第十三章 三角形（5 类压轴题专练) 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形与多边形核心元素（高线、中线、角平分线、内角和、外角和），以"概念-性质-应用"为主线，通过分层例题构建系统性解题方法体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高线综合|3题|等面积法求线段长、坐标几何中面积关系转化|从单点高线计算到动点面积动态分析，结合坐标系强化数形结合| |中线综合|3题|中线平分面积性质、面积比例传递|从基础面积平分到四边形/多边形面积拓展，构建面积转化模型| |角平分线综合|2题|角平分线定义、角度等量代换|从平行线间角关系到多角平分线综合，培养角关系推理链| |内角和与外角和|4题|三角形内外角关系、方程思想求角度|从单一三角形到含平分线/高线的复合图形，强化内角和定理应用| |多边形综合|4题|多边形内角和公式、外角和性质|从四边形到六边形，拓展平面图形角度计算通法|

第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 【题型一 三角形中高线的综合问题】 1. 已知：点O(0, 0) ，A(2, 0) ，B(0,-1) ，C(0, 2) ，过点 C 作y 轴的垂线 m ，垂足为 C。 （1）如图 1 ，连接AB 、AC ，求 ABC 的面积； （2）如图 2 ，延长 BA 交直线 m 于点 D ，在 CD 上存在点 P ，使S△ABP =S△ABC ，请补全图形，并求点 P 的坐标； （3）请在备用图中画图探究：若点 P 是直线 m 上的一个动点，连接BP 交 x 轴于点 M，连接CM , 当S△CMP- S△BCM = 1 时，直接写出点M的坐标 第十三章 三角形（5 类压轴题专练) 2026-2027学年八年级数学 人教版新教材 上册 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 2 ．“等面积法”是解决三角形内部线段长度的常用方法。如图 1 ，在Rt△ABC 中，∠BAC = 90° ，作AH ⊥BC ，若AB = 4 ，AC = 3 ，BC = 5 ，可列式： AB·ACBC BC·AH ，解得AH ． （1）在题干的基础上， ①如图 2 ，点P 为BC 上一点，作PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，设PM = d1 ，PN = d2 ，求证：4d1 + 3d2 = 12 ； ②如图 3 ，当点P 在CB 延长线上时，猜想d1 、d2 之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想； （2）如图 4 ，在 ABC 中，AB = AC = 10 ，BC = 12 ，S△ABC = 48 ，若点D 是BC 延长线上一点，且CD = 2 ，过点B 作BE ⊥BC ，点P 是直线BE 上一动点，点Q 是直线AC 上一动点，连接PD 、PQ ，求DP + PQ 的最小值。 第 2 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 3 ．在平面直角坐标系中，有点A(a, 0) ，B(0, b) ，且 a ，b 满足 a + 将线段AB 向上平移k 个单位得到线段CD ． (1）直接写出a = ，b = ； （2）如图 1 ，点 E 为线段CD 上任意一点，点 F 为线段AB 上任意一点，∠EOF = 135° ．点 G 为线段AB与线段CD 之间一点，连接GE ，GF ．且∠DEG ∠DEO ，∠AFG ∠AFO ，求 ∠∠G 的度数； （3）如图 2 ，若k = 6 ，过点 C 作直线l∥x 轴，点 M 为直线 l上一点，延长BA 交 l于 K； ①用面积法求 K 点坐标； ②若△MAB 的面积为 10 ，求点 M 的坐标。 第十三章 三角形（5 类压轴题专练) 2026-2027学年八年级数学 人教版新教材 上册 第 3 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 【题型二 三角形中中线的综合问题】 1.【问题情境】 苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图 1 ，AD 是 ABC 的中线， ABC 与△ABD 的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图 1 中作BC 边上的高AE ，根据中线的定义可知BD = CD ．又因为高AE 相同，所以S ABD = S ACD ，于是S△ABC = 2S△ABD ．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积。 【深入探究】 （1）如图 2 ，点D 在 ABC 的边BC 上，点P 在AD 上。 ①若AD 是 ABC 的中线，求证：S△APB = S△APC ； ②若BD = 3DC ，则S△APB : S△APC = ． 【拓展延伸】 （2）如图 3 ，分别延长四边形ABCD 的各边，使得点A 、B 、C 、D 分别为DH 、AE 、BF 、CG 的中点，依次连结E 、F 、G 、H 得四边形EFGH ． ①求证：S△HDG + S△FBE = 2S四边形ABCD ； ②若S四边形ABCD = 3 ，则S四边形EFGH = ． 第十三章 三角形（5 类压轴题专练) 2026-2027学年八年级数学 人教版新教材 上册 第 4 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 2 ．基本性质：三角形中线等分三角形的面积。 如图 1 ，AD 是 ABC 边BC 上的中线，则S△ABD = S△ACD S△ABC ． 理由：因为AD 是 ABC 边BC 上的中线，所以BD = CD ． 又因为S ABD BD×AH ，S△ACD ACD (1/2)CD×AH ，所以S△ABD = S△ACD S△ABC ．所以三角形中线等分三角形的面积。 基本应用： 在图2 至图 4 中， ABC 的面积为 a． （1）如图 2 ，延长 ABC 的边BC 到点 D ，使CD = BC ，连接DA ．若 ACD 的面积为S1 ，则S1 =_（用含a 的代数式表示）； （2）如图 3，延长 ABC 的边BC 到点 D，延长边CA到点 E，使CD = BC ，AE = CA ，连接DE ．若 DEC的面积为S2 ，则S2 = a（用含 a 的代数式表示）； （3）在图 3 的基础上延长AB 到点 F，使BF = AB ，连接FD ，FE ，得到 DEF （如图 4）。若阴影部分的面积为S3 ，则S3 =-（用含 a 的代数式表示）； 拓展应用： （4）如图 5 ，点 D 是 ABC 的边BC 上任意一点，点 E，F 分别是线段AD ，CE 的中点，且 ABC 的面积为8a ，则△BEF 的面积为_（用含 a 的代数式表示），并写出理由。 第十三章 三角形（5 类压轴题专练) 2026-2027学年八年级数学 人教版新教材 上册 第 5 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 3 ．阅读与理解： 三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图 1 ，AD 是 ΔABC 中BC 边上的中线，则SΔABD = SΔACD ，SΔABC ． 理由： BD = CD，SΔABD = BD × AH CD × AH = SΔACD ABC ，即等底同高的三角形面积相等。 操作与探索 在图2 至图 4 中， ΔABC 的面积为a ． （1）如图 2，延长ΔABC 的边BC 到点D ，使CD = BC ，连接DA ．若 ΔACD 的面积为S1 ，则S1 = （用含a 的代数式表示）； （2）如图 3，延长ΔABC 的边BC 到点D ，延长边CA到点E ，使CD = BC ，AE = CA ，连接DE ．若 ΔDEC的面积为S2 ，则S2 = （用含a 的代数式表示），并写出理由； （3）在图 3 的基础上延长AB 到点F ，使BF = AB ，连接FD ，FE ，得到ΔDEF （如图4） ．若阴影部分的面积为S3 ，则S3 = ；（用含a 的代数式表示） 拓展与应用： （4）如图 5 ，已知四边形ABCD 的面积是a ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接FH, EG 交于点 O ，求图中阴影部分的面积？ 第十三章 三角形（5 类压轴题专练) 2026-2027学年八年级数学 人教版新教材 上册 第 6 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 【题型三 三角形中角平分线的综合问题】 1. 已知，AB∥DE ，点 C 是直线AB ，DE 下方一点，连接BC ，DC ． (1）如图 1 ，求证：∠B + ∠D- ∠C = 180°； （2）如图 2，若BF ，DG 分别平分∠ABC 和∠CDE ，BF、DG 所在的直线相交于点 H，若∠H = α°，求 ∠C的度数；（用含 α 的式子表示） (3）如图 3 ，若BF ，DG 分∠ABC 和∠CDE为 两部分，且∠ABF = n∠FBC ，∠EDG = n∠CDG ，直线BF ， DG 相交于点 H，则∠H = ．（用含 n 和 ∠C 的式子表示） 第十三章 三角形（5 类压轴题专练) 2026-2027学年八年级数学 人教版新教材 上册 第 7 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 2.在平面直角坐标系 xoy 中，已知 A（a，0），B（－a，b）两点，并且 a，b 满足（a-b+10）2 + ·a + b_ 2 = 0 ． （1）请直接写出 a ，b 的值； （2）如图 1 ，BC⊥x 轴于点 C，AB 交y 轴于点 D ，点 F（m ，n）在线段 AB 上，求点 D 的坐标，并求 m 与 n 满足的关系式； （3）如图 2 ，若 CF，BE 分别是△ABC 的高与角平分线，BE 交 CF 于点 G ，CH 平分∠ECG ，交 BE于点 H，求证：CH⊥BE。 第十三章 三角形（5 类压轴题专练) 2026-2027学年八年级数学 人教版新教材 上册 第 8 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 【题型四 三角形内角和与外角和的综合问题】 1.在 ABC 中，点E 是CA延长线上一点。 (1）如图 1 ，过点B 作BD ⊥BC ，交CE 于点F ，∠D = ∠C ． ①若∠C = 36° ，则∠DAF = ° ; ②试写出∠DAF 与∠C 的数量关系，并说明理由； ③当∠DAF = ∠D 时，求∠C 的度数； ④若∠D = ∠ABD ，请说明BF ⊥ CF ； （2）如图 2 ，BD 交CE 于点F ，∠D = ∠C ，直接写出∠DAC 、 ∠C 与∠DBC 之间的数量关系。 第十三章 三角形（5 类压轴题专练) 2026-2027学年八年级数学 人教版新教材 上册 第 9 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 2 ．（1）如图①所示， ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点， 若∠A = a ，则∠BOC = （用 ” 表示）；不用说明理由，直接填空。如图②所示，∠OBC ABC ，∠OCB ACB ， 若∠A = α°，则∠BOC = （用 ” 表示），不用说明理由，直接填空。 （2）如图③所示，∠OBC DBC ，∠OCB ECB ，若∠A = α°，则∠BOC = （用 ” 表示），填空并说明理由。 3 ．已知点A 在射线CE 上，∠C = ∠ADB ． （1）如图 1 ，若AD∥BC ，求证：AC ∥BD ； （2）如图 2 ，若BD ⊥BC，垂足为B ，BD 交CE 于点G ，请探究∠DAE 与∠C 的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由； （3）如图 3，在（2）的条件下，过点D 作DF ∥ BC交射线CE 于点F ，当∠BAC = ∠BAD ，∠DFE = 8∠DAE时，求∠BAD 的度数。 第 10 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 4.在 ABC 中，∠C > ∠B ，AE 平分 ∠BAC ，点 F 为射线AE 上一点（不与点 E 重合），且FD ⊥ BC 于点 D． (1）如图 1 ，如果点 F 在线段AE 上，且∠C = 50° ，∠B = 30° ，则∠EFD = ． （2）如果点 F 在 ABC 的外部，分别作出 ∠ CAE 和∠EDF 的角平分线，交于点 K，请在图 2 中补全图形，探究∠AKD 、 ∠C 、 ∠B 三者之间的数量关系，并说明理由。 （3）如图 3，若点F 与点A 重合，PE 、PC 分别平分∠AEC 和 ABC 的外角∠ACM ，连接PA ，过点P 作PG 上 BC 交BC 延长线于点G ，PH 上 AB 交BA 的延长线于点H ，若∠EAD = ∠CAD ，且 ∠CPG 求∠EPH 的度数。 【题型五 多边形的内角和与外角和综合问题】 1.【感知】如图 1 所示，在四边形AEFC 中，EB、FD 分别是边AE、CF 的延长线，我们把∠BEF、∠DFE称为四边形AEFC 的外角，若∠A + ∠C = 220° ，则∠BEF + ∠DFE = ； 【探究】如图 2 所示，在四边形AECF 中，EB、FD 分别是边AE、AF 的延长线，我们把∠BEC、∠DFC称为四边形AECF 的外角，试探究∠A、∠C 与∠BEC、∠DFC 之间的数量关系，并说明理由； 【应用】如图 3 所示，FM、EM 分别是四边形AEFC 的外角∠DFE、∠BEF 的平分线，若∠A + ∠C = 200° ，则∠M 的度数为 ． 第十三章 三角形（5 类压轴题专练) 2026-2027学年八年级数学 人教版新教材 上册 第 11 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 2 ．观察图形，按要求完成： (1）在四边形ABCD 中，∠A = 140° ，∠D = 80° ． ①如图1 ，若∠B = ∠C ，则 ∠C= ° ； ②如图2 ，若 ∠ABC 的平分线BE 交DC 于点E 且BE∥AD ，则∠C = ° ； ③如图3 ，若 ∠ABC 和∠BCD 的平分线相交于点E ，则∠BEC = ° ； （2）如图3 ，当∠A = α, ∠D = β 时，若 ∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点E ，请说明∠BEC 与 α, β 之间的数量关系。 3 ．动手操作，探究： 探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ （1）已知：如图，在△ADC 中，DP, CP 分别平分 ∠ADC 和 ∠ACD ，试探究 ∠P 与 ∠A 的数量关系； （2）探究二：若将△ADC 改为任意四边形ABCD 呢？已知：如图，在四边形ABCD 中，DP, CP 分别平分 ∠ADC 和∠BCD ，试利用上述结论探究 ∠P 与∠A+∠B的数量关系；（写出说理过程） （3）探究三：若将上题中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF （图（3））呢？请直接写出 ∠P 与 ∠A + ∠B + ∠E + ∠F 的数量关系： . 第十三章 三角形（5 类压轴题专练) 2026-2027学年八年级数学 人教版新教材 上册 第 12 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 4 ．如图 1 ，我们分别研究过三角形中两内角平分线所成的∠BIC 、两外角平分线所成的∠BDC 、一内角一外角平分线所成的∠BEC 与 ∠A 的关系。 （1）如图 2 ，在四边形ABCD 中，BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠BCD ，则 ∠P 与 ∠A ， ∠D 的数量关系为 . （2）如图 3 ，在四边形ABCD 中，BM 、CM 分别平分∠EBC 和∠BCF ，请探究∠M 与 ∠A ， ∠D 的数量关系，并说明理由。 （3）在四边形ABCD 中，∠F 为 ∠ABC 的平分线与边CD 和BC 延长线所成角的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A = α , ∠D = β , 则∠F = .（用α、β表示） 第 13 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 【题型一 三角形中高线的综合问题】 1. 已知：点O(0, 0) ，A(2, 0) ，B(0,-1) ，C(0, 2) ，过点 C作y 轴的垂线 m ，垂足为 C． （1）如图 1 ，连接AB 、AC ，求 ABC 的面积； （2）如图 2 ，延长 BA 交直线 m 于点 D ，在 CD 上存在点 P ，使S△ABP =S△ABC ，请补全图形，并求点 P 的坐标； （3）请在备用图中画图探究：若点 P 是直线 m 上的一个动点，连接BP 交 x 轴于点 M，连接CM，当 S△CMP- S△BCM = 1 时，直接写出点M的坐标。 【答案】(1)3 （2）点 P 的坐标（3, 2） 或（9, 2） ， （3）点 M 的坐标为 【分析】（1）根据点A 、B 、C 的坐标得OA = OC = 2, OB = 1 ，则BC = 3 ，即可得； （2）设D(m, 2), P(n, 2) ，根据△BCD 的面积：m × 2 ，解得m = 6 ，根据S△ABP S△ABC 得 进行计算即可得； （3）设D(m, 2), P(n, 2) ，根据S△PCB = S△BCMPCM 得 t × 2 ，解得a t ，根据 S△CMP - SBCM = 1 得 t = 1 ，计算得t = 2，则M ，当点 P 在第二象限时，根据对称性M ，即可得。 【详解】（1）解： ∵ A(2, 0) ，B(0,-1) ，C(0, 2) ， ∴ OA = OC = 2, OB = 1， ∴ BC = OB + OC = 3 , ∴ ABC 的面积： （2）解：如图 2 所示，设D(m, 2), P(n, 2) ， 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 14 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 △BCD 的面积： m × 2 ， m = 6 ， 解得，n = 3 或n = 9 ， ∴点 P 的坐标（3, 2） 或（9, 2） ； （3）解：如图 3，设D(m, 2)，P(n, 2)， S△PCB = S△BCM +S△PCM , ∵ S△CMP - SBCM = 1 , t = 2 , 当点 P 在第二象限时，根据对称性M ， 综上，满足条件的点 M 的坐标为 ． 【点睛】本题考查了三角形面积，平行线的性质，一元一次方程，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点。 第 15 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 2 ．“等面积法”是解决三角形内部线段长度的常用方法。如图 1 ，在Rt△ABC 中，∠BAC = 90°，作AH 上 BC ，若AB = 4，AC = 3，BC = 5，可列式：AB·ACBC BC·AH ，解得AH （1）在题干的基础上， ①如图 2 ，点P 为BC 上一点，作PM 上 AB ，PN 上 AC ，设PM = d1 ，PN = d2 ，求证：4d1 + 3d2 = 12 ； ②如图 3 ，当点P 在CB 延长线上时，猜想d1 、d2 之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想； （2）如图 4 ，在 ABC 中，AB = AC = 10 ，BC = 12 ，S△ABC = 48 ，若点D 是BC 延长线上一点，且CD = 2 ，过点B 作BE 上 BC ，点P 是直线BE 上一动点，点Q 是直线AC 上一动点，连接PD 、PQ ，求DP + PQ 的最小值。 【答案】(1)①见解析；②猜想：3d2 - 4d1 = 12 ，证明见解析 (2) 20.8 【分析】（1）①根据S△ABC = S △ABP + S△ACP ，代入数据即可求解； ②作PM 上 AB ，PN 上 AC ，根据S△ABC = S△ACP - S△ ABP ，代入数据即可求解； （2）作点D 关于直线BE 的对称点D¢ , 则PD = PD′，PD + PQ = PD, + PQ，过A 作AH 上 BC 于H ，过D¢作D,G ⊥ AC 于G，根据S△ABC =BC × AH = 48求得AH = 8，进而根据S△ACD′ AH AC × D,G 求得D,G = 20.8，由DP + PQ = PD, + PQ ，可得当D¢ , P ，Q 共线，且D,Q 上 AC 时，和最小，最小值为D,Q的长，即可求解。 【详解】（1）①∵S△ABC = S △ABP + S△ACP 即 d2 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 16 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 4d1 + 3d2 = 12 ②猜想：3d2 - 4d1 = 12 理由如下：作PM ⊥ AB，PN 上 AC，∵ S△ABC = S△ACP - S△ABP 即AB·AC = AC·PN- AB·PM即 4d1 xd3d2 = 12 ∴ 3d2 - 4d1 = 12 （2）作点D 关于直线BE 的对称点D¢ , ∴ PD = PD’，PD + PQ = PD’+ PQ ∵点D 在BC 延长线上，则D¢ 、B 、C 、D 共线， ∴ BD = BD’= BC + CD = 12 + 2 = 14 ，CD’= 14 + 12 = 26过A 作AH 上 BC 于H ，过D¢作D’G 上 AC 于G ， ∴ AH = 8 即 x/26x x/10x D’G ∴ D’G = 20.8 ∵ DP + PQ = PD’+ PQ 当D¢ , P ，Q 共线，且D’Q 上 AC 时，和最小，最小值为D’Q 的长，此时D’Q = D’G = 20.8 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 17 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查了三角形高的定义，垂线段最短，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键。 3 ．在平面直角坐标系中，有点A (a, 0) ，B (0, b) ，且 a ，b 满足6 - a + b + 3 = 0 ，将线段AB 向上平移k 个单位得到线段CD ． (1）直接写出a = ，b = ； （2）如图 1 ，点 E 为线段CD 上任意一点，点 F 为线段AB 上任意一点，∠EOF = 135°．点 G 为线段AB ( 1 1 )与线段CD 之间一点，连接GE ，GF ．且∠DEG = ∠DEO ，∠AFG = ∠AFO ，求∠G 的度数； 3 3 （3）如图 2 ，若k = 6 ，过点 C 作直线l∥x 轴，点 M 为直线 l上一点，延长BA 交 l于 K； ①用面积法求 K 点坐标； ②若△MAB 的面积为 10 ，求点 M 的坐标。 【答案】(1)6；_3 (2) 75° (3)① (12, 3) ；② (|( , 3∠或(|( , 3∠ 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求值即可； （2）设∠DEG = x ，∠AFG = y ，则∠DEO = 3x ，∠AFO = 3y ，过 O 作OP ∥CD ，得出OP ∥ CD ∥ AB ，根据平行线的性质得出∠DEO + ∠EOP + ∠AFO + ∠FOP = 360° ，求出x + y = 75° ，过 G 作GH∥ CD ，则GH ∥ CD ∥ AB ，根据平行线的性质得出∠EGH = ∠DEG = x ，∠HGF = ∠AFG = y ，即可求出结果； （3）①如图，连接AC ，设K (n, 3) ，根据S△BCK = S△ABC + S△ACK ，得出 n ，求出n = 12 即可； 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 18 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 ②设M (m, 3) ，根据S△MAB = S△MKB - S△ MKA = 10 ，得出× m-12× 6- × m-12× 3 = 10 ，求出m 或m 即可得出答案。 【详解】（1）解： a + ∴ 6- a = 0 ，b + 3 = 0 ， ∴ a = 6 , b =-3 , 故答案为：6；_3 ． （2）解：由平移的性质得：CD ∥ AB ， 设∠DEG = x ，∠AFG = y ，则∠DEO = 3x ，∠AFO = 3y ，过 O 作OP ∥CD ，如图所示： 则OP ∥ CD ∥ AB ， ∴ ∠DEO + ∠EOP = 180° , ∠AFO + ∠FOP = 180° , ∴ ∠DEO + ∠EOP + ∠AFO + ∠FOP = 360° , 即3x + 3y + 135° = 360° ， ∴ x + y = 75° , 过 G 作GH∥ CD ，则GH ∥ CD ∥ AB ， ∴ ∠EGH = ∠DEG = x , ∠HGF = ∠AFG = y , ∴ ∠EGF = ∠EGH + ∠HGF = x + y = 75° ; （3）解：①如图，连接AC ， 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 19 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 ∵ k = 6 , ∴ C (0, 3) ，D (6, 6) ，设K (n, 3) ， ∵ S△BCK = S△ABC + S△ACK , 解得：n = 12 ， ∴K 点坐标为（12, 3）； ②设M (m, 3) ， ∵ S△MAB = S△MKB - S△ MKA = 10 , 解得：m 或m ∴M 的坐标为 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，非负数的性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行线的性质。 【题型二 三角形中中线的综合问题】 1.【问题情境】 苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图 1 ，AD 是 ABC 的中线， ABC 与△ABD 的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图 1 中作BC 边上的高AE ，根据中线的定义可知BD = CD ．又因为高AE 相同，所以S ABD = S ACD ，于是S△ABC = 2S△ABD ．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积。 【深入探究】 （1）如图 2 ，点D 在 ABC 的边BC 上，点P 在AD 上。 ①若AD 是 ABC 的中线，求证：S△APB = S△APC ； 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 20 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 ②若BD = 3DC ，则S△APB : S△APC = ． 【拓展延伸】 （2）如图 3 ，分别延长四边形ABCD 的各边，使得点A 、B 、C 、D 分别为DH 、AE 、BF 、CG 的中点，依次连结E 、F 、G 、H 得四边形EFGH ． ①求证：S△HDG + S△FBE = 2S四边形ABCD ； ②若S四边形ABCD = 3 ，则S四边形EFGH = ． 【答案】（1）①证明见解析；②3 :1； （2）①证明见解析；②15 【分析】（1）①根据中线的性质可得S△ADB = S△ADC ，点D 为BC 的中点，推得PD 是 PBC 的中线， S PDB = S PDC ，即可证明S△APB = S△APC ； ②设 ABC 边BC 上的高为h ，根据三角形的面积公式可得S ADB BD × h，S ADC DC × h，即可推得S ADB = 3S ADC ，同理推得S PDB = 3S PDC ，即可求得S APB = 3S APC ，即可证明S APB : S APC = 3 :1 ； （2）①连接AG ，AC ，CE ，根据中线的判定和性质可得S GAH = S GAD S GHD ，S CBA = S CBE S CAE ， S ECF = S ECB S EFB ，S ADC = S ADG S ACG ，推得S ADC = S ADG S GHD ，S CBA = S CBE S EFB ，即可求得S四边形ABCD 即可证明S△HDG + S△FBE = 2S四边形ABCD ， ②由①可得S△HDG + S△FBE = 2S四边形ABCD ，同理可证得S HEA + S FGC = 2S四边形ABCD ，根据 S四边形EFGH = SHDG + SFBE + SHEA + SFGC + S四边形 ABCD，即可推得S四边形EFGH = 5S四边形ABCD ，即可求解。 【详解】（1）①证明： ∵ AD 是 ABC 的中线， ∴ S△ADB = S△ADC ，点D 为BC 的中点， ∴ PD 是 PBC 的中线， ∴ S PDB = S PDC , ∴ S ADB - S PDB = S ADC - S PDC ，即S△APB = S△APC ； ②S APB : S APC = 3 :1 , 解：设 ABC 边BC 上的高为h ， 则S ADB = × BD × h ，S ADC DC× h， ∵ BD = 3DC ， 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 21 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ S ADB = 3S ADC , 同理S PDB = 3S PDC ， 则S ADB - SPDB = 3 S ADC -3 SPDC，即S APB = 3S APC ， ∴ S APB : S APC = 3 :1 ． （2）①证明：连接AG ，AC ，CE ，如图： ∵点A 、B 、C 、D 分别为DH 、AE 、BF 、CG 的中点， ∴ AG ，BC ，CE ，DA 分别为 GHD ，VCAE ，△EFB ， ACG 的中位线， ∴ S GAH = S GAD S GHD , S CBA = S CBE = S CAE , S ECF = S ECB = S EFB , S ADC = S ADG = S ACG , 即S△HDG + S△FBE = 2S四边形ABCD ； ②15, 解：由①可得S△HDG + S△FBE = 2S四边形ABCD ，同理可证得S HEA + S FGC = 2S四边形ABCD ， S四边形EFGH = SHDG + SFBE + SHEA + SFGC + S四边形 ABCD， 即S四边形EFGH = 5S四边形ABCD ， ∵ S四边形ABCD = 3， ∴ S四边形EFGH = 5 × 3 = 15 ． 【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，三角形的面积公式，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是解题的关键 ． 2 ．基本性质：三角形中线等分三角形的面积。 如图 1 ，AD 是 △ABC 边BC 上的中线，则S△ABD = S△ACD S△ABC ． 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 22 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 理由：因为AD 是 ABC 边BC 上的中线，所以BD = CD ． 又因为S△ABD = (1/2)BD×AH ，S ACD = (1/2)CD×AH ，所以S△ABD = S△ACD =S△ABC ．所以三角形中线等分三角形的面积。 基本应用： 在图2 至图 4 中， ABC 的面积为 a． （1）如图 2 ，延长 ABC 的边BC 到点 D ，使CD = BC ，连接DA ．若 ACD 的面积为S1 ，则S1 =_（用含a 的代数式表示）； （2）如图 3，延长 ABC 的边BC 到点 D，延长边CA到点 E，使CD = BC ，AE = CA ，连接DE ．若 DEC的面积为S2 ，则S2 =-（用含 a 的代数式表示）； （3）在图 3 的基础上延长AB 到点 F，使BF = AB ，连接FD ，FE ，得到 DEF （如图 4）。若阴影部分的面积为S3 ，则S3 =-（用含 a 的代数式表示）； 拓展应用： （4）如图 5 ，点 D 是 ABC 的边BC 上任意一点，点 E，F 分别是线段AD ，CE 的中点，且 ABC 的面积为8a ，则△BEF 的面积为_（用含 a 的代数式表示），并写出理由。 【答案】(1)a (2)2a (3)6a （4）2a ，见解析 【分析】（1）直接根据“等底同高的三角形面积相等” 即可得出答案； （2）连接AD ，运用“等底同高的三角形面积相等”得出SΔECD = 2SΔABC ，即可得解； （3）由（2）结论即可得出S3 = SΔECD + SΔEFA + SΔBFD ，从而得解； ( 1 )（4）点 E 是线段AD 的中点，可得S ABE = SBDE ，S△ACE = S△DCE ．S BCE = 2 S ABC ．点 F 是线段CE 的中点，可得SBEF = SBCF SBCE ．从而可得答案。 【详解】（1）解：如图 2 ， 延长 ABC 的边BC 到点D ，使CD = BC ， 第 23 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 因为AC 为△ABD 的中线，所以S△ACD = S△ABC ，即S1 =a； （2）如图 3 ，连接AD ， 延长 ABC 的边BC 到点D ，延长边CA到点E ，使CD = BC ，AE = CA ， 1 因为SΔACD = SΔAED = SΔECD , SΔACD = SΔABC, 2 所以SΔECD = 2SΔABC = 2a , 即S2 = 2a ； （3）由（2）得SΔECD = 2SΔABC = 2a ， 同理因为SΔEFA = 2SΔABC = 2a ，SΔECD = SΔBFD = 2a ， ：S3 = SΔECD + SΔEFA + SΔBFD = 6a ; （4）S△BEF = 2a ，理由如下： 理由： ∵点 E 是线段AD 的中点， ∴ S ABE = SBDE ，S△ACE = S△DCE ． ∵点 F 是线段CE 的中点， 【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并适当添加辅助线是解答此题的关键。 第 24 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 3 ．阅读与理解： 三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图 1 ，AD 是 ΔABC 中BC 边上的中线，则SΔABD = SΔACD SΔABC ． 理由： BD = CD ，SΔABD BD × AH (1/2)CD×AH ，所以SΔABD = SΔACD ABC ，即等底同高的三角形面积相等。 操作与探索 在图2 至图 4 中， ΔABC 的面积为a ． （1）如图 2，延长ΔABC 的边BC 到点D ，使CD = BC ，连接DA ．若 ΔACD 的面积为S1 ，则S1 = （用含a 的代数式表示）； （2）如图 3，延长ΔABC 的边BC 到点D ，延长边CA到点E ，使CD = BC ，AE = CA ，连接DE ．若 ΔDEC的面积为S2 ，则S2 = （用含a 的代数式表示），并写出理由； （3）在图 3 的基础上延长AB 到点F ，使BF = AB ，连接FD ，FE ，得到ΔDEF （如图4） ．若阴影部分的面积为S3 ，则S3 = （用含a 的代数式表示） 拓展与应用： （4）如图 5 ，已知四边形ABCD 的面积是a ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接FH, EG 交于点 O ，求图中阴影部分的面积。 【答案】(1) a ； (2) 2a ; (3) 6a ; 【分析】（1）直接根据“等底同高的三角形面积相等” 即可得出答案； （2）连接AD ，运用“等底同高的三角形面积相等”得出SΔECD = 2SΔABC ，即可得解； 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 25 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 （3）由（2）结论即可得出S3 = SΔECD + SΔEFA + SΔBFD ，从而得解； （4）连接OA, OB, OC, OD ，运用“等底同高的三角形面积相等”得出SΔAEO SΔABO ， SΔAHO SΔAOD , SΔOCG SΔOCD , SΔOCF SΔOBC ，从而得解。 【详解】（1）解：如图 2 ， 延长ΔABC 的边BC 到点D ，使CD = BC ， : AC 为 ΔABD 的中线， : SΔACD = SΔABC 即S1 =a； 故答案为：a ； （2）解：如图 3 ，连接AD ， 延长ΔABC 的边BC 到点D ，延长边CA到点E ，使CD = BC ，AE = CA ， 1 : SΔACD = SΔAED = SΔECD , SΔACD = SΔABC, 2 : SΔECD = 2SΔABC = 2a ，即S2 = 2a ； 故答案为：2a ； （3）解：由（2）得SΔECD = 2SΔABC = 2a ， 同理：SΔEFA = 2SΔABC = 2a ，SΔECD = 2SΔBFD = 2a ， : S3 = SΔECD + SΔEFA + SΔBFD = 6a ； 故答案为：6a ； （4）解：如图 5 所示，连接OA, OB, OC, OD ， 则SΔAEO =SΔABO ，SΔAHO =SΔAOD ，SΔOCG OCD ，SΔOCF =OBC ， 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 26 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 ( 1 )故阴影部分的面积为 a ． 2 【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质即等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并适当添加辅助线是解答此题的关键。 【题型三 三角形中角平分线的综合问题】 1. 已知，AB ∥DE ，点 C 是直线AB ，DE 下方一点，连接BC ，DC ． (1）如图 1 ，求证：∠B + ∠D- ∠C = 180°； （2）如图 2，若BF ，DG 分别平分∠ABC 和∠CDE ，BF、DG 所在的直线相交于点 H，若∠H = α°，求 ∠C的度数；（用含 α 的式子表示） (3）如图 3 ，若BF ，DG 分∠ABC 和∠CDE为 两部分，且∠ABF = n∠FBC ，∠EDG = n∠CDG ，直线BF ， DG 相交于点 H，则∠H = ．（用含 n 和 ∠C 的式子表示） 【答案】(1）证明见解析； (2)∠C = 180°- 2α°; 【分析】（1）过点 B 作BG∥DE交 CD 于点 F，根据BG∥DE证明∠D = ∠CFG ，再利用 ∠ABC + ∠CBF + ∠CFB + ∠CFG = 360° ，且∠CBF + ∠CFB=180 °- ∠C ，即可证明∠B + ∠D- ∠C = 180° ； （2）利用角平分线及四边形内角和等于360°可得：180° - ∠B +180° ∠D + ∠H + ∠C = 360°，整理可得：∠H + ∠C = 由（1）可得：∠B + ∠D- ∠C = 180°，可得∠C = 90°- ∠H ，进一步可求出∠C = 180°- 2∠H = 180°- 2α°； 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 27 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 （3）设∠FBC=x ，∠CDG=y ，则∠ABF = nx ，∠EDG = ny ，由四边形内角和等于360° 可得： 180° - x +180°- y + ∠H + ∠C = 360° ，即∠H + ∠C = x + y ，由（1）可得：∠B + ∠D- ∠C = 180° ，即（n +1)(x + y ) = 180° + ∠C ，可求出∠H 【详解】（1）证明：过点 B 作BG∥DE交 CD 于点 F， ∵ BG∥DE , ∴ ∠D = ∠CFG , ∵ ∠ABC + ∠CBF + ∠CFB + ∠CFG = 360° ，且∠CBF + ∠CFB=180 °- ∠C， ∴ ∠ABC + ∠D- ∠C = 180° ，即∠B + ∠D- ∠C = 180° ． （2）解： ∵ BF ，DG 分别平分∠ABC 和∠CDE ， 整理可得：∠H + ∠C 由（1）可得：∠B + ∠D- ∠C = 180° ， ∴ ∠H + ∠C = 90° + ∠C ，即 ∠C = 90°- ∠H ， ∵ ∠H = αO ， ∴ ∠C = 180°- 2∠∠H = 180°- 2α° ． （3）解： ∵ ∠ABF = n∠FBC ，∠EDG = n∠CDG ， 设∠FBC=x ，∠CDG=y ，且∠ABF = nx ，∠EDG = ny ， 由四边形内角和等于360° 可得：180°- x +180°- y + ∠H + ∠C = 360° ，即∠H + ∠C = x + y ， 由（1）可得：∠B + ∠D- ∠C = 180° ， ∴ (n +1) x +(n +1) y- ∠C = 180°，即（n +1)(x + y ) = 180° + ∠C ， 整理得：∠H 故答案为： 180° n∠∠C / (n +1 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 28 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查平行线的性质，四边形内角和等于360° ，角平分线的性质，解题的关键结合图像找出角之间的关系。 2.在平面直角坐标系 xoy 中，已知 A（a，0），B（－a，b）两点，并且 a，b 满足（a-b+10）2 + a + b_ 2 = 0 ． （1）请直接写出 a ，b 的值； （2）如图 1 ，BC⊥x 轴于点 C，AB 交y 轴于点 D ，点 F（m ，n）在线段 AB 上，求点 D 的坐标，并求 m 与 n 满足的关系式； （3）如图 2 ，若 CF，BE 分别是△ABC 的高与角平分线，BE 交 CF 于点 G ，CH 平分∠ECG ，交 BE于点 H，求证：CH⊥BE． 【答案】(1) a =-4 ，b = 6 (2)4n-3m = 12 （3）证明见解析 【分析】（1）利用平方数、二次根式的非负性求解； （2）设 D（0，y），利用点的坐标求出相关线段长度，利用 S△AOD+S 梯形BCOD=S△ABC 求出点 D的坐标；利用 S△ACF+S△BCF=S△ABC 求 m 与 n 满足的关系式； （3）利用BC⊥AC，CF 是△ABC 的高，证明∠CBF=∠ACF，再结合角平分线的定义证明∠FBE=∠GCH，进而推出∠GHC=∠GFB=90° ， 即可证明 CH⊥BE． 【详解】（1）解： ∵(a-b+10)2 + ·a + b_ 2 = 0 ， (a- b +10)2 ≥ 0 ， ·a + b_ 2 ≥ 0 ， 解得：a =-4 ，b = 6 ； （2）解：设 D（0，y），则OD = y ，由（1）得a =-4 ，b = 6 ， ∴ A (_4, 0) , B (4, 6) , 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 29 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ OA = 4 , BC = 6 , AC = 8 , 由 S△AOD+S 梯形BCOD=S△ABC 得， 解得：y=3 ， ∴D(0 ，3)。 ∵点 F（m ，n）在线段 AB 上， ∴△ACF 中 AC 边的高为 n ，△BCF 中 BC 边的高为4- m ，由 S△ACF+S△BCF=S△ABC 得， 化简得，4n- 3m = 12 ； （3）证明： ∵BC⊥AC，CF 是△ABC 的高， ∴ ∠BCA=90° =∠BFC， ∴ ∠CBF=90° -∠A , ∠ACF=90° -∠A, ∴ ∠CBF=∠ACF． ∵BE 平分∠CBA ，CH 平分∠ECG， ∴ ∠FBE= ∠CBF, ∠GCH= ∠ACF, ∴∠FBE=∠GCH; ∴ ∠GHC= 180° -∠GCH-∠CGH= 180° -∠FBE-∠BGF=∠GFB=90° ， ∴CH⊥BE． 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 30 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查平方数、二次根式的非负性，利用面积法求点的坐标，角平分线的定义，三角形内角和定理等，难度一般，解第二问的关键是熟练运用数形结合思想，解第三问的关键是利用角度等量代换。 【题型四 三角形内角和与外角和的综合问题】 1.在 ABC 中，点E 是CA延长线上一点。 (1）如图 1 ，过点B 作BD ⊥BC ，交CE 于点F ，∠D = ∠C ． ①若∠C = 36°，则∠DAF = ° ; ②试写出∠DAF 与∠C 的数量关系，并说明理由； ③当∠DAF = ∠D 时，求∠C 的度数； ④若∠D = ∠ABD ，请说明BA ⊥ CF ； （2）如图 2 ，BD 交CE 于点F ，∠D = ∠C ，直接写出∠DAC 、 ∠C 与∠DBC 之间的数量关系。 【答案】(1)①18 ；②∠DAF + 2∠C = 90°，理由见解析；③∠C = 30°；④见解析 (2)∠DAC = 2∠C + ∠DBC 【分析】（1）①根据∠BFC = 180°- ∠C - ∠DBC ，∠DAF = ∠BFC- ∠D ，即可求得答案。 ②根据∠BFC = 180°- ∠C - ∠DBC ，∠DAF = ∠BFC- ∠D ，结合等量代换，即可求得答案。 ③根据②的结论，采用等量代换即可求得答案。 ④根据∠DAF + 2∠C = ∠DAF + ∠D+∠ABD = 180°- ∠FAB = 90° ，即可求得∠FAB 的度数，问题即可得证。 （2）延长BA 至K ，根据∠DAC = ∠DAK + ∠CAK ，结合三角形的外角的性质可求得答案。 【详解】（1）①∵∠BFC = 180°- ∠C- ∠DBC = 180°- 36°- 90° = 54° ， ∴ ∠DAF = ∠BFC- ∠D = 54°- 36° = 18° ．故答案为：18 ． ②∠DAF + 2∠C = 90° ． 理由如下： ∵ ∠BFC = 180°- ∠C- ∠DBC , ∴ ∠DAF = ∠BFC- ∠D = 180°- ∠C- ∠DBC- ∠D 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 31 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 = 180° - ∠DBC - 2∠C = 180° - 90° - 2∠C = 90° - 2∠C ． 即∠DAF + 2∠C = 90°． ③∵∠DAF = ∠D ，∠D = ∠C , ∴ ∠DAF = ∠C ． ∴ ∠DAF + 2∠C = 3∠C = 90°． ∴ ∠C = 30°． ④∵∠D = ∠ABD , ∠D = ∠C , ∴ ∠DAF + 2∠C = ∠DAF + ∠D+∠ABD = 180° - ∠FAB = 90° ． ∴ ∠FAB = 90°． ∴ BA 上 CF ． （2）∠DAC = 2∠C + ∠DBC ．理由如下：如图，延长BA 至K ． ∵ ∠DAK = ∠D + ∠DBA , ∠CAK = ∠C + ∠CBA , ∠D = ∠C , ∴ ∠DAC = ∠DAK + ∠CAK = ∠D + ∠DBA + ∠C + ∠CBA = 2∠C + ∠DBC ． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），牢记三角形的外角的性质是解题的关键。 2 ．（1）如图①所示， ABC 中，点O 是∠ABC 和 ∠ACB 的平分线的交点， 若∠A = a ，则∠BOC = （用 “ 表示）；不用说明理由，直接填空。如图②所示，∠OBC ∠ABC ，∠OCB ∠ACB ， 若∠A = α ，则∠BOC = （用 “ 表示），不用说明理由，直接填空。 第 32 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）如图③所示，∠OBC ∠DBC ，∠OCB ∠ECB ，若∠A = α , 则∠BOC = （用 α 表 示），填空并说明理由。 【答案】（1） 90° + α , 120° + α ；（2）120° - α 2 3 3 【分析】（1）OB平分∠ABC, OC 平分∠ACB, 可得∠OBC = ∠ABC, ∠OCB = ∠ACB，可得 ∠BOC = 180° - ∠OBC -∠OCB = 90° + a ( （ 2 ）由 ∠ OBC = ∠ DBC ， ∠ OCB = ∠ ECB ， ∠ A = α , 根据三角形内角和定理可得出 3 3 )∠OBC = ∠ABC ,∠OCB = ∠ACB , 可得∠BOC = 180° - ∠ABC , 代入即可得出结果。 1 1 ∠BOC = 180- = 180 代入即可求解。 【详解】解：（1） 在 ABC 中， ∠A = a, ∠ABC + ∠ACB = 180°- ∠A = 180°- a， 如图①所示，丫 OB平分∠ABC, OC 平分∠ACB, ：∠BOC = 180°- = 180°- °- a ) = 180°- 60° + a = 120° + a. 故答案为： ( 1 1 )(2)∵ ∠OBC = 3 ∠DBC , ∠OCB = 3 ∠ECB , ∠A = α , 故答案为：120°- α . 3 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义以及三角形的外角的性质，牢记三角形内角和是180° 是解此题的关键。 3 ．已知点A 在射线CE 上，∠C = ∠ADB ． 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 33 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）如图 1 ，若AD∥BC ，求证：AC ∥BD ； （2）如图 2 ，若BD 上 BC ，垂足为B ，BD 交CE 于点G ，请探究 ∠ DAE 与 ∠C 的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由； （3）如图 3，在（2）的条件下，过点D 作DF ∥ BC交射线CE 于点F ，当∠BAC = ∠BAD ，∠DFE = 8∠DAE时，求 ∠ BAD 的度数。 【答案】(1）证明见解析 (2)∠DAE + 2∠C = 90° ，理由见解析 (3)99° 【分析】（1）根据AD∥BC ，可得∠DAE = ∠C ，再根据∠C = ∠ADB ，即可得到∠DAE = ∠ADB ，即可得证； （2）∠DAE + 2∠C = 90° ．根据三角形外角的性质，可得到∠CGB = ∠ADB + ∠DAE ，根据直角三角形两锐角互余，有∠CGB + ∠C = 90° ，再根据∠C = ∠ADB 即可得到 ∠ DAE 与 ∠C 的数量关系； （3）设∠DAE = α , 则∠DFE = 8α , ∠AFD = 180°- 8α , 根据DF ∥ BC ，即可得到∠C = ∠AFD = 180°- 8α ，再根据∠DAE + 2∠C = 90° ，即可得到α + 2(180°- 8α ) = 90° ，求得 α 的值，即可运用三角形内角和定理得到 ∠ BAD 的度数。 【详解】（1）证明： ∵ AD∥BC ， ∴ ∠DAE = ∠C ， 又∵∠C = ∠ADB ， ∴ ∠DAE = ∠ADB ， ∴ AC ∥BD ； （2）解：∠DAE + 2∠C = 90° 理由如下： ∵ ∠CGB 是△ADG 的外角， ∴ ∠CGB = ∠ADB + ∠DAE ， ∵ BD 上 BC ， ∴ ∠CBD = 90° , ∴在 BCG 中，∠CGB + ∠C = 90° ， ∴ ∠ADB + ∠DAE + ∠C = 90° ， 又∵∠C = ∠ADB ， 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 34 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∠DAE + 2∠C = 90° ; （3）设∠DAE = α , 则∠DFE = 8α , ∴ ∠AFD = 180°- 8α , ∵ DF ∥ BC , ∴ ∠C = ∠AFD = 180°- 8α ，又∵∠DAE + 2∠C = 90° ， ∴ 2 (180°-8α ) + α = 90° ， ∴ α = 18° ∴ ∠C = 180°-8× 18° = 36° , ∴ ∠ADB = ∠C = 36° , 又∵∠BAC = ∠BAD ， ∴ ∠ABC = 180°- ∠C- ∠BAC = 180°- ∠ADB- ∠BAD = ∠ABD , ∵ ∠CBD = 90° , ∴在△ABD 中，∠BAD = 180°- 45°- 36° = 99° ， ∴ ∠ BAD 的度数为99° ． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余。灵活运用三角形内角和定理是解题的关键。 4.在 ABC 中，∠C > ∠B ，AE 平分 ∠BAC ，点 F 为射线AE 上一点（不与点 E 重合），且FD 上 BC 于点 D． (1）如图 1 ，如果点 F 在线段AE 上，且∠C = 50° ，∠B = 30° ，则∠EFD = ． （2）如果点 F 在 ABC 的外部，分别作出 ∠ CAE 和∠EDF 的角平分线，交于点 K，请在图 2 中补全图形，探究∠AKD 、 ∠C 、 ∠B 三者之间的数量关系，并说明理由： （3）如图 3，若点F 与点A 重合，PE 、PC 分别平分∠AEC 和 ABC 的外角∠ACM ，连接PA ，过点P 作PG 上 BC 交BC 延长线于点G ，PH 上 AB 交BA 的延长线于点H ，若∠EAD = ∠CAD ，且 ∠CPG ，求∠EPH 的度数。 第 35 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)10° （2）画图见解析， ∠AKD 理由见解析 (3)95° 【分析】（1）先求出∠BAC = 100° ，进而得到∠BAE = 50° ，∠AEC = 80° ，根据FD 上 BC 得到∠FDE = 90° ，即可求出∠EAD = 90°- ∠AED = 10° ； （2）根据题意先画出图形，根据三角形内角和定理和角平分线的定义得到 ( 1 1 1 1 )∠CDK = ∠EDF = 45° ， ∠CAK = ∠CAF = 45°- ∠B- ∠C ，再由三角形内角和定理得到 2 2 4 4 ∠TAC +∠C = ∠TDK + ∠AKD ，则 C +∠C = 45° + ∠AKD ，据此即可得到答案； （3）根据∠EAD = ∠CAD = 2α 得到∠BAE = ∠CAE = 4α , 得到∠BAD = 6α , 从而求出∠B = 90°- 6α , 进而求出∠CPE = 2α , 结合∠CPG 得到∠CPG = 63° 根据PG 上 BC ，得到 (45° ° ，求出 α = 10° ．从而分别求出∠B = 90°- 6α = 30° ，∠PEM = 35° ，∠BEP = 145° ，再求出∠PHB = 90° ，根据四边形内角和为360° 即可求出∠EPH = 95° ． 【详解】（1）解： ∵ ∠B = 30° ，∠C = 50° ， ∴ ∠BAC = 180°-∠B-∠C = 100°， ∵ AE 是 ABC 的角平分线， ∴ ∠AEC = ∠B + ∠BAE = 80° ， ∵ DF 上 BC ， ∴ ∠FDE = 90° , ∴ ∠EFD = 90°- ∠AED = 10° ，故答案为：10° ； （2）解： ∠AKD 理由如下： 在 ABC 中，∠BAC = 180°-∠B-∠C ， ∵ AE 平分 ∠BAC ， ∵ DF 上 BC ， ∴ ∠FDE = 90° , ∵ ∠ CAE 和∠EDF 的角平分线交于点 K， 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 36 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 丫∠TAC +∠C +∠ATC = 180° = ∠TDK + ∠AKD +∠DTK，∠DTK = ∠ATC ， ：∠TAC +∠C = ∠TDK + ∠AKD ， （3）解：设∠EAD = ∠CAD = 2α , 丫AE 平分 ∠BAC ， ：∠BAE = ∠CAE = ∠EAD +∠CAD = 4α , : ∠BAD = 6α , 丫AD 上 BC ：∠ADE = 90° , ：∠B = 90°- ∠BAD = 90°- 6α , ∠AED = 90°- 2α , ：∠ACM = ∠B +∠BAC = 90° + 2α , 丫PE 、PC 分别平分∠AEC 和 ABC 的外角∠ACM ， ：∠PEC ∠AEC = 45°- α, ∠PCG ∠ACM = 45° + α , : ∠EPC = ∠PCG-∠PEC = 2α , 丫PG 上 BC ， ：∠PCG + ∠CPG = 90° , 即(45° ° ， : α = 10° ． ：∠B = 90°- 6α = 30° , ∠PEC = 35° , : ∠BEP = 180°- ∠PEM = 145° , 丫PH 上 AB ， ：∠PHB = 90° , 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 37 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴在四边形BEPH 中，∠EPH = 360°- ∠BEP- ∠B- ∠BHP = 95° （四边形内角和可以看作是两个三角形的内角和）。 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，三角形角平分线，综合性较强，第（3）步难度较大。熟知相关定理，并根据题意进行角的表示与代换是解题关键。 【题型五 多边形的内角和与外角和综合问题】 1.【感知】如图 1 所示，在四边形AEFC 中，EB、FD 分别是边AE、CF 的延长线，我们把∠BEF、∠DFE称为四边形AEFC 的外角，若∠A + ∠C = 220° ，则∠BEF + ∠DFE = ； 【探究】如图 2 所示，在四边形AECF 中，EB、FD 分别是边AE、AF 的延长线，我们把∠BEC、∠DFC称为四边形AECF 的外角，试探究∠A、∠C 与∠BEC、∠DFC 之间的数量关系，并说明理由； 【应用】如图 3 所示，FM、EM 分别是四边形AEFC 的外角∠DFE、∠BEF 的平分线，若∠A + ∠C = 200° ，则∠M 的度数为 ． 【答案】（感知）220° ；（探究）∠A + ∠C = ∠BEC + ∠DFC ，理由见解析；（应用）80° 【分析】（感知）根据四边形的内角和邻补角的定义即可求出答案。 （探究）根据四边形的内角和邻补角的定义即可求出答案。 （应用）根据四边形的内角和邻补角定义可求出∠BEF + ∠DFE 的度数，结合角平分线的定义即可求出∠MFE + ∠MEF 度数，最后利用三角形内角和即可求出∠M 的度数。 【详解】解：（感知） 四边形AEFC 的内角和为：（4- 2 )× 180° = 360° ，∠A + ∠C = 220° ， ：∠CFE + ∠AEF = 360°- 220° = 140° ， ∠CFE + ∠DFE = 180° , ∠AEF + ∠BEF = 180° , : ∠BEF + ∠DFE = 180° +180°-140° = 220° ． 故答案为：2200． （探究）∠A + ∠C = ∠BEC + ∠DFC ，理由如下： ∠A + ∠AEC + ∠C + ∠AFC = 360° , ：∠A + ∠C = 360°- (∠AEC + ∠AFC ) ． ∠AEC + ∠BEC = 180°, ∠AFC+ ∠DFC= 180° , ：∠BEC + ∠DFC = 360°- (∠AEC + ∠AFC ) ． 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 38 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 : ∠A + ∠C = ∠BEC + ∠DFC ． （应用） 四边形AEFC 的内角和为：（4- 2 )× 180° = 360° ，∠A + ∠C = 200° ， :∠CFE + ∠AEF = 360°- 200° = 160° ， ∠CFE + ∠DFE = 180° , ∠AEF + ∠BEF = 180° , :∠BEF + ∠DFE = 180° +180°-160° = 200° ． FM、EM 分别是四边形AEFC 的外角∠DFE、∠BEF 的平分线， :∠MFE + ∠MEF = 100° , :∠M = 180°-100° = 80° ．故答案为：80° ． 【点睛】本题考查了四边形内角和，三角形内角和，邻补角和角平分线，解题的关键在于掌握多边形内角和公式，以及相关知识点。 2 ．观察图形，按要求完成： (1）在四边形ABCD 中，∠A = 140° ，∠D = 80° ． ①如图1 ，若∠B = ∠C ，则 ∠C= ° ； ②如图2 ，若 ∠ABC 的平分线BE 交DC 于点E 且BE∥AD ，则∠C = ° ； ③如图3 ，若 ∠ABC 和∠BCD 的平分线相交于点E ，则∠BEC = ° ； （2）如图3 ，当∠A = α, ∠D = β 时，若 ∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点E ，请说明∠BEC 与 α, β 之间的数量关系。 【答案】(1)①70 ；②60 ；③110 【分析】（1）①根据四边形的内角和定理180 °(n- 2) 即可求解；②根据平行线的性质可得 ∠BEC ， ∠EBC 的度数，三角形的内角和定理即可求解；③根据四边形的内角和定理可得∠ABC + ∠DCB 的度数，再根据角平分线的性质，三角形的内角和定理即可求解； 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 39 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）由③的计算方法，根据四边形的内角和定理可得∠ABC + ∠DCB 的度数，再根据角平分线的性质，三角形的内角和定理即可求解。 【详解】（1）解：①四边形ABCD ， ∴ 180°×(4- 2) = 360° , 已知∠A = 140° ，∠D = 80° ， ∴ ∠B + ∠C = 360°- ∠A- ∠B = 360°-140°- 80° = 140° , ∵ ∠B = ∠C , 故答案为：70° ； ②∵BE∥AD , ∠A = 140° , ∠D = 80° , ∴ ∠A + ∠ABE = 180°, ∠D = ∠BEC , ∴ ∠ABE = 40°, ∠BEC = 80° , ∵ BE 是 ∠ABC 的平分线， ∴ ∠EBC = ∠ABE = 40° , ∴在 BCE 中，∠C = 180°- ∠EBC- ∠BEC = 180°- 40°- 80° = 60° ，故答案为：600； ③四边形ABCD ，∠A = 140° ，∠D = 80° ， ∴ ∠ABC + ∠DCB = 360°- ∠A- ∠D = 360°-140°- 80° = 140° ，如图所示， ∵ BE, CE 平分∠ABC, ∠DCB ， ∴ ∠1+ ∠2 = 1 (∠ABC+ ∠DCB) = 1 × 140° = 70° , 2 2 ∴在 BCE 中，∠BEC = 180°- (∠1+ ∠2) = 180°- 70° = 110° ，故答案为：110° ． （2）解：在四边形ABCD 中，∠A + ∠ABC + ∠BCD + ∠D =360° ，又∠A = α , ∠D = β , ∴ ∠ABC + ∠BCD = 360°- (α + β) ， ∵ ∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点E ，如图所示， 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 40 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题主要考查图形中角度的计算，掌握四边形内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质是解题的关键。 3 ．动手操作，探究： 探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ （1）已知：如图，在△ADC 中，DP, CP 分别平分 ∠ADC 和 ∠ACD ，试探究 ∠P 与 ∠A 的数量关系； （2）探究二：若将△ADC 改为任意四边形ABCD 呢？已知：如图，在四边形ABCD 中，DP, CP 分别平分 ∠ADC 和∠BCD ，试利用上述结论探究 ∠P 与∠A+∠B的数量关系；（写出说理过程） （3）探究三：若将上题中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF （图（3））呢？请直接写出 ∠P 与 ∠A + ∠B + ∠E + ∠F 的数量关系： . 【答案】∠P = 90° ∠A ； 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠PDC ∠ADC ,∠PCD ∠ACD ，再根据三角形内角和得到 ∠P 与 ∠A 的数量关系； （2）根据角平分线的定义得到∠PDC ∠ADC ,∠PCD ∠BCD ，再根据四边形内角和得到 ∠P 与∠A+∠B的数量关系； 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 41 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 （3）先求出六边形的内角和，根据角平分线的定义得到∠PDC ∠EDC ,∠PCD ∠BCD ，再根据三角形的内角和及六边形内角和求出 ∠P 与∠A + ∠B + ∠E + ∠F 的数量关系。 【详解】（1）解： ∵ DP, CP 分别平分 ∠ADC 和 ∠ACD ， ( 1 1 )∴ ∠PDC = ∠ADC ,∠PCD = ∠ACD , 2 2 ∴ ∠DPC = 180°- ∠PDC- ∠PCD , = 180°- °- ∠A) , ( 1 )= 90° + ∠A ; 2 （2） ∵ DP, CP 分别平分 ∠ADC 和∠BCD ， ∴ ∠DPC = 180°- ∠PDC- ∠PCD , （3）六边形ABCDEF 的内角和为：（6- 2 )x 180° = 720° ， ∵ DP, CP 分别平分∠EDC 和∠BCD ， ( 1 1 )∴ ∠PDC = ∠EDC ,∠PCD = ∠BCD , 2 2 ∴ ∠P = 180°- ∠PDC- ∠PCD , 即∠P = _180° ， 故答案为：∠P _180° ． 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 42 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】此题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，多边形内角和公式，正确理解角平分线的定义及内角和解决问题是解题的关键。 4 ．如图 1 ，我们分别研究过三角形中两内角平分线所成的∠BIC 、两外角平分线所成的∠BDC 、一内角一外角平分线所成的∠BEC 与 ∠A 的关系。 （1）如图 2 ，在四边形ABCD 中，BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠BCD ，则 ∠P 与 ∠A ， ∠D 的数量关系为 . （2）如图 3 ，在四边形ABCD 中，BM 、CM 分别平分∠EBC 和∠BCF ，请探究∠M 与 ∠A ， ∠D 的数量关系，并说明理由。 （3）在四边形ABCD 中，∠F 为 ∠ABC 的平分线与边CD 和BC 延长线所成角的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A = α , ∠D = β , 则∠F = .（用α、β表示） 【答案】∠P ∠M = 180° 理由见解析 【分析】（1）先可求∠PBC + ∠PCB = ，再根据四边形内角和可求出∠ABC + ∠BCD ，从而可以求解； （2）同（1）可求出∠MBC + ∠MCB = 180° 再根据四边形内角和可求出∠ABC + ∠BCD ，从而可求解； （3）同（1）可求出∠CBF + ∠BCF = 90° + ，再根据四边形内角和可求出∠ABC + ∠BCD ，从而可求解。 【详解】（1）解：∠P BP 、CP 分别平分 ∠ABC 、∠BCD ， 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 43 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 ∠ABC + ∠BCD = 360°- (∠A + ∠D ) , : ∠PBC + ∠PCB = 360°- (∠A+ ∠D ) :∠P = 180°- (∠PBC + ∠PCB ) = ， 故答案：∠P = ． （2）解：∠M = 180° 理由如下： BM 、CM 分别平分∠EBC 和∠BCF ， : ∠MBC ∠EBC , ∠MCB = ∠BCF , ∠EBC = 180°- ∠ABC , ∠FCB = 180°- ∠BCD , 1 = 90°- ∠BCD , 2 :∠MBC + ∠MCB = (|(90°- ∠ABC∠ + |((90°- ∠BCD∠ = 180°- , ∠ABC + ∠BCD = 360°- (∠A + ∠D ) , :∠MBC + ∠MCB = ， :∠M = 180°- (∠MBC + ∠MCB) 第十三章 三角形（5 类压轴题专练）（解析版） 第 44 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 故∠M = 180° （3）解：如图： BF 平分 ∠ABC ，CF 平分∠DCG ， : ∠CBF = ∠ABC , ∠DCF ∠DCG , ∠DCG = 180°- ∠BCD , : ∠BCF = ∠BCD + ∠DCF : ∠CBF + ∠BCF = 90° + , ∠BCD + ∠ABC = 360°- (∠A + ∠D ) = 360°- (α + β ), : ∠CBF + ∠BCF :∠F = 180°- (∠CBF + ∠BCF ) 故答案： ° ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、四边形的内角和，灵活运用定理进行转换是解题的关键。 第 45 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $