四川成都市树德中学2027届高三上学期开学考试数学试题

树德中学高2024级高三上开学考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.设a>0,s∈R,则下列语句是“a>1”的充分条件的是() A.a>1,s<1B.0<a<1,5<1C.a>1,s>0D.0<a<1,5>1 2。已知复数z=c09看-n看，则其共轭复数z在复平面内对应的点位于( 6 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.己知圆C:x2-4ax十y2=0(a>0),若直线1x+y-6=0上存在唯一点P,使得过点P作圆C的两条切 线相互垂直，则a=( A. B.1 C. D.2 士.若函数y=log(a-)在区间[-1,2]上单调递增，则a的取值范围是( A.(02) B.(3 C.(1,4) D.(4,十0) 5.己知数列{am}(非常数列)前n项和为Sm, Sm}为等差数列，neN,a1=-1,且S+1,S+1,S +1成等比数列，则So的值为( A.-10 B.80 C.81 D.90 6.已知coea+若)+sinu=号，则coe(2u+子)= A.日 B. .日 7.如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两 00 00000 部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记 0000 000 上、中、下三档的数字和分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列，则不同的分珠计 0000000 数法共有( A.20种B.32种C.54种D.72种 8、在三角形ABC中，点D在边BC上，满足AD平分∠BAC,并且AB=AD=2,BD=1,则CD的长为 () A吉B.2C号 D.√6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选 对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数fo)=2cos(2m+<号)满足fm)+号-)=0，则( ) A.f(x)的最小正周期为元 B.f(x)的图象关于直线x=5亚对称 12 C.fe)在区同[受，告]上单调递减 D.f(x)在区间(0，π)上有两个零点 10、已知网，乃分别是双曲线心一号=1的左、右焦点，M是左支上一点，且在心轴上方，过乃作 ∠M四角平分线的垂线，垂足为N,O是坐标原点，则() A.若∠B=号，则直线N的斜率为一5B.若∠B=受，则：=士 C.若∠MF=a,则|ON|=1 D.若∠MF=a,则|ON=cos 11、己知函数f(x)=(x2+ax)e,f'(x)为f(x)的导数，则() A.任意实数a,f(x)一定存在极大值和极小值 B.存在实数a,使得f(x)在区间(-2，-1)上单调递增 C.任意实数a,曲线f(x)一定存在与直线y=x平行的切线 D.存在实数a,使得函数g(c)=f'(x)十e1有唯一零点 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a=(3,1),=(1,2),c=ka-b,若∥c,则k= 13.在棱长均为2的正三棱锥P-ABC中，点M是AC的中点，点N是侧面PBC上的一个动点，当MN∥ 平面PAB时，动点N的轨迹的长度是 14.甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏.游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀.每一局 游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立。在一局游戏中某人赢1个人得2分， 赢2个人得5分，其他情况得0分.设一局游戏后3人总得分为，则随机变量ξ的数学期望()的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.为科学评估施肥对某品种农作物发育情况和产量的影响，某研学小组对劳动实践基地中随机抽取的200 株该品种农作物进行了观察，并进行数据分析， (1)将所抽取的农作物按是否施肥分为两类，并将其分为“发育正常”和“发育不正常”两类，整理得到下表： 施肥 不施肥 合计 发育正常 70 30 发育不正常 40 合计 200 请补全以上表格，根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为“是否施肥”与“该品种农作物发育正常 有关，并说明理由. (2)对施肥的农作物进行观察，发现施肥超过某标准量后，产量反而会迅速下降.从施肥的该品种农作物中 随机抽取10株，记录它们的过量施肥量x(g)与产量y(g),数据如下表： 农作物编号 y 2 3 5 6 8 9 10 过量施肥量x(g) 0 0.5 1 1 1.5 2 2 2.5 2.5 产量y(g 100 85 85 85 80 75 75 70 70 75 ,=15,是-=0 2=29, 经计算， ∑x,=1135,求y关于x的线性回归方程. =1 =1 附：x2= n(ad-be)? (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0. 050 0. 010 0.001 3.841 6.635 10.828 对于一组数据(D1,1),（D2,y …,(cn,yn),其回归直线9=a+c的斜率和截距的最小二乘估计分别 为： 8一n 6=1 ，a=可-远. 16.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足acos B=2a-bcosA. (1)求证：c=2a: (2)若∠ABC=,BD平分LABC且交AC于点D,且BD=22,求△ABC的周长. 3 17、己知抛物线C:y2=2px(p>0),过点Q(1,0)作斜率为p的直线与抛物线相交于A,B两点。 1)若A=号VF+1,求抛物线C的方程： 2)求动+a的最大值， I8.已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交 点O,已知∠BAD=60°，△PDB是等边三角形. (1)求证：平面PBD⊥平面ABCD (2)求点D到平面PBC的距离； (3)若点E是线段AD上的动点（包括端点），设直线PE与平面PBC所成的 角为d,求sind的取值范围. B 19.设函数f(c)=e+asing. (1)当a=-2时，讨论f(x)在(-π，π)上的极值点情况. (2)当a=-1时，f(x)≥bc+1在[0，+o)上恒成立，求b的取值范围. (3)若a>0,f(x)在[0，+o)上存在零点，求a的取值范围.树德中学高2024级高三上开学考试数学试题参考答案 一、单选题 【答案】CABB BCBA 二、多选题 【答案】ABD ABC AD 三、填空题 12.013.114.13 3 四、解答题 15.【答案】【详解】(1)补全2*2列联表如下： 施肥 不施肥 合计 发育正常 70 30 100 发育不正常 40 60 100 合计 110 90 200 所以x2= 200×(70×60-30×40)2 200 110×90×100×100 ≈18.182>10.828 11 所以有99.9%的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关。 9 c:-10可 所以，6=台 或-1e 1135-15×80=-10,则a=可-6元=80-(-10)×1.5=95， 29-10×1.52 所以y关于x的线性回归方程是9=95-10x. l6.【详解】(1)因为a.cosB=2a-bcosA,由正弦定理得sinAcosB=2sinA-sinBcosA,即sinAcosB +sin BcosA=2sinA,得sin(A+B)=2sinA,所以sinC=2sinA,即c=2a. (②)因为e=2a,∠ABC=答，所以△ABC的面积为Sac=号a:c·n∠ABC=气。又因为BD平 2 分∠ABC且交AC于点D,所以∠ABD=∠CBD=行，又BD=2W,所以S=SABD+S.cD=号G ,BD-si∠ABD+}a:BD-in∠CBD-3y6。,所以9c2=2y6a,即a=3W,，c=2a=62,因为 2 2 ∠A5C=否，根据余弦定理得=a+c:-2accs∠ABC=126,故3=3压，所以周长a+6+e=0W万 +3√14. 17、答案：由题意设直线AB方程为：y=p(x-1),设A(,y1),B(2y 联立/2pm y=p(x-1) 消去x可得y2-2y-2p=0,韦达定理1+y2=2,y1g=-2p 0）由题意得1A=V+V4什印=号+1，化简得gp-32-16=0 解得p=1或p=-青（舍），故抛物线方程为y=80 Q+5o+F1 (2) 1. 1 1 1 p,lyil+lyal p2 ly-yel V1+2 V1+p ly-lvol V1+p2 lyl.lyel -1V1+p2 √4+8 2三令u=2p+1u>,改+ 1 =2 1 2p AQI BQI /4+(u-1P Vu-2+号 故当“=6，内十皮取得最大值中。 I8.【详解】(1)：点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O, :.PO⊥平面ABCD,ACc平面ABCD,.PO⊥AC,四边形ABCD为菱形，.BD L AC,:PO ∩BD=O,PO,BDC平面PBD,∴.AC⊥平面PBD,.ACC平面ABCD,:.平面PBD⊥平面ABCD (2)由题意可得△ABD、△BCD与△PBD都是边长为2的等边三角形， P0=A0=C0=,Smc=号×2×万=5，PC=P0+C0=V6,BP=BD=BC=2, “Sc=号×V6×V2-(9=西，设点D到平面PBC的距高为h.由6-c=c得合Sx A=吉5c0P,即四h=8×,解得A=2西，故点D到平 2 面PBC的距离为2W15 5 (3)设直线PE与平面PBC所成的角为0，：AD∥BC,BCc平面PBC, ADt平面PBC,:.AD∥平面PBC,:.E到平面PBC的距离即为D到 平面PBC的距离h. 过E作垂线EF⊥平面PBC交于点F,则U=∠EPF, 此时m0=器=2 5PE ,由(2)易知PA=PC=√6，PD=AD=2,左 B ∴S0=号x6×V2(受=少，则△PAD的边AD上的高为5，：少≤PB≤6，而 2 sin0=2v15 合部。：西<血≤待m的取值范国为四专打 5 19.设函数f(x)=e+asinc. (1)当a=-2时，讨论f(x)在(-π，π)上的极值点情况. (2)当a=-1时，f(x)≥b+1在[0，+o)上恒成立，求b的取值范围。 (3)若a>0,f(x)在[0，+o)上存在零点，求a的取值范围. 【详解】(1)当a=-2时，f(x)=e-2sinx,则f'(c)=e-2cosx, ①当x∈(0，π)时，由指数函数y=e“在x∈(0，π)上单调递增，余弦函数y=cosx在x∈(0，π)上单调递减， 可知f'(x)=e-2cosc在(0，π)单调递增， 又f(0)=1-2=-1,f(5)=e>0,所以存在∈(0,5)使得f()=0, 当x∈(0，)时，f(c)<0,即f(x)在(0，x)上单调递减， 当x∈(x,π)时，f"(x)>0,即f(x)在(，π)上单调递增； ②当x∈(-元，-受)时，由e>0,-2cosm>0,则f()=。°-2cos>0, 所以f(如)在(-元，一乏)单调递增， ⑧当me(-5.0)时，i设g)=f(m)=e-2os,则g(m)=e+2sima 由指数函数y=e在m∈(-受0)上单调递增，正弦函数y=sin在m∈（←受.0）上单调递减，所以g'()= e+2sinm在(-，0)单调递增，又g(-5)=e-2<09'(0)=1>0,所以存在m∈(-5,0)使得 g(m)=0,当xe(-受m)时，g()<0,则g()在(-号m)上单调递减，当e∈(m,0)时，ge)>0, 则g(x)在(m,0)上单调递增， 又g-5)=e5>0.9(0)=1-2=-1<0,9-5)=e5-2o(-号)=e5-1<0,所以必存在 (-受，-号)使得g)=f)=0, 当∈(-)时，f)>0,则f如)在(-一)上单调递增， 当x∈(x2,0)时，f'(x)<0,则f(x)在(x2,0)上单调递减， 综上所述，当c∈（一元，c2),f(x)单调递增，当c∈(c,),f(x)单调递减， 当x∈(x,π)，f(x)单调递增，所以f(x)在区间(-π，π)内存在一个极小值点和一个极大值点. (2)当a=-1时，f(x)=e-sinc,由f(x)≥bc+1在[0，+oo)上恒成立， 可得e-bx-sinx-1≥0在[0，十oo)上恒成立， 令h(x)=e-bx-sinc-l,则h'(x)=e-b-cosc, 若b≤0时，则h'(c)≥0在[0.+o)上恒成立，则h(c)在[0，+o)上单调递增， 所以h(x)≥h(0)=0,符合题意； 若b>0时，令m(c)=e-b-cosx,则m'(x)=e“+sinx≥0在[0，+o)上恒成立， 所以m(x)在[0，+oo)上单调递增，m(0)=-b<0,当c→+o时，m(x)→+o, 则3∈(0，十0)，使得m()=0, 当x∈(0，co)时，h'(ax)<0,则h(x)在(0，)上单调递减， 当x∈(n,+o)时，h'(c)>0,则h(c)在(m+oo)上单调递增， 所以h()<h(0)=0,不合题意； 综上所述，实数b的取值范围是(-0,0] 网由fe到=0+amse0+o,令fe到=0得一日-他， 设9a)=g2,≥0，则)=业=v2a-) e 令p(四)=0，解得x=王+，k∈N, 当ae(任+2，至+2)时，sim-)>0 所以p()在（任+2kx亚+2）上单调递减， 当e(0(+2年+2a)时，im红-f)<0, 所以p()在(0.至)，（年+2kxF+2k)上单调递增。 当a=至+2版，keN时，9(@取得极个值， 即当=买，，2华，…时，9)取得极小值， 又m=sm=m2=-,0<<<。<， 所以())<(24)<，即（≥（亚）=受。音， 2 当云=至+2k,kEN时，()取得极大值， 即当=子华，乎，时，)取得极大值， 又m昏=血坚=血==2,0长6<。i<。< 所以)>()>）>，即)≤子)=。 即当≥0时，9)e[-9。音，9。 所以-e[9。当，9。门又a>0, 即a≥V2e时，f(m)在[0，+o)上存在零点， 故实数ae[V2e,+o