专题3.2 等式的基本性质和一元一次方程的解法（举一反三讲义）数学新教材湘教版七年级上册

本讲义聚焦等式的基本性质（对称性、传递性、加减乘除性质）与一元一次方程解法（移项、去括号、去分母及综合运用），构建从性质理解到步骤掌握再到特殊问题解决的学习支架，衔接紧密。 资料通过16类题型（含例题与变式）系统覆盖知识点，结合游戏卡片、天平比较等实例培养数学思维（推理意识、运算能力）与模型意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生举一反三，查漏补缺。

专题3.2 等式的基本性质和一元一次方程的解法（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 由等式的性质判断变形正误】 2 【题型2 由等式的性质变形为的形式】 3 【题型3 由等式的性质比较大小】 3 【题型4 等式的性质的实际应用】 3 【题型5 解一元一次方程（移项）】 5 【题型6 解一元一次方程（去括号）】 6 【题型7 解一元一次方程（去分母）】 6 【题型8 解一元一次方程】 8 【题型9 写出解一元一次方程的变形依据】 9 【题型10 由两个一元一次方程解之间的关系求字母的值】 10 【题型11 一元一次方程的整数解问题】 11 【题型12 由一元一次方程的解的情况求值】 11 【题型13 错看或错解一元一次方程问题】 12 【题型14 一元一次方程的遮挡问题】 12 【题型15 整体换元求一元一次方程的解】 13 【题型16 解含有绝对值的方程】 13 考点1 等式的性质 知识点1 等式的性质 性质 内容 字母表示 示例 两个基本事实 对称性：如果 ，那么； 传递性：如果 ，那么 若 ，则，则 性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果 ，那么 若 ，则 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果 ，那么；如果，那么 若 ，则， 【题型1 由等式的性质判断变形正误】 【例1】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）下列变形正确的是 （   ） A．变形得 B．变形得 C．变形得 D．变形得 【变式1-1】（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）在将等式变形时，嘉淇的变形过程如下： 解：因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） 下列对嘉淇的变形过程的判断和论述正确的是（   ） A．第一步变形错误，化简结果应该是 B．第二步变形错误，化简结果应该是 C．第一步第二步都有错误，最终化简结果应该是 D．第一步和第二步都没有错误 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·单元复习）小梦同学将等式根据等式性质进行了四种变形，你认为变形正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（24-25七年级上·河北邢台·期末）一名同学把“等式①”按照如图所示的程序做了变形： 小明认为：等式①②③依次为；；． 以上等式中，符合题意的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【题型2 由等式的性质变形为的形式】 【例2】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）利用等式的基本性质，将等式变形为（为常数）的形式为______． 【变式2-1】利用等式的基本性质可将等式变形为________． 【变式2-2】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）请阅读下方解方程的过程，三个步骤中，不是依据等式的基本性质变形的是______．（请填写序号） 【变式2-3】运用等式的性质变形：若，则____________ ． 【题型3 由等式的性质比较大小】 【例3】（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m______n．（填“”“”或“”） 【变式3-1】已知（m、n都不为零），比较m、n的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若，你能根据等式的性质比较与的大小吗？ 【变式3-3】设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（　　）    A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇 【题型4 等式的性质的实际应用】 【例4】（25-26七年级下·福建泉州·期末）在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有  1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是（    ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 A．E卡片 B．B卡片 C．C卡片 D．D卡片 【变式4-1】（2025七年级上·全国·专题练习）观察思考：下图中号天平的右边盘里应该放几个苹果？ 【变式4-2】（2025·安徽安庆·模拟预测）今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【变式4-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）一段路程分为平路和上坡两段，平路和上坡的路程之比为，总路程为．汽车在平路匀速行驶的速度为，在上坡匀速行驶的速度为，行驶该路程的总用时可表示为．若把该等式变形为已知，，，求，可得__________． 考点2 解一元一次方程——移项 知识点2 移项 1. 移项 （1）把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项． （2）移项的目的：使含有未知数的项与常数项分别位于方程的两边，以便为下一步合并同类项创造条件．移项的依据是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等． （3）移项的方法：通常把方程右边的含未知数的项改变符号后移到方程左边，把方程左边的常数项改变符号后移到方程右边．但也不尽然，比如为使未知数的系数不出现负数，也可以把含未知数的项放在右边，常数项放在左边．例如：，移项，得，所以，即方程的解为． 2. 移项法解一元一次方程的步骤 （1）移项； （2）合并同类项； （3）系数化为1． 例如，解方程：，移项，得． 合并同类项，得．系数化为1，得． 【题型5 解一元一次方程（移项）】 【例5】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）解方程时，移项得，这一步实质上是在方程两边同时（     ） A．减去 B．减去 C．加上 D．加上 【变式5-1】将方程移项得，你认为“移项”的依据是___________． 【变式5-2】若多项式的值为，则____________． 【变式5-3】如果与互为相反数，则m的值为_______． 考点3 解一元一次方程——去括号 知识点3 去括号 去括号 （1）解含有括号的一元一次方程时，利用去括号法则去掉括号． （2）去括号是为了下一步能用移项法解方程，实质是分配律． （3）去括号各项的变化： ①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相同，例如：； ②如果括号外的因数是负数，去括号后要改变原括号内各项的符号，例如：； ③当括号前不是“”或“”时，去括号时，将括号外的因数连同前面的符号看成一个整体，按分配律乘括号内的每一项，再把积相加． （4）去括号解一元一次方程的步骤： ①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1． 【题型6 解一元一次方程（去括号）】 【例6】（25-26六年级上·上海宝山·期末）对于方程，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）下列各数是方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）解方程： 【变式6-3】（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知关于的方程有无数多个解，那么__________，___________． 考点4 解一元一次方程——去分母 知识点4 去分母 去分母 （1）在含有分数系数的方程两边都乘同一个数（该数为各分母的最小公倍数），使方程中不含分母，这样的变化过程叫作去分母． （2）去分母的目的是将方程中的分数系数转化为整数，再利用去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程．去分母的依据是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． （3）对于含小数的一元一次方程，先将小数化为分数，再利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程． 【题型7 解一元一次方程（去分母）】 【例7】把方程去分母，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26七年级下·四川遂宁·期末）方程的解是________． 【变式7-2】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小萌同学的解题过程： 解：去分母(方程两边乘12)，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 系数化为1，得⑤ (1)以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)上述小萌的解题过程从第 步开始出现错误． (3)请帮小萌改正错误，写出完整的解题过程． 【变式7-3】当x取任意一个有理数时，等式都成立，则的值为________． 考点5 解一元一次方程的综合运用 知识点5 解一元一次方程的步骤 变形名称 具体做法 变形根据 易错点 示例 去分母 方程两边乘各分母的最 小公倍数 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 （1)易漏乘不含分母的项； （2)分子是和、差的形式时，分子容易漏加括号 两边同乘12， 去括号 可按“小、中、大”的顺序去括号，也可灵活决定 （1）分配律； （2）去括号法则 （1）容易漏乘括号里面的项； （2）容易出现符号错误 移项 把含有未知数的项移到 方程的一边，常 数 项 移 到方 程 的另一边 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 移项容易不变号 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数相加时容易算错 系数化为1 方程两边除以未知数的系数 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 （1）系数含字母时,容易不先判断系数是否为0而直接两边同时除以系数； （2）容易 把分子、分母颠倒 知识点6 解含有绝对值的方程 根据“”，将绝对值符号去掉，化为两个一元一次方程，再解这两个方程．例如，解方程：，去绝对值符号，得，即，解得． 【题型8 解一元一次方程】 【例8】解方程： (1)； (2)=+． 【变式8-1】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图是年月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为、、、、），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26七年级下·四川乐山·阶段检测）下面是从小明同学作业本中摘抄的内容，其中正确的是（    ） A．方程，移项得： B．方程，去分母得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为得 【变式8-3】（25-26七年级下·重庆万州·期中）对于两个不相等的有理数m、n，我们规定符号表示m，n中较小的数，例如：，按照这个规律，那么方程的解为（   ） A． B． C． D． 或 【题型9 写出解一元一次方程的变形依据】 【例9】依据下列解方程的过程，在括号内填写变形依据． (1)解：去分母， 得，变形的依据是________ ① 去括号， 得， 去括号依据是 ② 合并同类项得， ③ 系数化为1得， ④ 第_________步开始出现错误，错误的原因是_______； (2)解出此方程： 【变式9-1】（24-25六年级上·上海闵行·期末）小胖、小丽、小明、小帅在解方程“”时都得到“”，小胖依据的是“被减数等于差加上减数”，小丽依据的是“等号两边同时加上同一个数”，小明依据的是“等号两边同时乘以或除以同一个数”，小帅依据的是“移项法则”，算理错误的同学是（   ） A．小胖； B．小丽； C．小明； D．小帅． 【变式9-2】如图的框图表示解方程的流程，其中第步和第步变形的依据相同，这两步变形的依据是（   ） A．乘法分配律 B．分数的基本性质 C．等式的基本性质 D．等式的基本性质 【变式9-3】计算： (1)下面是解方程的主要过程 解：原方程化为______， 去分母，得 ②， 去括号，得______， 移项，得______， 合并同类项，得（合并同类项法则）， 把未知数x的系数化为1，得______． 请从长方形框中选择与方程变形对应的依据，并将依据的序号填在相应的横线上； (2)仿照上例解方程：（不需要指出每步的依据） 【题型10 由两个一元一次方程解之间的关系求字母的值】 【例10】（25-26七年级下·四川内江·期末）若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【变式10-1】（25-26七年级下·全国·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． 【变式10-2】（25-26七年级上·广东惠州·期末）如果两个一元一次方程的解和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如，方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是______ ． 【变式10-3】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如果两个方程的解相差a，a为正整数，那么称解较大的方程为另一个方程的“a—稻香方程”，例如方程是方程的“5—稻香方程”． (1)若方程是方程的“a—稻香方程”，则 ； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“3—稻香方程”，求m的值． 【题型11 一元一次方程的整数解问题】 【例11】（25-26七年级上·山东临沂·期末）已知关于的方程有整数解，则非负整数的值是__________． 【变式11-1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知关于的方程有整数解，且是整数，则所有满足条件的值的和为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26六年级上·上海·期末）已知关于的方程有负整数解，则整数的所有可能的取值的和为________． 【变式11-3】（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【题型12 由一元一次方程的解的情况求值】 【例12】关于x的方程的解是自然数，则整数k的值为_____、_____、______． 【变式12-1】（24-25八年级下·上海·阶段检测）如果关于的方程无解，那么满足的条件是_____． 【变式12-2】（2025七年级上·全国·专题练习）已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 【变式12-3】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知关于的方程，无论取何值方程恒成立，则的个位数字是__________． 【题型13 错看或错解一元一次方程问题】 【例13】（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）已知算式“”． (1)小欣将数字“5”抄错了，所得结果为，则小欣把“5”错写成了________． (2)小马不小心把运算符号“”错看成了“+”，则小马的计算结果比原题的正确结果大多少？ 【变式13-1】 某同学解方程时，把□处数字看错解得，他把□处看成了（   ） A．3 B． C．8 D． 【变式13-2】（25-26六年级下·山东青岛·期中）小明解方程时，去分母时方程右边的1忘记乘6，得到错误解，则方程正确的解_____． 【变式13-3】（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“”看成“”，按照正确的运算顺序计算，结果为，则的正确结果是______． 【题型14 一元一次方程的遮挡问题】 【例14】（24-25七年级下·重庆·阶段检测）方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式14-1】下面是一个被墨水污染过的方程： ，答案显示方程的解是负数，若被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数的取值范围是______． 【变式14-2】（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）小明在做作业时遇到一道题：■，其中■是被墨水污损而看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果为，则■表示的数是__________. 【变式14-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）小明做了这样一道计算题：，其中“■”表示被墨水污染看不到的一个数，他看了后边的答案，得知该题的计算结果为6，那么“■”表示的数是_______． 【题型15 整体换元求一元一次方程的解】 【例15】（24-25七年级上·陕西西安·期末）阅读材料：整体思想是数学解题中一种重要的思想方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：已知，则关于的一元一次方程的解是_____． 【变式15-1】（25-26七年级下·四川遂宁·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【变式15-2】（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【变式15-3】（25-26七年级下·山东淄博·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【题型16 解含有绝对值的方程】 【例16】（24-25七年级下·河南南阳·期中）【阅读材料】 由绝对值的定义可知．若，则或；若，则．我们可以根据上面的定义，解一些简单的绝对值方程 例如，解方程 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时．原方程化为，解得， 所以原方程的解为或 解法二：移项得，合并同类项得，根据绝对值的意义知． 所以原方程的解为或． 【解决问题】 请你用两种方法解方程． 【变式16-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）先阅读，后解题：符号表示的绝对值为3，表示的绝对值为3，如果那么或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程：． 【变式16-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）若代数式的绝对值与的绝对值相等，则x的值为________． 【变式16-3】我们已经知道“非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数”，利用这个知识可以解含有绝对值的方程，如：解方程． 解：当时，，方程化为，解得（符合题意）； 当时，，方程化为，解得（符合题意）． 方程的解为或． （1）方程的解为 __； （2）方程的解为 __． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 等式的基本性质和一元一次方程的解法（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 由等式的性质判断变形正误】 2 【题型2 由等式的性质变形为的形式】 4 【题型3 由等式的性质比较大小】 5 【题型4 等式的性质的实际应用】 7 【题型5 解一元一次方程（移项）】 10 【题型6 解一元一次方程（去括号）】 11 【题型7 解一元一次方程（去分母）】 13 【题型8 解一元一次方程】 16 【题型9 写出解一元一次方程的变形依据】 19 【题型10 由两个一元一次方程解之间的关系求字母的值】 22 【题型11 一元一次方程的整数解问题】 24 【题型12 由一元一次方程的解的情况求值】 28 【题型13 错看或错解一元一次方程问题】 30 【题型14 一元一次方程的遮挡问题】 32 【题型15 整体换元求一元一次方程的解】 34 【题型16 解含有绝对值的方程】 36 考点1 等式的性质 知识点1 等式的性质 性质 内容 字母表示 示例 两个基本事实 对称性：如果 ，那么； 传递性：如果 ，那么 若 ，则，则 性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果 ，那么 若 ，则 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果 ，那么；如果，那么 若 ，则， 【题型1 由等式的性质判断变形正误】 【例1】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）下列变形正确的是 （   ） A．变形得 B．变形得 C．变形得 D．变形得 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，根据等式两边同时加上、减去、乘以或除以同一个数（除数不为0），等式仍然成立，判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：A．，正确变形应为，但选项得，故A错误； B．，正确变形应为，但选项得，故B错误； C．，正确变形应为，但选项得，故C错误； D．，两边减去x得，故D正确． 故选：D． 【变式1-1】（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）在将等式变形时，嘉淇的变形过程如下： 解：因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） 下列对嘉淇的变形过程的判断和论述正确的是（   ） A．第一步变形错误，化简结果应该是 B．第二步变形错误，化简结果应该是 C．第一步第二步都有错误，最终化简结果应该是 D．第一步和第二步都没有错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质解答即可． 【详解】解：∵， 两边加，得（第一步正确）， ∴，即， ∴（第二步错误）． 故选：B． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·单元复习）小梦同学将等式根据等式性质进行了四种变形，你认为变形正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等式的基本性质：①等式两边同时加上（减去）同一个数，等式仍然成立；②等式两边同时乘以（除以）同一个不为0数，等式仍然成立，由等式的基本性质逐项验证即可得到答案．熟记等式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：由等式基本性质，等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立，则，故①正确； 由等式基本性质，等式两边同时乘以同一个不为0数，等式仍然成立，则，故②正确； 由等式基本性质，等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立，则，故③正确； 由等式基本性质，等式两边同时除以同一个不为0数，等式仍然成立，则当时，有，故④不一定正确； 综上所述，变形正确的是①②③， 故选：C． 【变式1-3】（24-25七年级上·河北邢台·期末）一名同学把“等式①”按照如图所示的程序做了变形： 小明认为：等式①②③依次为；；． 以上等式中，符合题意的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式性质，先根据等式两边都除以5，即得等式①为，然后依次得出等式②和等式③，即可得出答案． 【详解】解：由题知等式①两边都乘5，得， 等式两边都除以5，即得等式①为； 等式①两边都减2，得等式②为， 把与的两边分别相加，得等式③为； 综上分析可知：符合题意的个数为3个． 故选：A． 【题型2 由等式的性质变形为的形式】 【例2】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）利用等式的基本性质，将等式变形为（为常数）的形式为______． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质解答即可，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：等式两边同时加，得， 两边同时除以，得， 故答案为：． 【变式2-1】利用等式的基本性质可将等式变形为________． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，等式两边同时减去2，即可求解． 【详解】解： 等式两边同时减去2，得 故答案为：． 【变式2-2】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）请阅读下方解方程的过程，三个步骤中，不是依据等式的基本性质变形的是______．（请填写序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了解方程，等式的基本性质，解题的关键是掌握解方程的步骤与等式的基本性质的联系． 根据等式的基本性质进行验证即可． 【详解】解：移项和系数化为1都是依据等式的基本性质， 合并同类项不是依据等式的基本性质，是整式的加减， 故答案为：②． 【变式2-3】运用等式的性质变形：若，则____________ ． 【答案】/ 【分析】先在等式两边同时减去3，然后在等式两边再同时乘以3即可解答． 【详解】解：由题意，等式两边同时减去3得即， 在其两边同时乘以3得即 ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等式的性质：等式的两边同时加上或同时减去一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或同时除以一个不为0的数或字母，等式仍成立． 【题型3 由等式的性质比较大小】 【例3】（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m______n．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，以及作差法比较大小，解题的关键在于理解两个数的差大于0，被减数大于减数；两个数的差等于0，被减数和减数相等；两个数的差小于0，被减数小于减数．把等式变形为m减n等于多少的形式，再进行判断，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-1】已知（m、n都不为零），比较m、n的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，利用等式的性质，求出的数量关系，即可得出结论． 【详解】解：， 所以， 所以， 所以， 所以； 故选A． 【变式3-2】若，你能根据等式的性质比较与的大小吗？ 【答案】 【分析】本题考查等式的性质．利用等式的性质，把等式变形为的形式，再两边同时除以，得，得结论． 【详解】解：两边同时减去，得． 两边同时减去， 得． 两边同时除以， 得 【变式3-3】设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（　　）    A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇 【答案】D 【分析】本题考查的是根据天平比较大小，不等式的性质，先将天平两边相同的物体去掉，比较剩余的数的大小即可得到答案，将相同的物体去掉是解题的关键． 【详解】解：由图（1）可知，2个〇的质量大于1个〇加1个□的质量， ∴〇的质量大于□的质量， 由图（2）可知，3个△的质量等于1个△加1个□的质量， ∴2个△的质量等于1个□的质量， 即□的质量大于△的质量， ∴“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为△□〇， 故选：D． 【题型4 等式的性质的实际应用】 【例4】（25-26七年级下·福建泉州·期末）在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有  1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是（    ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 A．E卡片 B．B卡片 C．C卡片 D．D卡片 【答案】B 【分析】根据题中所给的等量关系结合等式的性质先算出，再分别计算出每张卡片的大小，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 卡片A：， 卡片B：， 卡片C：， 卡片D：， 卡片E：， ， 这五张卡片上数字最大的是B． 【变式4-1】（2025七年级上·全国·专题练习）观察思考：下图中号天平的右边盘里应该放几个苹果？ 【答案】个 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，由号天平可知：个苹果个梨；由号天平可知：个梨个菠萝；可得：号天平：个菠萝个梨个梨个梨． 【详解】解：号天平：个苹果个梨， 个苹果个梨， 号天平：个梨个菠萝个梨， 个梨个菠萝， 号天平：个菠萝个梨个梨个梨， 个梨个苹果个苹果， 答：号天平的右边盘里应该放个苹果． 【变式4-2】（2025·安徽安庆·模拟预测）今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，等式的性质，正确求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数是解题的关键． （1）分别求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的人数，二者求和即可得到答案； （2）根据题意可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，今年参加“固定翼”社团的人数为人，今年参加“旋翼”社团的人数为人， ∴今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为人； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）一段路程分为平路和上坡两段，平路和上坡的路程之比为，总路程为．汽车在平路匀速行驶的速度为，在上坡匀速行驶的速度为，行驶该路程的总用时可表示为．若把该等式变形为已知，，，求，可得__________． 【答案】 【分析】将，，看作已知数，根据等式的性质对等式变形求解即可． 【详解】解：， 等式两边同乘得， 提取公因式得， 系数化为得 ． 考点2 解一元一次方程——移项 知识点2 移项 1. 移项 （1）把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项． （2）移项的目的：使含有未知数的项与常数项分别位于方程的两边，以便为下一步合并同类项创造条件．移项的依据是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等． （3）移项的方法：通常把方程右边的含未知数的项改变符号后移到方程左边，把方程左边的常数项改变符号后移到方程右边．但也不尽然，比如为使未知数的系数不出现负数，也可以把含未知数的项放在右边，常数项放在左边．例如：，移项，得，所以，即方程的解为． 2. 移项法解一元一次方程的步骤 （1）移项； （2）合并同类项； （3）系数化为1． 例如，解方程：，移项，得． 合并同类项，得．系数化为1，得． 【题型5 解一元一次方程（移项）】 【例5】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）解方程时，移项得，这一步实质上是在方程两边同时（     ） A．减去 B．减去 C．加上 D．加上 【答案】A 【分析】先明确等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立．对比原方程和移项后的方程，分析方程两边的变化．因为原方程右边有，移项后右边没有、左边出现，所以判断方程两边同时进行的运算． 【详解】解：两边同时减去， 得， 合并同类项得． 【变式5-1】将方程移项得，你认为“移项”的依据是___________． 【答案】等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等． 【分析】移项是利用等式的基本性质对方程进行变形，其变形的依据：等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等．移项是利用的等式的性质1：如果a=b，那么a±c=b±c． 【详解】移项的依据是：等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等． 【点睛】本题考查了解一元一次方程中的移项，能利用等式的基本性质对方程进行移项是解答此题的关键． 【变式5-2】若多项式的值为，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程． 根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：多项式的值为， ∴ ∴ 解得： 故答案为：． 【变式5-3】如果与互为相反数，则m的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据互为相反数的两数之和为0，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 考点3 解一元一次方程——去括号 知识点3 去括号 去括号 （1）解含有括号的一元一次方程时，利用去括号法则去掉括号． （2）去括号是为了下一步能用移项法解方程，实质是分配律． （3）去括号各项的变化： ①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相同，例如：； ②如果括号外的因数是负数，去括号后要改变原括号内各项的符号，例如：； ③当括号前不是“”或“”时，去括号时，将括号外的因数连同前面的符号看成一个整体，按分配律乘括号内的每一项，再把积相加． （4）去括号解一元一次方程的步骤： ①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1． 【题型6 解一元一次方程（去括号）】 【例6】（25-26六年级上·上海宝山·期末）对于方程，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程（二）-去括号，根据去括号法则进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴去括号得， 故选：D． 【变式6-1】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）下列各数是方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法，进行解答，即可． 【详解】解：， 去小括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为“”，得． 故选：B． 【变式6-2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）解方程： 【答案】 【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式6-3】（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知关于的方程有无数多个解，那么__________，___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键． 首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得，的值． 【详解】解：化简得：， 即：， 根据题意得：，且 解得：， 故答案为：，． 考点4 解一元一次方程——去分母 知识点4 去分母 去分母 （1）在含有分数系数的方程两边都乘同一个数（该数为各分母的最小公倍数），使方程中不含分母，这样的变化过程叫作去分母． （2）去分母的目的是将方程中的分数系数转化为整数，再利用去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程．去分母的依据是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． （3）对于含小数的一元一次方程，先将小数化为分数，再利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程． 【题型7 解一元一次方程（去分母）】 【例7】把方程去分母，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找出方程所有分母的最小公倍数，给方程每一项都乘最小公倍数去掉分母，再对比选项得到正确结果． 【详解】解：原方程为， ∵方程分母为4和3， ∴所有分母的最小公倍数是12， ∵，，，， ∴去分母后得：． 【变式7-1】（25-26七年级下·四川遂宁·期末）方程的解是________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式7-2】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小萌同学的解题过程： 解：去分母(方程两边乘12)，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 系数化为1，得⑤ (1)以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)上述小萌的解题过程从第 步开始出现错误． (3)请帮小萌改正错误，写出完整的解题过程． 【答案】(1)等式的性质2 (2)一 (3)完整的解题过程． 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 【分析】（1）根据等式的性质回答即可； （2）根据解一元一次方程的一般步骤逐步判断即可； （3）根据解一元一次方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解：第一步方程左右两边乘12，依据是等式的性质2； （2）解：上述小萌的解题过程从第一步开始出现错误，错误原因是漏乘12； （3）略 【变式7-3】当x取任意一个有理数时，等式都成立，则的值为________． 【答案】/ 【分析】首先解方程得到，然后根据题意得到，，求出a，b后代入求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 根据题意得，， ∴， ∴． 考点5 解一元一次方程的综合运用 知识点5 解一元一次方程的步骤 变形名称 具体做法 变形根据 易错点 示例 去分母 方程两边乘各分母的最 小公倍数 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 （1)易漏乘不含分母的项； （2)分子是和、差的形式时，分子容易漏加括号 两边同乘12， 去括号 可按“小、中、大”的顺序去括号，也可灵活决定 （1）分配律； （2）去括号法则 （1）容易漏乘括号里面的项； （2）容易出现符号错误 移项 把含有未知数的项移到 方程的一边，常 数 项 移 到方 程 的另一边 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 移项容易不变号 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数相加时容易算错 系数化为1 方程两边除以未知数的系数 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 （1）系数含字母时,容易不先判断系数是否为0而直接两边同时除以系数； （2）容易 把分子、分母颠倒 知识点6 解含有绝对值的方程 根据“”，将绝对值符号去掉，化为两个一元一次方程，再解这两个方程．例如，解方程：，去绝对值符号，得，即，解得． 【题型8 解一元一次方程】 【例8】解方程： (1)； (2)=+． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为得：； （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为得：． 【变式8-1】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图是年月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为、、、、），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设框中最小数为，推出其他四个数从小到大依次为，，，，求和得总和，将四个选项数值分别代入总和求出对应的，得出每组五个数中有不在内的就不可能是框架框住的五个数字之和． 【详解】解：设框住的五个数中最小的数为，则其他四个数从小到大依次为，，，， 这五个数字之和为， A、，解得，这五个数分别为，，，，； B、，解得，这五个数分别为，，，，； C、，解得，这五个数分别为，，，，； D、，解得，这五个数分别为，，，，，因为不可能出现在年月份的日历表中，故选D． 【变式8-2】（25-26七年级下·四川乐山·阶段检测）下面是从小明同学作业本中摘抄的内容，其中正确的是（    ） A．方程，移项得： B．方程，去分母得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为得 【答案】D 【详解】解：对于A，∵方程，移项时移项要变号，∴正确移项结果为，原变形错误，不符合题意； 对于B，∵方程，去分母时需要给等式两边同时乘分母的最小公倍数6，∴正确去分母结果为，原变形错误，不符合题意； 对于C，∵方程，去括号时需要给括号内每一项都乘括号外的系数，∴正确去括号结果为，原变形错误，不符合题意； 对于D，∵方程，系数化为1需要给等式两边同时除以9，∴得，原变形正确，符合题意． 【变式8-3】（25-26七年级下·重庆万州·期中）对于两个不相等的有理数m、n，我们规定符号表示m，n中较小的数，例如：，按照这个规律，那么方程的解为（   ） A． B． C． D． 或 【答案】B 【分析】根据新定义，分两种情况讨论和的大小，列出一元一次方程，求解后验证是否满足前提条件，舍去不符合的解即可得到答案． 【详解】解：根据表示两个数中较小的数，分两种情况讨论： ① 当时 ，即时，，原方程化为： 解得， 满足，符合题意； ② 当，即时，，原方程化为： 解得，不满足，舍去． 综上，方程的解为． 【题型9 写出解一元一次方程的变形依据】 【例9】依据下列解方程的过程，在括号内填写变形依据． (1)解：去分母， 得，变形的依据是________ ① 去括号， 得， 去括号依据是 ② 合并同类项得， ③ 系数化为1得， ④ 第_________步开始出现错误，错误的原因是_______； (2)解出此方程： 【答案】(1)①等式的基本性质（或等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为的数），所得结果仍是等式）；②当括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变，括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号；一；去分母时漏乘了 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键． （1）根据等式的性质，去分母法则，去括号法则，即可解答． （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行解答即可． 【详解】（1）解： 去分母， 得，变形的依据是：等式的基本性质（或等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为的数），所得结果仍是等式） 去括号， 得， 去括号依据是：当括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变，括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号； 合并同类项得， ③ 系数化为1得， ④ 第一步开始出现错误，错误的原因是：去分母时漏乘了， 故答案为：等式的基本性质（或等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为的数），所得结果仍是等式）；当括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变，括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号；一；去分母时漏乘了（或去分母时漏乘了）（表述合理即可）； （2）解：， 去分母，得，， 去括号，得，， 移项合并，得，， 化系数为1，得，． 【变式9-1】（24-25六年级上·上海闵行·期末）小胖、小丽、小明、小帅在解方程“”时都得到“”，小胖依据的是“被减数等于差加上减数”，小丽依据的是“等号两边同时加上同一个数”，小明依据的是“等号两边同时乘以或除以同一个数”，小帅依据的是“移项法则”，算理错误的同学是（   ） A．小胖； B．小丽； C．小明； D．小帅． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程、等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的方法和等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质和解一元一次方程的方法解答即可． 【详解】解：根据题意可知，等号两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的数，无法得到条件中方程的变形结果，所以算理错误的同学是小明． 故选：C ． 【变式9-2】如图的框图表示解方程的流程，其中第步和第步变形的依据相同，这两步变形的依据是（   ） A．乘法分配律 B．分数的基本性质 C．等式的基本性质 D．等式的基本性质 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质解决本题． 【详解】解：第步去分母，根据等式的基本性质等式两边同乘一个不为的数，等式仍然成立，得． 第步的系数化为，根据等式的基本性质等式两边同除以一个不为的数，等式仍然成立，得． 第步和第步变形的依据是等式的基本性质． 故选：D． 【点睛】本题主要考查等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解决本题的关键． 【变式9-3】计算： (1)下面是解方程的主要过程 解：原方程化为______， 去分母，得 ②， 去括号，得______， 移项，得______， 合并同类项，得（合并同类项法则）， 把未知数x的系数化为1，得______． 请从长方形框中选择与方程变形对应的依据，并将依据的序号填在相应的横线上； (2)仿照上例解方程：（不需要指出每步的依据） 【答案】(1)③④①② (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程的步骤：“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”．掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． （1）根据解一元一次方程的步骤结合各依据填空即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：解：原方程化为③， 去分母，得 ②， 去括号，得④， 移项，得①， 合并同类项，得（合并同类项法则）， 把未知数x的系数化为1，得②． 故答案为：③④①②； （2）解：原方程化为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 把未知数x的系数化为1，得：． 【题型10 由两个一元一次方程解之间的关系求字母的值】 【例10】（25-26七年级下·四川内江·期末）若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 【变式10-1】（25-26七年级下·全国·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． 【答案】22 【详解】解：解方程，得， 又方程与方程是“和谐方程”， ∴方程的解为， 把代入，得， 解得． 【变式10-2】（25-26七年级上·广东惠州·期末）如果两个一元一次方程的解和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如，方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是______ ． 【答案】 【分析】先求解第一个一元一次方程，再根据“美好方程”的定义得到含参数的x方程的解，最后利用整体思想和同解方程的意义求解y即可． 【详解】解：解方程得． ∵关于的方程与是“美好方程”． ∴两个方程的解之和为， ∴方程的解为， 观察关于的方程，可知该方程是将中的替换为． ∴． 解得． 【变式10-3】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如果两个方程的解相差a，a为正整数，那么称解较大的方程为另一个方程的“a—稻香方程”，例如方程是方程的“5—稻香方程”． (1)若方程是方程的“a—稻香方程”，则 ； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“3—稻香方程”，求m的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先求出两方程的解，作差后，即可得出结论； （2）先求出两个方程的解，然后根据关于x的方程是关于x的方程的“3—稻香方程”列出关于m的方程，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：∵方程的解为，方程的解为，， 方程是方程的“稻香方程”， ∴； （2）解：∵方程的解为， 方程的解为， ∵关于x的方程是关于x的方程的“3—稻香方程”， ， 解得：． 【题型11 一元一次方程的整数解问题】 【例11】（25-26七年级上·山东临沂·期末）已知关于的方程有整数解，则非负整数的值是__________． 【答案】0或1 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，通过求解方程得到x的表达式，根据x为整数且k为非负整数，确定k的可能值． 【详解】解：， 移项得，即． 当时，． 由于x为整数，故为整数，即整除2．又k为非负整数， 故为1或2，解得或． 当时，即不符合题意， 故k的值为0或1， 故答案为：0或1． 【变式11-1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知关于的方程有整数解，且是整数，则所有满足条件的值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的整数解问题，关键是分情况讨论的取值；先将方程的解用含的式子表示，再根据为整数、为整数的条件，确定是的约数，进而找出所有符合条件的值并求和． 【详解】解：∵， ∴去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， ∵是整数，是整数， ∴是的整数约数，即， ①当时，，解得（整数，符合条件）； ②当时，，解得（非整数，舍去）； ③当时，，解得（非整数，舍去）； ④当时，，解得（整数，符合条件）； ∴满足条件的值为和，其和为， 故选：C． 【变式11-2】（25-26六年级上·上海·期末）已知关于的方程有负整数解，则整数的所有可能的取值的和为________． 【答案】 【分析】本题考查含参一元一次方程的解法及应用，掌握一元一次方程的解法及准确理解题意是解题关键．首先，解方程得到 的表达式，然后根据负整数解的条件确定分母的取值范围，再找出所有整数 的值，最后求和． 【详解】解：解方程 ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， ∴ ． 由于方程有负整数解，因此 且 为整数． ∵ ，且分子为负， ∴分母 ，即 ． 又∵ 为整数， ∴必须整除 ，即 是 的正因数． ∵ 的正因数有 和 ， ∴ 或 ， 解得 或 ． 检验：当 时，，为负整数；当 时，，为负整数． ∴整数 的所有可能的取值为 和 ，则它们的和为 ． 故答案为：． 【变式11-3】（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 【题型12 由一元一次方程的解的情况求值】 【例12】关于x的方程的解是自然数，则整数k的值为_____、_____、______． 【答案】 0 6 8 【详解】先解方程，得到一个含有字母k的解，再根据“解是自然数”作答即可. 【解答】解：解得， ∵关于x的方程的解是自然数， ∴k的值可以为：0、6、8． 【变式12-1】（24-25八年级下·上海·阶段检测）如果关于的方程无解，那么满足的条件是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程无解，可得答案，利用一元一次方程无解得出关于的方程是解题关键． 【详解】解：∵关于的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式12-2】（2025七年级上·全国·专题练习）已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值等知识．熟练掌握一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值是解题的关键． （1）由题意知，方程整理得，，当，且时，方程无解，计算求解即可； （2）由题意知，当，且时，方程有无穷多个解，计算求解即可； （3）把代入，得，然后根据，，化简绝对值，然后求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得，， 由题意知，当，且时，方程无解， 解得， ∴当时，方程无解； （2）解：由题意知，当，且时，方程有无穷多个解， 解得， ∴当时，方程有无穷多个解； （3）解：把代入，得， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得， ∴当时，方程有唯一解． 【变式12-3】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知关于的方程，无论取何值方程恒成立，则的个位数字是__________． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的解，数字类规律探索等知识点，解题的关键是找到的幂的个位数字的规律． 由方程恒成立条件，得系数相等和常数项相等，求出m和n的值，再计算，然后求其2026次幂的个位数字，通过3的幂的个位循环周期确定． 【详解】解：因为方程恒成立， 所以，， 解得，， 所以， 因为的幂的个位数字周期为：即个位，个位，个位，个位，依此循环．余，对应个位数字为． 故答案为：9． 【题型13 错看或错解一元一次方程问题】 【例13】（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）已知算式“”． (1)小欣将数字“5”抄错了，所得结果为，则小欣把“5”错写成了________． (2)小马不小心把运算符号“”错看成了“+”，则小马的计算结果比原题的正确结果大多少？ 【答案】(1)8 (2)43 【分析】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）将数字“5”改成x，然后根据题意列关于x的方程求解即可；． （2）分别计算出正确运算结果和小马的运算结果，然后再作差即可解答． 【详解】（1）解：将数字“5”改成x ， 由题意可得：， ． 所以把“5”错写成了“8”． （2）解：原题正确结果； 小马的结果：， 所以结果比原题的正确结果大． 【变式13-1】 某同学解方程时，把□处数字看错解得，他把□处看成了（   ） A．3 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查方程错解问题，方程的解，解一元一次方程，掌握方程错解问题的解题方法，方程的解，解一元一次方程方法是解题关键． 设□用a表示，则方程是，根据方程的错解代入，解关于a的方程即可． 【详解】解：设把□处数字看成， 把代入得：， 解得：， 故选：C． 【变式13-2】（25-26六年级下·山东青岛·期中）小明解方程时，去分母时方程右边的1忘记乘6，得到错误解，则方程正确的解_____． 【答案】7 【分析】先根据小明错误的解法求出，从而可得原方程为，再解一元一次方程即可得出结果． 【详解】解：∵小明解方程时，去分母时方程右边的1忘记乘6，得到错误解， ∴， ∴将代入可得， 解得：， ∴原方程为， 去分母可得：， 解得：． 【变式13-3】（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“”看成“”，按照正确的运算顺序计算，结果为，则的正确结果是______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数的混合运算，根据题意构建方程，求解得，进而求代数式值． 【详解】解：设☆代表一个有理数为a， 根据题意，， 解得，即☆代表10， ∴； 故答案为：． 【题型14 一元一次方程的遮挡问题】 【例14】（24-25七年级下·重庆·阶段检测）方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入方程■即可求出的值． 【详解】解：把代入方程■得： ■， 解得：■， 故选：D． 【变式14-1】下面是一个被墨水污染过的方程： ，答案显示方程的解是负数，若被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，解方程得出，结合方程的解是负数，得出，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 移项得：， 合并同类项得：， 方程的解是负数， ， 解得：， 故答案为：． 【变式14-2】（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）小明在做作业时遇到一道题：■，其中■是被墨水污损而看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果为，则■表示的数是__________. 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，有理数的加减运算、绝对值，设■表示的数是x，根据题意列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设■表示的数是x， 由题意得： ， 化简得， 解得， 即■表示的数是． 故答案为：． 【变式14-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）小明做了这样一道计算题：，其中“■”表示被墨水污染看不到的一个数，他看了后边的答案，得知该题的计算结果为6，那么“■”表示的数是_______． 【答案】或9 【分析】本题考查列方程和绝对值，解题的关键是掌握解一元一次方程和求绝对值． 设“■”表示的数是x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设“■”表示的数是x， 根据题意得：， 可得或， 解得：或， 故答案为：或9． 【题型15 整体换元求一元一次方程的解】 【例15】（24-25七年级上·陕西西安·期末）阅读材料：整体思想是数学解题中一种重要的思想方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：已知，则关于的一元一次方程的解是_____． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，代数式求值，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．先把变形为：，然后把代入得出，由，得出方程，解一元一次方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 移项，得， 将系数化为1，得． 故答案为：． 故答案为：． 【变式15-1】（25-26七年级下·四川遂宁·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两个方程结构的一致性，将第二个方程中的整体看作第一个方程中的，结合已知第一个方程的解即可求解． 【详解】解：观察关于的方程，其结构与已知关于的方程完全一致， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得． 【变式15-2】（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过整理变形将关于的方程转化为与已知方程相同的结构，利用已知方程的解换元求解． 【详解】解：已知关于的方程的解为， 整理已知方程得， ， ， 该式与整理后的已知方程形式完全相同， 因此可得， 解得． 【变式15-3】（25-26七年级下·山东淄博·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用换元思路，通过变形第一个方程，使两个方程结构一致，得到与的对应关系，结合已知的解即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 将方程变形，把改写为，把改写为， 代入原方程得 两边同时加，得 对比关于的方程， 可得 ∵ ∴． 【题型16 解含有绝对值的方程】 【例16】（24-25七年级下·河南南阳·期中）【阅读材料】 由绝对值的定义可知．若，则或；若，则．我们可以根据上面的定义，解一些简单的绝对值方程 例如，解方程 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时．原方程化为，解得， 所以原方程的解为或 解法二：移项得，合并同类项得，根据绝对值的意义知． 所以原方程的解为或． 【解决问题】 请你用两种方法解方程． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握一元一次方程的解法，理解绝对值的意义和进行分类讨论思想的应用是解题的关键． 方法一：首先根据得，于是原方程可化为，由此可解出，再根据得，是原方程可化为，由此可解出，综上所述可得原方程得解； 方法二：首先移项、合并同类项得，再将的系数化1为得，然后利用绝对值的意义可得出的值，进而得原方程得解． 【详解】解：解法一：当时，原方程化为，解得， 当时，原方程化为，解得， 所以，原方程的解为或； 解法二：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得        根据绝对值的意义可得 所以，原方程的解为或． 【变式16-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）先阅读，后解题：符号表示的绝对值为3，表示的绝对值为3，如果那么或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程：． 【答案】或． 【分析】此题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，方程整理后，利用绝对值的代数意义转化为两个一元一次方程，求出解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴或 解得：或． 【变式16-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）若代数式的绝对值与的绝对值相等，则x的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的化简，解一元一次方程，解题的关键是掌握绝对值的运算法则． 根据题意先去绝对值，然后再合并同类项解方程即可． 【详解】解：∵的绝对值与的绝对值相等， ， ，或 或， 故答案为：． 【变式16-3】我们已经知道“非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数”，利用这个知识可以解含有绝对值的方程，如：解方程． 解：当时，，方程化为，解得（符合题意）； 当时，，方程化为，解得（符合题意）． 方程的解为或． （1）方程的解为 __； （2）方程的解为 __． 【答案】 / 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：（1）当时，即时， 方程化为， 解得， ∵， ∴不合题意； 当时，即时， 方程化为， 解得， ∵， ∴符合题意； ∴方程的解为． （2）当时，原方程化为： ， 解得， ∵， ∴不符合题意； 当时，原方程化为： ， 解得， ∵， ∴符合题意； 当时，原方程化为： ， 解得， ∵， ∴不符合题意； 故方程的解为． 【点睛】本题主要考查了绝对值方程的内容，关键是利用绝对值的意义，去掉绝对值符号，尤其第（2）题，要分类讨论． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $