的比例. 在求n个数的算术平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里f1+f2+…+fk=n）那么这n个数的算术平均数 也叫作x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫作 x1，x2，…，xk的权. 加权平均数的其他形式 在实际生活中，我们经常要对某个量进行测量(或估测)，测量(或估测)往往会产生误差.为了得到比较准确的结果，可以进行多次测量量(或估测)，用这些测量量(或估测)值的平均数作为这个量的估计值. 1.某校健美操队共有10名队员,统计队员的年龄情况,结果如下: 13岁3人,14岁5人,15岁2人.该健美操队队员的平均年龄为 (　    ) A.14.2岁　    B.14.1岁　    C.13.9岁　    D.13.7岁 C 2.小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2∶3∶5的比例确定成绩，则小王的成绩是(　　) A．255分 B．84分 C．84.5分 D．86分 D 3.某种蔬菜按品质分成三个等级销售，销售情况如下表： 则售出蔬菜的平均单价为_____________． 等级 单价(元/kg) 销售量(kg) 一等 5.0 20 二等 4.5 40 三等 4.0 40 4.4元/kg 4. 甲、乙、丙三种饼干售价分别为3元、4元、5元，若将甲种10斤、乙种8斤、丙种7斤混到一起，则售价应该定为每斤（ ） A.3.88元 B.4.3元 C.8.7元 D.8.8元 A 加权平均数 加权平均数 加权平均数的意义 数据的权的意义 反映一组数据中按各数据占有的不同权重时总体的平均大小情况. 权反映数据的重要程度，数据权的改变一般会影响这组数据的平均水平． 权的形式 比值；百分比；频数 $