专题3.6 二元一次方程组的解法（高效培优讲义）数学湘教版2024七年级上册

专题3.6 二元一次方程组的解法 教学目标 1. 理解解二元一次方程组的核心思路是“消元”，能明确“消元”是将二元问题转化为一元问题的关键桥梁。 2. 熟练掌握代入消元法与加减消元法，能运用这两种方法求解简单的二元一次方程组。 3. 体会“转化”与“消元”的数学思想，提升观察、分析和解决方程组问题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）透彻理解“消元”思想是解二元一次方程组的本质，把握其将复杂问题简化的核心逻辑。 （2）扎实掌握代入消元法和加减消元法的具体步骤，并能准确运用它们解方程组。 2.难点 （1）分析方程组特点，灵活选择代入法或加减法进行消元，避免方法使用僵化或不当。 （2）当方程组需先变形（如乘系数）才能消元时，易出现计算错误，难以准确实现消元求解。 知识点01 代入消元法解二元一次方程组 1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程.③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 【即学即练2】（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查的是代入法解二元一次方程组，利用代入消元法求出解即可． 【详解】解：令 将①代入②，得， 解得． 将代入①，得， 解得． 所以原方程组的解是． 知识点02 加减消元法解二元一次方程组 1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 2）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 【即学即练3】（2025·江苏苏州·二模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键． 首先用加减消元法消去y求出x，然后代入原方程求出y即可． 【详解】解：， 由①+②得：，解得：， 将代入①，得：，解得：， ∴原方程组的解为． 题型01 用含一个字母的代数式表示另一字母 【典例1】（21-22八年级下·广东阳江·阶段练习）将，用含有x的式子表示y，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组的步骤，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤是解本题的关键．通过移项即可将方程变形为用x表示y的式子． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【变式1】（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）由方程组，可得出x与y的关系是 ． 【答案】 【分析】此题考查了代入消元法解二元一次方程组，利用了消元的思想消去字母m是解本题的关键．把代入即可消去m得到关于x，y的关系． 【详解】解：， 把代入得，， 整理得， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·广东中山·期中）已知，且x、y互为相反数，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查解二元一次方程组、相反数的性质，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解答的关键．根据相反数的性质得到，然后代入得到，进而解方程求解即可． 【详解】解：∵x、y互为相反数， ∴，则， 将代入中，得， 解得， 故答案为：2． 【变式3】（24-25七年级下·广东中山·期中）由可以得到用含x的式子表示y为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，利用等式的性质求解即可． 【详解】解：由得， ∴， 故选：B． 题型02 代入消元法解二元一次方程组 【典例2】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：由①，得． 把代入②，得，解得． 把代入①，得，解得， 所以原方程组的解为 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键. 【变式1】（2024·广东·模拟预测）解二元一次方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（代入消元法的应用），解题的关键是由第一个方程用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入第二个方程消元求解． 先从第一个方程变形得到，将其代入第二个方程中，把二元一次方程转化为一元一次方程，求解出的值，再将的值代入求出的值，进而得到方程组的解． 【详解】解：由，得． 将代入，得． 化简得，即． 把代入，得． 所以方程组的解为． 【变式2】（20-21七年级下·浙江衢州·期中）解方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键；在解二元一次方程组时，如果方程组中同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法比较简便；如果方程组中有一个未知数的系数的绝对值是1或者常数项是0时，用代入消元法比较简便． （1）根据代入消元法解即可； （2）根据加减消元法解即可． 【详解】（1）解：， 把代入得， 解得， 把代入得， 原方程组的解为． （2）解：， 由得， 由得， 解得， 把代入得， 解得， 原方程组的解为． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）用代入法解方程组时，有以下过程： （1）由①，得③． （2）将③代入②，得． （3）去括号，得，解得． （4）将代入③，得． 所以原方程组的解是 其中开始出现错误的一步是 ．（请填写序号） 【答案】（3） 【分析】本题主要考查代入消元法，熟练掌握代入消元法是解题的关键．根据代入消元法的运算法则进行判断即可． 【详解】解：， （1）由①，得③． （2）将③代入②，得． （3）去括号，得，解得． （4）将代入③，得． 所以原方程组的解是 则开始出现错误的一步是（3）． 故答案为：（3）． 题型03 加减消元法解二元一次方程组 【典例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中，能消元的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解方程组的基本步骤：消元．根据题意逐一验证每个选项即可． 【详解】解：A项：，得，故本选项不符合题意； B项：，得，故本选项不符合题意； C项：，得，故本选项不符合题意； D项：，得，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1】（2025·江苏苏州·模拟预测）解方程组∶ 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得：，解得； 把代入，得：，解得； ∴方程组的解为． 【变式2】（20-21七年级下·河南信阳·期末）已知满足方程组，则 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用整体思想成为解答本题的关键． 方程组两方程左右两边相减，再整理即可解答． 【详解】解：， ①②得：， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的步骤和消元方式． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 得：， 得：， 解得， 将代入①得：， 所以，原方程组的解为； （2）解： 得：， 得：， 得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 所以，原方程组的解为． 题型04 二元一次方程组的错解复原问题 【典例4】（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：把甲的解代入方程可得：， 把乙的解代入方程可得：， 联立可得：， 解得：； 故选C． 【变式1】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）甲、乙两人共同解方程组时，甲看错了方程②中的a，解得；乙看错了方程①中的b，解得，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的概念以及代数式的求值， 二元一次方程组的解是能使方程组中每个方程都成立的未知数的值，这是解题的关键． 根据甲、乙两人看错方程的情况，分别将他们得到的解代入对应的方程，从而求出和的值，最后代入所求式子计算． 【详解】解：甲看错了方程②中的，但方程①中的是正确的， 所以将甲得到的解， 代入方程①中，可得：， 移项，得． 乙看错了方程①中的，但方程②中的是正确的， 所以将乙得到的解，代入方程②中， 可得：，解得． 所以 ． 【变式2】（25-26八年级上·广东中山·开学考试）甲、乙两人同时解关于，的方程组，甲解对了，得，乙看错了，得试求出原方程组中的，，的值． 【答案】，，的值分别为： 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 把甲的结果代入方程组求出的值，得到关于与的方程，将乙结果代入第一个方程得到与的方程，联立求出与的值即可． 【详解】解：把代入方程组得：， 解得：， 把代入方程组中第二个方程得：，即， 联立得：， 整理得：得：， 把代入②得：． 答：，，的值分别为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出的值及原方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将甲得到的方程组的解代入第二个方程求出b的值，将乙得到方程组的解代入第一个方程求出a的值，确定出正确的方程组，求出方程组的解即可得到原方程组的解． 【详解】解：将代入②，得． 将代入①，得， 解得． 把代入方程组，得 ，得， 解得． 将代入③，得， 则原方程组的解为． 题型05 已知二元一次方程组的解求参数 【典例5】若关于、的方程的一个解是，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将代入原方程，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 的值为7． 故答案为：7． 【变式1】（2025·山东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ． 【答案】 3 1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键． 将代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴，， ∴，， 故答案为：3；1． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）关于的方程组的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组解的定义，将代入得出关于的二元一次方程组，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程组的解为， ∴，解得： ∴， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）方程组的解为，则“”“”表示的数分别是（   ） A．10，2 B．10，3 C．12，2 D．12，3 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将代入方程组即可得到以“■”“”为未知数的方程组，解方程组求解即可． 【详解】解：将代入方程组得：， 解得：，． 故选：A． 题型06 已知二元一次方程组解的情况求参数 【典例6】（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，加减消元法，先把两方程相加表示出，代入计算即可求出k的值． 【详解】解：记， 则①②，得， 整理，得． 代入得， 解得． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·贵州遵义·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为 ． 【答案】15 【分析】通过加减消元法先解二元一次方程组，用k表示x、y，再将x、y代入，解关于k的方程即可；本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：， 得， 解得； 把代入得， 解得； 把、代入得， 解得． 故答案为：15． 【变式2】（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（   ） A．4 B． C． D．4或5 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整数解问题，利用加减消元法求得，结合题干已知即可列出方程或或或，解得m，求得对应的x和y验证即可． 【详解】解：， 得，即， ∵是整数，方程组有正整数解， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 综上，． 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·贵州遵义·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论数m取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，掌握代入消元法是解题的关键． （1）根据可得，代入①求出与的解，然后将解代入②即可求出； （2）无论数取何值，该方程总有一个固定的解．这意味着解必须使含的项不影响等式，即的系数必须为0，由此求解． 【详解】（1）解：， ， 把代入得： ， 解得：， ， 把代入得： ， 解得： （2）解：， , 无论数m取何值，方程总有一个固定的解， ，解得： 固定解为：． 题型07 构造二元一次方程组求解 【典例7】（2025八年级上·全国·专题练习）若，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，解方程组求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程是关于x和y的二元一次方程，则 ， ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，解题的关键是熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 根据二元一次方程的定义列出关于，的方程组，求出，的值即可． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程， ， 解得． 故答案为：1，1． 【变式2】（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）请写出一个解是的二元一次方程组（不含） ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解，该题是开放题，注意方程组的解的定义．根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用，代换即可． 【详解】解：的解是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 【答案】 【分析】根据一次函数中自变量与函数值的对应关系，将两组、的值代入函数表达式，得到关于、的二元一次方程组，再求解该方程组得到、的值．本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，熟练掌握利用待定系数法求解一次函数解析式（即通过建立方程组求解未知系数）是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 解这个方程组得 题型08 利用同解方程组的问题求解 【典例8】（25-26八年级上·全国·期末）若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，由于所给两个方程组的解相同，那么先利用加减消元法对第二个方程组进行求解，从而得到x和y的值； 再将所得x和y的值代入含有a的方程中，进而通过解方程组就能得到a的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组和同解， ∴把代入，得， 解得：， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知关于的方程组与有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】将与组成方程组，解之可得到x、y的值，然后把x、y的值代入另外两个方程，即可得到结论． 【详解】解：由题意可将与组成方程组， 解得：， 把代入得：①， 把代入得：②， ①与②组成方程组得， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）关于，的方程组与有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，代数式求值，关于，的方程组与有相同的解，则，解得：，然后代入得，求出，最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的方程组与有相同的解， ∴与有相同的解， 由，解得：， 把代入得， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式求值，掌握二元一次方程组解的定义，解二元一次方程组的方法是解题的关键． 由题意可得方程组，利用加减消元法解方程组得出，把代入方程组，得，利用加减消元法求出，的值，最后把，的值代入计算即可． 【详解】解：由题意，得方程组， 解得：， 把代入方程组，得， 解得：， ． 题型09 二元一次方程组的有关的新定义、新运算问题 【典例9】（24-25七年级下·山东威海·期中）定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（     ） A．8 B．4 C．3 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出a、b的值是解此题的关键． 根据题意得出方程组，求出a、b的值，得到，再代入求出答案即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 即， ∴. 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）对x，y定义一种新运算“”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，，则的值是（  ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 得：， 把代入得：， ∴ 则， 故答案为：9． 【变式2】（20-21七年级下·浙江·期末）规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义，构造二元一次方程组求解，解答本题的关键是明确题意，求出、的值． 根据，其中，是不等于0的常数，且．，可以得到，，然后两个式子相减或相加，可以求得，，从而可以求得、的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ，， ∵，是不等于0的常数，且． ∴化简得：，， 即， 解得， ， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）根据题意列出方程组即可求出a与b的值； （2）根据新运算的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）小明在解关于的二元一次方程组时，不小心滴上了墨水，无法做题，老师告诉他这个方程组中的值为3，则●和的值分别为（    ） A．2，2 B．2， C．8， D．8，2 【答案】A 【分析】根据确定，把未知数的值都代入方程中，解答即可．本题考查了解方程组，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：根据题意，将代入，则， 解得， 把，代入，得， 故选：A． 2．（20-21七年级下·广西贵港·期中）已知关于x，y的方程组的解满足等式，则m的值是（   ） A．-4 B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后再根据可进行求解． 【详解】解：解关于x，y的方程组得， ∵， ∴， 解得：； 故选C． 3．（24-25七年级下·贵州·阶段练习）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用代入法解方程组即可． 【详解】解：方程组变形为： 由①得：， 把代入②式得：， 解得， 把代入， 得， 则方程组的解为， 故选B 4．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的方程组无解，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的无解问题，对于二元一次方程组，当时，方程组无解． 根据方程组无解的情况对原方程进行整理，进而计算即可． 【详解】整理得， ∵关于的方程组无解， ∴， 解得：， 故选：A 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）代数式是二次三项式，则m，n的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次三项式的定义，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二次三项式的定义． 根据二次三项式的定义列出方程，然后解方程组即可． 【详解】解：根据题意得，，， 由②式得，代入①中得， 整理得， 解得， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则x与y的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查由参数方程化为普通方程，掌握知识点是解题的关键． 根据加减法进行计算即可． 【详解】解： ，得 ． 故答案为：． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的二元一次方程组与的解相同，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了解二元一次方程组，理解题意，准确计算是正确解答此题的关键． 两个二元一次方程组有相同的解，首先从每个方程组中取一个系数完整的方程，组成一个新的方程组，解新方程组求出方程的解，再把求出的解分别代入方程，，得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，再把、的值代入代数式计算即可． 【详解】解：解方程组， 得：， 解得：， 把代入方程①可得：， 解得：， 方程组的解为， 把分别代入，， 可得：， 解得：， 把代入得： ， 故答案为：4 ． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）已知x的相反数是，y的相反数是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，解二元一次方程组，代数式求值，根据题意列出方程组是解题关键． 首先根据题意得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵x的相反数是，y的相反数是， ∴ 解得 ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，代数式求值． 把代入方程组，得出关于a，b的方程组，再根据加减消元法解方程组求解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得：， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， ∴． 故答案为：15． 10．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）已知方程组的解满足，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．先将方程组中的两个方程相减可得，则可得方程组，解方程组可得的值，再代入方程计算即可得． 【详解】解：， 由①②得：， 联立， 由③④得：， 将代入④得：， 将，代入②得：， 故答案为：4． 三、解答题 11．（25-26七年级下·全国·期中）宁宁准备解二元一次方程组发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”当成，请你帮助宁宁解二元一次方程组； (2)数学老师说：“你猜错了该题标准答案的结果，是一对相反数．”则原题中“”是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是加减消元法解二元一次方程组、已知二元一次方程组的解求参数，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）加减消元法解二元一次方程组即可； （2）根据题意得出，解二元一次方程组后，将其解代入即可得解． 【详解】（1）解：， 得，， ， 将代入得，， ； （2）解：依题意得：， 则的解与二元一次方程组的解相同， 中两式相加得，， ， 将代入得，， 即是二元一次方程组的解， 则， ． 故答案为：． 12．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）【问题呈现】已知实数x，y满足，且，求k的值． 【方法对比】 甲、乙、丙三名同学分别提出了三种不同的解题思路如下： （1）甲同学：先解关于x，y的方程组，再求k的值． （2）乙同学：先将方程组中的两个方程相减，再求k的值． （3）丙同学：先解方程组，再求k的值． 【解答问题】 你欣赏哪名同学的解题思路？请根据你所选的思路解答此题． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． 第一种思路：利用加减消元法解方程组，可用含k的式子表示出方程组的解，再根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案； 第二种思路：利用加减消元法用含k的式子表示出的结果，再根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案； 第三种思路：可建立方程组，解方程组后根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 第一种：我欣赏甲同学的思路， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得； 第二种：我欣赏乙同学的思路， 得， ∵， ∴， 解得 第三种：我欣赏丙同学的思路， 由题意得， 得：，解得， 把代入③得：，解得 ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得． 13．（20-21七年级下·云南昆明·期中）解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用． （1）应用代入消元法，求出方程组的解即可； （2）应用加减消元法，求出方程组的解即可． 【详解】（1）解：由②，可得：③， ③代入①，可得：， 解得， 把代入③，可得， 原方程组的解是； （2）解：，可得， 解得， 把代入①，可得， 解得， 原方程组的解是． 14．（24-25七年级下·贵州·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得到方程组的解为，乙看错了方程组中的，而得到方程组的解为． (1)求出和的值； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． （1）把代入②可解得正确的b，把代入①可解得正确的a； （2）把，代入得，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 把代入②得， 解得； 把代入①得 ， 解得：； （2）把，代入得 得， 把代入③得 ∴原解方程组的解为． 15．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：…（1）， 得：…（2） ∴（3） (1)第 步（填序号）出错； (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)（1）； (2)，过程见详解． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、等式的基本性质等知识点，灵活运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据等式的性质即可判断第（1）步出错； （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：第（1）步出错． 故答案为：（1）． （2）解：， 得：③， 得：， ∴． 把代入②，得， 所以方程组的解是． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知方程组和方程组有相同的解，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解的定义，掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．利用加减消元法解方程组得到x、y的值，再把x、y的值代入方程组求解即可得到答案． 【详解】解：解方程组，得． 所以， 解得：． 17．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入法和加减法是解题的关键． （1）利用加减消元法求出解即可； （2）利用代入消元法求出解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得， 原方程组的解是； （2）解：， 把①代入②，得， 解得：， 把代入①，， 原方程组的解是． 18．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下面解方程组的过程． 解方程组 解：原方程组可化为 ②－①，得，即． 把代入方程②，得，解得，所以，所以原方程组的解是 以上解方程的方法叫作“消常数项法”． 请用“消常数项法”解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按示例“消常数项法”解题即可； （2）②×2化为两个方程常数项相等，再按示例“消常数项法”解题即可． 【详解】（1）解： ①-②，得，即．③ 将③代入②，得，解得． 将代入③，解得． 故原方程组的解为 （2）（2） ②×2-①，得，即． 把代入①，得，解得． 把代入，得． 故原方程组的解为 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握“消常数项法”解二元一次方程组是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题3.6二元一次方程组的解法 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1代入消元法二元一次方程组 知识清单 知识点2加减消元法二元一次方程组 题型1用含一个字母的代数式表示另一字母 题型2代入消元法解二元一次方程组 二元一次方程组的解法 题型3加减消元法解二元一次方程组 题型4二元一次方程组的错解复原问题 题型精讲 题型5已知二元一次方程组的解求参数 题型6已知二元一次方程组解的情况求参数 题型7构造二元一次方程组求解 题型8利用同解方程组的问题求解 题型9二元一次方程组有关的新定义新运算问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解解二元一次方程组的核心思路是“消元”，能明确“消元”是将二元问题转化 为一元问题的关键桥梁。 教学目标 2.熟练掌握代入消元法与加减消元法，能运用这两种方法求解简单的二元一次方程 组。 3.体会“转化”与“消元”的数学思想，提升观察、分析和解决方程组问题的能力。 1.重点 (1)透彻理解“消元”思想是解二元一次方程组的本质，把握其将复杂问题简化的 核心逻辑。 (2)扎实掌握代入消元法和加减消元法的具体步骤，并能准确运用它们解方程组。 教学重难点 2.难点 (1)分析方程组特点，灵活选择代入法或加减法进行消元，避免方法使用僵化或不 当。 (2)当方程组需先变形（如乘系数）才能消元时，易出现计算错误，难以准确实现 消元求解。 1/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01代入消元法解二元一次方程组 1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一 个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代 数式表示另一个未知数：②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求 解该一元一次方程③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 2x-6=3y 【即学即练2】(2025八年级上·全国专题练习)解方程组： 5x-9y=14 知识点02加减消元法解二元一次方程组 1)加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加 或相减，消去一个未知数的方法。 2)加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式：②将两个方程的两边分 别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解：③将求解出来的值代入任意原方程中， 求解出另一个未知数的值， 3x-2y-7=0 【即学即练3】(2025江苏苏州二模)解方程组： 5x+2y=1· 题型精讲 题型01用含一个字母的代数式表示另一字母 【典例1】(21-22八年级下广东阳江阶段练习)将2x+y=1,用含有x的式子表示y,下列式子正确的是 () A.y=1-2x B.y=2x-1 C.x=I+y 2 D.x=I-y 2 x+m=4 【变式1】(2023七年级下·浙江宁波竞赛)由方程组 y-3=m,可得出x与y的关系是一 【变式2】(24-25七年级下广东中山期中)已知2x-y=-6,且x、y互为相反数，则y=一· 2/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(24-25七年级下广东中山期中)由3y-2x=4可以得到用含x的式子表示y为() 5+4B.y=2x+4 4-2x D.y= 3 C,y=4-2 g r 3 题型02代入消元法解二元一次方程组 x+y-4=0① 【典例2】(2025七年级上·全国专题练习)解方程组 x+八-x=-1② 1 [x-3y=0 【变式1】(2024广东模拟预测)解二元一次方程组： 了11 6x+2y=1 【变式2】(20-21七年级下浙江衢州期中)解方程组. y=2x-1 (01x+2y=-7 2s+3t=-1 (2)14s-91=8 2x+y=4① 【变式3】(25-26八年级上：全国-课后作业)用代入法解方程组3x-2y=-1②时，有以下过程： (1)由①，得y=4-2x③. (2)将③代入②，得3x-2(4-2x)=-1. (3)去括号，得3x-8-2x=-1,解得x=7. (4)将x=7代入③，得y=-10 x=7 所以原方程组的解是 y=-10 其中开始出现错误的一步是一.（请填写序号） 题型03加减消元法解二元一次方程组 x-y=5① 【典例3】(24-25七年级下·全国·单元测试)用加减消元法解二元一次方程组 2x-3y=32时，下列方法 3/11 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 中，能消元的是() A.①×2+② B.①×-2)-② C.①×3+② D.①×(-3)+② 3x-4y=9 【变式1】(2025江苏苏州模拟预测)解方程组： x+2y=3 2x+y=5 【变式2】(2021七年级下-河南信阳期末)已知x,y满足方程组x+2y=7,则x-y= 【变式3】(24-25八年级上·吉林长春阶段练习)解下列方程组： [2x+y=4 (01x-2y=-3 3x-2y=6 (2)12x+3y=17 题型04二元一次方程组的错解复原问题 【典例4】(22-23七年级下·黑龙江哈尔滨阶段练习)甲、乙两人同求方程x-by=7的整数解，甲正确的 x=1 x=1 求出一个解为=-1，乙把ax-r=7看成，求得一个解为y=2,则。6的值分别为（） ax+by=1 a=2 a=5 a=13 a=-6 A. b=5 B. b=2 C. 1b=-6 D. b=13 4x=by-2① 【变式1】(24-25七年级下·湖北宜昌·期末)甲、乙两人共同解方程组 ax+5y=152时，甲看错了方程② x=-3 x=5 2022 y=-1:乙看错了方程①中的b,解得 求a2021+ b 中的a,解得 y=4 1 的值. m.x-7y=8 【变式2】(25-26八年级上~广东中山开学考试)甲、乙两人同时解关于x'y的方程组ax+y=2,甲 4/11 ©命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 x=3 x=-2 解对了，得 二2，乙看错了m得=2试求出原方程组中的m'。'6 的值。 m ax+5y=15① 【变式3】(25-26八年级上·全国·单元测试)已知方程组 4x+by=-2②’由于甲看错了方程①中的a,得 x=-3 x=5 到方程组的解为 =-1,乙看错了方程②中的6，得到方程组的解为少二2，试求出b的值及原方程组 的解. 题型05已知二元一次方程组的解求参数 x=2 【典例5】若关于x',的方程+2y=6的一个解是 「y=-4’则， k= ax+y=2 x=2 【变式1】(2025山东模拟预测)若关于x,y的二元一次方程组6x-y=6的解是y=-4则 a=- b=· ax+y=1 x=-1 【变式2】(25-26八年级上·黑龙江绥化开学考试)关于。，的方程组 x、y x+y=-3的解为 少=2，则 a+b的值是() A.-2 B.-1 C.0 D.1 2x+3y=■ x=2 【变式3】(24-25七年级下·吉林长春阶段练习)方程组 x+2y=6 的解为 y=★，则“”“”表 ★ 示的数分别是() A.10,2 B.10,3 C.12,2 D.12,3 题型06已知二元一次方程组解的情况求参数 2x-y=5k+6 【典例6】(24-25七年级下全国单元测试)若关于x,y的方程组4+7y=k的解满足x+y=2024' 则k的值为() A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 5/11 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 x-y=k+5 【变式1】(24-25七年级下·贵州遵义阶段练习)若关于x,y的二元一次方程组 3r+2y=k的解满足 x+y=2,则k的值为一· [4x-3y=6 【变式2】(2023七年级下：浙江宁波：竞赛)已知m是整数，方程组6x-w=26有正整数解，则m的值 m m 为() A.4 B.-4 C.±4 D.4或5 2x+y-6=0① 【变式3】(24-25七年级下·贵州遵义阶段练习)已知关于x,y的二元一次方程组 2x-2y+my+8=0②· (1)若方程组的解满足x-y=0,求m的值： (2)无论数m取何值，方程2x-2y+y+8=0总有一个固定的解，请求出这个解. 题型07构造二元一次方程组求解 【典例7】(2025八年级上全国专题练习)若3a+b+5+2a-2b-2=0,则2a2-3b的值是() A.4 B.2 C.-2 D.-4 【变式1】(2025八年级上全国专题练习)已知方程2x2m"+4y-2m=1是关于x和y的二元一次方程，则 m=,n=—· x=1 【变式2】(24-25七年级下·四川遂宁阶段练习)请写出一个解是y=-1的二元一次方程组（不含 x=1 y=-1) 【变式3】(24-25七年级下·贵州贵阳阶段练习)已知关于x,y的二元一次方程y=x+b,当x=1时， y=5:当x=-1时，y=3.求k,b的值. 题型08利用同解方程组的问题求解 6/11 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2x+ay=10 「x-y=-2.5 【典例8】(25-26八年级上·全国·期末)若方程组 3x+4y=13.5和3x-y=-1.5同解，则a的值是（) A.2 B.3 C.4 D.不存在 x+y=5 「2x-y=1 【变式1】(25-26八年级上全国-课后作业)已知关于x,y的方程组4a+5y=-22与ar-y-8=0有相 同的解，则a+b的值为一· 2x+3y=19「3x-2y=9 【变式2】(2425七年级上：内蒙古呼伦贝尔期未)关于x'y的方程组x+=1与x+2w=7有相同 的解，则a+4b-3的值为一 2x+y=-2 bx+ay=-4 【变式3】(24-25七年级下四川泸州阶段练习)已知方程组 a-=-8和方程组3x-y=12的解相同， 求(2a+b)2025的值. 题型09二元一次方程组的有关的新定义、新运算问题 【典例9】(24-25七年级下山东威海·期中)定义运算“*”，规定x*y=ax2+by,其中a,b为常数，且 1*2=5,2*1=6,则2*3=() A.8 B.4 C.3 D.10 【变式1】(2425七年级下·浙江湖州期中)对x,y定义一种新运算“※”，规定：※y=mx+y(其 中m,n均为非零常数)，若1※1=4,1※2=3，则2※1的值是() A.3 B.5 C.9 D.11 【变式2】(20-21七年级下…浙江期末)规定新运算：m★n=am+bn,其中a,b是不等于0的常数，且 a≠.己知x★y=a,y★x=b,则y的值为（） A.2 B.1 C.0 D.-1 【变式3】(24-25七年级下·浙江杭州阶段练习)对于实数，规定新运算：x*y=r+y,其中a、b是常 数.己知2*3=7，（-1)*(-3)=-5. (1)求a、b的值： 7/11 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2)求1*5的值. 强化训练 一、单选题 ●x+2y=10 1.(25-26八年级上全国单元测试)小明在解关于x,y的二元一次方程组 3x-2y=5时，不小心滴上了 墨水，无法做题，老师告诉他这个方程组中的值为3，则●和y的值分别为() 1 A.2,2 B.2,2 C.8,2 D.8,2 4x+y=3m 2.(20-21七年级下广西贵港·期中)已知关于x,y的方程组 x-y=7m-5的解满足等式2x+y=8'则 m的值是() A.-4 B.4 C.-6 D.6 x+3=2y 3.(2425七年级下·贵州-阶段练习)方程组3x-2=3-y的解是〔） x=-1 x=1 x=1 x=2 A. y=2 y=2 ·1y=-2 D. y=1 2x+y=1 4.(2025八年级上全国·专题练习)若关于的方程组 x.V (3k+1x-y=3无解，则，的值为() A.-1 B.1 C.3 D.5 5.(24-25七年级上全国课后作业)代数式(m-n-4)x+2x+”+4x-1是二次三项式，则m,n的值是 () A.m=2,n=0B.m=3,n=-1C.m=5,n=1D.m=0,n=2 二、填空题 [x=3-t 6。(20-21七年级下·黑龙江哈尔滨阶段练习)若y=5+t'则x与y的关系式是一 [mx+3y=7,「-x+5y=3 7.(2025八年级上：全国专题练习)若关于xy的二元一次方程组4r+y=9与5x+=8的解相同， 则m-n的值为一 8/11 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 8.(2025八年级上全国专题练习)己知x的相反数是3y+1,y的相反数是2x-1,则3x-4y=一· x=2 ax+by=-4 9.(24-25七年级下.全国·单元测试)已知 =-3是关于y的二元一次方程组2r=10的解，则 a+7b的值为· 3x+5y=k+2 10.(24-25七年级下·甘肃武威期中)已知方程组 2x+3沙=青的解满足+y=2则无的值为 三、解答题 x-y=4 11.(25-26七年级下·全国期中)宁宁准备解二元一次方程组 ※x+y=8发现系数“※”印刷不清楚. ※ x-y=4 (山)他把“※”当成3，请你帮助宁宁解二元一次方程组 3x+y=8 2)数学老师说：“你猜错了该题标准答案的结果x,'是一对相反数.”则原题中“※”是一。 3x+2y=7k-2 12.(2-23七年级下安徽合肥期末)【问题呈现】已知实数x,y满足2x+3y=6，且x-y=4求 k的值. 【方法对比】 甲、乙、丙三名同学分别提出了三种不同的解题思路如下： 3x+2y=7k-2 (1)甲同学：先解关于x,y的方程组 2x+3y=6 ，再求k的值. 3x+2y=7k-2 (2)乙同学：先将方程组 2x+3y=6 中的两个方程相减，再求k的值. x-y=4 (3)丙同学：先解方程组 2x+3y=6’再求k的值. 【解答问题】 你欣赏哪名同学的解题思路？请根据你所选的思路解答此题， 13.(20-21七年级下·云南昆明期中)解方程组 3x-2y=7① ()x+2y=5@ 5m+2n=1① (2)3 -7m+3n=16②' ax-y=7 14。(24-25七年级下贵州-阶段练习)在解方程组x+y=14时，由于粗心，甲看错了方程组中的。，而 9/11 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 x=2 x=-2 得到方程组的解为 y=6, 乙看错了方程组中的，，而得到方程组的解为 y=-5 (1)求出a和b的值： (2)求出原方程组的正确解。 3x+2y=1① 15.(23-24八年级上甘肃兰州期末)下面是小华同学解方程组 4x-y=-62的过程，请你观察计算过 程，回答下面问题. 解：②×2得：8x-2y=-6③…(1)， ①+③得：11x=-5…(2) ∴= 11…(3) (1)第步（填序号）出错： (2)请你写出正确的解题过程. x+3y=1 y-x=3a-2b 16.(24-25七年级下·全国单元测试)已知方程 x+y=4a-b和方程组2x-y=-5有相同的解，求 a,b的值. 17.(23-24七年级下·甘肃武威期末)解方程组 「3x-4y=5 (012x+3y=-8 y=1-x (2)15x+2y=8 18.(2025七年级上全国·专题练习)阅读下面解方程组的过程. x y4 解方程组 3153 x y 2 4103 xy=4,① 3153 解：原方程组可化为 x_y_4② 253 x 2y ②-①，得615 4 =0,即x= 5. 16 x= 39 把 4代入方程②，得2y一4'解得 S 20’所以 16’所以原方程组的解是 20 X= -5=3 X= y= 3 3 3 10/11