精品解析：四川成都市树德中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

高2024级高三上期数学开学考试 一、单选题 1. 从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第一次抽到A牌，第二次抽到A牌的概率（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意第一次抽到A牌后剩余51张扑克牌，剩余A牌3张，进而求解即可 【详解】由题意，第一次抽到A牌后剩余51张扑克牌，剩余A牌3张，故第二次抽到A牌的概率为 故选：B 2. 已知，若三个向量共面，则实数的值等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知存在，使得，结合向量的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为，，，且，，三向量共面， 可知存在，使得，即， 则，解得. 故选：A. 3. 在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】令可得，可证得是以公比为的等比数列，由此甲能推出乙，举反列可说明乙不能推出甲，再由充分条件和必要条件可得出答案. 【详解】令，可得，即， 所以是以公比为的等比数列，所以甲能推出乙， 若是等比数列，则取，， 所以，所以乙不能推出甲， 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 4. 现有12道四选一的单选题，学生甲对其中的9道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25．学生甲从这12道题中随机选择1题，他做对的概率为（ ） A. 0.225 B. 0.4125 C. 0.7375 D. 0.8325 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式即可求得答案. 【详解】设事件A：选到有思路的题目，：选到无思路的题目，B：题目做对， 则,， 故 , 故选：C 5. 设．随机变量的分布列是 0 1 则当在内增大时，（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 【答案】D 【解析】 【分析】利用方差公式结合二次函数的单调性可得结果. 【详解】依题意，， 而，所以先减小后增大. 故选：D 6. 某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图2所示（图中数据单位为cm），则该玻璃杯所用玻璃的体积（单位：）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用柱体体积公式、台体体积公式计算作答. 【详解】依题意，该玻璃杯所用玻璃的体积为. 故选：A 7. 已知是等差数列的前n项和，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】本题可先根据等差数列的性质求出，再表示出，进而得到的表达式，最后根据二次函数的性质求最小值. 【详解】在等差数列中，已知， ， 则，解得. 根据等差数列的前项和公式可得. 所以， 将其看作关于的二次函数，二次函数， 当时，取得最小值，最小值为 . 故选：B 8. 过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取线段中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答. 【详解】令双曲线的右焦点为，半焦距为c，取线段中点，连接， 因为切圆于，则，有， 因为，则有，， 而为的中点，于是，即，， 在中，，整理得， 所以双曲线E的离心率. 故选：C 二、多选题 9. 设正项数列的前项和为．若，，，则（ ） A. B. C. 当且为偶数时， D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过已知条件及赋值法可判断选项A，通过递推关系构造等比数列从而推出的通项公式，即可判断选项B， 由选项B得出的通项公式利用放缩法即可判断选项C，由选项C的结论结合放缩法可判断选项D． 【详解】数列的递推关系，等比数列的通项公式和前项和公式 当时，有，由于，则，故选项A正确； 由于，，则，即，令， 则，，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，，所以，故选项B正确； （另解：因为，，所以， 当为奇数时，，所以； 当为偶数时，，所以． 综上，，故选项B正确） 当且为偶数时， ，故选项C正确； 由选项C知，当且为偶数时，， 则，即，又，所以，故选项D错误． 故选:ABC． 10. 直线过抛物线的焦点且与该抛物线交于M，N两点，设O为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 抛物线E的准线方程是 C. 以MN为直径的圆与定直线相切 D. 的大小为定值 【答案】BC 【解析】 【分析】由直线过定点，得到，可判定A正确；根据抛物线的几何性质，可得判定B正确；过点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到，可判定C正确；联立方程组，结合韦达定理，得到，求得，可判定D错误. 【详解】对于A中，由直线，可化为，可得直线过定点， 因为抛物线的焦点在直线上，可得，则，所以A错误； 对于B中，由抛物线的准线方程为，所以B正确； 对于C中，过点作准线的垂线，垂足分别为，的中点为点， 过点作准线的垂线，垂足为，可得，故以MN为直径的圆与准线相切，所以C正确； 对于D中，设，联立方程组， 整理得，，， 可得，则， 则，但的大小不是定值， 设，而， 则，则， 而，并不是定值，所以D错误. 故选：BC. 11. 已知实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先由题意可知，由，得，构造函数，得，再对四个选项逐一分析即可. 【详解】由题意可得， 则由，得. 对于A：设，， 则在区间上，，为增函数， 所以由题意可得，所以，故A正确； 对于B：由，得,故B错误； 对于C：由A可知在区间上为增函数， 且，则，即, 则, 由,得, 令,则, 所以在上单调递增, 所以, 所以,故C错误； 对于D：又, 令, 则, 所以在上单调递增,所以， 所以, 又，且, 令， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且， 所以， 综上可得，故D正确； 故选:AD. 【点睛】关键点睛： 本题关键点在于构造函数，利用导数求其单调性，从而可得. 三、填空题 12. 的展开式中含项的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】求得二项式的展开式的通项为，根据题意，进而求得项的系数，得到答案. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 所以的展开式中含项的系数为. 故答案为：. 13. 若直线l与圆，圆都相切，切点分别为A、B，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形相似进行求解. 【详解】圆半径为1，圆心为，圆半径为2，圆心为，画图如下： 由题意得：，， 因为，，所以，且相似比为：， 所以，则，，， 所以 14. 甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n次骰子后（），记球在甲手中的概率为，则________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，结合题意，利用列举法和分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，当投掷3次骰子后，球在甲手中，共有4中情况： ①：甲甲甲甲，其概率为 ②：甲甲乙甲，其概率为 ③：甲乙甲甲，其概率为 ④：甲乙丙甲，其概率为 所以投掷3次后，球在甲手中的概率为. 设投掷次后，球仍在乙手中的概率为， 所以当时，， ， 所以，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以，符合该式， 所以. 故答案为：；. 四、解答题 15. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD满足，，，棱PD上的点E满足． （1）证明：直线平面PAB； （2）若，，且，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】（1） 由题意得： 连接，过C做，交BD于T点，如图所示： ，， 又 在中， 解得： 平面，平面， 平面，平面， 平面，平面 又相交于点 平面平面 平面 直线平面PAB （2） 【解析】 【分析】（1）连接，过C做，交BD于T点，先利用三角形全等证得，再根据三角形的余弦定理求得BD，再由，证明平面平面即可得证. （2）根据三角形的余弦定理及边长关系证明平面，以O为原点，OC，OD，OP所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，后根据线面角的坐标求法代入即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接AC交BD于O点 在和中，由可得 ，即 解得：，满足，所以 又 又有AC交BD于O点，所以平面，满足PO，CO，DO两两垂直 故以O为原点，OC，OD，OP所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系 则，，， 于是有， 设平面的法向量为，由 取 又 故所求角的正弦值为 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值为. 16. 已知的首项为整数，其奇数项依次成公差为2的等差数列，偶数项依次成公差为3的等差数列．记为数列的前项和，是等比数列，，，是的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）求满足的的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用基本量法可求即可求解； （2）先由(1)求出数列的通项公式，就的奇偶性分类计算可求满足的的最小值． 【小问1详解】 因为，故，故即， 而，故，故， 而即为，故， 故或，当时，，不合题意，舍； 故，此时，故. 【小问2详解】 由（1）得，， 所以，即，即， 当为偶数时，， 令， 因为，； 当为奇数时，， 令， 因为，， 又因为和均单调递增， 故的最小值为. 17. 已知平面内一动圆过点，且该圆被轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）梯形的四个顶点均在曲线上，，对角线与交于点. （i）求直线的斜率； （ii）证明：直线与交于定点. 【答案】（1） （2）（i）2；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据题意结合弦长列式求解即可； （2）（i）设，联立方程可得韦达定理，求得，，根据斜率相等运算求解即可；（ⅱ）分析可知直线与的交点即为直线与的交点，求直线的方程运算求解即可. 【小问1详解】 设圆心为， 由题意可得：，整理可得， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）由题意可知：直线的斜率不为0， 设， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 可知直线， 联立方程，消去x可得， 由题意可知：，即， 且，可得， 同理可得：， 则 ， 因为，则，即， 整理可得， 由题意可知：点不在直线上，则，即， 可得，即，所以直线的斜率； （ii）由（i）可知：，则的中点， 又因为，即，则的中点， 即直线， 由梯形的性质可知：直线与的交点即为直线与的交点， 因为直线的斜率， 则直线， 令可得 ， 即直线与直线的交点为， 所以直线与交于定点. 【点睛】方法点睛：1.过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题.解法：设动直线方程（斜率存在）为由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题.解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点. 2.求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论. 18. 已知函数 （1）求曲线过点的切线方程； （2）若 （i） 当 时，求的极值; （ii） 若恒成立，求实数. 【答案】（1） （2）（i）极小值为，无极大值；（ii） 【解析】 【分析】（1）设切点为，由导数的几何意义即可求解； （2）（i）求导，确定函数单调性即可求解；（ii）令，问题转换成，，通过和讨论函数单调性，求最值即可求解. 【小问1详解】 设切点为，则， 故切线方程为， 将代入可得，解得， 故切线方程为，即. 【小问2详解】 （i）当时，． 的定义域为，且； 令得，或（舍去）； 所以当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 故函数的极小值为，无极大值． （ii）令，， 所以． 由当时，恒成立， 得，恒成立， 而，所以是函数的最小值． ①当时，，； 令，，所以当时，， 所以在上单调递减，则当时，， 故当时，， 则，； 所以，， 则在上单调递增， 则当时，，不符合题意． ②当时，令，， 所以，则在上单调递增； 又当时，，当时，， 所以存在唯一，使得； 所以当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 故函数，则，所以． 综上，得． 19. 某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. （1）已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； （2）记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 【答案】（1）小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略 （2）（i）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，， 由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为， 则，，， 故的分布列为： 10 20 30 故， （ii）设小王选择的3个题目中组题目数量为，组题目数量为，其中， 则服从超几何分布，，，， ， 当时，的值与无关， 即当时，无论小王如何调整组题目数量，其总得分的期望均为20分. 【解析】 【分析】（1）小王两组题目均有选择的方案有两种，1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目，分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，，求得，，可得结论； （2）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，，（i）由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为，利用超几何分布求得分布列，可求数学期望；（ii）设小王选择的3个题目中A组题目数量为，B组题目数量为，其中，则服从超几何分布，，计算数学期望可得结论. 【小问1详解】 小王两组题目均有选择的方案有两种， 1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目， 分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，， ， ， 因为，所以， 以至少答对1个题目的概率为依据，小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级高三上期数学开学考试 一、单选题 1. 从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第一次抽到A牌，第二次抽到A牌的概率（ ） A. B. C. D. 以上都不对 2. 已知，若三个向量共面，则实数的值等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 现有12道四选一的单选题，学生甲对其中的9道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25．学生甲从这12道题中随机选择1题，他做对的概率为（ ） A. 0.225 B. 0.4125 C. 0.7375 D. 0.8325 5. 设．随机变量的分布列是 0 1 则当在内增大时，（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 6. 某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图2所示（图中数据单位为cm），则该玻璃杯所用玻璃的体积（单位：）为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是等差数列的前n项和，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 21 8. 过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设正项数列的前项和为．若，，，则（ ） A. B. C. 当且为偶数时， D. 10. 直线过抛物线的焦点且与该抛物线交于M，N两点，设O为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 抛物线E的准线方程是 C. 以MN为直径的圆与定直线相切 D. 的大小为定值 11. 已知实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 的展开式中含项的系数为________． 13. 若直线l与圆，圆都相切，切点分别为A、B，则__________. 14. 甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n次骰子后（），记球在甲手中的概率为，则________；________． 四、解答题 15. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD满足，，，棱PD上的点E满足． （1）证明：直线平面PAB； （2）若，，且，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值． 16. 已知的首项为整数，其奇数项依次成公差为2的等差数列，偶数项依次成公差为3的等差数列．记为数列的前项和，是等比数列，，，是的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）求满足的的最小值． 17. 已知平面内一动圆过点，且该圆被轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）梯形的四个顶点均在曲线上，，对角线与交于点. （i）求直线的斜率； （ii）证明：直线与交于定点. 18. 已知函数 （1）求曲线过点的切线方程； （2）若 （i） 当 时，求的极值; （ii） 若恒成立，求实数. 19. 某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. （1）已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； （2）记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $