第二十七章 反比例函数 03讲 实际问题与反比例函数 预习讲义 2026-2027学年版人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“实际问题与反比例函数”核心知识点，承接反比例函数概念、图像与性质，通过电学、杠杆、气体压强、行程等9类实际题型，搭建从理论到应用的学习支架，系统梳理解决问题的一般步骤。 资料特色在于跨学科融合与分层训练，如结合物理杠杆平衡、电学电流电阻关系等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过例题与变式题递进设计，提升推理意识与模型观念，巩固练习含中考真题，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

第二十七章 反比例函数 03讲 实际问题与反比例函数 题型归纳 【知识点1 利用反比例函数解决实际问题 1】 【题型1. 电学问题 2】 【题型2. 杠杆平衡问题 4】 【题型3. 气体压强与体积关系问题 6】 【题型4. 行程问题 8】 【题型5. 工程问题 9】 【题型6. 压强问题 11】 【题型7. 密度计问题 14】 【题型8. 一次函数与反比例函数的实际应用 15】 【题型9. 其他问题 18】 【巩固练习 21】 知识清单 知识点1 利用反比例函数解决实际问题 1. 一般步骤 （1）审题：分析题意，找出变量，确定两个变量成反比例关系； （2）设解析式：设函数表达式为； （3）代值求：把题目中一组对应数值代入，求出常数； （4）确定解析式：将回代，得到实际问题的函数关系式； （5）求解作答：根据问题代入自变量求因变量（或反之），结合实际取值范围检验，写出答案。 题型专练 题型1. 电学问题 【例1】已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，若电阻，则电流I等于（    ） A．3.6A B．4.5A C．5A D．9A 【例2】舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成乌云密布的阴天，这样的效果就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的．在一舞台场景的灯光变化的电路中，保持电压不变，电流（安培）与电阻（欧姆）成反比例，当电阻欧姆时，电流安培． (1)求与之间的函数关系式； (2)当电流安培时，求电阻的值． 【变式1】电压一定时，经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）是反比例函数关系，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知蓄电池两端电压（单位：V）为定值，电流（单位：A）与（单位：）成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为_______． 【变式3】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是___________．（填序号） ①这个反比例函数解析式为 ②蓄电池的电压是 ③当时， ④当时， 【变式4】我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． (1)求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； (2)若，求电流的变化范围． 【变式5】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不超过，请通过计算说明该用电器可变电阻应控制在什么范围？ 题型2. 杠杆平衡问题 【例1】杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂．若某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和0.5，则这一杠杆的动力（单位：N）关于动力臂（单位：m）的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【例2】杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即：阻力阻力臂动力动力臂，用代数式表示为．如图，已知石头重量（阻力）为，阻力臂长，小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他只有的力量，那么他该选择动力臂为多少米的撬棍才能撬动这块大石头？ 【变式1】在“探究杠杆平衡的条件”中，亮亮知道：当阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂之间的关系如图所示，且．若动力为，则动力臂为______． 【变式2】如下图，阻力为，阻力臂长为．设动力为（单位：），动力臂长为（单位：，图中杠杆本身所受重力略去不计．杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂）． (1)关于的函数是反比例函数吗？如果是，求出比例系数． (2)当时，求函数的值，并说明这个值的实际意义． 【变式3】如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)y与x之间的函数表达式为____________； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与点O之间的距离． 【变式4】古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力阻力臂动力动力臂（如图）．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为和． (1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为2米时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？ 题型3. 气体压强与体积关系问题 【例1】某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该（   ） A．不小于 B．小于 C．不大于 D．小于 【例2】物理学的知识告诉我们，气温不变时，某气球内的气压与气球体积是反比例函数关系，当气球内的气压大于时，气球会发生爆炸，为了安全起见，气球内气体的体积V应该（　　） p（kPa） … 20 40 60 100 120 … V（m3） … 4.8 2.4 1.6 0.96 0.8 … A．小于0.96 B．不小于0.96 C．大于0.96 D．不大于0.96 【变式1】在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V（）时，气体的密度也随之改变，ρ与V在一定范围内满足，当时，ρ关于V的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在温度不变的条件下，气体所产生的压强与气体的体积成反比例，如图是某种气体压缩后，气体产生的压强P关于气体的体积V的函数图象．若压强由减压到，则气体体积增加了________．    【变式3】特定的温度下，某容器充满一定盘的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)当容器内气体体积为时，求出此时该容器内气体的压强； (2)若该容器内气体的压强不得超过，求该容器体积的取值范围． 【变式4】某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的解析式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 题型4. 行程问题 【例1】某海轮以每小时10千米的速度从港行驶到港，共用小时（不考虑水流速度）． (1)写出时间(时）与速度(千米/时）之间的函数表达式； (2)若返航速度增至每小时千米，则该海轮从港返回港（沿原水路）需几小时？ 【变式1】最近，我国发布多款最新机器狗，使机器狗的性能又上一个新的台阶．已知某款机器狗最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，其图象如图所示，当其载重后总质量时，其最快移动速度等于（   ） A． B．5 C．10 D．40 【变式2】某科技公司研发的四足机器人（机器狗），其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．在一次测试中，技术人员记录了一组数据：当总质量时，最快速度；则最快移动速度与载重后总质量之间的函数表达式为___________． 【变式3】综合与实践：探索机器狗的速度问题． 素材1：图1是某款机器狗，它的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）的部分数据如表，在直角坐标系中画出对应点，并用光滑曲线连起来（图2）． 总质量千克 60 80 90 100 120 最快速度米秒 6 4.5 4 3.6 3 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点540米，机器狗需从试验点出发，送12千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计）经探究发现是的正比例函数、一次函数、反比例函数中的一种． 任务1：判断是的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务2：求机器狗所用的最短时间． 【变式4】按相同路线行驶完同一条路，开车的速度不同，所用的时间也不相同．下表列出了几个不同的司机按相同路线行驶完同一条路时速度和时间的一些数据． 速度（千米/小时） 80 150 60 时间（小时） 6 4 12 20 (1)写出时间（小时）关于速度（千米/小时）的函数关系式； (2)将表格填写完整； (3)如果某人上午从这条路的一个端点开始出发，以每小时120千米的速度行驶，那么他行驶完这条路时是什么时候？ 速度（千米/小时） 100 80 150 50 60 30 时间（小时） 6 4 12 10 20 题型5. 工程问题 【例1】如图描述了在一段时间内，小华、小红、小刚三名工人加工零件的合格率与所加工零件的总个数之间的关系（合格个数=合格率×总个数），则这三名工人在这段时间内所加工零件合格的个数最多的是（   ） A．小华 B．小红 C．小刚 D．同样多 【例2】市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【变式1】某算力中心总算力固定不变，完成全部运算任务所需时间：t（单位：）与在线算力节点数（单位：个）成反比例函数关系．已知开启40个算力节点工作时，完成全部任务需．若全部任务需在内完成，则至少需要开启__________个算力节点． 【变式2】某工厂接到任务，紧急生产规定数量的口罩，下表是每小时生产口罩的数量x（万只）与完成任务需要的时间y（小时）的部分对应数值． x 2 3 4 6 y 72 48 36 24 (1)求y与x的函数表达式； (2)若完成这项任务不超过18小时，则每小时至少需要生产多少口罩？ 【变式3】某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务． (1)每天完成的页数与所需天数之间是什么函数关系？ (2)若要求5天完成，求每天应完成多少页？ 【变式4】被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．    (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 题型6. 压强问题 【例1】在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A． B． C． D． 【例2】如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．“木海马”对地面的压强p（）是“木海马”底面面积，的反比例函数，其图象如图． (1)请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）； (2)当“木海马”底面面积为时，压强是多少； (3)如果要求压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要多少． 【变式1】学校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．根据物理学原理，当人和木板对湿地的压力（单位：N）一定时，人和木板对地面的压强（单位：）是木板面积S（单位：）的反比例函数，它的图象如图所示．下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式2】如图，一块砖的，两个面的面积之比是︰，如果、两个面分别向下在地上，地面所受压强分别为，，压强的计算公式为 ，其中是压强，是压力，是受力面积，则，的大小关系为_______． 【变式3】人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系： 地面所受压强 接触面积 (1)地面所受压强与接触面积满足怎样的函数关系？并求出压强关于接触面积的函数表达式． (2)若送餐机器人要经过一段玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与地面的接触面积至少为多少平方米? 【变式4】如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 受力面积 1 0.5 _____ 0.125 桌面所受压强 200 400 800 1600 (1)根据表中数据，求出桌面所受压强P（单位：）关于受力面积S（单位：）的函数表达式并直接补全表格． (2)将另一长，宽，高分别为，，且与原长方体相同质量的长方体分别按图2和图3所示的方式放置于用玻璃制作的桥上，按图2放置时，桥完好无损，按图3方式放置时，玻璃桥破裂，请求出玻璃桥能够承受的最大压强的范围．（超过最大压强时玻璃破裂） 题型7. 密度计问题 【例1】物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（   ） A． B． C． D． 【例2】科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在密度ρ（单位：)的液体中，浸在液体中的高度h(单位：)与液体中的密度ρ的关系式为，橘子汁的密度是水的密度的倍，密度计悬浮在水中的高度比悬浮在橘子汁中多． (1)当密度计悬浮在一种液体中时，，该液体的密度ρ为 ； (2)求水的密度． 【变式1】综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（    ）    A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 【变式2】根据物理学知识，将同一个密度测量仪放置于不同的液体中时，密度测量仪浸没在液体中的长度l（单位：cm）是液体密度（单位：）的反比例函数．当时，．若某液体的密度，则密度测量仪浸没在该液体中的长度l为______． 【变式3】密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求密度：关于体积的函数解析式； (2)当时，求二氧化碳的密度的取值范围． 题型8. 一次函数与反比例函数的实际应用 【例1】如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法正确的是（   ） A．加热4分钟时水温上升了 B．加热5分钟时水沸腾 C．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是21分钟 D．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 【例2】据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克/毫升）与服用的时间x（小时）成正比例，药物浓度达到最高后，血液中的含药量y（微克/毫升）与服用的时间x（小时）成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数表达式； (2)求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y． 【变式1】小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量（毫克/立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题： (1)求施工结束后关于的函数解析式； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克/立方米，按照这个标准．请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ 【变式2】学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y与上课时间t（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，第3分钟时注意力指数为45，前10分钟内注意力指数y是时间t的一次函数．10分钟以后注意力指数y是时间t的反比例函数． (1)求y与t的函数关系式； (2)如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 【变式3】钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度与退火时间之间的函数关系图，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分． (1)已知冷却过程中y与x成反比例函数关系，求出此过程中y与x的函数关系式； (2)当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在及以上时，加工效果最好，请问工人师傅要想效果最好，应该在多长时间内完成加工操作？ 【变式4】长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分． (1)求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围； (2)大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？ 题型9. 其他问题 【例1】近视镜是一种用于矫正近视的光学眼镜，通过镜片的凹透镜设计来帮助近视眼患者看清远处的物体．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式； (2)佳佳原来佩戴150度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求佳佳的眼镜度数增加了多少度． 【变式1】1896年，挪威生理学家古德贝发现了有趣的“瞎转圈”现象：每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，导致在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈．经研究，某人蒙上眼睛行走的大圆圈半径（米）是其两腿迈出的步长之差（厘米）的反比例函数（），当时，．若某人两腿迈出的步长之差为厘米，求他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径． 【变式2】一场暴雨过后，一洼地积存雨水，设积存的雨水全部排完需，排水速度为，且排水时间t需满足． (1)试写出t与a之间的函数表达式，并指出a的取值范围； (2)请画出函数图象； (3)根据图象回答：当排水速度为时，排水时间需要多长？ a 2 3 4 t 10 5 【变式3】电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表： 频率 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式． (2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？ 【变式4】如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数．当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中，画出函数图像； (3)若小孔到蜡烛的距离为时，求火焰的像高． 巩固练习 1．（2026·四川自贡·中考真题）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川成都·中考真题）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 4．（2025·江苏南通·中考真题）如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为_______________． 5．（2026·贵州遵义·二模）研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据表格数据，求与的函数关系式； (2)小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 6．（2026·河南周口·一模）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图1）时，浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图2所示． (1)求h与之间的函数关系式； (2)当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度h怎么变化，变化了多少． 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 8．（25-26九年级上·山东泰安·期末）庆典气球需要安全且能飘升，氦气作为一种惰性气体，常被用于填充庆典气球．某次庆典活动，主办方需要5千克氦气来填充气球，已知氦气瓶的容量（升）跟压力P（标准大气压）之间成反比例关系，图示如图所示． (1)试确定P与V之间的函数表达式； (2)运输过程中，安全考虑，氦气瓶内气体不能超过120个标准大气压，氦气瓶容量要满足什么条件？ 9．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）近年来，我国煤矿事故频频发生，其中最严重的灾害是瓦斯爆炸，瓦斯爆炸后会产生高温、高压、冲击波，并放出有毒气体．如图，在一次瓦斯爆炸煤矿事故的调查中发现：从零时起，井内空气中浓度达到后，浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸，爆炸后空气中浓度开始下降，此时空气中浓度与时间成反比例函数关系． (1)求爆炸后y与x之间的函数表达式； (2)救援人员只有在空气中浓度降至及以下时，方可进入现场开展救援工作．则救援人员至少在爆炸后多长时间才能下井开展救援？ 10．（2026·广东广州·三模）某天 ，小芳在家通过某打车软件打车前往火车站搭乘当天 的动车．记汽车的行驶时间为 （单位： ），行驶的平均速度为 （单位： ）， ．根据经验， ， 的对应值如表： … 20 30 40 50 60 … 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 (1)求平均速度 关于行驶时间 的函数解析式． (2)已知小芳从开始打车到上车用了 ，并且她想在动车出发前半小时到达火车站，若汽车的平均速度为 ，小芳能否在预定的时间内到达火车站？请说明理由． (3)若汽车到达火车站的行驶时间 满足 ，求平均速度 的范围． 11．（2026·贵州遵义·一模）在物理力学中，当物体对接触面的压力固定时，接触面受到的压强（记为p，单位：）与受力面积（记为S，单位：）满足固定公式：（其中F为固定压力，单位：N）．某实验小组对同一物体进行压力测试，得到以下实验数据（实验序号1表示第1次实验）： 实验序号 压强 受力面积S/ 1 200 0.3 2 300 0.2 3 400 0.15 4 500 0.12 5 600 0.11 请解答以下问题： (1)表中哪次实验数据明显是错误的？请说明理由； (2)判断p与S满足的函数关系______（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），并求出p关于S的函数表达式； (3)若实验中受力面积调整为，求此时接触面受到的压强． 12．（2026·河南三门峡·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理． 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）之间的关系式是：，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求电阻的值． (2)电源两端的电压保持不变，求电源两端的电压． (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），请直接写出该电子秤所称物品质量的最大值． 13．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： (1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式； (2)当弹簧秤的示数为5N时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 14．（2026·河南驻马店·三模）如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 15．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑．为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，为判断警示牌设置位置是否符合安全设置要求，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动准备 准备皮尺、便携手持水准仪等测量工具． 活动实施 任务一：采集数据 如图，矩形为核心观景平台区域的竖直截面图， 小组成员在曲线步道的不同位置进行测量，曲线步道到的水平距离记为，到地面的竖直高度记为，记录数据如下表：    任务二：建立模型 如图，以地面为轴、竖直方向为轴、点为原点建立平面直角坐标系．根据表中的数值描点，并用平滑的曲线连接这些点．分析数据和图象，确定是的反比例函数： 安全评估 为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求曲线段关于的函数解析式；(不需要写出自变量的取值范围) (2)若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为，则该位置是否符合安全设置要求？请说明理由； (3)若工程团队拟在地面上到原点水平距离处新增观景点，为实现步道无缝衔接，求衔接点距地面的高度． 16．（2026·安徽马鞍山·三模）综合与实践 【项目主题】探究智能物流分拣中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 【实践小组】某校初中科技社团 智能分拣是现代物流核心作业环节，分拣效率指设备每秒处理包裹的数量（件）．某校初中科技社团开展实践活动，探究不同设备分拣效率、温度对效率的影响，用数学模型解决物流实际问题． 【项目准备】 1．设备选取：3种智能分拣设备（桌面小型分拣机、皮带中型分拣机、交叉带大型分拣机），分别记为设备A、设备B、设备C； 2．任务设定：选取同一批包裹分拣任务，该任务的总包裹量固定，记为（单位：件）； 3．实验原理：在标准环境下，设备完成任务的时间（单位：）与分拣效率（单位：件）成反比例关系，（为定值，，）． 4．实验数据： 设备类型 标准分拣效率（件/s） 完成时间 设备A（小型分拣机） 5 100 设备B（中型分拣机） 10 设备C（大型分拣机） 20 25 【项目探究】 (1)根据实验原理，该分拣任务的总包裹量________，________； (2)在实际作业中，当时，设备的实际分拣效率、与环境温度（）满足一次函数关系：，，若将设备A和设备B组成联合分拣组同时处理该任务，总效率为两者实际效率之和．求当环境温度为时，该联合分拣组完成总包裹量所需的时间； (3)设备C的实际分拣效率与环境温度（）满足：，若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中环境温度为时联合分拣组的完成时间，求环境温度（）的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $第二十七章反比例函数 03讲实际问题与反比例函数 >题型归纳 【知识点1利用反比例函数解决实际问题 …1】 【题型1.电学问题… 2】 【题型2.杠杆平衡问题 6】 【题型3.气体压强与体积关系问题… 10】 【题型4.行程问题… 。。。。。。。。。。。 …15】 【题型5.工程问题 18】 【题型6.压强问题· …22】 【题型7.密度计问题… 28】 【题型8.一次函数与反比例函数的实际应用… 32】 【题型9.其他问题 …38】 【巩固练习… …43】 知识清单 知识点1利用反比例函数解决实际问题 1.一般步骤 (1)审题：分析题意，找出变量，确定两个变量成反比例关系； (2)设解析式：设函数表达式为y=(k≠0)； (3)代值求k:把题目中一组对应数值代入，求出常数k: (4)确定解析式：将k回代，得到实际问题的函数关系式： (5)求解作答：根据问题代入自变量求因变量（或反之），结合实际取值范围检验， 写出答案。 1/60 >题型专练 题型1。电学问题 【例1】已知蓄电池的电压U(单位：V)为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电 阻R(单位：Q)是反比例函数关系，它的图象如图所示，若电阻R=10M,则电流I等于 () IA 0 A.3.6A B.4.5A C.5A D.9A 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先设出电流（单位：A)与电阻R(单 位：)的函数关系式为1=(U≠0)，利用特定系数法求出解析式，进而求出当R=10时， I的值即可得到答案. 【详解】解：设电流1与电阻R的函数关系式为-日(U≠0) 把(9,9代入1-中，得4-号解得U=36, ∴电流1与电阻R的函数关系式为1=6， R 当R=10时，1=36=3.6， 10 ∴.电流I为3.6A, 故选A. 【例2】舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成乌云密布的阴天，这样的效果 就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的.在一舞台场景的灯光变化的电路中，保持电压 不变，电流1（安培）与电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流1=2安培. (1)求I与R之间的函数关系式： (2)当电流1=0.5安培时，求电阻R的值. 【答案】a1=9 2/60 (2)电阻R的值为20欧姆 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键. (1)设1=(k+0),再利用待定系数法求解即可： (2)根据(1)所求求出当1=0.5安培时，R的值即可得到答案. 【详解】(1)解：设1=(k≠0)， ,当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培， ∴.k=IR=10, 1=9 (2)解：在1=是中，当1=0.5安培时，R=号=20欧姆。 【变式1】电压一定时，经过闭合电路的电流I(单位：A)与电路的电阻R(单位：2)是 反比例函数关系，当1=10A时，R=222,则当R=112时，I=() A.2A B.10A C.20A D.220A 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，得22×10=11×20，解答即可. 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键。 【详解】解：根据题意，得22×10=11×1， 解得1=20(A), 故选：C 【变式2】己知蓄电池两端电压U(单位：V)为定值，电流I(单位：A)与R(单位：2) 成反比例函数关系.当1=4A时，R=102,则当1=5A时，R的值为2. 【答案】 8 【分析】本题考查了反比例函数.根据题意利用待定系数法求得该反比例函数的表达式，由 此即可解答 【详解】解：蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系， ∴电流1与R的函数关系为1=吕 ,当1=4A时，R=102, ÷4-品，解得U=40, 3/60 ∴.电流1与R的函数关系为1=如 当1=5A时，即5=号 解得R=8. 故答案为：8 【变式3】己知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω) 是反比例函数关系，它的图象如图所示.下列说法正确的是 (填序号) R/2 ①这个反比例函数解析式为1=治 ②蓄电池的电压是36V ③当R=22时，1=13A ④当1≤10A时，R≥3.62 【答案】①②④ 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必 能满足解析式。 根据函数图象可设1=（化≠0），再将(49)代入即可得出函数关系式，然后根据反比例函数 的性质判断其他说法即可。 【详解】解：根据题意，设1=(k+0), 图象过(4,9) k=36, 1-治 ∴蓄电池的电压是36V,故①、②正确， 当R=2n时，1==18A,故③错误： 当1=10时，R=治=36n, 由图象知：当1≤10A时，R≥3.60，故④正确： 故答案为：①②④ 【变式4】我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系.现有某学生利用一个最 4/60 大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为12欧姆 时，电流1为12安培. 361安培) 30 18 12 6 O4812162024R(欧姆) (1)求电流I(安培)关于电阻R(欧姆)的函数表达式： (2)若4≤R≤72，求电流I的变化范围. 【答案】ar出 (2)2≤1≤36 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性 质是解题关键。 1)设函数解析式为1=(k≠0)，把当R=12时，1=12，代入求出值即可得答案： (2)根据反比例函数性质，把R=4,R=72代入求出的最大值和最小值即可得答案. 【详解】(1)解：设函数表达式为！=化≠0) 当R=12时，1=12， 12=立解得：k=144, :“电流1（安培）与电阻R(欧姆)之间的表达式为1=片 (2)解：1=14中，144>0，R>0, R .图象在第一象限，I随R的增大而减小， ,4≤R≤72， ∴把电阻最小值R=4代入I=4,得到电流的最大值，1=44=36(A). 把电阻最大值R=72代入1=#，得到电流的最小值，1=#=2A)。 .电流I的变化范围是2≤1≤36 【变式5】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位： Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不 5/60 超过10A,请通过计算说明该用电器可变电阻应控制在什么范围？ A 0 9 R/2 【答案】用电器的可变电阻应大于或等于3.6Ω 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先由电流1是电阻R的反比例函数，可设1= 将点(9,4)代入函数解析式，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式，将1≤10 代入(1)中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围. 【详解】解：设电流I与电阻R之间的函数表达式为1= 函数图象过点(9,4)， 4=台 解得k=36, ∴.电流I与电阻R之间的函数表达式为1=36 限制电流不能超过10A, s10, 解得R≥23.6， .用电器的可变电阻应大于或等于3.60. 题型2.杠杆平衡问题 【例1】杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂.若某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N 和0.5m,则这一杠杆的动力F(单位：N)关于动力臂l(单位：m)的函数解析式为() A.F=600 B.F=1200 C.F=600l D.F=1200l 1 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键， 根据所给公式列式，整理即可得答案. 【详解】F,1=1200×0.5=600, F=0 故选：A. 6/60 【例2】杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上两个力矩（力与力 臂的乘积)大小必须相等，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂，用代数式表示为F1·11=F·L.如 图，已知石头重量（阻力）为3200N,阻力臂长0.25m,小华想用一根撬棍撬起这块石头， 但他只有500N的力量，那么他该选择动力臂为多少米的撬棍才能撬动这块大石头？ 【答案】小华该选择动力臂为1.6m的撬棍才能撬动这块大石头 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，求出反比例函数式是解题的关键，根据阻力×阻 力臂=动力×动力臂，可得出F与1的函数关系式：将F=500代入可求出1即可. 【详解】解：依题意，得3200×0.25=F·L, .F=800 当F=500时，500=9 解得l=1.6. 答：小华该选择动力臂为1.6m的撬棍才能撬动这块大石头 【变式1】在“探究杠杆平衡的条件”中，亮亮知道：当阻力F1(N)和阻力臂L1(m)一定时，动 力F2(N)与动力臂L2(m)之间的关系如图所示，且F1·L1=F2·L2.若动力F2为7N,则动力 臂L2为m. L2/mA F2/N 【答案】10 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求得反比例函数的解析式成为解题的关键， 设该函数的解析式为，=合将4点代入即可求得k,然后求得当动力F为7N时的函数值 即可 【详解】解：设该函数的解析式为2=方将A点代入可得：14-等 7/60 解得：k=70, 设该函数的解析式为业☑得 当F2=7N时，2=9=10m. 故答案为：10 【变式2】如下图，阻力为1000N,阻力臂长为5cm.设动力为y(单位：N),动力臂长 为x(单位：cm,图中杠杆本身所受重力略去不计.杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力 臂). 动力 阻 动力臂乙」阻力臂 (1y关于x的函数是反比例函数吗？如果是，求出比例系数. (2)当x=50时，求函数y的值，并说明这个值的实际意义. 【答案】(1)是，比例系数是5000 (2y=100,这个函数值的实际意义是当动力臂长为50cm时，所需动力为100N 【分析】(1)根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式： (2)将x=50代入(1)中所求解析式，即可得出y的值. 【详解】(1)解：这个函数是反比例函数 根据题意，得y·x=1000×5, 所求函数的表达式为y=00, 比例系数是5000. (2)解：当x=50时，y=00=5000=100. 50 这个函数值的实际意义是当动力臂长为50cm时，所需动力为100N 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y与×之间的等量关系是解题关键. 【变式3】如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在 左边固定的托盘A中放置一个重物（质量mA固定），在右边可左右移动的托盘B中放置 一定质量的砝码（质量记为mB),可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）.改变 8/60 托盘B与点O之间的距离x/cm,记录相应的托盘B中的砝码质量y/g,得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 (1y与x之间的函数表达式为 (2)当砝码的质量为24g时，求托盘B与点0之间的距离。 【答案】(1y=30 x (2)12.5cm 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质. (1)由题意可知y与x成反比例关系，设y=,将(10,30)，代入计算即可： (2)将y=24代入y=30计算即可. 【详解】(1)解：由题意，设y=兰 结合表格数据，该函数图象过点(10,30)， ÷k=10×30=300, “y与x的函数表达式为y=0 故答案为：y=300, x (2)解：由题意，将y=24代入y=300 得24=300， x 解得x=12.5. 答：当砝码的质量为24g时，托盘B与点0之间的距离是12.5cm. 【变式4】古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”.后来人们把阿基 米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原 理”.通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂（如图）·小伟欲用撬棍撬动一 块石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和1m 9/60 阻力 支点 动力 阻力臂 动力臂 (1)动力F与动力臂1有怎样的函数关系？当动力臂为2米时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过(1)中所用力的一半，则动力臂1至少要加长多少？ 【答案】但力F与动力臂1的函数关系为F=”,动力臂为2米时，撬动石头至少需要 500N的力： (2)动力臂至少要加长2m. 【分析】(1)直接利用：阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出F与1之间的关系； (2)直接利用动力F不超过题(1)中所用力的一半，进而得出1的值， 【详解】(1)解：由题意可得：1000×1=Fl, 则F=1000 当动力臂为2米时， 则撬动石头至少需要：F=10=500(N), 2 答：动力F与动力臀1的函数关系为F=0”,动力臂为2米时，撬动石头至少需要50ON 的力： (2)解：当动力F不超过题(1)中所用力的一半，即F≤250， 则9≤250， 解得：1≥4， 即动力臂至少要加长4-2=2(m), 答：动力臂至少要加长2m. 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出F与1之间的关系是解题关键 题型3，气体压强与体积关系问题 【例1】某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kP)是 气球体积V的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于160kPa时，气球将爆炸， 为了安全，气球的体积应该() 10/60 AP(kPa) 200 150 100 A(1.5,64) 50 0.51.01.52.02.5V(m3) A.不小于号m3 B.小于月m3 C.不大于m3 D.小于号m3 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出 函数解析式.根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压PkP)是气体体积V(m3)的反比 例函数，且过点(1.5,64)，故PV=96:故当P≤160，可判断V≥ 【详解】解：设球内气体的气压PkP和气体体积V(m)的关系式为P=台 图象过点(1.5,64 .k=1.5×64=96, 即P=总 在第一象限内，P随V的增大而减小， ÷当P≤160时，V≥总=(m). 故选：A 【例2】物理学的知识告诉我们，气温不变时，某气球内的气压p(kPa)与气球体积V(m3)是 反比例函数关系，当气球内的气压大于100kPa时，气球会发生爆炸，为了安全起见，气球 内气体的体积V应该( ) p (kPa) 20 40 60 100 120 V() 4.8 2.4 1.6 0.96 0.8 A.小于0.96 B.不小于0.96 C.大于0.96 D.不大于0.96 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据表格得气压卫随气球体积V的增大而减小， 进而可求解，从表中获取相关信息，掌握反比例函数的性质是解题的关键。 【详解】解：根据表格得气压p随气球体积V的增大而减小，则当气球内的气压大于100kP 11/60 时，气球会发生爆炸，根据表格判断，为了安全起见，气球内的气压不大于100P,此时 气球内气体的体积V应该不小于0.96m3, 故选：B 【变式1】在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积(m3) 时，气体的密度pkg/m3)也随之改变，p与V在一定范围内满足p=咒，当m=7kg时，p关 于V的函数图象是() p/(kg/m) p/(kg/m) V/m3 0 m B p/(kg/m) p/(kg/m) V/m3 V/m C. D 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象，理解题意是解题的关键，根据反比例函数的定义及 图象可知，函数图象为第一象限内的反比例函数图象，据此即可得出答案. 【详解】解：“p=受m=7kg 7 p=p>0,V>0), 故函数图象为第一象限内的反比例函数图象。 故选：D 【变式2】在温度不变的条件下，气体所产生的压强PkPa)与气体的体积V(mL)成反比例， 如图是某种气体压缩后，气体产生的压强P关于气体的体积V的函数图象.若压强由100kPa 减压到80kPa,则气体体积增加了 mL. P(kPa) 100 80--- 60 0 100 V(mL) 【答案】15 12/60 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用.设这个反比例函数的解析式为P=求得P= ,当P=80Pa时，求得V=80mL,当P=100Pa时求得，V=60mL,于是得到结论， 【详解】解：设这个反比例函数的解析式为P= ×V=100时，P=60, k=PV=100×60=6000, ÷P=6000 当P=80时，V=0o=75, 80 当P=100时，V=600=60 100 .75-60=15(mL), 气体体积增大了15mL, 故答案为：15. 【变式3】特定的温度下，某容器充满一定盘的气体，该容器内气体的压强kP)是气体体 积V(mL)的反比例函数，其图象如图所示. 个p/kPa 400 300 200 100 0102030405060yL (1)当容器内气体体积为50mL时，求出此时该容器内气体的压强： (2)若该容器内气体的压强不得超过400kP,求该容器体积的取值范围， 【答案】(1)120kPa (2)W≥15mL 【分析】此题考查了反比例函数的应用，关键是根据题意找到等量关系式 (1)利用待定系数法求函数解析式，将V=50代入解析式即可求解： (2)把p=400Pa代入(1)中的函数解析式，求出V=60=15,根据反比例函数的增 400 减性进行解答即可」 【详解】(1)解：设p=多由题意知300=0 ÷k=6000,即p=600 13/60 当y=50时.p=0=120Pa (2)解：当p=400kPa时，V=600=15. 400 在第一象限，p随V的增大而减小， 当p≤400kPa时，V≥15mL, 【变式4】某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压pkP)是气体 体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示. P/kPa 200个 150 A(0.8,120) 100 50 0.511.52/m (1)求这个函数的解析式： (2)当气体体积为1.5m3时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ (精确到0.01m3) 【答案】(1p=s (2)64kPa 3)气体的体积应不少于0.69m3. 【分析】本题考查反比例函数的应用：应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义. (1)设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式： (2)把v=1代入(1)得到的函数解析式，可得p: (3)把p=140代入得到V即可. 【详解】(1)解：设即= 由题意知120=。 所以k=96, 故p=9 (2)解：当V=1,5m时，p=兰=640Pa): 14/60 (3)解：当p=140kP时，U=品≈0.69m) 所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3」 题型4.行程间题 【例1】某海轮以每小时10千米的速度从A港行驶到B港，共用6小时（不考虑水流速度）. (1)写出时间t(时)与速度v(千米/时)之间的函数表达式： (2)若返航速度增至每小时12千米，则该海轮从B港返回A港（沿原水路）需几小时？ 【答案】at=号 (2)该海轮从B港返回A港需5小时 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解路程不变时，时间与速度是反比例函 数关系是解决本题的关键， (1)货船行驶的路程不变，因而时间t与速度v成反比例函数关系，利用待定系数法即可求 得函数解析式： (2)在解析式中令x=12,即可求得时间. 【详解】(1)设函数的解析式是t=冬，把v=10,t=6得：k=60, 则函数的解析式是：t=兽 (2)当v=12时，t=5. 从B港返回A港（沿原水路）需5小时. 【变式1】最近，我国发布多款最新机器狗，使机器狗的性能又上一个新的台阶.己知某款 机器狗最快移动速度v(m/s)是载重后总质量kg)的反比例函数，其图象如图所示，当其载 重后总质量m=80时，其最快移动速度v等于() v(m/s)◆ 40 m(kg) A.2.5 B.5 C.10 D.40 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键.根据图象的信 息，利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后再将m=80代入计算即可. 15/60 【详解】解：设反比例函数解析式为加=品 根据图象可知，机器狗载重后总质量m=40时，它的最快移动速度v=5, 5=始 解得k=200, 反比例函数解析式为v=200, m 当m=80时，v=200=2.5, 80 故选：A. 【变式2】某科技公司研发的四足机器人（机器狗），其最快移动速度v(m/S)是载重后总质 量kg)的反比例函数.在一次测试中，技术人员记录了一组数据：当总质量m=60kg时， 最快速度v=5m/s:则最快移动速度v与载重后总质量m之间的函数表达式为 【答案】=兴 【分析】根据反比例函数的定义，设出函数表达式，利用待定系数法，代入已知数值求出比 例系数，即可得到最终函数表达式. 【详解】解：设v与m的函数表达式为v=二(k≠0)， 将m=60,v=5代入表达式，得5=高 解得k=5×60=300, 因此与m之间的函数表达式为v=00 m 【变式3】综合与实践：探索机器狗的速度问题 素材1：图1是某款机器狗，它的最快速度v(米/秒)与总质量m(千克)（包括所载物体 的质量)的部分数据如表，在直角坐标系中画出对应点，并用光滑曲线连起来（图2）· v(米/秒) 60 120m(千克) 图1 图2 16/60 总质量m(千克) 60 80 90 100 120 最快速度v(米/秒) 6 4.5 3.6 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点540米，机器狗需从试验点出发， 送12千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回.（装卸设备时间忽略不计）经探究发 现v是m的正比例函数、一次函数、反比例函数中的一种. 任务1：判断v是m的哪种函数类型，并求出该函数表达式. 任务2：求机器狗所用的最短时间. 【答案】任务1：是m的反比例函数，函数表达式为加=积，任务2：198秒 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析 式是解题的关键。 任务1：利用待定系数法求出反比例函数解析式： 任务2：将m=72和60分别代入解析式计算求解即可. 【详解】解：任务1：由图象知v是m的反比例函数， 设v=,把m=60,v=6代入，得k=360 m 该函数表达式为v=36 任务2：当m=60+12=72时，v=60=5:而当m=60时，0=360=6， 72 60 0+碧=198（秒） 机器狗完成任务所用的最短时间为198秒. 【变式4】按相同路线行驶完同一条路，开车的速度不同，所用的时间也不相同.下表列出 了几个不同的司机按相同路线行驶完同一条路时速度和时间的一些数据， 速度（千米/小时） 80 150 60 时间（小时） 6 4 12 20 (1)写出时间t(小时)关于速度v(千米/小时)的函数关系式； (2)将表格填写完整： (3)如果某人上午11：00从这条路的一个端点开始出发，以每小时120千米的速度行驶，那 么他行驶完这条路时是什么时候？ 17/60 【答案】(t=g (2)见解析 3)下午4时 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出关系式，并应用性质解决问题是关键， (1)先求出路程，再列函数关系式即可： (2)根据函数关系式，计算完成填表： (3)根据关系式先求出所需时间，再根据出发时间即可解决问题. 【详解】(1)解：路程为150×4=600（千米）， 路程一定时，时间和速度成反比例函数关系，即：= (2)填表如下： 速度（千米/小时） 100 80 150 50 60 30 时间（小时） 6 7.5 12 10 20 (3)600÷120=5(小时)， 11:00+5=16:00, 答：他行驶完这条路时是下午4时. 题型5，工程问题 【例1】如图描述了在一段时间内，小华、小红、小刚三名工人加工零件的合格率y与所加 工零件的总个数x之间的关系（合格个数=合格率×总个数），则这三名工人在这段时间内所 加工零件合格的个数最多的是() 小华 小红小刚 A.小华 B.小红 C.小刚 D.同样多 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数性质的应用，熟练掌握相关概念是解题关键.根据题意 可以得知加工零件合格的个数等于加工零件的合格率y与所加工零件的总个数x的乘积，由 18/60 此通过观察进一步判断即可。 【详解】由题意得，加工零件合格的个数=xy, 如图 小华 小红小刚 0 据此通过直观观察比较此时三个长方形的面积大小，小刚所在位置的点对应的长方形的面积 最大，即xy最大， 故选：C. 【例2】市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为8100m3,某运输公 司承担了运送土石方的任务 (1)求运输公司平均运送速度v(单位：m3/天)与完成运送任务所需时间t(单位：天)之间 的函数关系式： (2)若这个运输公司每天可运送土石方900m3,该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【答案】（加=0(>0） (2)该公司完成全部运输任务需要9天 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解 题的关键 (1)根据运送的土石总量等于平均每天运送的土石量乘以运送天数列式求解即可： (2)根据(1)所求，求出v=900时t的值即可得到答案. 【详解】(1)解：由题意得，vt=8100, t=100(t>0): (2)解：在t=810(t>0)中，当v=900时，则t=810 900 解得t=9, 答：该公司完成全部运输任务需要9天 【变式1】某算力中心总算力固定不变，完成全部运算任务所需时间：t(单位：h)与在线 AI算力节点数x(单位：个)成反比例函数关系.已知开启40个算力节点工作时，完成全 部任务需6h.若全部任务需在4h内完成，则至少需要开启 个算力节点， 19/60 【答案】60 【分析】根据题意求出反比例函数解析式即可得解. 【详解】解：根据愿意设t= 开启40个算力节点工作时，完成全部任务需6h, “6=始 解得：k=240, t=地 当t=4时，20=4，解得：x=60, 若全部任务需在4h内完成，则至少需要开启60个算力节点， 【变式2】某工厂接到任务，紧急生产规定数量的口罩，下表是每小时生产口罩的数量x(万 只)与完成任务需要的时间y(小时)的部分对应数值. 3 4 6 y 72 48 36 24 (1)求y与x的函数表达式： (2)若完成这项任务不超过18小时，则每小时至少需要生产多少口罩？ 【答案】(1y=4 28万只 【分析】(1)根据表格中数据得出每时生产口罩的数量与时间的积一定，即可得出反比例 函数解析式： (2)把y=18代入y=14 可得x=8,再根据反比函数的性质，即可求解. 【详解】(1)解：根据题意得：每时生产口罩的数量与时间的积一定，所以每小时生产口 罩的数量与时间成反比例， .x·y=2×72=144. y与x的函数表达式为y=4 2)解：把y=18代入y=共，得：18=当 解得：x=8, 20/60 .144>0, 当x>0时，y随x的增大而减小， ∴每小时至少需要生产8万只口罩 【点晴】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数关系式是解题关键 【变式3】某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务. (1)每天完成的页数y与所需天数x之间是什么函数关系？ (2)若要求5天完成，求每天应完成多少页？ 【答案】(1y=8o (2)160页. 【分析】此题考查了反比例函数的应用： (1)运用每天完成的页数×所需天数=总页数进行求解； (2)将y=5代入(1)所得函数关系式进行求解. 【详解】(1)解：由题意，得xy=100×8, 整理，得y=00, x ∴.每天完成的页数y与所需天数x之间是反比例函数关系 (2)由题意，得=5， 解得x=160, ∴.每天应完成160页 【变式4】被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土 石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务， 陆运 (1)设该运输公司平均的运送速度为y(单位：立方米/天)，完成运送任务所需的时间为x (单位：天) 21/60 ①请直接写出y与x的函数关系式： ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时 间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工 期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米. 【答案】(1①y=0②50天 (2)7500m3 【分析】(1)①根据题意可知，运输公司平均的运送速度为y(单位：立方米/天)，完成 运送任务所需的时间为x(单位：天)之间的函数关系即可函数关系；②令y=6000求得 x即可： (2)该公司原计划每天运送土石方×立方米，则实际每天运送(x+2500)立方米，再根据“工 期比原计划减少了10天”列分式方程求解即可。 【详解】(1)解：根据“运送土方总量=平均的运送速度x完成运送任务所需的时间”可得： 300000=xy,即y=30000. ②令y=6000时，则x=3000=50(天). 6000 答：该公司完成全部运输任务需要50天， (2)解：该公司原计划每天运送土石方×立方米，则实际每天运送(x+2500)立方米， 由思意得，0-0+10 解得x1=7500,x2=-10000(不合题意，舍去) 检验：当x=7500时，7500(7500+2500)≠0 所以，x=7500是原分式方程的解， 答：该公司原计划每天运送土石方为7500m3. 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，根据题意列出反比 例函数解析式和分式方程是关键 题型6。压强问题 【例1】在综合实践课上，小明利用恒定的压力F(N)测定压强P(Pa)与受力面积S(m)的关 系.经测定，当S=0.5m时，P=20Pa,则P与S之间的函数图像可能是() 22/60 ←PPa AP/Pa 100 100 A. 00.1 s B. 00.1 5 P/Pa ←PPa 100 100 C. 0.1 S/m2 D. 00.2 S 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据压强公式，代入S=0.5m2,P=20Pa即可求 出反比例函数P-号进而判断出函数图像 【详解】解：根据压强公式P=号可知当S=0.5m3,P=20P时， 故20=品 即F=10, “P与S的函数关系式为P=吕 当S=0.1时，P=°=100， 0.1 故B,C选项不符合题意： 当S=0.2时，P=8=50, 故D选项不符合题意； P与S之间的函数图像可能是选项A中的图像， 故选：A. 【例2】如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效 率.“木海马"对地面的压强p(Pa)是“木海马”底面面积，S(m)的反比例函数，其图象如 图. 23/60 Ap/Pa 600 400 A(1.5,400) 200 0 11.522.534m2 (1)请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）； (2)当“木海马”底面面积为0.2m2时，压强是多少Pa: (3)如果要求压强不超过6000Pa,那么“木海马”底面面积至少要多少m2. 【答案】(1p 60(S>0) (2)3000Pa 3)0.1m2 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，是解题的关键： (1)待定系数法求出函数解析式即可： (2)求出S=0.2时的函数值即可： (3)求出p=6000Pa时的自变量的值即可. 【详解】(1)解：设p=S>0), 由图象，把A(1.5,400)代入得：k=1.5×400=600, p-g6>0): (2)当S=0.2时，p=0=3000: 0.2 答：当“木海马”底面面积为0.2m2时，压强是3000Pa: (3)p=6000时，S==01: .当p≤6000时，S≥0.1， 答：压强不超过6000Pa,那么"木海马"底面面积至少要0.1m2 【变式1】学校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地.根据物 理学原理，当人和木板对湿地的压力（单位：N)一定时，人和木板对地面的压强P(单位： Pa)是木板面积S(单位：m)的反比例函数，它的图象如图所示.下列说法正确的是() 24/60 AP/Pa 600 04 S/m2 A.当S≤1m2时，P≤600Pa B.当S≥1m2时，P≥600Pa C.当S=0.5m2时，P=300Pa D.当0<S≤0.5m2时，P≥1200Pa 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键.根据函数图象结合各 选项逐一判断即可. 【详解】解：由函数图象得P随S的增大而减小，且满足反比例函数关系， A、当S≤1m2时，P≥600Pa,不符合图象，错误： B、当S≥1m2时，P≤600Pa,不符合图象，错误： c、1x600=1200,则当S=0.5m2时，P=1200Pa,错误；， 0.5 0、10=1200.当0<S≤0.5m2时.P≥1200Pa,正确： 故选：D. 【变式2】如图，一块砖的A,B两个面的面积之比是5：3，如果A、B两个面分别向下在地 上，地面所受压强分别为P1,P2,压强的计算公式为P=号，其中P是压强，F是压力，S 是受力面积，则P1,P2的大小关系为 B 【答案】P1<P2 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键.先根据 这块砖的重量不变可得压力F的大小不变，且F>0,再根据反比例函数的性质（增减性） 即可得。 【详解】解：这块砖的重量不变， 不管A,B三个面中的哪面向下在地上，压力F的大小都不变，且F>0, “P随S的增大而减小， 、A,B三个面的面积之比是5：3， 25/60 P1<P2 故答案为：P1<P2 【变式3】人工智能逐渐融入我们的生活.如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机 器人与地面的接触面积是可以调整的.下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积 之间的关系： 地面所受压强p(Pa) 6×105 8×105 1.2×106 1.6×106 接触面积S(m2) 8×10-4 6×10-4 4×10-4 3×10-4 (1)地面所受压强p与接触面积S满足怎样的函数关系？并求出压强p(Pa)关于接触面积S(m) 的函数表达式. (2)若送餐机器人要经过一段玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为1×10P,问 这种机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】ap=曾 (2)这种机器人与地面的接触面积至少为4.8×10一4平方米 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，理解表格中压强与接触面积的关系，运用待定系 数法求解是关键 (1)由表格可知压强p与接触面积S的乘积为定值480，则压强p与接触面积S满足反比例函 数系，运用待定系数法即可求解： (2)把最大压强为1×106Pa,代入反比例函数解析式求解即可. 【详解】(1)解：由表格可知压强p与接触面积S的乘积为定值480，则压强即与接触面积S 满足反比例函数系， 设即与S的函数关系式为p=号 将p=6×105,S=8×104代入p=5 得F=6×105×8×10-4=480, “p与S的函数表达式为p=智 26/60 2)解：p=1×10时，5=0=48x10+(平方米)， 答：这种机器人与地面的接触面积至少为4.8×10-4平方米. 【变式4】如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所 受压强与受力面积的关系如下表所示： 受力面积S/m2 0.5 0.125 桌面所受压强P/Pa 200 400 800 1600 0.4 图1 图2 图3 (1)根据表中数据，求出桌面所受压强P(单位：Pa)关于受力面积S(单位：m2)的函数表 达式并直接补全表格， (2)将另一长，宽，高分别为0.4m,0.2m,0.1m且与原长方体相同质量的长方体分别按图2 和图3所示的方式放置于用玻璃制作的桥上，按图2放置时，桥完好无损，按图3方式放置 时，玻璃桥破裂，请求出玻璃桥能够承受的最大压强Pmax的范围.（超过最大压强时玻璃破 裂) 【答案】1P=9、补全表格为025： (2)玻璃桥能够承受的最大压强的范围为5000≤Pmx<10000 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键， (1)由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数， 利用待定系数法求解即可： (2)结合图2和图3所示的放置方式求出受力面积，再分别求出压强，即可求解 【详解】(1)解：由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S 的反比例函数， 设P= 将(1,200)代入上式，得k=1×200=200, ÷P=200 27/60 即所受压强P(单位：Pa)关于受力面积S(单位：m2)的函数表达式为P=20 当P=800时，800=9，解得S=0.25 则补全表格内容为0.25. (2)解：图2中P=200 0.4×0.1 =5000(Pa), 图3中P=200 0.2×0.1 =10000(Pa), 玻璃桥能够承受的最大压强的范围为5000≤Pm<10000. 题型7、密度计问题 【例1】物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸 在液体中的高度h(cm)是液体的密度p(g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3 的水中时，h=20cm,当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm,则该液体的密度p为() A.2.5g/cm3 B.1.2g/cm3 C.1g/cm3 D.0.8g/cm3 【答案】D 【分析】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式和求自变量的值等 知识.利用待定系数法求出函数解析式为h=9,再把h=25cm代入求解即可。 【详解】解：，浸在液体中的高度h(cm)是液体的密度p(g/cm3)的反比例函数， 可设h=言(k≠0)， ,当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h=20cm, ∴20=号 解得k=20 h=9 ∴.当h=25cm时，25=29，解得p=0.8(g/cm3), 故选：D. 【例2】科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在密度p(单位：g/cm3) 的液体中，浸在液体中的高度M单位：cm)与液体中的密度p的关系式为p=碧，橘子汁的密 度是水的密度的倍，密度计悬浮在水中的高度比悬浮在橘子汁中多4cm. 28/60 二二二二二二 (1)当密度计悬浮在一种液体中时，h=25cm,该液体的密度p为_； (2)求水的密度 【答案】(1)0.8g/cm㎡3 2)1g/cm3 【分析】本题考查了反比例函数的应用， (1)把h=25cm代入p=9,求得p=0.8,于是得到结论： (2)设密度计浸在水中的高度为x,则浸在橘子汁中的高度为(x一4)，根据“橘子汁的密度 是水的密度的倍”得关于x的分式方程，列式计算进而求解即可， 【详解】(1)解：把h=25cm代入p=公， 得p=器=0.8g/cm), 即该液体的密度p为0.8g/cm3, 故答案为：0.8g/cm3: (2)解：设密度计悬浸在水中的高度为x,则浸在橘子汁中的高度为(x一4)， :橘子汁的密度是水的密度的倍， 4x-41 解得x=20, ∴水的密度为号=1g/cm). 答：水的密度为1g/cm3. 【变式1】综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液 体中时，浸在液体中的高度h(cm)是液体的密度p(g/cm3)的反比例函数，其图象如图所示 (p>0).下列说法正确的是() 29/60 个h(cm) 20 p(g/cm') A. 当液体密度p≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B.当液体密度p=2g/cm3时，浸在液体中的高度h=40cm C.当浸在液体中的高度0<h≤25cm时，该液体的密度p≥0.8g/cm3 D.当液体的密度0<p≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设h=冬，把p=1,h=20代入解析 式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可 【详解】解：设h关于p的函数解析式为=。 把p=1,h=20代入解析式，得k=1×20=20. h关于p的函数解析式为h= p A.当液体密度p≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm,故该选项不正确，不符合题意； B.当液体密度p=2g/cm3时，浸在液体中的高度h=10cm,故该选项不正确，不符合题意： C.当浸在液体中的高度0<h≤25cm时，该液体的密度p≥0.8g/cm3,故该选项正确，符 合题意： D.当液体的密度0<p≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm,故该选项不正确，不符 合题意； 故选：C 【变式2】根据物理学知识，将同一个密度测量仪放置于不同的液体中时，密度测量仪浸没 在液体中的长度1（单位：cm)是液体密度p(单位：g/cm3)的反比例函数.当l=10cm 时，p=0.8g/cm3.若某液体的密度p=1.6g/cm3,则密度测量仪浸没在该液体中的长度1 为 cm 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意设l=,将1=10cm,p=0.8g/cm3代入 求出k的值，再代入p=1.6g/cm3求出结果即可. 30/60 【详解】解：根据题意设1=台 当l=10cm时，p=0.8g/cm3, k=lp=10×0.8=8, 1-8 当p=1.6g/cm3时，l=是=5cm, 故答案为：5. 【变式3】密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V(单位：m3)变化时，气体 的密度p(单位：kg/m3)随之变化.已知密度p与体积V是反比例函数关系，它的图象如图 所示 个p/(kg/m) 6 4 A5,1.98) o1234567vm (1)求密度：p关于体积V的函数解析式； (2)当0<V≤3m3时，求二氧化碳的密度p的取值范围. 【答案】ap=2V>0) (2)p≥3.3 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法和反比例函数的性质是解题的关键. (1)根据待定系数法求解即可： (2)利用反比例函数的增减性，结合自变量取值范围即可求出密度P的取值范围. 【详解】(1)解：由密度p与体积V是反比例函数关系， 设p=(k>0), 将点A(5,1.98)代入， 得：198= 解得：k=9.9, 即p关于体积V的函数解析式为：p=婴W>0): (2)解：，k=9.9>0, 31/60 ,当V>0时，p随V的增大而减小， ∴当0<V≤3m3时，p≥ 9.9 即p≥3.3， ∴.二氧化碳的密度p的取值范围为p≥3.3. 题型8.一次函数与反比例函数的实际应用 【例1】如图，在常温(25C)常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度y(℃)与时间x(分钟) 近似满足一次函数关系，当水温达到100℃时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内， 茶水的温度y(C)与时间x(分钟)近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在30℃~50℃时 适宜饮用，在40℃时饮用口感最佳.若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时 计时，下列说法正确的是() y(C) 100 75 25 04 x分钟) A.加热4分钟时水温上升了75℃ B.加热5分钟时水沸腾 C.若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是21分钟 D.该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，反比例函数的应用、一次函数的应用，正确掌握相关性质内 容是解题的关键.先根据函数图象的信息得加热4分钟时水温上升了50℃，再分别求出反 比例函数、一次函数的解析式，再根据该种茶水在30℃~50℃时适宜饮用，在40℃时饮用 口感最佳.代入数值进行计算，即可作答. 【详解】解：没加热前的水温是25℃， 则75℃-25℃=50℃ .加热4分钟时水温上升了50℃， 故A选项不符合题意： ,在常温(25℃)常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度y(℃)与时间x(分钟)近似满足一 32/60 次函数关系 ∴.设解析式为y=kx+b,把(0,25)，(4,75)代入， 得75254b 解得的弦 .y=12.5x+25, 当y=100℃时，则100=12.5x+25, .x=6, 故B选项不符合题意： 茶水的温度y(℃)与时间x(分钟)近似满足反比例函数关系， ,设解析式为y=” 把(6,100)代入y=费 得m=100×6=600, y=00 ,在40℃时饮用口感最佳. ,40=600 .x=15 则在口感最佳时饮用，需要等待的时间是15分钟， 故C选项不符合题意； ,该种茶水在30℃~50℃时适宜饮用， x=贺=12，x-0=20 30 ∴.该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 故D选项符合题意： 故选：D 【例2】据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素， 已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y(微克/毫升)与服用的时间x(小时)成正比例， 药物浓度达到最高后，血液中的含药量y(微克/毫升)与服用的时间x(小时)成反比例， 根据图中所提供的信息，回答下列问题： 33/60 y(毫克/毫升) 01234567891011213145x亦时) (1)根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数表达式： (2)求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y. 【答案】(1y=24x>4) (2)2.4微克 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)根据(1)所求，求出x=10时，y的值即可得到答案 【详解】(1)解：设药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数表达式为y= 把x=4时，y=6代入y=得：6=年 解得k=24, ∴药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数表达式为y=华x>4), (2)解：在y=4(x>4)中，当x=10时，y=4=2.4. 10 答：该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量为2.4微克. 【变式1】小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛.经过 测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y(毫克/ 立方米)与时间x(月)成正比例.施工结束后，y与x成反比例.这两个变量之间的关系如 图所示，请根据图中信息，回答下列问题： y(毫克/位方米) 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 00.8 23x月) (1)求施工结束后y关于x的函数解析式： (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于0.08毫克/立方米，按照这个标准.请 问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ 34/60 【答案】y=盟(x之08) (210个月 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图像获取所需 信息是解题的关键。 (1)利用待定系数法，将点(0.8,1)代入，求出反比例函数解析式即可： (2)利用（①）求出的解析式，当y=0.08时，008=，解得x=10,即可求出答案. 【详解】(1)解：当x≥0.8时，设此阶段y关于x的函数解析式为y=(k≠0)， 将点(08,1)代入，可得1=。解得：k=08, 所以施工结束后y关于x的函数解析式为y=(x≥0.8)： (2)解：当y=0.08时，0.08=，解得：x=10, 答：小明一家从施工开始计算，至少经过10个月才可以入住 【变式2】学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示.某班学生在一节数学课中 的注意力指数y与上课时间t(分钟)的变化如图所示.上课开始时注意力指数为30，第3 分钟时注意力指数为45，前10分钟内注意力指数y是时间t的一次函数.10分钟以后注意 力指数y是时间t的反比例函数. 310 45份 (1)求y与t的函数关系式： (2)如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本 节课应该在哪个时间段讲解这道题？ (5t+30(0≤t≤10) 【答案】(1y 0(10<t≤45) t (2)4≤t≤16 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，求反比例函数关系式，求反比例函数自变量 的值，弄清题意是解题的关键； 对于(1)，先将两点的坐标代入直线关系式，求出第一段关系式，再令t=10求出y,进 35/60 而求出反比例函数关系式； 对于(2)，分别将y=50代入两个关系式，即可求出x的值，进而得出答案. 【详解】(1)解：设一次函数的关系式为y=kt+b,反比函数关系式为y=? 将(0,30)，(3,45⑤)代入，得 ∫b=30 3k+b=451 解得化6 ∴.一次函数的关系式为y=5t+30: 当t=10时，y=80,将数值代入y=”,得 m=800, 反比例函数关系式为y= t 5t+30(0≤t≤10) 所以函数关系式为y= (10<t≤45 800 (2)解：当y=50时，5t+30=50,解得t=4: 当y=50时，50=2，解得t=16. 所以当4≤t≤16时，讲解这道题. 【变式3】钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目 的是软化钢丝材料，以便切削加工，如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度y(℃)与退火时间 x(S)之间的函数关系图，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分. 以C 60 20 1015 s (1)已知冷却过程中y与x成反比例函数关系，求出此过程中y与x的函数关系式： (2)当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在50℃及以上时，加工效 果最好，请问工人师傅要想效果最好，应该在多长时间内完成加工操作？ 【答案】(1y=90 (23分钟 36/60 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键 (1)设此过程中y与x的函数关系式为y=冬将点(15,60)代入y=(k≠0)，解方程即可 得到结论： (2)将y=50代入y=9,解方程即可得到结论。 【详解】(1)解：设此过程中y与x的函数关系式为y= 将点(15,60)代入y=(k≠0)， 解得k=900, .此过程中y与x函数关系式为y=90 (2)解：将y=50代入y=90, 解得x=18, .18-15=3, 答：工人师傅要想效果最好，应该在3分钟的时间内完成操作。 【变式4】长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓.某天恒 温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)与时间x)之间的函数关系如图所示，其 中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分. (C) 20 10 D 02 24.x(h) (1)求CD段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)大棚里种植的草莓在温度为15℃到20℃的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的 温度是10℃，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(CD段所对应的反比例函数关系式为y=0,自变量x的取值范围为12≤x≤24 (2)草莓一天内最适合生长的时间有15小时 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用， 解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一 次函数的性质作答， 37/60 (1)应用待定系数法求函数解析式： (2)先求出AB段的解析式，代入临界值y=15,分别求出AB段和CD段温度为15℃的时间， 再相减即可即可· 【详解】(1)解：设CD段所对应的反比例函数关系式为y=(k≠0). 把D(24,10)代入，得k=24×10=240, y=增 当y=20时，20=9， 解得x=12,即a=12, ·CD段所对应的反比例函数关系式为y=24,自变量x的取值范围为12≤x≤24. (2)解：设直线AB的函数关系式为y=mx+n(0≤x≤2)， 把(0,10)，(2,20)代入， 相nm1020 解得18 直线AB的函数关系式为y=5x+10. 当y=15时，15=5x+10,解得x=1. y=15时，15=型，解得x=16, 16-1=15(小时)， 答：草莓一天内最适合生长的时间有15小时. 题型9.其他问题 【例1】近视镜是一种用于矫正近视的光学眼镜，通过镜片的凹透镜设计来帮助近视眼患者 看清远处的物体.研究发现，近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例关系， 图象如图所示. y以度 500- 00.2 米 38/60 (1)求该反比例函数的表达式： (2)佳佳原来佩戴150度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所 配镜片的焦距调整到了0.5米，求佳佳的眼镜度数增加了多少度. 【答案】y=四 (2)50: 【分析】本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式和已知自变形的值、求函数值，解 题的关键是注意计算的正确性. (1)先设反比例的函数表达式y=(k≠0)，根据图象上点的横纵坐标代入求出k值即可： (2)把x=0.5代入(1)中求出函数表达式即可. 【详解】(1)解：设该反比例函数的表达式为：y=(化≠0)， 由图象可知点(0.2,500)在反比例图象上， ∴.k=500×0.2=100, ∴该反比例函数的表达式为：y= (2)解：当x=0.5时，y=200, 200-150=50(度)， ∴.佳佳的眼镜度数增加了50度. 【变式1】1896年，挪威生理学家古德贝发现了有趣的“瞎转圈"”现象：每个人有一条腿迈出 的步子比另一条腿迈出的步子长，导致在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进， 但实际上走出的是一个大圆圈.经研究，某人蒙上眼睛行走的大圆圈半径y(米)是其两腿 迈出的步长之差x（厘米)的反比例函数(x>0),当x=5时，y=2.8.若某人两腿迈出 的步长之差为3厘米，求他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径 【答案】厘米 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键.设y与x之间的函 数表达式为y=冬，把点(5,2.8)代入，求得解析式，进而把x=025代入反比例函数的解析 式即可求解 【详解】设反比例函数解析式为y=,依题意，反比例函数过点(5,2.8)， 28=苦 39/60 .k=14, y=进 当x=3时，y=号 “当某人迈出的步长差为3厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为片厘米 【变式2】一场暴雨过后，一洼地积存雨水20m3,设积存的雨水全部排完需t(mim),排水速 度为a(m3/min),且排水时间t需满足5≤t≤10. (1)试写出t与a之间的函数表达式，并指出a的取值范围 (2)请画出函数图象； (3)根据图象回答：当排水速度为3.5m3/min时，排水时间需要多长？ 【答案】(1t=9:a的取值范围为2≤a≤4： (2)见解析 (3)min 【分析】本题主要查了反比例函数的实际应用，根据题意，列出函数关系式是解题的关键. (1)按照等量关系“一洼地存的雨水量=排完需要的时间×每分的排水量”列出函数关系，并 由排水时间5≤t≤10求得a的取值范围： (2)根据自变量的取值范围结合反比例函数的图象直接画出即可： (3)由(1)求得的函数关系式，代入a=3.5,解得t的值即可. 【详解】(1)解：根据题意得：t=碧 当t=5时，5=碧此时a=4, 当t=10时，10=29，此时a=2, a 5≤t≤10， ∴a的取值范围为2≤a≤4： (2)解：根据题意，列表如下： 2 3 10 20 5 3 画出函数图象，如下： 40/60 10 9 8 7 20 6 5 4 3 2 012345a (3)解：当a=35时：t=是- -min, 即排水时间需要min。 【变式3】电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁 波的一种)与地球通信，电磁波的波长λ（单位：m)会随着电磁波的频率f(单位：MHz) 的变化而变化.已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表： 频率f(MHz) 5 10 15 20 25 30 波长(m) 60 30 20 15 12 10 (1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长(m)关于频率f(MHz)的函数表达式， (2)当该电磁波的频率为50MHz时，它的波长是多少m? 【答案】(1f=00 (2)6m 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解表格得到f与成反比例函数关 系是解题的关键， (1)观察表格可得f几是一个定值，即f与成反比例函数关系，据此设出解析式利用待定系 数法求解即可： (2)求出当f=50时的值即可得到答案. 41/60 【详解】(1)解；根据表格数据的关系，可得f与成反比例函数关系， 设f=克把(5,60)代入f=中得：60=台，解得k=300, f泗 (2)解：当f=50时，1=30=6， f ∴.当该电磁波的频率为50MHz时，它的波长是6m 【变式4】如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实 验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图2，根 据小孔成像的科学原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高ycm是小 孔到蜡烛的距离xcm的反比例函数.当x=2cm时，y=3cm. 像 蜡烛 图1 图2 (1)求y关于x的函数表达式： (2)在平面直角坐标系中，画出函数图像： Ay/cm 6 5 4 3 2 1 -10123456x/cm -1H (3)若小孔到蜡烛的距离为5cm时，求火焰的像高. 【答案】(y= 2)见解析 3)1.2cm 【分析】本题考查了反比例函数的应用。 (1)利用待定系数法进行计算，即可解答； (2)根据函数图像画法，列表，描点，连线即可： (3)把x=5代入解析式中进行计算，即可解答： 42/60 【详解】(1)解：设y与x的函数表达式为：y= 当x=2时，y=3.代入y=中得：3= 解得：k=6, y关于x的函数表达式为：y= (2)如图： -1O123456xcm (3)解：把x=5代入y=中得：y==1.2, ∴.火焰的像高为1.2cm. 巩固练习 1.(2026四川自贡中考真题)科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p(单位：Pa) 与受力面积S(单位：m)存在函数关系.下表是他们实验的几组数据： S(单位：m2) 1 4 8 p(单位：Pa) 80 40 20 10 则压强p(Pa)与受力面积S(m)之间的函数关系式是() A.p=5 80 B.p=80S C.p=30 5 【答案】C 【分析】判断p与S为反比例函数关系，再根据表格数据求比例系数，即可得到函数关系式。 【详解】解：，根据表格数据计算得：1×80=80,2×40=80,4×20=80,8×10=80， .压力一定时，压强p与受力面积S成反比例关系，可设p=(k≠0)， pS=k=80, p= 2.(2025湖北中考真题)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流1（单位：A)与 43/60 电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻R大于92时，电流I可能 是() IA 4 0 R/Q A.3A B.4A C.5A D.6A 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用：设该反比函数解析式为1=(k≠0)，根据当 R=9时，1=4，可得该反比函数解析式为1=36 再结合在第一象限I随R的增大而减小可 得答案。 【详解】解：设该反比函数解析式为1=(k≠0)， 由题意可知，当R=9时，I=4, 4=台 解得：k=36, 该反比函数解析式为1= R ∴在第一象限随R的增大而减小： 当R>9时，I<4, .电流可以为3A, 故选：A. 3.(2026四川成都.中考真题)人的视觉机能受运动速度的影响很大.在一定条件下，某人 驾驶车辆时的视野f(单位：)与车速v(单位：kmh)之间的关系式是f=0o.当车速 为80km/h时， 他的视野为 0 【答案】50 【详解】解：由题意，将u=80代入f=0得：f=9S°=50， 80 即他的视野为50° 44/60 4.(2025江苏南通中考真题)如图，一块砖的A,B,C三个面的面积比是5：3：1.如果 B面向下放在地上，地面所受压强为aPa,那么C面向下放在地上时，地面所受压强为 Pa A B 【答案】3a 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的关系。 根据题意，得出压强与受力面积之间的关系，分析计算即可 【详解】解：设这块砖的质量为m,与地面的接触面积为S,地面所受压强为P, 则PS=mg(定值)， 即P与S成反比例关系， SB:Sc=3:1, .PB:Pc=1:3, B面向下放在地上，地面所受压强为aPa, .C面向下放在地上时，地面所受压强为3aPa, 故答案为：3a. 5.(2026贵州遵义·二模)研究发现，近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x（米)成反比 例函数关系.验光师测得几组关于近视眼镜的度数y与镜片焦距x的对应数据如下表： 镜片焦距x(米) 0.40 0.25 0.20 0.10 近视眼镜的度数y(度) 250 400 500 1000 (1)根据表格数据，求y与x的函数关系式： (2)小红原来佩戴500度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变 为05米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 【答案】(1y=10 x (2)小红的近视眼镜度数降低了300度 【分析】(1)利用待定系数法求得反比例函数解析式： (2)把x=0.5代入y=g,求得y=器=20（度），再作差即可求解 45/60 【详解】(1)解：设y与x的函数关系式为y=(k≠0) 当x=0.40时，y=250,代入： k=xy=0.4×250=100 “y与x的函数关系式为y=0 (2)解：由(1)得y与x的函数关系式为y=1 当x=0.5时，y==200(度) 0.5 500-200=300(度) ∴小红的近视眼镜度数降低了300度， 6.（2026河南周口一模)综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计 在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图1）时，浸入液体中的高度(cm)是液体的密度 p(g/cm3)的反比例函数，其函数图象如图2所示(p>0). ◆h(cm) 1.5 p(g/cm) 图1 图2 (1)求h与p之间的函数关系式： (2)当液体密度p从1.5g/cm3增加到2g/cm3时，求密度计浸入该液体中的高度h怎么变化， 变化了多少. 【答案】(ah=吕0>0) (2)密度计浸入该液体中的高度h减少了，减少了3cm 【分析】(1)设h=台把p=15,h=12求出太即可得出解析式： (2)把p=2g/cm3代入(1)中求解的函数解析式即可. 【详解】(1)解：设h与p之间的函数关系式为h=长(p>0). 由题可知，图象过(1.5,12)， 将p=1.5,h=12代入h=台 得12=言 46/60 解得k=18. 所以h与之间的函数关系式为h=品(0>0)， (2)解：当p=2g/cm3时，h=号=9(cm). 12-9=3(cm). 答：密度计浸入该液体中的高度h减少了，减少了3cm. 7.（25-26九年级上河南周口期末)如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离 和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高y是小孔到蜡烛的距离x的反比例函数，且当x=10时， y=4. 蜡烛 (1)求y关于x的函数解析式. (2)若火焰的像高为5cm,求小孔到蜡烛的距离. 【答案】(1y=-9 (2)小孔到蜡烛的距离为8cm. 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握好相关知识是关键， (1)使用待定系数法求函数解析式即可： (2)将y=5代入(1)中的解析式，求出x的值. 【详解】(1)解：设反比例函数的解析式为y=兰 将x=10,y=4代入y=,得， 4=0 解得k=40, ∴y关于x的函数解析式为y=碧 (2)解：将)y=5代入y=碧得， 5=0 解得x=8. 47/60 答：小孔到蜡烛的距离为8cm. 8.(25-26九年级上山东泰安期末)庆典气球需要安全且能飘升，氦气作为一种惰性气体， 常被用于填充庆典气球.某次庆典活动，主办方需要5千克氦气来填充气球，已知氦气瓶的 容量V(升)跟压力P(标准大气压)之间成反比例关系，图示如图所示. P(标准大气压) 96---- O 250 V(升) (1)试确定P与V之间的函数表达式： (2)运输过程中，安全考虑，氦气瓶内气体不能超过120个标准大气压，氦气瓶容量要满足 什么条件？ 【答案】(1P=24o00 (2)不低于200升 【分析】本题考查反比例函数的应用： (1)设P=二，把(250,96)代入，利用待定系数法求解； (2)计算P=120时对应的V的值即可. 【详解】(1)解：设P=号 把(250,96)代入上式得：96=需 解得m=24000 P与V之间的函数表达式为：P=2oo0, v: (2)解：当P=120时，V=2400=200. 120 钢瓶的容积要求不低于200升. 9.(25-26九年级上.甘肃张掖期末)近年来，我国煤矿事故频频发生，其中最严重的灾害 是瓦斯爆炸，瓦斯爆炸后会产生高温、高压、冲击波，并放出有毒气体C0.如图，在一次 瓦斯爆炸煤矿事故的调查中发现：从零时起，井内空气中C0浓度达到4mg/L后，C0浓度呈 直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L,发生爆炸，爆炸后空气中C0浓度开始下降， 此时空气中CO浓度y(mg几)与时间x(h)成反比例函数关系. 48/60 y(mg/L) (h) (1)求爆炸后y与x之间的函数表达式： (2)救援人员只有在空气中C0浓度降至4mg/L及以下时，方可进入现场开展救援工作.则救 援人员至少在爆炸后多长时间才能下井开展救援？ 【答案】W=号，自变量x的取值范围是x>7 (2)救援人员至少在爆炸后73.5小时才能下井 【分析】本题考查了反比例函数，解题的关键是求出反比例函数的关系式 (1)利用待定系数法求反比例函数的解析式即可： (2)求出y=4时，对应的反比例函数的函数值，然后减去7即可求解. 【详解】(1)解：因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设y与x的函数关系式为y= 由图像知y=过点(7,46)，则46=月 解得：k=322, 所以y ,此时自变量x的取值范围是x>7: (2)当y=4时，y=2,得4=2 解得：x=80.5, 80.5-7=73.5(小时)， 故救援人员至少在爆炸后73.5小时才能下井。 10.(2026广东广州三模)某天7：30，小芳在家通过某打车软件打车前往火车站搭乘当 天8：30的动车.记汽车的行驶时间为t(单位：h),行驶的平均速度为v(单位：km/h), v≤60km/h,根据经验，v,t的对应值如表： v/(km/h) 20 30 40 50 60 t/h 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 (1)求平均速度v关于行驶时间t的函数解析式。 49/60 (2)已知小芳从开始打车到上车用了10mi,并且她想在动车出发前半小时到达火车站，若 汽车的平均速度为32km/h,小芳能否在预定的时间内到达火车站？请说明理由. (3)若汽车到达火车站的行驶时间t满足0.3≤t≤0.5，求平均速度v的范围. 【答案】p=是（≥0.2）： 2)不能， :从7：30到8：30总时间为1h,10min=h，提前到达需要的半小时为h， ∴可用于行驶的时间为1-名h, 当v=32km/h时，所需行驶时间t=号=0375h, ×0375>号 “小芳不能在预定的时间内到达火车站： (3)24≤v≤40 【分析】(1)根据表格数据判断v与t满足反比例关系，用待定系数法求出函数解析式， 再结合v的限制得到自变量t的取值范围： (2)先计算出小芳可用于行驶的总时间，再求出平均速度为32k/h时所需的行驶时间， 比较后判断是否能按时到达： (3)利用反比例函数的性质，当t在给定范围内时，计算得到对应v的取值范围. 【详解】(1)观察表格数据可知v与t的乘积为定值， “设知= 将v=20,t=0.6代入得k=20×0.6=12, 由题知v≤60， ￥≤60， 解得t≥0.2， ∴平均速度D关于行驶时间t的函数解析式为v=是化≥02)： (2)略： 3)p=号 ∴.当t>0时，v随t的增大而减小， 0.3≤t≤0.5， 50/60 即24≤v≤40. 11. (2026贵州遵义.一模)在物理力学中，当物体对接触面的压力固定时，接触面受到的 压强（记为p,单位：Pa)与受力面积（记为S,单位：m2)满足固定公式：F=pS(其中 F为固定压力，单位：N)·某实验小组对同一物体进行压力测试，得到以下实验数据（实 验序号1表示第1次实验)： 实验序号 压强p/Pa 受力面积S/m2 200 0.3 2 300 0.2 3 400 0.15 4 500 0.12 600 0.11 请解答以下问题： (1)表中哪次实验数据明显是错误的？请说明理由： (2)判断p与S满足的函数关系」 一（填”一次函数"“反比例函数”或“二次函数”），并求出 p关于S的函数表达式： (3)若实验中受力面积调整为0.25m2,求此时接触面受到的压强. 【答案】(1)第5次实验数据明显是错误的，理由见解析 2反比例函数：p=96>0) (3)240Pa 【分析】(1)根据各组数据中p与S的乘积应为定值，分别计算各组S的值，即可得解： (2)根据每一对值乘积为60，确定是反比例函数，可得函数关系式： (3)将S=0.25m2代入解析式，求出对应的p值即可. 【详解】(1)解：第5次实验数据明显是错误的，理由如下： 根据物理公式F=pS,压力F固定， ∴.各组数据中p与S的乘积应为定值，分别计算各组S的值： 第1次：200×03=60N), 第2次：300×0.2=60(N), 51/60 第3次：400×0.15=60(N), 第4次：500×0.12=60N), 第5次：600×0.11=66N), 第5次实验数据的pS值为66，与前4次的固定值60不符， ∴.第5次实验数据(p=600Pa,S=0.11m2)明显是错误的： (2)解：p与S满足的函数关系：反比例函数： 由(1)可知，固定压力F=60N,根据公式F=DS,变形可得p= :p关于S的函数表达式为p=（S>0): (3)解：当s=025m2时：p-器-240(P ∴此时接触面受到的压强为240Pa. 12.（2026河南三门峡.三模)数学应用：电子托盘秤工作原理. 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过 所称物体质量调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I,最终通过显示器显示物体 质量.电流(mA)与总电阻R(单位：kn)之间的关系式是：1=己知R,=10kn, 素材2：可变电阻R1(单位：k2)与物体质量x(单位：kg)之间的关系如图3所示(R1≥0)， 当放置物体质量为1.2kg时，电流表显示为0.2mA. R(k2) 32 R 3.2x(kg) 图1 图2 图3 (1)当放置物体质量为1.2kg时，求电阻R1的值， (2)电源两端的电压保持不变，求电源两端的电压， (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为0.15≤1≤0.5（单位：mA),请直接写出 该电子秤所称物品质量的最大值. 【答案】(1)20kn (2)6 3)最大值为3kg 【分析】(1)待定系数法先求出函数解析式R1=-10x+32,然后将x=1.2,代入求值即 52/60 可 （2)根据公式=代入求值即可： (3)根据一次函数和反比例函数的增减性进行求解即可. 【详解】(1)解：由图3可知，可变电阻R1(单位：k2)与物体质量x(单位：kg)之间 的关系为一次函数关系，设R1=mx+b(m≠0)， ∫b=32 把(0,32)，(3.2,0)代入解析式得：{3.2x+b=0' 解相化%9 .R1=-10x+32(0≤x≤3.2)， 当x=1.2时，R1=-10×1.2+32=20(k2): (2)解：设电流mA)与总电阻R(单位：k0)的函数解析式为1=是 由(1)知，R=R1+R2=20+10=30, 代入解析式1=是可得：0.2=品 解得：U=30×0.2=6: (3)解：由(2)知电流1(mA与总电阻R(单位：k0)的函数解析式为=员=会 ∴，R随的增大而减小， 0.15≤1≤0.5 .当1=0.15时，R取得最大值，且最大值为6=40， 0.15 此时R1取得最大值为40-10=30： 当1=0.5时，R取得最小值，最小值为品=12， 此时R1取得最小值为12-10=2， ,R1=-10x+32, .R随x的增大而减小， .当R1取得最小值2时，x取得最大值， 把R1=2代入得：2=-10x+32, 解得：x=3, 所以该电子秤所称物品质量的最大值为3kg 13.(2026贵州遵义模拟预测)如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一 53/60 根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点0处，并将其吊起.在中点0左侧固定位置B处悬挂重物 A,在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点0的距离x(cm),重 复上述步骤，观察弹簧秤的示数yN)的变化情况.实验数据记录如下： 4 6 10 2 12 6 2.4 2 AN 12 B 10 8 6 4 o2468102x/cm 图1 图2 (1)把表中x,y的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的 点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出yN)与x(cm)之间的函数关系式： (2)当弹簧秤的示数为5N时，弹簧秤与0点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧 秤与0点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 【答案】(1) 如图所示： 10 2 24681012xy=24(x>0) (2)当弹簧秤的示数为5N时，弹簧秤与O点的距离是4.8cm,随着弹簧秤与O点的距离逐 渐减小，弹簧秤的示数将不断增大. 【分析】(1)根据表格数值描点、连线即可画出图形，根据图象特点判断出y与x之间的 函数关系，最后利用待定系数法求出函数解析式即可： (2)把y=5代入(1)所得函数解析式即可求出x,根据函数的性质即可判断弹簧秤示数 的变化情况： 54/60 【详解】(1)图略 由函数图象可得，y是x的反比例函数，设y=冬把(4,6)代入得， 6=￥ 解得k=24, y=24(x>0): (2)解：把y=5代入y=生，得5=兰 解得x=4.8, 即当弹簧秤的示数为5N时，弹簧秤与O点的距离是4.8cm, ,k=24>0,在第一象限内，y的值随着x的值的增大而减小， ∴随着弹簧秤与O点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将不断增大， 14.(2026河南驻马店.三模)如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一 段双曲线，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA=8米，AB=3米.以点O为原点，水面所 在直线为x轴建立如图的直角坐标系，其中点E在x轴上. (1)求BC段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出x的取值范围）： (2)出口C点距离水面的距离为1.2米，求B,C之间的水平距离： 3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯BC上的Q点处设置一块红色标识，当前一位坐滑 梯的游客与BE的距离不少于6米时，才能放行下一位游客（即Q点到BE的距离至少6米）， 求点Q到水面的距离最多多少米？ 【答案】(1y= (2)17米： 32米. 【分析】(1)根据矩形的性质结合点E在x轴上，求出点B的坐标，再利用待定系数法计算 即可： 55/60 (2)设点C的坐标为点B的坐标并代入y=4解析式中，求出m的值，再根据B,C之间的水 平距离为xc-xB求解即可； (3)设点Q的坐标为(a,b)并代入y=兰解析式中，将a用b表示出来，根据号-3≥6列关于 b的不等式并求其解集，从而得到b的最小值即可， 【详解】(1)解：：矩形AOEB,OA=8,AB=3, ,BE=OA=8,OE=AB=3,∠AOE=∠AE0=LOAB=∠ABE=90°， ,点E在x轴上， ∴BE1x轴， AB1y轴， ∴点B的坐标为(3,8)， :设BC段滑梯所在的双曲线的解析式为y=(k为常数，且k≠0)， 将坐标B3,8)代入y=兰得=8， 解得k=24, :BC段滑梯所在的双曲线的解析式为y=兰 (2)解：，C点距离水面的距离为1.2米， ∴，设点C的坐标为(m,1.2), :点C在y=24上， “将cm,1.2)代入y=24,解得：m=20, ∴.点C的坐标为(20,1.2) .B,C之间的水平距离：xc-xg=20-3=17(米)： (3)解“设点Q的坐标为(ab), 将Q(a,)代入y=兰 得b-兰 a=酷 根据题意，得酷-3≥6， 解得b≤号 56/60 点Q到水面的距离最多米。 15.(2026辽宁抚顺模拟预测)问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋 陕交界的国家级5A级旅游景区.为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌， 修建多级观景平台及曲线连接步道.施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标 系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑.为保障 游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，为判断警示牌设置位置是否符合安全设置要求， 某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活 动 准备皮尺、便携手持水准仪等测量工具. 准 备 任务一：采集数据 如图，矩形AOEB为核心观景平台区域的竖直截面图， OE=3m,0A=10m.小组成员在曲线步道的不同位置 进行测量，曲线步道到OA的水平距离记为xm,到地面 y/m◆ 的竖直高度记为ym,记录数据如下表： 活 x/m 3 5 6 8 10 动 实 y/m 10 7.5 6 5 3.75 3 施 E 任务二：建立模型 x/m 如图，以地面为x轴、竖直方向为y轴、点O为原点建立 平面直角坐标系.根据表中的数值描点(x,y),并用平滑 的曲线连接这些点.分析数据和图象，确定y是x的反比 例函数： 安 全 为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地 评 面竖直高度不低于3m, 估 57/60 根据以上信息，解决下列问题： (1)求曲线段y关于x的函数解析式；（不需要写出自变量x的取值范围） (2)若警示牌拟设置在点M处，且点M到直线BE的水平距离为5m,则该位置是否符合安全设 置要求？请说明理由； (3)若工程团队拟在地面上到原点0水平距离15m处新增观景点D,为实现步道无缝衔接，求 衔接点距地面的高度 【答案】(1y=0 (2)该位置符合安全设置要求.理由如下： ,点M到直线BE的水平距离为5m, '.点M到y轴的水平距离为5+3=8(m) 将x=8代入y=碧得y=智=375 3.75>3, 该位置符合安全设置要求 (3)衔接点距地面的高度为2m 【分析】(1)利用待定系数法代入B点坐标求反比例函数解析式： (2)将x=8代入解析式求得y的值，与3.75比较，即可求解： (3)将x=15代入解析式求得y的值，即可求解. 【详解】(1)解：，四边形AOEB是矩形，己知OE=3,AB=OE=3, .B点坐标为(3,10) 设曲线段y关于x的函数解析式为y=整 将点(3,10)代入，得k=3×10=30. ∴曲线段y关于x的函数解析式为=0 （2)略 3)当x=15时，y=器=2。 答：衔接点距地面的高度为2m 16.（2026安徽马鞍山三模)综合与实践 【项目主题】探究智能物流分拣中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 【实践小组】某校初中科技社团 58/60 智能分拣是现代物流核心作业环节，分拣效率指设备每秒处理包裹的数量（件/s)·某校初 中科技社团开展实践活动，探究不同设备分拣效率、温度对效率的影响，用数学模型解决物 流实际问题， 【项目准备】 1.设备选取：3种智能分拣设备（桌面小型分拣机、皮带中型分拣机、交叉带大型分拣机）， 分别记为设备A、设备B、设备C: 2.任务设定：选取同一批包裹分拣任务，该任务的总包裹量固定，记为M(单位：件)； 3.实验原理：在20℃标准环境下，设备完成任务的时间t(单位：s)与分拣效率p(单位： 件/s)成反比例关系，t=丛(M为定值，M>0,p>0). 4.实验数据： 设备类型 标准分拣效率p(件s) 完成时间t(s) 设备A(小型分拣机) 5 100 设备B(中型分拣机) 10 a 设备C(大型分拣机) 20 25 【项目探究】 (1)根据实验原理，该分拣任务的总包裹量M= (2)在实际作业中，当20≤x≤40时，设备的实际分拣效率P4、P与环境温度x(℃)满足 次函数关系：P4=-0.1x+7,PB=-0.2x+14,若将设备A和设备B组成联合分拣组 同时处理该任务，总效率为两者实际效率之和.求当环境温度为30℃时，该联合分拣组完 成总包裹量M所需的时间： (3)设备C的实际分拣效率Pc与环境温度x(℃)(20≤x≤40)满足：Pc=-0.5x+30,若 要使设备C完成该任务的实际时间不超过第(2)问中环境温度为30℃时联合分拣组的完成 时间，求环境温度x(℃)的取值范围. 【答案】(1)500：50 S (3)20≤x≤36 【分析】(1)将设备A的数据代入t=求出M的值，进而将设备B的数据代入即可求出 59/60 a的值： (2)将x=30分别代入P=一0.1x+7,P,=-0.2x+14,进而求出总效率，根据t色 即可求出所需时间； (3)根据题意列不等式求解，结合20≤x≤40作答即可， 【详解】(1)解：将设备A的数据代入t=总得：100=兰，解得：M=500: 进面将设备B的数据代入1-婴得：a-巴-50： (2)解：当x=30时，P4=-0.1×30+7=4,Pg=-0.2×30+14=8, 总效率P点=4+8=12（件/s), 所需时间1。子晋=学日. 答：所需时间为号©： (3)解：由题意，得0≤罗 3 解不等式，得x≤36， 结合20≤x≤40，得20≤x≤36. 答：环境温度x(℃)的取值范围是20≤x≤36 60/60 第二十七章 反比例函数 03讲 实际问题与反比例函数 题型归纳 【知识点1 利用反比例函数解决实际问题 1】 【题型1. 电学问题 2】 【题型2. 杠杆平衡问题 6】 【题型3. 气体压强与体积关系问题 10】 【题型4. 行程问题 15】 【题型5. 工程问题 18】 【题型6. 压强问题 22】 【题型7. 密度计问题 28】 【题型8. 一次函数与反比例函数的实际应用 32】 【题型9. 其他问题 38】 【巩固练习 43】 知识清单 知识点1 利用反比例函数解决实际问题 1. 一般步骤 （1）审题：分析题意，找出变量，确定两个变量成反比例关系； （2）设解析式：设函数表达式为； （3）代值求：把题目中一组对应数值代入，求出常数； （4）确定解析式：将回代，得到实际问题的函数关系式； （5）求解作答：根据问题代入自变量求因变量（或反之），结合实际取值范围检验，写出答案。 题型专练 题型1. 电学问题 【例1】已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，若电阻，则电流I等于（    ） A．3.6A B．4.5A C．5A D．9A 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先设出电流I（单位：）与电阻R（单位：）的函数关系式为，利用待定系数法求出解析式，进而求出当时，I的值即可得到答案． 【详解】解：设电流I与电阻R的函数关系式为． 把代入中，得，解得， ∴电流I与电阻R的函数关系式为， ∴当时，， ∴电流I为， 故选A． 【例2】舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成乌云密布的阴天，这样的效果就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的．在一舞台场景的灯光变化的电路中，保持电压不变，电流（安培）与电阻（欧姆）成反比例，当电阻欧姆时，电流安培． (1)求与之间的函数关系式； (2)当电流安培时，求电阻的值． 【答案】(1) (2)电阻的值为欧姆 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当安培时，R的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设， ∵当电阻欧姆时，电流安培， ∴， ∴． （2）解：在中，当安培时，欧姆． 【变式1】电压一定时，经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）是反比例函数关系，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，得，解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：C． 【变式2】已知蓄电池两端电压（单位：V）为定值，电流（单位：A）与（单位：）成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为_______． 【答案】 8 【分析】本题考查了反比例函数．根据题意利用待定系数法求得该反比例函数的表达式，由此即可解答． 【详解】解：∵蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系， ∴电流I与R的函数关系为， ∵当时，， ∴，解得， ∴电流I与R的函数关系为， 当时，即， 解得． 故答案为：8． 【变式3】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是___________．（填序号） ①这个反比例函数解析式为 ②蓄电池的电压是 ③当时， ④当时， 【答案】①②④ 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式． 根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，然后根据反比例函数的性质判断其他说法即可． 【详解】解：根据题意，设， 图象过， ， ， 蓄电池的电压是，故①、②正确， 当时，，故③错误； 当时，， 由图象知：当时，，故④正确； 故答案为：①②④． 【变式4】我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． (1)求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； (2)若，求电流的变化范围． 【答案】(1)I= (2) 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性质是解题关键． （1）设函数解析式为，把当时，，代入求出值即可得答案； （2）根据反比例函数性质，把，代入求出的最大值和最小值即可得答案． 【详解】（1）解：设函数表达式为 ∵当时，， ∴，解得：， ∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为； （2）解：∵中，， ∴图象在第一象限，I随R的增大而减小， ∵， ∴把电阻最小值代入，得到电流的最大值，． 把电阻最大值代入，得到电流的最小值，． ∴电流I的变化范围是． 【变式5】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不超过，请通过计算说明该用电器可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】用电器的可变电阻应大于或等于 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，将点代入函数解析式，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式，将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【详解】解：设电流I与电阻R之间的函数表达式为， ∵函数图象过点， ∴， 解得， ∴电流I与电阻R之间的函数表达式为， ∵限制电流不能超过， ∴， 解得， ∴用电器的可变电阻应大于或等于． 题型2. 杠杆平衡问题 【例1】杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂．若某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和0.5，则这一杠杆的动力（单位：N）关于动力臂（单位：m）的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键． 根据所给公式列式，整理即可得答案． 【详解】， ， 故选：A． 【例2】杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即：阻力阻力臂动力动力臂，用代数式表示为．如图，已知石头重量（阻力）为，阻力臂长，小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他只有的力量，那么他该选择动力臂为多少米的撬棍才能撬动这块大石头？ 【答案】小华该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，求出反比例函数式是解题的关键．根据阻力阻力臂动力动力臂，可得出F与l的函数关系式；将代入可求出l即可． 【详解】解：依题意，得， ∴． 当时，， 解得． 答：小华该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头 【变式1】在“探究杠杆平衡的条件”中，亮亮知道：当阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂之间的关系如图所示，且．若动力为，则动力臂为______． 【答案】10 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求得反比例函数的解析式成为解题的关键． 设该函数的解析式为，将A点代入即可求得k，然后求得当动力为时的函数值即可． 【详解】解：设该函数的解析式为，将A点代入可得：， 解得：， ∴设该函数的解析式为， 当时，． 故答案为：10． 【变式2】如下图，阻力为，阻力臂长为．设动力为（单位：），动力臂长为（单位：，图中杠杆本身所受重力略去不计．杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂）． (1)关于的函数是反比例函数吗？如果是，求出比例系数． (2)当时，求函数的值，并说明这个值的实际意义． 【答案】(1)是，比例系数是5000 (2)，这个函数值的实际意义是当动力臂长为时，所需动力为 【分析】（1）根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，即可得出关于的函数表达式； （2）将代入（1）中所求解析式，即可得出的值． 【详解】（1）解：这个函数是反比例函数． 根据题意，得， 所求函数的表达式为， 比例系数是5000． （2）解：当时，． 这个函数值的实际意义是当动力臂长为时，所需动力为． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y与x之间的等量关系是解题关键． 【变式3】如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)y与x之间的函数表达式为____________； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与点O之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质． （1）由题意可知y与x成反比例关系，设，将代入计算即可； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意，设， 结合表格数据，该函数图象过点 ， 与的函数表达式为． 故答案为：； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得． 答：当砝码的质量为24g时，托盘与点之间的距离是． 【变式4】古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力阻力臂动力动力臂（如图）．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为和． (1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为2米时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？ 【答案】(1)动力F与动力臂l的函数关系为，动力臂为2米时，撬动石头至少需要的力； (2)动力臂至少要加长． 【分析】（1）直接利用：阻力阻力臂动力动力臂，进而得出F与l之间的关系； （2）直接利用动力F不超过题（1）中所用力的一半，进而得出l的值． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 当动力臂为2米时， 则撬动石头至少需要：， 答：动力F与动力臂l的函数关系为，动力臂为2米时，撬动石头至少需要的力； （2）解：当动力F不超过题（1）中所用力的一半，即， 则， 解得：， 即动力臂至少要加长， 答：动力臂至少要加长． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出F与l之间的关系是解题关键． 题型3. 气体压强与体积关系问题 【例1】某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该（   ） A．不小于 B．小于 C．不大于 D．小于 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压()是气体体积的反比例函数，且过点，故；故当，可判断． 【详解】解：设球内气体的气压()和气体体积的关系式为， ∵图象过点， ∴， 即， 在第一象限内，随的增大而减小， ∴当时，． 故选：A． 【例2】物理学的知识告诉我们，气温不变时，某气球内的气压与气球体积是反比例函数关系，当气球内的气压大于时，气球会发生爆炸，为了安全起见，气球内气体的体积V应该（　　） p（kPa） … 20 40 60 100 120 … V（m3） … 4.8 2.4 1.6 0.96 0.8 … A．小于0.96 B．不小于0.96 C．大于0.96 D．不大于0.96 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据表格得气压p随气球体积V的增大而减小，进而可求解，从表中获取相关信息，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据表格得气压p随气球体积V的增大而减小，则当气球内的气压大于时，气球会发生爆炸，根据表格判断，为了安全起见，气球内的气压不大于，此时气球内气体的体积V应该不小于， 故选：B． 【变式1】在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V（）时，气体的密度也随之改变，ρ与V在一定范围内满足，当时，ρ关于V的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象，理解题意是解题的关键．根据反比例函数的定义及图象可知，函数图象为第一象限内的反比例函数图象，据此即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴（，）， 故函数图象为第一象限内的反比例函数图象． 故选：D． 【变式2】在温度不变的条件下，气体所产生的压强与气体的体积成反比例，如图是某种气体压缩后，气体产生的压强P关于气体的体积V的函数图象．若压强由减压到，则气体体积增加了________．    【答案】15 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用．设这个反比例函数的解析式为，求得，当时，求得，当时求得，，于是得到结论． 【详解】解：设这个反比例函数的解析式为， 时，， ， ， 当时，， 当时，， ， 气体体积增大了， 故答案为：15． 【变式3】特定的温度下，某容器充满一定盘的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)当容器内气体体积为时，求出此时该容器内气体的压强； (2)若该容器内气体的压强不得超过，求该容器体积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了反比例函数的应用，关键是根据题意找到等量关系式． （1）利用待定系数法求函数解析式，将代入解析式即可求解； （2）把代入（1）中的函数解析式，求出，根据反比例函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）解：设，由题意知， ，即； 当时， （2）解：当时，． 在第一象限，随的增大而减小， 当时，， 【变式4】某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的解析式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 【答案】(1) (2) (3)气体的体积应不少于． 【分析】本题考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义． （1）设出反比例函数解析式，把坐标代入可得函数解析式； （2）把代入（1）得到的函数解析式，可得； （3）把代入得到即可． 【详解】（1）解：设， 由题意知， 所以， 故； （2）解：当时，； （3）解：当时，． 所以为了安全起见，气体的体积应不少于． 题型4. 行程问题 【例1】某海轮以每小时10千米的速度从港行驶到港，共用小时（不考虑水流速度）． (1)写出时间(时）与速度(千米/时）之间的函数表达式； (2)若返航速度增至每小时千米，则该海轮从港返回港（沿原水路）需几小时？ 【答案】(1) (2)该海轮从港返回港需小时 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解路程不变时，时间与速度是反比例函数关系是解决本题的关键． （1）货船行驶的路程不变，因而时间与速度成反比例函数关系，利用待定系数法即可求得函数解析式； （2）在解析式中令，即可求得时间． 【详解】（1）设函数的解析式是，把，得：， 则函数的解析式是：； （2）当时，． 从港返回港（沿原水路）需5小时． 【变式1】最近，我国发布多款最新机器狗，使机器狗的性能又上一个新的台阶．已知某款机器狗最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，其图象如图所示，当其载重后总质量时，其最快移动速度等于（   ） A． B．5 C．10 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据图象的信息，利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后再将代入计算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据图象可知，机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 解得， 反比例函数解析式为， 当时，， 故选：A． 【变式2】某科技公司研发的四足机器人（机器狗），其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．在一次测试中，技术人员记录了一组数据：当总质量时，最快速度；则最快移动速度与载重后总质量之间的函数表达式为___________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义，设出函数表达式，利用待定系数法，代入已知数值求出比例系数，即可得到最终函数表达式． 【详解】解：设与的函数表达式为 ， 将 代入表达式，得 ， 解得 ， 因此与之间的函数表达式为 ． 【变式3】综合与实践：探索机器狗的速度问题． 素材1：图1是某款机器狗，它的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）的部分数据如表，在直角坐标系中画出对应点，并用光滑曲线连起来（图2）． 总质量千克 60 80 90 100 120 最快速度米秒 6 4.5 4 3.6 3 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点540米，机器狗需从试验点出发，送12千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计）经探究发现是的正比例函数、一次函数、反比例函数中的一种． 任务1：判断是的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务2：求机器狗所用的最短时间． 【答案】任务1：是的反比例函数，函数表达式为；任务2：198秒 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 任务1：利用待定系数法求出反比例函数解析式； 任务2：将和60分别代入解析式计算求解即可． 【详解】解：任务1：由图象知是的反比例函数， 设，把代入，得 该函数表达式为； 任务2：当时，；而当时，， （秒）． 机器狗完成任务所用的最短时间为198秒． 【变式4】按相同路线行驶完同一条路，开车的速度不同，所用的时间也不相同．下表列出了几个不同的司机按相同路线行驶完同一条路时速度和时间的一些数据． 速度（千米/小时） 80 150 60 时间（小时） 6 4 12 20 (1)写出时间（小时）关于速度（千米/小时）的函数关系式； (2)将表格填写完整； (3)如果某人上午从这条路的一个端点开始出发，以每小时120千米的速度行驶，那么他行驶完这条路时是什么时候？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)下午4时 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出关系式，并应用性质解决问题是关键， （1）先求出路程，再列函数关系式即可； （2）根据函数关系式，计算完成填表； （3）根据关系式先求出所需时间，再根据出发时间即可解决问题． 【详解】（1）解：路程为（千米）， 路程一定时，时间和速度成反比例函数关系，即． （2）填表如下： 速度（千米/小时） 100 80 150 50 60 30 时间（小时） 6 4 12 10 20 （3）（小时）， ， 答：他行驶完这条路时是下午4时． 题型5. 工程问题 【例1】如图描述了在一段时间内，小华、小红、小刚三名工人加工零件的合格率与所加工零件的总个数之间的关系（合格个数=合格率×总个数），则这三名工人在这段时间内所加工零件合格的个数最多的是（   ） A．小华 B．小红 C．小刚 D．同样多 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数性质的应用，熟练掌握相关概念是解题关键. 根据题意可以得知加工零件合格的个数等于加工零件的合格率与所加工零件的总个数的乘积，由此通过观察进一步判断即可. 【详解】由题意得，加工零件合格的个数， 如图 据此通过直观观察比较此时三个长方形的面积大小，小刚所在位置的点对应的长方形的面积最大，即最大， 故选：C． 【例2】市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【答案】(1) (2)该公司完成全部运输任务需要9天 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据运送的土石总量等于平均每天运送的土石量乘以运送天数列式求解即可； （2）根据（1）所求，求出时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：在中，当时，则， 解得， 答：该公司完成全部运输任务需要9天． 【变式1】某算力中心总算力固定不变，完成全部运算任务所需时间：t（单位：）与在线算力节点数（单位：个）成反比例函数关系．已知开启40个算力节点工作时，完成全部任务需．若全部任务需在内完成，则至少需要开启__________个算力节点． 【答案】 【分析】根据题意求出反比例函数解析式即可得解． 【详解】解：根据题意设， 开启40个算力节点工作时，完成全部任务需， ， 解得：， ， 当时，，解得：， 若全部任务需在内完成，则至少需要开启个算力节点． 【变式2】某工厂接到任务，紧急生产规定数量的口罩，下表是每小时生产口罩的数量x（万只）与完成任务需要的时间y（小时）的部分对应数值． x 2 3 4 6 y 72 48 36 24 (1)求y与x的函数表达式； (2)若完成这项任务不超过18小时，则每小时至少需要生产多少口罩？ 【答案】(1) (2)8万只 【分析】（1）根据表格中数据得出每时生产口罩的数量与时间的积一定，即可得出反比例函数解析式； （2）把y＝18代入，可得，再根据反比函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：每时生产口罩的数量与时间的积一定，所以每小时生产口罩的数量与时间成反比例， ∴． ∴y与x的函数表达式为． （2）解：把y＝18代入，得：， 解得：， ∵144>0， ∴当x>0时，y随x的增大而减小， ∴每小时至少需要生产8万只口罩． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数关系式是解题关键． 【变式3】某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务． (1)每天完成的页数与所需天数之间是什么函数关系？ (2)若要求5天完成，求每天应完成多少页？ 【答案】(1)； (2)160页． 【分析】此题考查了反比例函数的应用； （1）运用每天完成的页数所需天数总页数进行求解； （2）将代入（1）所得函数关系式进行求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 整理，得， ∴每天完成的页数与所需天数之间是反比例函数关系 （2）由题意，得， 解得， ∴每天应完成160页. 【变式4】被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．    (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 【答案】(1)①；②50天 (2)7500 m 【分析】（1）①根据题意可知，运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）之间的函数关系即可函数关系；②令求得x即可； （2）该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送立方米，再根据“工期比原计划减少了10天”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“运送土方总量=平均的运送速度×完成运送任务所需的时间”可得： ，即； ②令时，则（天）． 答：该公司完成全部运输任务需要50天． （2）解：该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送立方米， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） 检验：当时， 所以，是原分式方程的解． 答：该公司原计划每天运送土石方为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，根据题意列出反比例函数解析式和分式方程是关键． 题型6. 压强问题 【例1】在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据压强公式，代入，即可求出反比例函数，进而判断出函数图像． 【详解】解：根据压强公式，可知当，时， 故， 即， 与的函数关系式为， 当时，， 故B，C选项不符合题意； 当时，， 故D选项不符合题意； P与S之间的函数图像可能是选项A中的图像． 故选：A． 【例2】如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．“木海马”对地面的压强p（）是“木海马”底面面积，的反比例函数，其图象如图． (1)请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）； (2)当“木海马”底面面积为时，压强是多少； (3)如果要求压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要多少． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值即可； （3）求出时的自变量的值即可． 【详解】（1）解：设， 由图象，把代入得：， ∴； （2）当时，； 答：当“木海马”底面面积为时，压强是； （3）当时，； ∴当时，， 答：压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要． 【变式1】学校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．根据物理学原理，当人和木板对湿地的压力（单位：N）一定时，人和木板对地面的压强（单位：）是木板面积S（单位：）的反比例函数，它的图象如图所示．下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键．根据函数图象结合各选项逐一判断即可． 【详解】解：由函数图象得随的增大而减小，且满足反比例函数关系， A、当时，，不符合图象，错误； B、当时，，不符合图象，错误； C、，则当时，，错误；, D、，当时，，正确； 故选：D． 【变式2】如图，一块砖的，两个面的面积之比是︰，如果、两个面分别向下在地上，地面所受压强分别为，，压强的计算公式为 ，其中是压强，是压力，是受力面积，则，的大小关系为_______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．先根据这块砖的重量不变可得压力的大小不变，且，再根据反比例函数的性质（增减性）即可得． 【详解】解：这块砖的重量不变， 不管三个面中的哪面向下在地上，压力的大小都不变，且， 随的增大而减小， 三个面的面积之比是， ， 故答案为：． 【变式3】人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系： 地面所受压强 接触面积 (1)地面所受压强与接触面积满足怎样的函数关系？并求出压强关于接触面积的函数表达式． (2)若送餐机器人要经过一段玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与地面的接触面积至少为多少平方米? 【答案】(1) (2)这种机器人与地面的接触面积至少为平方米 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，理解表格中压强与接触面积的关系，运用待定系数法求解是关键． （1）由表格可知压强与接触面积的乘积为定值480，则压强与接触面积满足反比例函数系，运用待定系数法即可求解； （2）把最大压强为，代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知压强与接触面积的乘积为定值480，则压强与接触面积满足反比例函数系， 设与的函数关系式为， 将，代入， 得， ∴与的函数表达式为． （2）解：当时，（平方米）， 答：这种机器人与地面的接触面积至少为平方米． 【变式4】如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 受力面积 1 0.5 _____ 0.125 桌面所受压强 200 400 800 1600 (1)根据表中数据，求出桌面所受压强P（单位：）关于受力面积S（单位：）的函数表达式并直接补全表格． (2)将另一长，宽，高分别为，，且与原长方体相同质量的长方体分别按图2和图3所示的方式放置于用玻璃制作的桥上，按图2放置时，桥完好无损，按图3方式放置时，玻璃桥破裂，请求出玻璃桥能够承受的最大压强的范围．（超过最大压强时玻璃破裂） 【答案】(1)．补全表格为； (2)玻璃桥能够承受的最大压强的范围为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键． （1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）结合图2和图3所示的放置方式求出受力面积，再分别求出压强，即可求解． 【详解】（1）解：由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数， 设， 将代入上式，得， ， 即所受压强P（单位：）关于受力面积S（单位：）的函数表达式为． 当时，，解得 则补全表格内容为0.25． （2）解：图2中， 图3中， 玻璃桥能够承受的最大压强的范围为． 题型7. 密度计问题 【例1】物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式和求自变量的值等知识．利用待定系数法求出函数解析式为，再把代入求解即可． 【详解】解：∵浸在液体中的高度h是液体的密度的反比例函数， ∴可设， ∵当密度计悬浮在密度为的水中时，， ∴， 解得 ∴， ∴当时，，解得， 故选：D． 【例2】科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在密度ρ（单位：)的液体中，浸在液体中的高度h(单位：)与液体中的密度ρ的关系式为，橘子汁的密度是水的密度的倍，密度计悬浮在水中的高度比悬浮在橘子汁中多． (1)当密度计悬浮在一种液体中时，，该液体的密度ρ为 ； (2)求水的密度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）把代入，求得，于是得到结论； （2）设密度计浸在水中的高度为x，则浸在橘子汁中的高度为，根据“橘子汁的密度是水的密度的倍”得关于x的分式方程，列式计算进而求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 即该液体的密度ρ为， 故答案为：； （2）解：设密度计悬浸在水中的高度为x，则浸在橘子汁中的高度为， ∵橘子汁的密度是水的密度的倍， ∴， 解得， ∴水的密度为． 答：水的密度为． 【变式1】综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（    ）    A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项正确，符合题意； D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】根据物理学知识，将同一个密度测量仪放置于不同的液体中时，密度测量仪浸没在液体中的长度l（单位：cm）是液体密度（单位：）的反比例函数．当时，．若某液体的密度，则密度测量仪浸没在该液体中的长度l为______． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意设，将，代入求出k的值，再代入求出结果即可． 【详解】解：根据题意设， 当时，， ， 则， 当时，， 故答案为：5． 【变式3】密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求密度：关于体积的函数解析式； (2)当时，求二氧化碳的密度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法和反比例函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）利用反比例函数的增减性，结合自变量取值范围即可求出密度的取值范围． 【详解】（1）解：由密度与体积是反比例函数关系， 设， 将点代入， 得：， 解得：， 即关于体积的函数解析式为：； （2）解：∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，， 即， ∴二氧化碳的密度的取值范围为． 题型8. 一次函数与反比例函数的实际应用 【例1】如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法正确的是（   ） A．加热4分钟时水温上升了 B．加热5分钟时水沸腾 C．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是21分钟 D．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，反比例函数的应用、一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据函数图象的信息得加热4分钟时水温上升了，再分别求出反比例函数、一次函数的解析式，再根据该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：没加热前的水温是， 则 ∴加热4分钟时水温上升了， 故A选项不符合题意； ∵在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间x（分钟）近似满足一次函数关系 ∴设解析式为，把代入， 得 解得， ∴， 当时，则， ∴， 故B选项不符合题意； 茶水的温度与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系， ∴设解析式为 把代入， 得， ∴ ∵在时饮用口感最佳． ∴ ∴ 则在口感最佳时饮用，需要等待的时间是15分钟， 故C选项不符合题意； ∵该种茶水在时适宜饮用， ∴ ∴该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 故D选项符合题意； 故选：D． 【例2】据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克/毫升）与服用的时间x（小时）成正比例，药物浓度达到最高后，血液中的含药量y（微克/毫升）与服用的时间x（小时）成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数表达式； (2)求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y． 【答案】(1) (2)微克 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，求出时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数表达式为， 把时，代入得：， 解得， ∴药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数表达式为． （2）解：在中，当时，． 答：该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量为微克． 【变式1】小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量（毫克/立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题： (1)求施工结束后关于的函数解析式； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克/立方米，按照这个标准．请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ 【答案】(1) (2)个月 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图像获取所需信息是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入，求出反比例函数解析式即可； （2）利用（1）求出的解析式，当时，，解得，即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得：， 所以施工结束后关于的函数解析式为； （2）解：当时，，解得：， 答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住． 【变式2】学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y与上课时间t（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，第3分钟时注意力指数为45，前10分钟内注意力指数y是时间t的一次函数．10分钟以后注意力指数y是时间t的反比例函数． (1)求y与t的函数关系式； (2)如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，求反比例函数关系式，求反比例函数自变量的值，弄清题意是解题的关键； 对于（1），先将两点的坐标代入直线关系式，求出第一段关系式，再令求出y，进而求出反比例函数关系式； 对于（2），分别将代入两个关系式，即可求出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：设一次函数的关系式为，反比函数关系式为， 将代入，得 ， 解得， ∴一次函数的关系式为； 当时，，将数值代入，得 ， ∴反比例函数关系式为． 所以函数关系式为； （2）解：当时，，解得； 当时，，解得． 所以当时，讲解这道题． 【变式3】钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度与退火时间之间的函数关系图，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分． (1)已知冷却过程中y与x成反比例函数关系，求出此过程中y与x的函数关系式； (2)当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在及以上时，加工效果最好，请问工人师傅要想效果最好，应该在多长时间内完成加工操作？ 【答案】(1) (2)3分钟 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）设此过程中y与x的函数关系式为y，将点代入，解方程即可得到结论； （2）将代入，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设此过程中y与x的函数关系式为y， 将点代入， 解得， ∴此过程中y与x函数关系式为； （2）解：将代入， 解得， ∴， 答：工人师傅要想效果最好，应该在3分钟的时间内完成操作． 【变式4】长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分． (1)求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围； (2)大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1)段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为 (2)草莓一天内最适合生长的时间有15小时 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）应用待定系数法求函数解析式； （2）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可． 【详解】（1）解：设段所对应的反比例函数关系式为． 把代入，得， ． 当时，， 解得，即， 段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为． （2）解：设直线的函数关系式为． 把代入， 得 解得， 直线的函数关系式为． 当时，，解得． 当时，，解得， （小时）． 答：草莓一天内最适合生长的时间有15小时． 题型9. 其他问题 【例1】近视镜是一种用于矫正近视的光学眼镜，通过镜片的凹透镜设计来帮助近视眼患者看清远处的物体．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式； (2)佳佳原来佩戴150度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求佳佳的眼镜度数增加了多少度． 【答案】(1)； (2)50； 【分析】本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式和已知自变形的值、求函数值，解题的关键是注意计算的正确性． （1）先设反比例的函数表达式，根据图象上点的横纵坐标代入求出值即可； （2）把代入（1）中求出函数表达式即可． 【详解】（1）解：设该反比例函数的表达式为：， 由图象可知点在反比例图象上， ∴， ∴该反比例函数的表达式为：； （2）解：当时，， （度）， ∴佳佳的眼镜度数增加了50度． 【变式1】1896年，挪威生理学家古德贝发现了有趣的“瞎转圈”现象：每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，导致在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈．经研究，某人蒙上眼睛行走的大圆圈半径（米）是其两腿迈出的步长之差（厘米）的反比例函数（），当时，．若某人两腿迈出的步长之差为厘米，求他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径． 【答案】厘米 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．设y与x之间的函数表达式为，把点代入，求得解析式，进而把代入反比例函数的解析式即可求解． 【详解】设反比例函数解析式为，依题意，反比例函数过点， ∴ ∴， ∴； 当时，， ∴当某人迈出的步长差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为厘米. 【变式2】一场暴雨过后，一洼地积存雨水，设积存的雨水全部排完需，排水速度为，且排水时间t需满足． (1)试写出t与a之间的函数表达式，并指出a的取值范围； (2)请画出函数图象； (3)根据图象回答：当排水速度为时，排水时间需要多长？ 【答案】(1) ；a的取值范围为； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要查了反比例函数的实际应用，根据题意，列出函数关系式是解题的关键． （1）按照等量关系“一洼地存的雨水量排完需要的时间每分的排水量”列出函数关系，并由排水时间求得a的取值范围； （2）根据自变量的取值范围结合反比例函数的图象直接画出即可； （3）由（1）求得的函数关系式，代入，解得t的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 当时，，此时， 当时，，此时， ∵， ∴a的取值范围为； （2）解：根据题意，列表如下： a 2 3 4 t 10 5 画出函数图象，如下： （3）解：当时，， 即排水时间需要． 【变式3】电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表： 频率 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式． (2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解表格得到与成反比例函数关系是解题的关键． （1）观察表格可得是一个定值，即与成反比例函数关系，据此设出解析式利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的值即可得到答案． 【详解】（1）解；根据表格数据的关系，可得与成反比例函数关系， 设，把代入中得：，解得， ∴． （2）解：当时，， ∴当该电磁波的频率为时，它的波长是． 【变式4】如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数．当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中，画出函数图像； (3)若小孔到蜡烛的距离为时，求火焰的像高． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）利用待定系数法进行计算，即可解答； （2）根据函数图像画法，列表，描点，连线即可； （3）把代入解析式中进行计算，即可解答； 【详解】（1）解：设与的函数表达式为：， 当时，．代入中得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为：； （2）如图： （3）解：把代入中得：， ∴火焰的像高为． 巩固练习 1．（2026·四川自贡·中考真题）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断p与S为反比例函数关系，再根据表格数据求比例系数，即可得到函数关系式． 【详解】解：∵根据表格数据计算得：，，，， ∴压力一定时，压强与受力面积成反比例关系，可设， ∴， ∴． 2．（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再结合在第一象限随的增大而减小可得答案． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， ∴在第一象限随的增大而减小； 当时，， ∴电流可以为， 故选：A． 3．（2026·四川成都·中考真题）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 【答案】50 【详解】解：由题意，将代入得：， 即他的视野为． 4．（2025·江苏南通·中考真题）如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为_______________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的关系． 根据题意，得出压强与受力面积之间的关系，分析计算即可． 【详解】解：设这块砖的质量为，与地面的接触面积为，地面所受压强为， 则（定值）， 即与成反比例关系， ∵， ∴， ∵面向下放在地上，地面所受压强为， ∴面向下放在地上时，地面所受压强为， 故答案为：． 5．（2026·贵州遵义·二模）研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据表格数据，求与的函数关系式； (2)小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 【答案】(1) (2)小红的近视眼镜度数降低了度 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式； （2）把代入，求得（度），再作差即可求解 【详解】（1）解：设与的函数关系式为 当时，，代入： 与的函数关系式为 （2）解：由（1）得与的函数关系式为 当时，（度） （度） 小红的近视眼镜度数降低了度． 6．（2026·河南周口·一模）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图1）时，浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图2所示． (1)求h与之间的函数关系式； (2)当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度h怎么变化，变化了多少． 【答案】(1) (2)密度计浸入该液体中的高度h减少了，减少了3cm 【分析】（1）设，把求出k，即可得出解析式； （2）把代入（1）中求解的函数解析式即可． 【详解】（1）解：设h与之间的函数关系式为（）． 由题可知，图象过， 将，代入， 得． 解得． 所以h与之间的函数关系式为． （2）解：当时，． ． 答：密度计浸入该液体中的高度h减少了，减少了． 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1) (2)小孔到蜡烛的距离为． 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握好相关知识是关键． （1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入（1）中的解析式，求出的值． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴关于的函数解析式为； （2）解：将代入，得， ， 解得． 答：小孔到蜡烛的距离为． 8．（25-26九年级上·山东泰安·期末）庆典气球需要安全且能飘升，氦气作为一种惰性气体，常被用于填充庆典气球．某次庆典活动，主办方需要5千克氦气来填充气球，已知氦气瓶的容量（升）跟压力P（标准大气压）之间成反比例关系，图示如图所示． (1)试确定P与V之间的函数表达式； (2)运输过程中，安全考虑，氦气瓶内气体不能超过120个标准大气压，氦气瓶容量要满足什么条件？ 【答案】(1) (2)不低于200升 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）设，把代入，利用待定系数法求解； （2）计算时对应的V的值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入上式得：， 解得， P与V之间的函数表达式为：； （2）解：当时，．     钢瓶的容积要求不低于200升． 9．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）近年来，我国煤矿事故频频发生，其中最严重的灾害是瓦斯爆炸，瓦斯爆炸后会产生高温、高压、冲击波，并放出有毒气体．如图，在一次瓦斯爆炸煤矿事故的调查中发现：从零时起，井内空气中浓度达到后，浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸，爆炸后空气中浓度开始下降，此时空气中浓度与时间成反比例函数关系． (1)求爆炸后y与x之间的函数表达式； (2)救援人员只有在空气中浓度降至及以下时，方可进入现场开展救援工作．则救援人员至少在爆炸后多长时间才能下井开展救援？ 【答案】(1)y＝，自变量x的取值范围是 (2)救援人员至少在爆炸后73.5小时才能下井 【分析】本题考查了反比例函数，解题的关键是求出反比例函数的关系式． （1）利用待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）求出时，对应的反比例函数的函数值，然后减去7即可求解． 【详解】（1）解：因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设y与x的函数关系式为， 由图像知过点，则． 解得：， 所以，此时自变量x的取值范围是； （2）当时，由，得 解得：， （小时）， 故救援人员至少在爆炸后73.5小时才能下井． 10．（2026·广东广州·三模）某天 ，小芳在家通过某打车软件打车前往火车站搭乘当天 的动车．记汽车的行驶时间为 （单位： ），行驶的平均速度为 （单位： ）， ．根据经验， ， 的对应值如表： … 20 30 40 50 60 … 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 (1)求平均速度 关于行驶时间 的函数解析式． (2)已知小芳从开始打车到上车用了 ，并且她想在动车出发前半小时到达火车站，若汽车的平均速度为 ，小芳能否在预定的时间内到达火车站？请说明理由． (3)若汽车到达火车站的行驶时间 满足 ，求平均速度 的范围． 【答案】(1)； (2)不能， ∵从 到 总时间为 ， ，提前到达需要的半小时为 ， ∴可用于行驶的时间为 ， 当 时，所需行驶时间 ， ， 小芳不能在预定的时间内到达火车站； (3) 【分析】（1）根据表格数据判断 与 满足反比例关系，用待定系数法求出函数解析式，再结合 的限制得到自变量 的取值范围； （2）先计算出小芳可用于行驶的总时间，再求出平均速度为 时所需的行驶时间，比较后判断是否能按时到达； （3）利用反比例函数的性质，当 在给定范围内时，计算得到对应 的取值范围． 【详解】（1）观察表格数据可知 与 的乘积为定值， ∴设，     将 ， 代入得 ， 由题知 ， ∴ ， 解得 ， ∴平均速度 关于行驶时间 的函数解析式为 ； （2）略； （3）， ∴当 时， 随 的增大而减小， ∵ ， ， 即 ． 11．（2026·贵州遵义·一模）在物理力学中，当物体对接触面的压力固定时，接触面受到的压强（记为p，单位：）与受力面积（记为S，单位：）满足固定公式：（其中F为固定压力，单位：N）．某实验小组对同一物体进行压力测试，得到以下实验数据（实验序号1表示第1次实验）： 实验序号 压强 受力面积S/ 1 200 0.3 2 300 0.2 3 400 0.15 4 500 0.12 5 600 0.11 请解答以下问题： (1)表中哪次实验数据明显是错误的？请说明理由； (2)判断p与S满足的函数关系______（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），并求出p关于S的函数表达式； (3)若实验中受力面积调整为，求此时接触面受到的压强． 【答案】(1)第5次实验数据明显是错误的，理由见解析 (2)反比例函数； (3) 【分析】（1）根据各组数据中p与S的乘积应为定值，分别计算各组的值，即可得解； （2）根据每一对值乘积为60，确定是反比例函数，可得函数关系式； （3）将代入解析式，求出对应的p值即可． 【详解】（1）解：第5次实验数据明显是错误的，理由如下： 根据物理公式，压力F固定， ∴各组数据中p与S的乘积应为定值，分别计算各组的值： 第1次：， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， 第5次实验数据的值为66，与前4次的固定值60不符， ∴第5次实验数据（，）明显是错误的； （2）解：p与S满足的函数关系：反比例函数； 由（1）可知，固定压力，根据公式，变形可得， ∴p关于S的函数表达式为； （3）解：当时，， ∴此时接触面受到的压强为． 12．（2026·河南三门峡·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理． 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）之间的关系式是：，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求电阻的值． (2)电源两端的电压保持不变，求电源两端的电压． (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），请直接写出该电子秤所称物品质量的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为 【分析】（1）待定系数法先求出函数解析式，然后将，代入求值即可； （2）根据公式，代入求值即可； （3）根据一次函数和反比例函数的增减性进行求解即可． 【详解】（1）解：由图3可知，可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系，设， 把，代入解析式得：， 解得， ∴， 当时，； （2）解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， 由（1）知，， 代入解析式，可得：， 解得：； （3）解：由（2）知电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值，且最大值为， 此时取得最大值为； 当时，取得最小值，最小值为， 此时取得最小值为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取得最小值2时，取得最大值， 把代入得：， 解得：， 所以该电子秤所称物品质量的最大值为． 13．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： (1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式； (2)当弹簧秤的示数为5N时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 【答案】(1) 如图所示： (2)当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与O点的距离是，随着弹簧秤与O点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将不断增大． 【分析】（1）根据表格数值描点、连线即可画出图形 ，根据图象特点判断出y与x之间的函数关系，最后利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）所得函数解析式即可求出x，根据函数的性质即可判断弹簧秤示数的变化情况； 【详解】（1）图略 由函数图象可得，y是x的反比例函数，设，把代入得， ， 解得， ∴； （2）解∶把代入，得， 解得， 即当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与O点的距离是， ∵，在第一象限内，y的值随着x的值的增大而减小， ∴随着弹簧秤与O点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将不断增大． 14．（2026·河南驻马店·三模）如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 【答案】(1)； (2)米； (3)米． 【分析】（1）根据矩形的性质结合点在轴上，求出点的坐标，再利用待定系数法计算即可； （2）设点的坐标为点的坐标并代入解析式中，求出的值，再根据，之间的水平距离为求解即可； （3）设点的坐标为并代入解析式中，将用表示出来，根据列关于的不等式并求其解集，从而得到的最小值即可． 【详解】（1）解：∵矩形，，， ∴，，， ∵点在轴上， ∴轴， ∴轴， ∴点的坐标为， ∵设段滑梯所在的双曲线的解析式为（为常数，且）， 将坐标代入，得， 解得， ∴段滑梯所在的双曲线的解析式为． （2）解：∵点距离水面的距离为米， ∴设点的坐标为， ∵点在上， ∴将代入，解得：， ∴点的坐标为 ∴，之间的水平距离：（米）； （3）解“设点的坐标为， 将代入， 得， ， 根据题意，得， 解得， 点到水面的距离最多米． 15．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑．为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，为判断警示牌设置位置是否符合安全设置要求，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动准备 准备皮尺、便携手持水准仪等测量工具． 活动实施 任务一：采集数据 如图，矩形为核心观景平台区域的竖直截面图， 小组成员在曲线步道的不同位置进行测量，曲线步道到的水平距离记为，到地面的竖直高度记为，记录数据如下表：    任务二：建立模型 如图，以地面为轴、竖直方向为轴、点为原点建立平面直角坐标系．根据表中的数值描点，并用平滑的曲线连接这些点．分析数据和图象，确定是的反比例函数： 安全评估 为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求曲线段关于的函数解析式；(不需要写出自变量的取值范围) (2)若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为，则该位置是否符合安全设置要求？请说明理由； (3)若工程团队拟在地面上到原点水平距离处新增观景点，为实现步道无缝衔接，求衔接点距地面的高度． 【答案】(1) (2)该位置符合安全设置要求．理由如下： ∵点到直线的水平距离为， ∴点到轴的水平距离为 将代入 得 ∵， ∴该位置符合安全设置要求 (3)衔接点距地面的高度为 【分析】（1）利用待定系数法代入点坐标求反比例函数解析式； （2）将代入解析式求得的值，与比较，即可求解； （3）将代入解析式求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，已知，， ∴点坐标为． 设曲线段y关于x的函数解析式为 将点代入，得． ∴曲线段y关于x的函数解析式为 （2）略 （3）当时， 答：衔接点距地面的高度为 16．（2026·安徽马鞍山·三模）综合与实践 【项目主题】探究智能物流分拣中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 【实践小组】某校初中科技社团 智能分拣是现代物流核心作业环节，分拣效率指设备每秒处理包裹的数量（件）．某校初中科技社团开展实践活动，探究不同设备分拣效率、温度对效率的影响，用数学模型解决物流实际问题． 【项目准备】 1．设备选取：3种智能分拣设备（桌面小型分拣机、皮带中型分拣机、交叉带大型分拣机），分别记为设备A、设备B、设备C； 2．任务设定：选取同一批包裹分拣任务，该任务的总包裹量固定，记为（单位：件）； 3．实验原理：在标准环境下，设备完成任务的时间（单位：）与分拣效率（单位：件）成反比例关系，（为定值，，）． 4．实验数据： 设备类型 标准分拣效率（件/s） 完成时间 设备A（小型分拣机） 5 100 设备B（中型分拣机） 10 设备C（大型分拣机） 20 25 【项目探究】 (1)根据实验原理，该分拣任务的总包裹量________，________； (2)在实际作业中，当时，设备的实际分拣效率、与环境温度（）满足一次函数关系：，，若将设备A和设备B组成联合分拣组同时处理该任务，总效率为两者实际效率之和．求当环境温度为时，该联合分拣组完成总包裹量所需的时间； (3)设备C的实际分拣效率与环境温度（）满足：，若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中环境温度为时联合分拣组的完成时间，求环境温度（）的取值范围． 【答案】(1)500；50 (2) (3) 【分析】（1）将设备A的数据代入求出M的值，进而将设备B的数据代入即可求出a的值； （2）将分别代入，，进而求出总效率，根据即可求出所需时间； （3）根据题意列不等式求解，结合作答即可． 【详解】（1）解：将设备A的数据代入得：，解得：； 进而将设备B的数据代入得：； （2）解：当时，，， 总效率（件）， 所需时间． 答：所需时间为； （3）解：由题意，得， 解不等式，得， 结合，得． 答：环境温度（）的取值范围是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $第二十七章反比例函数 03讲实际问题与反比例函数 >题型归纳 【知识点1利用反比例函数解决实际问题 …1】 【题型1.电学问题… 2】 【题型2.杠杆平衡问题 4】 【题型3.气体压强与体积关系问题… …6】 【题型4.行程问题… 。。。。。。。。。。。 8】 【题型5.工程问题 9】 【题型6.压强问题· …11】 【题型7.密度计问题… 14】 【题型8.一次函数与反比例函数的实际应用…15】 【题型9.其他问题 …18】 【巩固练习… …21】 知识清单 知识点1利用反比例函数解决实际问题 1.一般步骤 (1)审题：分析题意，找出变量，确定两个变量成反比例关系； (2)设解析式：设函数表达式为y=(k≠0)； (3)代值求k:把题目中一组对应数值代入，求出常数k: (4)确定解析式：将k回代，得到实际问题的函数关系式： (5)求解作答：根据问题代入自变量求因变量（或反之），结合实际取值范围检验， 写出答案。 1/29 >题型专练 题型1。电学间题 【例1】已知蓄电池的电压U(单位：V)为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电 阻R(单位：Q)是反比例函数关系，它的图象如图所示，若电阻R=102,则电流I等于 () I/A↑ 0 R/2 A.3.6A B.4.5A C.5A D.9A 【例2】舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成乌云密布的阴天，这样的效果 就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的.在一舞台场景的灯光变化的电路中，保持电压 不变，电流I(安培)与电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培， (1)求I与R之间的函数关系式： (2)当电流1=0.5安培时，求电阻R的值. 【变式1】电压一定时，经过闭合电路的电流I(单位：A)与电路的电阻R(单位：2)是 反比例函数关系，当1=10A时，R=222,则当R=112时，I=() A.2A B.10A C.20A D.220A 【变式2】已知蓄电池两端电压U(单位：V)为定值，电流I(单位：A)与R(单位：Ω) 成反比例函数关系.当1=4A时，R=10Q,则当1=5A时，R的值为 【变式3】己知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω) 是反比例函数关系，它的图象如图所示.下列说法正确的是 (填序号) 04 R/2 2/29 ①这个反比例函数解析式为1= ②蓄电池的电压是36V ③当R=22时，1=13A ④当1≤10A时，R≥3.60 【变式4】我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系.现有某学生利用一个最 大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为12欧姆 时，电流1为12安培. 361安培) 18 12 6 O4812162024R(欧姆) (1)求电流I(安培)关于电阻R(欧姆)的函数表达式： (2)若4≤R≤72，求电流I的变化范围. 【变式5】己知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位： Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不 超过10A,请通过计算说明该用电器可变电阻应控制在什么范围？ A R/2 3/29 题型2.、杠杆平衡问题 【例1】杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂.若某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N 和0.5m,则这一杠杆的动力F(单位：N)关于动力臂l(单位：m)的函数解析式为() A.F=600 B.F=1200 C.F=600l D.F=1200l 【例2】杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上两个力矩（力与力 臂的乘积)大小必须相等，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂，用代数式表示为F1·l1=F·1.如 图，已知石头重量（阻力）为3200N,阻力臂长0.25m,小华想用一根撬棍撬起这块石头， 但他只有500N的力量，那么他该选择动力臂为多少米的撬棍才能撬动这块大石头？ 【变式1】在“探究杠杆平衡的条件”中，亮亮知道：当阻力F1(N)和阻力臂L1(m)一定时，动 力F2(N)与动力臂L2(m)之间的关系如图所示，且F1·L1=F2·L2.若动力F2为7N,则动力 臂L2为 m. L2/m4 14 5 F2/N 【变式2】如下图，阻力为1000N,阻力臂长为5cm.设动力为y(单位：N),动力臂长 为x(单位：c,图中杠杆本身所受重力略去不计.杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力 臂). 动力 阻 动力臂乙阻力臂 4/29 (1y关于x的函数是反比例函数吗？如果是，求出比例系数 (2)当x=50时，求函数y的值，并说明这个值的实际意义. 【变式3】如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在 左边固定的托盘A中放置一个重物（质量mA固定），在右边可左右移动的托盘B中放置 一定质量的砝码（质量记为B),可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）·改变 托盘B与点O之间的距离x/cm,记录相应的托盘B中的砝码质量y/g,得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 (1y与x之间的函数表达式为 (2)当砝码的质量为24g时，求托盘B与点O之间的距离. 【变式4】古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”.后来人们把阿基 米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原 理”.通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂（如图），小伟欲用撬棍撬动一 块石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和1m: 阻力 支点 动力 阻力臂 动力臂 (1)动力F与动力臂1有怎样的函数关系？当动力臂为2米时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过(1)中所用力的一半，则动力臂1至少要加长多少？ 5/29 题型3.气体压强与体积关系问题 【例1】某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kP)是 气球体积V的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于160kPa时，气球将爆炸， 为了安全，气球的体积应该() AP(kPa) 200 150 100 A(1.5,64) 50 0. 0.51.01.52.02.5V(m3〉 A.不小于号m3 B.小于m3 C.不大于m3 D.小于m3 【例2】物理学的知识告诉我们，气温不变时，某气球内的气压pkP)与气球体积V(m3)是 反比例函数关系，当气球内的气压大于100kPa时，气球会发生爆炸，为了安全起见，气球 内气体的体积V应该( ) p (kPa) 20 40 60 100 120 V(m) 4.8 2.4 1.6 0.96 0.8 A.小于0.96 B.不小于0.96 C.大于0.96 D.不大于0.96 【变式1】在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V(3) 时，气体的密度pkg/m)也随之改变，p与V在一定范围内满足p=罗，当m=7kg时，p关 于V的函数图象是() p/(kg/m) p/(kg/m) V/m3 A B p/(kg/m) p/(kg/m) Vim D 【变式2】在温度不变的条件下，气体所产生的压强PkP)与气体的体积V(mL)成反比例， 如图是某种气体压缩后，气体产生的压强P关于气体的体积V的函数图象.若压强由100kPa 减压到80kPa,则气体体积增加了 mL 6/29 P(kPa) 10 88 100 V(mL) 【变式3】特定的温度下，某容器充满一定盘的气体，该容器内气体的压强pkP)是气体体 积V(mL)的反比例函数，其图象如图所示. p/kPa 400 300 200 100 0102030405060VmL (1)当容器内气体体积为50mL时，求出此时该容器内气体的压强； (2)若该容器内气体的压强不得超过400kPa,求该容器体积的取值范围. 【变式4】某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压pkP)是气体 体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示. P/kPa 200T 150 A(0.8,120) 100 50 0.511.527 (1)求这个函数的解析式： (2)当气体体积为1.5m㎡3时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ (精确到0.01m3) 7/29 题型4.行程间题 【例1】某海轮以每小时10千米的速度从A港行驶到B港，共用6小时（不考虑水流速度）. (1)写出时间t(时)与速度v千米/时)之间的函数表达式； (2)若返航速度增至每小时12千米，则该海轮从B港返回A港（沿原水路）需几小时？ 【变式1】最近，我国发布多款最新机器狗，使机器狗的性能又上一个新的台阶.已知某款 机器狗最快移动速度v(m/S)是载重后总质量m(kg)的反比例函数，其图象如图所示，当其载 重后总质量m=80时，其最快移动速度v等于() v(m/s) 0 m(kg) A.2.5 B.5 C.10 D.40 【变式2】某科技公司研发的四足机器人（机器狗），其最快移动速度v(m/s)是载重后总质 量mkg)的反比例函数.在一次测试中，技术人员记录了一组数据：当总质量m=60kg时， 最快速度v=5m/s:则最快移动速度v与载重后总质量m之间的函数表达式为 【变式3】综合与实践：探索机器狗的速度问题 素材1：图1是某款机器狗，它的最快速度v(米/秒)与总质量m（千克)（包括所载物体 的质量)的部分数据如表，在直角坐标系中画出对应点，并用光滑曲线连起来（图2）· v(米/秒) 60 120 m(千克) 图1 图2 总质量m(千克) 60 80 90 100 120 最快速度v(米/秒) 6 4.5 4 3.6 8/29 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点540米，机器狗需从试验点出发， 送12千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回.（装卸设备时间忽略不计）经探究发 现v是m的正比例函数、一次函数、反比例函数中的一种 任务1：判断v是m的哪种函数类型，并求出该函数表达式. 任务2：求机器狗所用的最短时间. 【变式4】按相同路线行驶完同一条路，开车的速度不同，所用的时间也不相同.下表列出 了几个不同的司机按相同路线行驶完同一条路时速度和时间的一些数据， 速度（千米/小时） 80 150 60 时间（小时） 6 12 20 (1)写出时间t(小时)关于速度v(千米/小时)的函数关系式： (2)将表格填写完整： (3)如果某人上午11：00从这条路的一个端点开始出发，以每小时120千米的速度行驶，那 么他行驶完这条路时是什么时候？ 速度（千米/小时） 100 80 150 50 60 30 时间（小时） 6 7.5 12 10 20 题型5.工程问题 【例1】如图描述了在一段时间内，小华、小红、小刚三名工人加工零件的合格率y与所加 工零件的总个数x之间的关系（合格个数=合格率×总个数），则这三名工人在这段时间内所 加工零件合格的个数最多的是() 小华 小红小刚 9/29 A.小华 B.小红 C.小刚 D.同样多 【例2】市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为8100m3,某运输公 司承担了运送土石方的任务. (1)求运输公司平均运送速度v（单位：m3/天)与完成运送任务所需时间t(单位：天)之间 的函数关系式： (2)若这个运输公司每天可运送土石方900m3,该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【变式1】某算力中心总算力固定不变，完成全部运算任务所需时间：t(单位：h)与在线 AI算力节点数x(单位：个)成反比例函数关系.已知开启40个算力节点工作时，完成全 部任务需6h.若全部任务需在4h内完成，则至少需要开启 个算力节点 【变式2】某工厂接到任务，紧急生产规定数量的口罩，下表是每小时生产口罩的数量x(万 只)与完成任务需要的时间y(小时)的部分对应数值， 6 72 48 36 24 (1)求y与x的函数表达式： (2)若完成这项任务不超过18小时，则每小时至少需要生产多少口罩？ 【变式3】某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务： (1)每天完成的页数y与所需天数x之间是什么函数关系？ (2)若要求5天完成，求每天应完成多少页？ 10/29 【变式4】被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土 石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务， 平陆运河 北部湾港 (1)设该运输公司平均的运送速度为y(单位：立方米/天)，完成运送任务所需的时间为x (单位：天) ①请直接写出y与x的函数关系式： ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时 间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工 期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米. 题型6.压强问题 【例1】在综合实践课上，小明利用恒定的压力F(N)测定压强P(P与受力面积S(m)的关 系.经测定，当S=0.5m时，P=20Pa,则P与S之间的函数图像可能是() AP/Pa AP/Pa 100 100 A. 0.1 S 0.1 S AP/Pa ←PPa 100 100 C. 0.1 00.2 S 11/29 【例2】如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效 率.“木海马”对地面的压强p(Pa)是“木海马”底面面积，S(m)的反比例函数，其图象如 图. Ap/Pa 600 400 A(1.5,400) 200 0 1i.522.3343m (1)请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）； (2)当“木海马”底面面积为0.2m2时，压强是多少Pa: (3)如果要求压强不超过6000Pa,那么“木海马"底面面积至少要多少m2. 【变式1】学校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地.根据物 理学原理，当人和木板对湿地的压力（单位：N)一定时，人和木板对地面的压强P(单位： Pa)是木板面积S(单位：m)的反比例函数，它的图象如图所示.下列说法正确的是() AP/Pa 600- 09 S/m A.当S≤1m2时，P≤600Pa B.当S≥1m2时，P≥600Pa C.当S=0.5m2时，P=300Pa D.当0<S≤0.5m2时，P≥1200Pa 【变式2】如图，一块砖的A,B两个面的面积之比是5：3，如果A、B两个面分别向下在地 上，地面所受压强分别为P1,P,压强的计算公式为P=号，其中P是压强，F是压力，S 是受力面积，则P1,P2的大小关系为 A B 12/29 【变式3】人工智能逐渐融入我们的生活.如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机 器人与地面的接触面积是可以调整的.下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积 之间的关系： 地面所受压强p(Pa) 6X105 8×105 1.2×106 1.6×106 接触面积S(m2) 8×10-4 6×10-4 4×10-4 3×10-4 (1)地面所受压强p与接触面积S满足怎样的函数关系？并求出压强p(Pa)关于接触面积S(m) 的函数表达式。 (2)若送餐机器人要经过一段玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为1×10Pa,问 这种机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【变式4】如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所 受压强与受力面积的关系如下表所示： 受力面积S/m2 1 0.5 0.125 桌面所受压强P/Pa 200 400 800 1600 0.1 0.4 0.4 0.2 0. 图1 图2 图3 (1)根据表中数据，求出桌面所受压强P(单位：Pa)关于受力面积S(单位：m)的函数表 达式并直接补全表格 (2)将另一长，宽，高分别为0.4m,0.2m,0.1m且与原长方体相同质量的长方体分别按图2 13/29 和图3所示的方式放置于用玻璃制作的桥上，按图2放置时，桥完好无损，按图3方式放置 时，玻璃桥破裂，请求出玻璃桥能够承受的最大压强Pmax的范围，（超过最大压强时玻璃破 裂) 题型7。密度计问题 【例1】物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸 在液体中的高度h(cm)是液体的密度p(g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3 的水中时，h=20cm,当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm,则该液体的密度p为() A.2.5g/cm3 B.1.2g/cm3 C.1g/cm3 D.0.8g/cm3 【例2】科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在密度p(单位：g/cm3) 的液体中，浸在液体中的高度M单位：cm)与液体中的密度的关系式为p=-兴，橘子汁的密 度是水的密度的倍，密度计悬浮在水中的高度比悬浮在橘子汁中多4cm. (1)当密度计悬浮在一种液体中时，h=25cm,该液体的密度p为_： (2)求水的密度. 【变式1】综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液 体中时，浸在液体中的高度h(cm)是液体的密度p(g/cm3)的反比例函数，其图象如图所示 (p>0).下列说法正确的是() ◆h(cm) 20 h p(g/cm) 14/29 A.当液体密度p≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B.当液体密度p=2g/cm3时，浸在液体中的高度h=40cm C.当浸在液体中的高度0<h≤25cm时，该液体的密度p≥0.8g/cm3 D.当液体的密度0<p≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 【变式2】根据物理学知识，将同一个密度测量仪放置于不同的液体中时，密度测量仪浸没 在液体中的长度1（单位：cm)是液体密度p(单位：g/cm3)的反比例函数.当l=10cm 时，p=0.8g/cm3.若某液体的密度p=1.6g/cm3,则密度测量仪浸没在该液体中的长度1 为 cm 【变式3】密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V(单位：m3)变化时，气体 的密度p(单位：kg/m3)随之变化.己知密度p与体积V是反比例函数关系，它的图象如图 所示. 个p/kg/m 7 5 4 32 45,1.98) o1234567v7m (1)求密度：p关于体积V的函数解析式： (2)当0<V≤3m3时，求二氧化碳的密度p的取值范围. 题型8.一次函数与反比例函数的实际应用 【例1】如图，在常温(25℃)常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度y(℃)与时间x(分钟) 近似满足一次函数关系，当水温达到100℃时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内， 茶水的温度y(℃)与时间x（分钟)近似满足反比例函数关系，己知该种茶水在30℃~50℃时 适宜饮用，在40℃时饮用口感最佳.若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时 计时，下列说法正确的是() y(C) 100 25 x(分钟) 15/29 A.加热4分钟时水温上升了75℃ B.加热5分钟时水沸腾 C.若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是21分钟 D.该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 【例2】据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素， 己知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y(微克/毫升)与服用的时间x(小时)成正比例， 药物浓度达到最高后，血液中的含药量y(微克/毫升)与服用的时间x(小时)成反比例， 根据图中所提供的信息，回答下列问题： (毫克/毫升) 0123456789101i1213141$x亦时) (1)根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数表达式： (2)求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y. 【变式1】小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛.经过 测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y(毫克/ 立方米)与时间x（月)成正比例.施工结束后，y与x成反比例.这两个变量之间的关系如 图所示.请根据图中信息，回答下列问题： y(毫克/位方米) 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0.8立3x) (1)求施工结束后y关于x的函数解析式： (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于0.08毫克/位方米，按照这个标准.请 问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ 16/29 【变式2】学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示.某班学生在一节数学课中 的注意力指数y与上课时间t(分钟)的变化如图所示.上课开始时注意力指数为30，第3 分钟时注意力指数为45，前10分钟内注意力指数y是时间t的一次函数.10分钟以后注意 力指数y是时间t的反比例函数. 310 45份 (1)求y与t的函数关系式： (2)如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本 节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 【变式3】钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目 的是软化钢丝材料，以便切削加工.如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度y(℃)与退火时间 x(s)之间的函数关系图，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分. 个川C 60 20 1015 x/s (1)已知冷却过程中y与x成反比例函数关系，求出此过程中y与x的函数关系式： (2)当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，己知钢丝温度在50℃及以上时，加工效 果最好，请问工人师傅要想效果最好，应该在多长时间内完成加工操作？ 17/29 【变式4】长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓.某天恒 温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)与时间x()之间的函数关系如图所示，其 中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分， (C) 20 10 A 02 24xh) (1)求CD段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)大棚里种植的草莓在温度为15℃到20℃的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的 温度是10℃，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？ 题型9.其他问题 【例1】近视镜是一种用于矫正近视的光学眼镜，通过镜片的凹透镜设计来帮助近视眼患者 看清远处的物体.研究发现，近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例关系， 图象如图所示. y度 500 00.2 x米 (1)求该反比例函数的表达式： (2)佳佳原来佩戴150度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所 配镜片的焦距调整到了0.5米，求佳佳的眼镜度数增加了多少度 18/29 【变式1】1896年，挪威生理学家古德贝发现了有趣的“瞎转圈”现象：每个人有一条腿迈出 的步子比另一条腿迈出的步子长，导致在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进， 但实际上走出的是一个大圆圈.经研究，某人蒙上眼睛行走的大圆圈半径y(米)是其两腿 迈出的步长之差x(厘米)的反比例函数(x>0),当x=5时，y=2.8.若某人两腿迈出 的步长之差为3厘米，求他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径. 【变式2】一场暴雨过后，一洼地积存雨水20m3,设积存的雨水全部排完需t(mim),排水速 度为a(m3/min),且排水时间t需满足5≤t≤10. (1)试写出t与a之间的函数表达式，并指出a的取值范围： (2)请画出函数图象； (3)根据图象回答：当排水速度为3.5m3/min时，排水时间需要多长？ 3 10 3 【变式3】电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁 波的一种)与地球通信，电磁波的波长λ（单位：m)会随着电磁波的频率f(单位：MHz) 的变化而变化.已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表： 频率f(MHz) 5 10 15 20 25 30 波长(m) 60 30 20 15 12 10 19/29 (1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长(m)关于频率fMHz)的函数表达式. (2)当该电磁波的频率为50MHz时，它的波长是多少m? 【变式4】如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实 验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，如图2，根 据小孔成像的科学原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高ycm是小 孔到蜡烛的距离xcm的反比例函数.当x=2cm时，y=3cm. 小子 像 蜡烛 图1 图2 (1)求y关于x的函数表达式： (2)在平面直角坐标系中，画出函数图像： Ay/cm 66 3 2 L上上上上 1©123456x/cm -1H (3)若小孔到蜡烛的距离为5cm时，求火焰的像高， 20/29 巩固练习 1.（2026四川自贡.中考真题)科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p(单位：Pa) 与受力面积S(单位：m2)存在函数关系.下表是他们实验的几组数据： S(单位：m2) 2 4 p(单位：Pa) 80 40 20 10 则压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数关系式是() A.p=6 B.p=80S C.p- D.p=g 2.(2025·湖北.中考真题)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流1（单位：A)与 电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻R大于92时，电流1可能 是() IA 4 0 9 R/Q A.3A B.4A C.5A D.6A 3.(2026四川成都中考真题)人的视觉机能受运动速度的影响很大.在一定条件下，某人 驾驶车辆时的视野f(单位：)与车速v(单位：km/)之间的关系式是f=0o.当车速 为80km/h时，他的视野为 4.（2025江苏南通中考真题)如图，一块砖的A,B,C三个面的面积比是5：3：1.如果 B面向下放在地上，地面所受压强为aPa,那么C面向下放在地上时，地面所受压强为 Pa. A B 5.(2026贵州遵义二模)研究发现，近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比 例函数关系.验光师测得几组关于近视眼镜的度数y与镜片焦距x的对应数据如下表： 21/29 镜片焦距x(米) 0.40 0.25 0.20 0.10 近视眼镜的度数y(度) 250 400 500 1000 (1)根据表格数据，求y与x的函数关系式： (2)小红原来佩戴500度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变 为0.5米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 6.(2026河南周口·一模)综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计 在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图1）时，浸入液体中的高度h(cm)是液体的密度 p(g/cm3)的反比例函数，其函数图象如图2所示(p>0) ◆h(cm) 1.5 p(g/cm) 图1 图2 (1)求h与p之间的函数关系式： (2)当液体密度p从1.5g/cm3增加到2g/cm3时，求密度计浸入该液体中的高度h怎么变化， 变化了多少. 7.(25-26九年级上河南周口期末)如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离 和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高y是小孔到蜡烛的距离x的反比例函数，且当x=10时， y=4, 蜡烛 22/29 (1)求y关于x的函数解析式. (2)若火焰的像高为5cm,求小孔到蜡烛的距离. 8.(25-26九年级上山东泰安期末)庆典气球需要安全且能飘升，氦气作为一种惰性气体， 常被用于填充庆典气球.某次庆典活动，主办方需要5千克氦气来填充气球，己知氦气瓶的 容量V(升)跟压力P(标准大气压)之间成反比例关系，图示如图所示. P(标准大气压) 96 0 250 升) (1)试确定P与V之间的函数表达式： (2)运输过程中，安全考虑，氦气瓶内气体不能超过120个标准大气压，氦气瓶容量要满足 什么条件？ 9.(25-26九年级上甘肃张掖期末)近年来，我国煤矿事故频频发生，其中最严重的灾害 是瓦斯爆炸，瓦斯爆炸后会产生高温、高压、冲击波，并放出有毒气体C0.如图，在一次 瓦斯爆炸煤矿事故的调查中发现：从零时起，井内空气中C0浓度达到4mg/几后，C0浓度呈 直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L,发生爆炸，爆炸后空气中C0浓度开始下降， 此时空气中CO浓度y(mg/几)与时间x(h)成反比例函数关系. y(mg/L) 46 (h) 23/29 (1)求爆炸后y与x之间的函数表达式； (2)救援人员只有在空气中C0浓度降至4mg/L及以下时，方可进入现场开展救援工作.则救 援人员至少在爆炸后多长时间才能下井开展救援？ 10.(2026广东广州三模)某天7：30，小芳在家通过某打车软件打车前往火车站搭乘当 天8：30的动车.记汽车的行驶时间为t(单位：h),行驶的平均速度为v(单位：km/h), v≤60km/h·根据经验，v,t的对应值如表： v/(km/h) 20 30 40 50 60 t/h 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 (1)求平均速度v关于行驶时间t的函数解析式. (2)已知小芳从开始打车到上车用了10min,并且她想在动车出发前半小时到达火车站，若 汽车的平均速度为32km/h,小芳能否在预定的时间内到达火车站？请说明理由. (3)若汽车到达火车站的行驶时间t满足0.3≤t≤0.5，求平均速度v的范围. 11.(2026贵州遵义.一模)在物理力学中，当物体对接触面的压力固定时，接触面受到的 压强（记为p,单位：Pa)与受力面积（记为S,单位：m)满足固定公式：F=pS（其中 F为固定压力，单位：N)·某实验小组对同一物体进行压力测试，得到以下实验数据（实 验序号1表示第1次实验)： 24/29 实验序号 压强p/Pa 受力面积Sm2 200 0.3 300 0.2 3 400 0.15 4 500 0.12 5 600 0.11 请解答以下问题： (1)表中哪次实验数据明显是错误的？请说明理由； (2)判断p与S满足的函数关系（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），并求出 p关于S的函数表达式： (3)若实验中受力面积调整为0.25m2,求此时接触面受到的压强. 12.(2026河南三门峡三模)数学应用：电子托盘秤工作原理. 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过 所称物体质量调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I,最终通过显示器显示物体 质量.电流(mA)与总电阻R(单位：k如)之间的关系式是：1=4己知R,=10n, 素材2：可变电阻R1(单位：k2)与物体质量x(单位：kg)之间的关系如图3所示(R1≥0)， 当放置物体质量为1.2kg时，电流表显示为0.2mA. R(k2) 32, R A R 3.2 x (kg) 图1 图2 图3 25/29 (1)当放置物体质量为1.2kg时，求电阻R1的值. (2)电源两端的电压保持不变，求电源两端的电压. (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为0.15≤I≤0.5（单位：mA),请直接写出 该电子秤所称物品质量的最大值. 13.(2026贵州遵义模拟预测)如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一 根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点0处，并将其吊起.在中点0左侧固定位置B处悬挂重物 A,在中点0右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点0的距离x(cm),重 复上述步骤，观察弹簧秤的示数y)的变化情况.实验数据记录如下： 2 4 6 6 10 12 12 6 3 2.4 2 A/N 12 B 10 8 6 4 2 O24681012xcm 图1 图2 (1)把表中x,y的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的 点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出y(N)与x(cm)之间的函数关系式： (2)当弹簧秤的示数为5N时，弹簧秤与0点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧 秤与0点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 26/29 14.(2026河南驻马店·三模)如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一 段双曲线，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA=8米，AB=3米.以点O为原点，水面所 在直线为x轴建立如图的直角坐标系，其中点E在x轴上. (1)求BC段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出x的取值范围）； (2)出口C点距离水面的距离为1.2米，求B,C之间的水平距离： (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯BC上的Q点处设置一块红色标识，当前一位坐滑 梯的游客与BE的距离不少于6米时，才能放行下一位游客（即Q点到BE的距离至少6米）， 求点Q到水面的距离最多多少米？ 15.(2026辽宁抚顺模拟预测)问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋 陕交界的国家级5A级旅游景区.为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌， 修建多级观景平台及曲线连接步道，施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标 系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑.为保障 游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，为判断警示牌设置位置是否符合安全设置要求， 某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活 动 准备皮尺、便携手持水准仪等测量工具. 港 安 27/29 任务一：采集数据 如图，矩形AOEB为核心观景平台区域的竖直截面图， 0E=3m,0A=10m.小组成员在曲线步道的不同位置 进行测量，曲线步道到OA的水平距离记为xm,到地面 y/m 的竖直高度记为ym,记录数据如下表： 活 x/m 3 4 6 8 10 动 实 y/m 10 7.5 6 3.75 3 施 E 任务二：建立模型 x/m 如图，以地面为x轴、竖直方向为y轴、点O为原点建立 平面直角坐标系，根据表中的数值描点(x,y),并用平滑 的曲线连接这些点，分析数据和图象，确定y是x的反比 例函数： 安 全 为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地 评 面竖直高度不低于3m. 估 根据以上信息，解决下列问题： (1)求曲线段y关于x的函数解析式：（不需要写出自变量x的取值范围） (2)若警示牌拟设置在点M处，且点M到直线BE的水平距离为5m,则该位置是否符合安全设 置要求？请说明理由； (3)若工程团队拟在地面上到原点0水平距离15m处新增观景点D,为实现步道无缝衔接，求 衔接点距地面的高度. 28/29 16.(2026安徽马鞍山三模)综合与实践 【项目主题】探究智能物流分拣中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 【实践小组】某校初中科技社团 智能分拣是现代物流核心作业环节，分拣效率指设备每秒处理包裹的数量（件/s)·某校初 中科技社团开展实践活动，探究不同设备分拣效率、温度对效率的影响，用数学模型解决物 流实际问题， 【项目准备】 1.设备选取：3种智能分拣设备（桌面小型分拣机、皮带中型分拣机、交叉带大型分拣机）， 分别记为设备A、设备B、设备C: 2.任务设定：选取同一批包裹分拣任务，该任务的总包裹量固定，记为M(单位：件)； 3.实验原理：在20℃标准环境下，设备完成任务的时间t(单位：s)与分拣效率p(单位： 件/s)成反比例关系，t=丛(M为定值，M>0,p>0). 4.实验数据： 设备类型 标准分拣效率p(件s) 完成时间t(s) 设备A(小型分拣机) 5 100 设备B(中型分拣机) 10 a 设备C(大型分拣机) 20 25 【项目探究】 (1)根据实验原理，该分拣任务的总包裹量M= ,a= (2)在实际作业中，当20≤x≤40时，设备的实际分拣效率P4、PB与环境温度x(℃)满足 一次函数关系：P4=-0.1x+7,PB=-0.2x+14,若将设备A和设备B组成联合分拣组 同时处理该任务，总效率为两者实际效率之和.求当环境温度为30℃时，该联合分拣组完 成总包裹量M所需的时间； (3)设备C的实际分拣效率Pc与环境温度x(℃)(20≤x≤40)满足：Pc=-0.5x+30,若 要使设备C完成该任务的实际时间不超过第(2)问中环境温度为30℃时联合分拣组的完成 时间，求环境温度x(℃)的取值范围. 29/29