专题3.4 认识二元一次方程组（举一反三讲义）数学新教材湘教版七年级上册

本讲义聚焦二元一次方程与方程组的核心知识点，系统梳理二元一次方程的定义、解及整数解，进而延伸至二元一次方程组的定义、解及实际应用，通过9类题型（判断方程、求参数、解代入求值等）搭建从基础到应用的递进式学习支架。 资料以题型归纳与变式训练为特色，通过实例（如判断方程、求参数、实际问题列方程）培养学生抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

专题3.4 认识二元一次方程组（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 判断二元一次方程】 1 【题型2 由二元一次方程的定义求参数】 3 【题型3 二元一次方程的解代入求值】 4 【题型4 二元一次方程的整数解】 5 【题型5 判断二元一次方程组】 8 【题型6 由二元一次方程组的定义求参数】 10 【题型7 判断二元一次方程组的解】 11 【题型8 由二元一次方程组的解求参数】 13 【题型9 根据具体问题列二元一次方程（组）】 15 考点1 二元一次方程 知识点1 二元一次方程的定义 1. 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 2. 二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）所含未知数的项的次数为1；（3）方程是整式方程． 注意：“含有未知数的项的次数是1”不可理解为两个未知数的次数都是1．例如5xy＋3＝0中含有两个未知数，且未知数的次数都是1，但含未知数的项“5xy”的次数是2，所以它不是二元一次方程． 知识点2 二元一次方程的解 1. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 2. 在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解．但是如果对未知数加以条件限制，一般有有限个解． 【题型1 判断二元一次方程】 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断方程是否为整式方程，再依次根据未知数个数、含未知数项的次数筛选符合条件的选项． 【详解】解：A. 是整式方程，含有2个未知数，且含未知数的项的次数均为1，属于二元一次方程； B. 不是整式方程，不属于二元一次方程； C. 含有3个未知数，不属于二元一次方程； D. 中含未知数的项的次数为2，不属于二元一次方程． 【变式1-1】（25-26七年级下·河南许昌·期末）请写出一个关于x，y的二元一次方程，使得是该二元一次方程的一组解，这个方程可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二元一次方程的解的定义，所写方程只需满足代入后等式成立即可． 【详解】解：将，代入计算，可得， 因此满足条件的二元一次方程可以是（答案不唯一）． 【变式1-2】（25-26七年级下·山东聊城·期末）下列方程中，是二元一次方程有（     ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断，统计符合条件的方程个数即可得到答案，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，含有两个不同未知数，含未知数的项的次数为1． 【详解】解：①只含有1个未知数，∴①不是二元一次方程； ②整理后为，满足二元一次方程的定义，∴②是二元一次方程； ③中不是整式，方程是分式方程，∴③不是二元一次方程； ④整理后为，满足二元一次方程的定义，∴④是二元一次方程； ⑤满足二元一次方程的定义，∴⑤是二元一次方程； ⑥中项的次数为2，不满足次数为1的要求，∴⑥不是二元一次方程； 综上，二元一次方程共有3个． 【变式1-3】（25-26七年级下·河北保定·期末）若方程□是二元一次方程，则“□”可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是二元一次方程，此项符合题意； B、中的次数为2，不是二元一次方程，此项不符合题意； C、是一元一次方程，此项不符合题意； D、是一元一次方程，此项不符合题意． 【题型2 由二元一次方程的定义求参数】 【例2】（25-26七年级下·广西玉林·期末）已知是关于，的二元一次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据二元一次方程的定义求解，二元一次方程中每个未知数的次数都为1，据此列出关于、的等式，求出、后计算即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程 ∴未知数，的次数都为，可得， 解得：， ∴ 【变式2-1】（25-26七年级下·青海玉树·期末）若方程是关于，的二元一次方程，则满足的条件是________． 【答案】 【分析】含有两个未知数，且未知数的次数均为1的方程是二元一次方程的定义，据此确定未知数的系数的取值范围即可． 【详解】解：∵方程中，的系数为，次数为，满足要求， ∴若使方程为二元一次方程，必须保证未知数存在，即的系数不为， ∴． 【变式2-2】若方程是关于的二元一次方程，则___________． 【答案】 【详解】解：将整理得， ∵方程是关于的二元一次方程， ∴， 解得：． 【变式2-3】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）已知是关于，的二元一次方程，则___________． 【答案】1 【分析】根据二元一次方程的定义，得到关于和的关系式，求出、的值后代入代数式计算即可． 【详解】解：根据二元一次方程的定义可得， 解得， ． 【题型3 二元一次方程的解代入求值】 【例3】（25-26六年级下·上海青浦·期末）若是方程的解，则______． 【答案】11 【分析】据此把代入原方程得到，再整体代入，进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴. 【变式3-1】（25-26七年级下·北京·期末）若是方程的解，则的值为__________． 【答案】 【分析】将方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：将代入方程， 得， 移项，得， 两边同时除以，得． 【变式3-2】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（     ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将已知的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：∵是方程的解 ∴把，代入方程得 整理得 移项计算得 解得 . 【变式3-3】（25-26七年级下·重庆巴南·期末）若是方程的一个解，则的值为_________． 【答案】 【分析】先根据二元一次方程的解的定义得到的值，再将所求代数式变形后，利用整体代入法计算即可，掌握整体代入思想是解题的关键． 【详解】是方程的一个解， ， ， ． 【题型4 二元一次方程的整数解】 【例4】（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）二元一次方程的正整数解有________组． 【答案】3 【分析】根据正整数的条件求出方程所有的正整数解，即可得到解的组数． 【详解】解：， ， ，均为正整数， 是的正整数倍，且， ∴， ∴， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， 二元一次方程的正整数解有组． 【变式4-1】写出二元一次方程的一个整数解______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先用含有y的式子表示，再根据均为整数，得出一组解． 【详解】解：由题意得：， 均为整数， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的知识，二元一次方程有无数组解，难度不大． 【变式4-2】方程5x+3y=54共有(  )组正整数解． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】分析：求出y=18-x，取3的倍数即可得出答案． 详解：5x+3y=54 y=18-x， 共有3组正整数解：是，，． 故选B． 点睛：本题考查了二元一次方程的解的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 【变式4-3】方程的正整数解为_________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二元一次方程的求解，明确取值范围是解题的关键．根据二元一次方程取正整数解，用y表示出x，求出正整数解即可． 【详解】解： ， 当时，； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 则方程的正整数解为：或， 故答案为：或． 考点2 二元一次方程组 知识点3 二元一次方程组的定义 1. 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 2. 判断一个方程组是否为二元一次方程组的关键 （1）判断方程组中的方程是否都是整式方程； （2）判断方程组中是否只含有两个未知数； （3）判断方程组中含有未知数的项的次数是否为1． 同时满足以上三点的方程组为二元一次方程组，否则不是二元一次方程组． 知识点4 二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 2. 代入法判断一组数是否为二元一次方程（组）的解 一组未知数的值二元一次方程（组）二元一次方程（组）的一个解． 知识点5 根据实际问题列二元一次方程组 列二元一次方程组的步骤 （1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系； （2）设未知数（设两个未知数）：用字母表示题目中的两个未知量； （3）列方程组：利用这些代数式列出反映两个等量关系的方程． 【题型5 判断二元一次方程组】 【例5】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列方程组一定属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：所有方程都是整式方程，方程组总共含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：、方程不是整式方程，该方程组不符合定义； 、方程中未知数的次数为，该方程组不符合定义； 、方程组中含有个未知数，该方程组不符合定义； 、两个方程都是整式方程，方程组共含、两个未知数，所有含未知数的项的次数都是，该方程组符合定义． 【变式5-1】请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数并且未知数的次数为1的整式方程，据此即可作答． 【详解】解：依题意，∵ ∴满足二元一次方程组，使该方程组无解． 故答案为：（答案不唯一） 【变式5-2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：方程组总共含有两个未知数，每个方程都是未知数最高次数为1的整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，方程含未知数，方程组共有3个未知数，不符合要求，错误； B选项，方程仅含两个未知数，所有未知数次数都为1，是整式方程，符合要求，正确； C选项，方程中的次数为2，不符合要求，错误； D选项，方程中项的次数为2，不符合要求，错误． 【变式5-3】下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意； ②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意； ③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意； ④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 【题型6 由二元一次方程组的定义求参数】 【例6】（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义得，求出后进行验证，即可得出最终的值． 【详解】解：∵方程组是关于的二元一次方程组， ∴，即， 解得：， 当时，原方程组可转化为：，不符合二元一次方程组的定义，舍去； 当时，原方程组可转化为：，符合二元一次方程组的定义； 综上所述：的值为． 故答案为：． 【变式6-1】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段检测）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为________． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组， ∴， 故答案为：0． 【变式6-2】（26-27七年级·全国·暑假作业）若是关于，的二元一次方程组，则__，__，__． 【答案】 3或2 【分析】二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，据此列式即可求解． 【详解】解： 是关于，的二元一次方程组， ，或0，， 解得：或2，，， 答案：3或2，， 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解． 【变式6-3】（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）若 是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，则m的值是（     ） A． B．3 C． D．任意实数 【答案】A 【详解】解：原方程组是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组， 解得：且 m的值是． 【题型7 判断二元一次方程组的解】 【例7】（25-26七年级下·河北廊坊·期末）若是二元一次方程组的解，则这个方程组可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足方程组中所有方程，因此将代入各选项验证即可． 【详解】解：把代入各选项逐一验证： 代入选项A，第一个方程左边右边， 第二个方程左边，故A错误； 代入选项B，第一个方程左边右边， 第二个方程左边，故B错误； 代入选项C，第一个方程左边右边， 第二个方程左边右边，两个方程都成立，故C正确； 代入选项D，第一个方程左边右边，故D错误． 【变式7-1】（25-26七年级下·贵州黔南·期末）已知方程，若将它与下列某个方程组成方程组，且该方程组的解为，则这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足组内每个方程，因此将已知的解代入各选项验证，等式成立的即为所求方程． 【详解】解：将代入选项A，得 ，等式不成立， ∴A错误； 将代入选项B，得 ，等式成立， ∴B正确； 将代入选项C，得 ，等式不成立， ∴C错误； 将代入选项D，得 ，等式不成立， ∴D错误． 【变式7-2】（25-26七年级下·福建福州·期中）满足二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（　　） 表1 0 1 2 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意及表格，找出两个方程公共解即可． 【详解】解：由表格数据可知，二元一次方程和相同的一组解是， 则方程组的解是． 【变式7-3】（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵同时满足两个方程， ∴二元一次方程组的解是． 【题型8 由二元一次方程组的解求参数】 【例8】（25-26七年级下·河南周口·期中）若方程组 的解满足， 则 _________． 【答案】2 【分析】根据方程组的解满足，先将代入，求出的值，再将的值代入第二个方程即可求解． 【详解】解：把代入，得： ， 解得， 将，代入 ，得： ， 解得：． 【变式8-1】（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）若是方程组的解，则________，________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将已知解代入原方程组，得到关于和的一元一次方程，分别求解即可得到结果． 【详解】解：∵是方程组的解， 将代入原方程组，得， 解得：． 【变式8-2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知是关于x，y的方程组的解，则_____． 【答案】2 【分析】把代入方程组，求出的值，即可得出结果. 【详解】解：∵是关于x，y的方程组的解， ∴， ∴， ∴. 【变式8-3】（25-26七年级下·河南开封·期中）如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数的和是_____． 【答案】 【分析】将代入方程，先求出表示的数，再代入求出表示的数，最后计算两个数的和即可． 【详解】解：把代入得， 解得：． 把代入得， 则被遮住的两个数的和为． 【题型9 根据具体问题列二元一次方程（组）】 【例9】（25-26七年级下·河南南阳·期末）有48支球队共520名运动员参加篮球、排球比赛,其中每支篮球队10人,每支排球队12人,每名运动员只能参加一项比赛.设篮球队有x支参赛,排球队有y支参赛,则所列方程组为__________. 【答案】 【分析】根据等量关系：48支球队共520名运动员，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得． 【变式9-1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）古代数学问题：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井的深度，如果将绳子折成四等份，那么井外余绳3尺，如果将绳子折成五等份，那么井外余绳2尺，绳长、井深各是多少尺？”若设绳长为尺，井深为尺，可列一个方程为，则另一个方程为_______． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据将绳子折成五等份，那么井外余绳2尺，列出第二个方程即可． 【详解】解：由将绳子折成五等份，那么井外余绳2尺，可得方程为； 故答案为：． 【变式9-2】（2026·河南洛阳·二模）《九章算术》中有一道“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人？物品的价格是多少？若设人数为，物价为，则可列二元一次方程组为：_____． 【答案】 【详解】解：由题意可得方程组为． 【变式9-3】（24-25八年级上·江西赣州·开学考试）个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为厘米的小正方形．设一个小长方形的长为厘米，宽为厘米，则所列二元一次方程组是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出方程组即可，根据图形找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 认识二元一次方程组（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 判断二元一次方程】 1 【题型2 由二元一次方程的定义求参数】 2 【题型3 二元一次方程的解代入求值】 2 【题型4 二元一次方程的整数解】 2 【题型5 判断二元一次方程组】 3 【题型6 由二元一次方程组的定义求参数】 4 【题型7 判断二元一次方程组的解】 4 【题型8 由二元一次方程组的解求参数】 5 【题型9 根据具体问题列二元一次方程（组）】 5 考点1 二元一次方程 知识点1 二元一次方程的定义 1. 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 2. 二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）所含未知数的项的次数为1；（3）方程是整式方程． 注意：“含有未知数的项的次数是1”不可理解为两个未知数的次数都是1．例如5xy＋3＝0中含有两个未知数，且未知数的次数都是1，但含未知数的项“5xy”的次数是2，所以它不是二元一次方程． 知识点2 二元一次方程的解 1. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 2. 在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解．但是如果对未知数加以条件限制，一般有有限个解． 【题型1 判断二元一次方程】 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·河南许昌·期末）请写出一个关于x，y的二元一次方程，使得是该二元一次方程的一组解，这个方程可以是________．（写出一个即可） 【变式1-2】（25-26七年级下·山东聊城·期末）下列方程中，是二元一次方程有（     ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】（25-26七年级下·河北保定·期末）若方程□是二元一次方程，则“□”可以是（     ） A． B． C． D． 【题型2 由二元一次方程的定义求参数】 【例2】（25-26七年级下·广西玉林·期末）已知是关于，的二元一次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级下·青海玉树·期末）若方程是关于，的二元一次方程，则满足的条件是________． 【变式2-2】若方程是关于的二元一次方程，则___________． 【变式2-3】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）已知是关于，的二元一次方程，则___________． 【题型3 二元一次方程的解代入求值】 【例3】（25-26六年级下·上海青浦·期末）若是方程的解，则______． 【变式3-1】（25-26七年级下·北京·期末）若是方程的解，则的值为__________． 【变式3-2】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（     ） A． B． C．2 D．5 【变式3-3】（25-26七年级下·重庆巴南·期末）若是方程的一个解，则的值为_________． 【题型4 二元一次方程的整数解】 【例4】（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）二元一次方程的正整数解有________组． 【变式4-1】写出二元一次方程的一个整数解______． 【变式4-2】方程5x+3y=54共有(  )组正整数解． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-3】方程的正整数解为_________． 考点2 二元一次方程组 知识点3 二元一次方程组的定义 1. 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 2. 判断一个方程组是否为二元一次方程组的关键 （1）判断方程组中的方程是否都是整式方程； （2）判断方程组中是否只含有两个未知数； （3）判断方程组中含有未知数的项的次数是否为1． 同时满足以上三点的方程组为二元一次方程组，否则不是二元一次方程组． 知识点4 二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 2. 代入法判断一组数是否为二元一次方程（组）的解 一组未知数的值二元一次方程（组）二元一次方程（组）的一个解． 知识点5 根据实际问题列二元一次方程组 列二元一次方程组的步骤 （1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系； （2）设未知数（设两个未知数）：用字母表示题目中的两个未知量； （3）列方程组：利用这些代数式列出反映两个等量关系的方程． 【题型5 判断二元一次方程组】 【例5】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列方程组一定属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解______． 【变式5-2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型6 由二元一次方程组的定义求参数】 【例6】（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 【变式6-1】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段检测）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为________． 【变式6-2】（26-27七年级·全国·暑假作业）若是关于，的二元一次方程组，则__，__，__． 【变式6-3】（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）若 是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，则m的值是（     ） A． B．3 C． D．任意实数 【题型7 判断二元一次方程组的解】 【例7】（25-26七年级下·河北廊坊·期末）若是二元一次方程组的解，则这个方程组可以是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26七年级下·贵州黔南·期末）已知方程，若将它与下列某个方程组成方程组，且该方程组的解为，则这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26七年级下·福建福州·期中）满足二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（　　） 表1 0 1 2 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【题型8 由二元一次方程组的解求参数】 【例8】（25-26七年级下·河南周口·期中）若方程组 的解满足， 则 _________． 【变式8-1】（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）若是方程组的解，则________，________． 【变式8-2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知是关于x，y的方程组的解，则_____． 【变式8-3】（25-26七年级下·河南开封·期中）如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数的和是_____． 【题型9 根据具体问题列二元一次方程（组）】 【例9】（25-26七年级下·河南南阳·期末）有48支球队共520名运动员参加篮球、排球比赛,其中每支篮球队10人,每支排球队12人,每名运动员只能参加一项比赛.设篮球队有x支参赛,排球队有y支参赛,则所列方程组为__________. 【变式9-1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）古代数学问题：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井的深度，如果将绳子折成四等份，那么井外余绳3尺，如果将绳子折成五等份，那么井外余绳2尺，绳长、井深各是多少尺？”若设绳长为尺，井深为尺，可列一个方程为，则另一个方程为_______． 【变式9-2】（2026·河南洛阳·二模）《九章算术》中有一道“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人？物品的价格是多少？若设人数为，物价为，则可列二元一次方程组为：_____． 【变式9-3】（24-25八年级上·江西赣州·开学考试）个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为厘米的小正方形．设一个小长方形的长为厘米，宽为厘米，则所列二元一次方程组是______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $