专题10 巧构等腰三角形的基本模型的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以四类构造模型为核心，通过解题通法-题型归纳-压轴挑战三级体系，系统提炼等腰三角形构造的方法规律与迁移应用，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|见角平分线+平行线/中线倍长/垂线+截长补短/外角/翻折造等腰|从构造条件到方法选择，建立“已知-辅助线-结论”逻辑链| |题型归纳|4类（每类含典例+变式）|平行线+角平分线“知二求一”；过腰底作平行线得新等腰；角平分线+垂线构全等；倍角转化造等腰|按构造手段递进，模型从基础到复合，变式拓展应用场景| |压轴挑战|10道综合题|综合运用多模型构造，结合截长补短/中线倍长等技巧|从单一模型到多模型融合，提升复杂问题解决能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10巧构等腰三角形的基本模型的四类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、过腰或底作平行线构造等腰边)三角形 题型二、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：已知条件中无直接等腰，需通过平行线、角平分线、中线或翻折等手段构造等腰，导边导角。 解题方法：见角平分线+平行线出等腰：见中线倍长构造等腰：见垂线+截长补短造等腰：利用外角找等 角：利用对称性翻折造等腰。 ~易错提醒：辅助线添加不当导致新等腰与原条件关联断裂；构造后未验证等边或等角确实成立；角平分 线与平行线构造等腰时选错平行方向。 刁题型归纳一精讲典型题法，寿夫解题报基 题型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 典例1(2026山东滨州一模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作EGI AD,交 AC于点F,交BA延长线于点G. 1/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D (I)求证：△AFG为等腰三角形； (2)若CE=EF,∠BAC=82°，求∠B的度数， 题型模版 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题.平行线、角平分线 及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总 结)。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。 -0 p 图1 图2 图3 条件：如图1，OO平分∠MON,过OO的一点P作PQON结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE‖BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,过点O作BC的平行线与AB,AC分别 相交于点M,N.结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 变式2-1(25-26八年级下江西新余阶段检测)如图，在△ABC中，BE平分内角∠ABC,AE平分外角 ∠CAD H (I)若AE∥BC,求证：△ABC为等腰三角形. 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若∠C=68°，求∠E的度数. 变式2-2(1)如图1，△ABC中，AB≠AC,∠ABC,∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交 AB,AC于点E,F.图中有个等腰三角形.猜想：EF与BE,CF之间有怎样的关系，并说明理 由 (2)如图2，若AB=AC,其他条件不变，图中有个等腰三角形；EF与BE,CF间的关系是； (3)如图3，AB≠AC,若∠ABC的角平分线与△ABC外角∠ACD的角平分线交于点O,过点O作 OE∥BC交AB于E,交AC于F.图中有个等腰三角形.EF与BE,CF间的数量关系是_， 图1 图2 图3 题型二、过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形 典例2(25-26八年级上·湖北黄石期末)如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC,交AB于点E. D (1)求证：△DEB是等腰三角形. (2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由. 题型模版 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形 图①（作腰的平行线）图②.（作底的平行线） 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DEBC.结论：△ADE是等腰三角形. 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE/AB.结论：△CDE是等腰三角形 变式1-1(25-26八年级下广东佛山阶段检测)综合实践 数学是一门充满乐趣，奥妙，又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”·几何图形变幻无穷， 但只要我们借助图形的直观，从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显 现出来.于是数学课上，刘老师出示了以下的题目：如图，在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的 延长线上，且ED=EC,试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由， B 图1 图2 备用图 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： (I)【特殊情况，归纳猜想】如图1，当E为AB的中点时，确定线段AE与BD的大小关系，请你直接写出 你的结论：AEBD(选填“>”、“<”或者“=”)； (2)【特例启发，推理证明】如图2，当E不是AB的中点时，小优和小秀认为(1)中的结论仍然成立，所 以他们尝试过点E作EF∥BC,交AC于点F.刘老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来 的证明过程； (3)【拓展延伸，问题解决】当点E在BA的延长线上时，点D在BC边上，且CE=DE,请自己画图，并探 究(1)中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 变式1-2(25-26八年级上河北衡水期末)操作探究：已知△ABC是等边三角形，点P是边AC上一点， ←OB B 图1 图2 图3 (I)如图1，过点P作PF∥BC,交AB于点F,图中有一个等边三角形： (②)如图2，点P在AC上运动（不与4，C重合），点O是CB延长线上一点，且BO=AP,过P作PE⊥AB于 B,连接PQ交AB于D,试说明：在点p运动的过程中，线段ED的长是定值（卿DE=AB), 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若将条件中“△ABC是等边三角形”改为“△ABC是等腰三角形，CA=CB”,如图3所示，(2)中 的结论是否还成立？请说明理由。 题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 典例3(25-26八年级上：陕西榆林期中)如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,∠BAC的平分线AD交BC 于点D,过点B作BF⊥AD于点F,延长BF交AC于点E. (I)求证：△ABE为等腰三角形： (2)连接DE,若∠C=36°，求∠EDC的度数. 题型模版 模型解析：如图，△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD=△ACD,从而得 AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形 变式3-1(25-26八年级上湖北武汉月考)△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°.若D为线段BC上一点， ∠EDB=2∠ACB,BE1DE:垂足为E:DE交AB于F· E F B C(D 图1 图2 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图1，当D与C点重合时，探究BE、DF的数量关系； (2)如图2，当D不与C重合时，线段BE与DF的数量关系是否发生变化，证明你的结论. 变式3-2利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①，OP平分∠MON.点A为OM上一点，过 点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可证得△AOC≌ABOC,则AO=BO,AC=BC」 N、B 图① 图② 图③ 图④ 【问题提出】 (I)如图②，在△ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于点E,若∠EAC=63°，∠B=37°，通过上述 构造全等的办法，求∠DAE的度数； 【问题探究】 (2)如图③，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长 线上，试探究BE和CD的数量关系； 【问题解决】 (3)如图④是一块肥沃的土地△4BC,其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角 形土地△ADC进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作∠ACB的平分线CD: ②再过点A作AD⊥CD交CD于点D 已知BC=13米，AC=10米，△ABC面积为20平方米，求划出的△ACD的面积. 题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 典例4(25-26八年级下·广东梅州期中)阅读材料 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边 相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.当题目中有等腰三角形、 角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题， 6/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D D 图① 图② 图③ 【问题解决】 (1)如图①，在△ABC中，∠ACB=2∠B,∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线，在AB上截取AE=AC, 连接DE,请写出线段AB,AC,CD之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 (2)如图②，在△ABC中，∠ACB=2∠B,∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线.请判断线段AB,AC, CD之间的数量关系并说明理由： (3)如图③，在△ABC中，∠ACB=2LB,∠ACB≠90°，当AD为∠BAC的补角的角平分线时，(2)中AB, AC,CD之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB,AC, CD之间的新数量关系，不必说明理由 题型模版 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形 D B 图① 图② 图③ 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC结论：△BDC是等腰三角形 条件：如图2，若∠ABC-2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD.结论：△ADC是等腰三角形 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB,交BA的 延长线于点D.结论：△DBC是等腰三角形 变式41(25-26八年级上四I川绵阳期未)在△ABC中，∠ACB=2∠B 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D 图1 图2 (I)如图1，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，过D作AB的垂线DE,垂足为E,可以发现AB, AC,CD存在的数量关系是 (②)如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB,AC,CD是否还存在(1)中的数量关 系？如果存在，请给出证明.如果不存在，请说明理由. 变式42(25-26八年级上广东珠海·期末)实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等：反过来，等角所对的边也相等.那 么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣 小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1(1)，在△ABC中，AB>AC,怎样证明∠C>∠B呢？ 把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB>AC,所以点C落在AB上的点C'处（如图1(2）).由 ∠AC'D=∠C,∠ACD>∠B,可得∠C>∠B B B (1) (2) 图1 【类比探究】 (1)如图2，在△ABC中，∠C>∠B,类比上述的方法，请证明AB>AC. B 图2 【方法运用】 (2)如图3，在△ABC中，∠C=2∠B,若AD1BC,写出AC,CD,BD之间的数量关系并说明理由. 8/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图3 ◆ 同压轴挑战一文克高难压轴，突酸思维上 一、解答题 1.(25-26八年级上·全国期末)若过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交点作这两个角的公共边的 平行线，如图所示， D B C (1)此时，图中有几个等腰三角形？ (②)线段EF与线段BE,CF三者又有何数量关系？ 2.(25-26八年级上全国课后作业)【问题原型】 有这样-道向题：如图D,在a4BC中，∠BCA=2∠ABD为边4C上的中线，且BC- 4c 求证：△BCD为等边三角形. 小聪同学的解决办法是：延长AC至点E,使CE=BC，如图②，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而 解决问题. 【解决问题】 请你利用小聪的办法解决此问题. B =.E 图① 图② 9/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级上内蒙古巴彦淖尔·期中)综合探究 问题情境：△ABC是等边三角形，点D是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AD=CE,连接AE,DE 图1 图2 猜想证明： (1)如图1，当点D是AC的中点时，DB DE;(填“>”，“<”或“=”) (②)若点D为AC边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与△CDE 全等来证明.以下是他们的部分证明过程： 证明：如图2，过点D作DF∥BC,交AB于点F.(请完成余下的证明过程) 4.(25-26八年级下广东梅州期中)如图1，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∠ABC的平分线 BD交边AC于点D 图 图2 (I)求证：△BCD为等腰三角形. (2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E,如图2，求证：BD+AD=AB+BE (3)若△ABC的外角平分线AE交CB的延长线于点E,请你探究(2)中的结论是否仍然成立.若成立，请 证明；若不成立，直接写出正确的结论 5.(25-26八年级下山西晋中·期中)阅读下面材料： 在几何探究活动中，我们常通过“截长补短”的方法解决线段与角度的相关问题，阅读以下材料回答问题： 问题1：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC,且AC=AB+BD.求证：∠ABC=2LC 小亮通过思考，给出了两种辅助线思路： 思路1：如图②，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,利用全等三角形证明. 思路2：如图③，延长AB到点E,使得BE=BD,连接DE,构造等腰三角形证明. 10/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ① ② ③ ④ (I)根据以上材料，任选一种思路完成证明：∠ABC=2∠C: (2)问题2：如图④，在△ABC中，AD为∠CAF的平分线，∠ACB=2∠B,线段AB,AC,CD有怎样的 数量关系？请说明理由. 6.(25-26八年级下·山西晋中·期中)在七年级下册第五章《图形的轴对称》中，我们初步认识了角平分 线，并从轴对称的视角直观探究了角平分线的性质；进入本学期，我们对这一性质完成了严谨的逻辑证明， 并进一步探究了其逆定理.在系统学习等腰三角形、直角三角形相关知识后，我们又对角平分线所蕴含的 轴对称特征有了深入的理解.为了贯通思维梳理知识、提炼方法，深化对知识本质的理解，促进数学思维 生长，我们进行了知识的梳理、回顾与深化总结. 复习目标：理解角平分线与轴对称的联系，掌握构造轴对称图形的方法并灵活解题： 问题：如图1，OP平分∠AOB,点C是角平分线OP上一点，你能联想到什么数学知识？ 学生生成：可以想到角平分线的性质、角平分线的判定定理、等腰三角形、直角三角形等； A A A D -P DC一E 0 图1 图2 图3 图4 图5 图6 (1)追问1：你能添加辅助线，构造出轴对称图形吗？ 学生生成： 过角平分线OP上一 过角平分线OP上的 过角平分线OP上的 点C向角两边作垂线 一点C作角平分线 点C作OB的平行 (如图2)可以得到 OP的垂线，与角的 线，与角的另一边 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两边分别交于点D和 CD=CE(根据 OA交于点D,构造 E（如图3)，构造 )构造轴 对称图形中的等腰 对称图形下的等腰 对称图形 AOCD(如图4) AODE (2)追问2：尺规作图.（不写作法， 保留作图痕迹)在角平分线的图形中，你还可以构造出其他轴对称图 形吗？学生生成：如图5 (3)灵活应用：如图6在△ABC中，AD平分∠BAC,∠C=2∠B,AC=12,DC=8,请直接写出AB的长. 7.(25-26七年级下·吉林长春·期末)小明最近学习了等腰三角形的相关知识，他发现，在一些几何题中， 经常需要通过作辅助线构造等腰三角形来解决问题. E B. 图① 图② 图③ 图④ (I)【方法初探】如图①，在△ABC中，∠BAC>90°，∠ABC=2∠C,AD⊥BC于点D,AB=3,BD=2, 求BC的长， 小明发现，在该三角形中，有两个内角存在2倍关系，若延长CB至点E,使BE=AB,连接AE(如图 ②)，即可构造等腰三角形ABE,利用倍角关系，可证出△ACE也是等腰三角形，再利用“等腰三角形 的三线合一”的性质可以解决问题.根据以上分析，可求出BC的长为一 (②)【拓展延伸】如图③，在△ABC中，∠ABC=2∠C,AD平分∠BAC,交BC于点D.求证： AC=AB+BD 以下是小明的部分证明过程： 证明：延长CB至点E,使BE=AB,连接AE. .BE=AB .∠E=∠BAE .∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E」 ∠ABC=2∠C. ∴.∠C=∠E, 12/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AE=AC,∠BAE=∠C」 请你帮助小明补全上述证明过程： 【综合应用】如图④，在四边形ABCD中，4B=4D’∠BHAD=2∠BC,BC二 54B.连接AC、BD, 若BD⊥CD,BD=6,则AC= 8.(25-26八年级上河南开封期末)综合与实践 【问题情境】补短法在非遗手作（如滚灯竹架拼接、醒狮角架制作）的尺寸校准中应用广泛，其核心思路 为：将手作中的某条竹条（或木杆）延长，使延长段与特定竹条（或木杆）长度相等，再利用全等三角形 的性质，验证待备部件的长度关系是否符合制作标准， 例：如图①，在同学们制作非遗滚灯的竹制外框四边形ABCD中，AB∥DC(符合滚灯旋转时的受力均衡 要求)，E是AD的中点（滚灯框架的核心节点），BE平分∠ABC(优化框架受力角度)，试判断该滚灯 外框的竹条BC,CD,AB之间的等量关系，确保框架拼接合规. 小颖的手作验证方法：如图②，延长加固竹条BE与竹条CD的延长线相交于点F,构造全等竹架三角形 △ABE≌△DFE和等腰三角形BCF(由∠FBC=∠F即可判断BC=CF) 【问题解决】(I)按照小颖的滚灯手作验证方法，BC,CD,AB之间的数量关系是一： 【自主探究】(2)如图③，同学们制作非遗醒狮的木质主角架，在△ABC中（醒狮角架为三角形结构，保 证造型挺拔)，D是木质主杆BC的中点（醒狮角架的核心固定节点），点E在辅杆AC上（角架的辅助 支撑部件)，连接加固木杆BE交主杆AD于点F,制作要求中明确辅杆AE=EF(保证角架受力均匀)， 请结合补短法说明：该醒狮角架的主杆AC与加固木杆BF长度相等，即AC=BF 【拓展延伸】(3)如图④，在同学们制作非遗滚灯的竹制内框四边形ABDC中（滚灯内框为四边形支撑 AB∥CD,AB=5,CD=2 结构，保证框架稳固)， 2,点F在ME上且满足 DFE=∠BME,Sm=S4,请 直接写出竹条DF= 13/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ 图④ 9.(25-26八年级上河南洛阳·期中)利用角平分线构造全等三角形是常用的方法.如图1，OP平分 ∠MON,点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,则△AOC≌△BOC N、B P D E可 E C M A B 图1 图2 图3 图4 (1)【初步感知】 如图1，根据以上条件，容易发现AC与BC的数量关系为：一： (2)【类比解答】 如图2，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，AE⊥CD于E,若∠B=35°，∠EAC=61°，通过上述构造 全等的方法，可求得∠EAD的度数为： (3)【拓展应用】 ①如图3，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上， 试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论： ②如图4，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点F在线段BC上， ∠EFB=∠C 2 BE⊥EF,垂足为E, EF与AB相交于点D.若△BDF的面积为36，请直接写出BE的长， 10.(25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测)探究以下问题： D D D B 图① 图② 图③ 图④ 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题提出】 (I)如图①，在△ABE和△DEC中，点A在边DE上，E是边BC的中点，AB=CD.探究∠D与∠BAE之间 的数量关系 小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图②，过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F,构造 △ABE≌aFCE即可判断，则∠D与∠BAE之间的数量关系是 (②)如图③，在△ABC中，∠B=90°，AB=2,AD是△ABC的中线，过点C作CE⊥BC,且CE=4, ∠ADE=90°，求AE的长： (3)【问题解决】为贯彻五育并举方针，将劳动教育纳入必修课程，某校在校园内建造了一处劳动实践基地 △ABC(如图④)，AC=I00米，E为AB的中点，EF⊥AC于点F,将△AEF区域作为工具房，点G在 EF上，EG=30米，BG=CG,∠BGC=90°，将△BEG和△CFG区域作为展示区.求展示区的边CF的 长 15/15 专题10 巧构等腰三角形的基本模型的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 题型二、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：已知条件中无直接等腰，需通过平行线、角平分线、中线或翻折等手段构造等腰，导边导角。 - 解题方法：见角平分线+平行线出等腰；见中线倍长构造等腰；见垂线+截长补短造等腰；利用外角找等角；利用对称性翻折造等腰。 - 易错提醒：辅助线添加不当导致新等腰与原条件关联断裂；构造后未验证等边或等角确实成立；角平分线与平行线构造等腰时选错平行方向。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 典例1 （2026·山东滨州·一模）如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交延长线于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：， ，， 平分， ， ， ∴， 为等腰三角形； (2) 【分析】（1）利用平行线性质得到角相等，结合角平分线定义推导出，再根据等角对等边证明为等腰三角形； （2）先由角平分线定义求出，再通过平行线性质得到，接着利用等腰三角形性质求出，最后根据三角形内角和定理计算出． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，， ∵， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 题型模版 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 变式2-1（25-26八年级下·江西新余·阶段检测）如图，在中，平分内角，平分外角． (1)若，求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1) ∵平分外角． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． (2) 【分析】（1）根据平行线得到，，结合角平分线得到，最后根据等角对等边得到等腰三角形； （2）根据三角形的外角和角平分线得到，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分内角，平分外角． ∴，， 由三角形的外角可得，， ∴， ∵， ∴． 变式2-2（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 题型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 典例2 （25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由角平分线得．再根据平行线的性质得，进而．即可证明结论成立； （2）由等边对等角及平行线的性质得，，从而．由（）得，，从而． 【详解】（1）证明：证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（）得， ∴， ∴． 题型模版 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 变式1-1（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）综合实践 数学是一门充满乐趣，奥妙，又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”．几何图形变幻无穷，但只要我们借助图形的直观，从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．于是数学课上，刘老师出示了以下的题目：如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： (1)【特殊情况，归纳猜想】如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出你的结论： （选填“”、“”或者“=”）； (2)【特例启发，推理证明】如图2，当不是的中点时，小优和小秀认为（1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点E作，交于点F．刘老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来的证明过程； (3)【拓展延伸，问题解决】当点E在的延长线上时，点D在边上，且，请自己画图，并探究（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】(1)= (2)如图，过点作交于点， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (3)不发生变化，证明如下： 如图，过点作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）过点作交于点，可证是等边三角形，得到，再证明，得到，即可求证； （）过点作交的延长线于点，同理（）证明即可求证； 【详解】（1）解：∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）略 变式1-2（25-26八年级上·河北衡水·期末）操作探究：已知是等边三角形，点是边上一点． (1)如图1，过点作交于点，图中有 个等边三角形； (2)如图2，点在上运动(不与重合)，点是延长线上一点，且，过作于E，连接交于，试说明：在点运动的过程中，线段的长是定值(即)； (3)若将条件中“是等边三角形”改为“是等腰三角形，”，如图3所示，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)还成立，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）根据是等边三角形，，得出、是等边三角形即可； （2）作交于，先判定为等边三角形，再根据三线合一，得到，然后判定，得到，进而得到； （3）作于，先判定，得到，，再判定，得到，进而得到（2）中的结论还成立． 【详解】（1）解：如图1，是等边三角形 ， ， ， 为等边三角形， 、是等边三角形，共2个 故答案为：； （2）线段的长是定值，即，理由如下： 如图，作交于， 是等边三角形 ， ， ， 为等边三角形， ， 又， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， （3）（2）中的结论还成立． 理由：如图3，过点作于， 在与中， 在与中， 题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 典例3 （25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，延长交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）由已知可得，即得，进而得到，再由垂直平分得到，即得到，再根据三角形的外角性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质等，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分，， ， ， ∴， 即， 为等腰三角形； （2）解：， ， 由（）得，为等腰三角形， ∴， ∴， ，为等腰三角形， ∴， ∴垂直平分， ， ∴， ∴． 题型模版 模型解析：如图， 中,AD平分 由“ASA”易得 从而得 即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. 变式3-1（25-26八年级上·湖北武汉·月考）中，，．若为线段上一点，，，垂足为，交于． (1)如图1，当与点重合时，探究、的数量关系； (2)如图2，当不与重合时，线段与的数量关系是否发生变化，证明你的结论． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）延长与交于点，证得，进而证得，证得，根据全等三角形的性质证得，从而得到结论； （2）过点作，与交于，与的延长线交于，根据题意易证得，根据全等三角形的性质证得，再证得，进而得到，从而得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，延长与交于点， ， ， ， 即是的平分线， 又， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， 又， ； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，与交于，与的延长线交于， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 又， ． 变式3-2利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】 （2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线； 再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （），证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 典例4 （25-26八年级下·广东梅州·期中）阅读材料 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 (1)如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 (2)如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； (3)如图③，在中，，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】(1)，理由见详解 (2)，理由见详解 (3)不成立， 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的外角公式，“等角对等边”等知识，能够根据题目掌握“截长补短”是解题的关键． （1）根据题意可推出，根据，推得，即可求解； （2）在上截取，连接，证明，同（1）即可求解； （3）在上截取，连接，证明，同理可证明． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，,, ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故； （2）解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，,， ∵， ∴， ， 则， 故； （3）解：不成立，，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，,， ∵， ∴， ∴， 则， 故． 题型模版 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形． 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形. 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形. 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形. 变式4-1（25-26八年级上·四川绵阳·期末）在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，过作的垂线，垂足为，可以发现，，存在的数量关系是___________； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，是否还存在（1）中的数量关系？如果存在，请给出证明．如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，证明见解析 【分析】本题考查了三角形的全等的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先证出，得到，，然后得到，从而可得，最后根据线段和差、等量关系即可得证； （2）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量关系即可得证． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在． 证明如下：如图所示，在上取点E，使， ∵为的角平分线时， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式4-2（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析，（2），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】（1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 ［方法运用］ （2）解：，理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、解答题 1．（25-26八年级上·全国·期末）若过的一个内角和一个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，如图所示， (1)此时，图中有几个等腰三角形？ (2)线段与线段三者又有何数量关系？ 【答案】(1)图中共有2个等腰三角形 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质可证明，得到，则可证明和都是等腰三角形； （2由（1）得，由线段的和差关系即可得到． 【详解】（1）解：由题意得平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等腰三角形，即图中共有2个等腰三角形； （2）解：由（1）得， ∵， ∴． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）【问题原型】 有这样一道问题：如图①，在中，为边上的中线，且． 求证：为等边三角形． 小聪同学的解决办法是：延长至点E，使，如图②，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而解决问题． 【解决问题】 请你利用小聪的办法解决此问题． 【答案】 解：如图②，延长至点，使，连接， 为边上的中线， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，解题关键是添加辅助线利用二倍角的条件构造等腰三角形；延长至点，使，连接，根据为边上的中线，且，可得出，再由，可得，，即可证明和全等，进而可证得结论． 【详解】略 3．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）综合探究 问题情境：是等边三角形，点D是上一点，点E在的延长线上，且，连接． 猜想证明： (1)如图1，当点D是的中点时， ________；（填“>”，“<”或“=”） (2)若点D为边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与全等来证明．以下是他们的部分证明过程： 证明：如图2，过点D作，交于点F．（请完成余下的证明过程） 【答案】(1)= (2) 证明：如图2，过点D作，交于点F． ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ，即， ， ， ， ， 在和中 ， ， ． 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键． （1）根据等边三角形的性质得出，再由“三线合一”的性质及角平分线得出，再由等角对等边即可证明； （2）如图2，过点D作，交于点F．证明是等边三角形，可得，证明，可得结论， 【详解】（1）证明：在等边中，， ， 点是的中点， 平分， ， ， ， ， ； （2）略 4．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图1，在中，，，的平分线交边于点． (1)求证：为等腰三角形． (2)若的平分线交边于点，如图2，求证：． (3)若的外角平分线交的延长线于点，请你探究（2）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，直接写出正确的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)结论不成立。正确结论： 【分析】（1）由三角形内角和计算，根据是的平分线得，从而为等腰三角形得证； （2）在上截取，连接，证明得，证得，即可证明结论； （3）在上截取，连接，根据，得，证明，得，根据等腰三角形的判定得，最后根据线段间的数量关系得出结论即可． 【详解】（1）证明：中，，， ， 是的平分线， ， ， 为等腰三角形； （2）解：如图，在上截取，连接， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：探究（2）中的结论不成立，正确结论：，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 5．（25-26八年级下·山西晋中·期中）阅读下面材料： 在几何探究活动中，我们常通过“截长补短”的方法解决线段与角度的相关问题，阅读以下材料回答问题： 问题1：如图①，在中，平分，且．求证：． 小亮通过思考，给出了两种辅助线思路： 思路1：如图②，在上截取，使得，连接，利用全等三角形证明． 思路2：如图③，延长到点，使得，连接，构造等腰三角形证明． (1)根据以上材料，任选一种思路完成证明：； (2)问题2：如图④，在中，为的平分线，，线段，，有怎样的数量关系?请说明理由． 【答案】(1) 证明：按照思路1： 平分， ， 在和中， ， ，， ，， , 是等腰三角形， ， ， ∴． 按照思路2： ， 是等腰三角形， ， ， ， 平分， 在和中， ， ， ． (2) ，，三者之间的关系是： ． 理由如下： 在射线上截取线段，使， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 又， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质．重点在于利用材料里的“截长补短”法，构造全等三角形． （1）先通过证明，证得，再证明是等腰三角形，，所以； （2）在射线上截取线段，使，先证明，证得，，然后再证明，，最后证得 【详解】（1）略 （2）略 6．（25-26八年级下·山西晋中·期中）在七年级下册第五章《图形的轴对称》中，我们初步认识了角平分线，并从轴对称的视角直观探究了角平分线的性质；进入本学期，我们对这一性质完成了严谨的逻辑证明，并进一步探究了其逆定理．在系统学习等腰三角形、直角三角形相关知识后，我们又对角平分线所蕴含的轴对称特征有了深入的理解．为了贯通思维梳理知识、提炼方法，深化对知识本质的理解，促进数学思维生长，我们进行了知识的梳理、回顾与深化总结． 复习目标：理解角平分线与轴对称的联系，掌握构造轴对称图形的方法并灵活解题． 问题：如图，平分，点是角平分线上一点，你能联想到什么数学知识？ 学生生成：可以想到角平分线的性质、角平分线的判定定理、等腰三角形、直角三角形等； (1)追问：你能添加辅助线，构造出轴对称图形吗？ 学生生成： 过角平分线上一点向角两边作垂线（如图）可以得到（根据__________）构造轴对称图形 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，与角的两边分别交于点和（如图），构造对称图形下的等腰 过角平分线上的一点作的平行线，与角的另一边交于点，构造对称图形中的等腰（如图） (2)追问：尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹）在角平分线的图形中，你还可以构造出其他轴对称图形吗？学生生成：如图 (3)灵活应用：如图在中，平分，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； (2) (3)的长为． 【分析】（）根据角平分线的性质即可求解； （）以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于点，连接即可构造轴对称图形； （）在上截取，连接，证明，则，，然后通过三角形外角性质可得，所以，再由线段的和与差即可求解． 【详解】（1）解：∵，，平分， ∴（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）， 故答案为：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； （2）解：略； （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 7．（25-26七年级下·吉林长春·期末）小明最近学习了等腰三角形的相关知识，他发现，在一些几何题中，经常需要通过作辅助线构造等腰三角形来解决问题． (1)【方法初探】如图①，在中，，，于点，，，求的长．   小明发现，在该三角形中，有两个内角存在倍关系，若延长至点，使，连接（如图②），即可构造等腰三角形，利用倍角关系，可证出也是等腰三角形，再利用“等腰三角形的三线合一”的性质可以解决问题．根据以上分析，可求出的长为____ (2)【拓展延伸】如图③，在中，，平分，交于点．求证：． 以下是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． ， ， ， ， ， ，． 请你帮助小明补全上述证明过程． (3)【综合应用】如图④，在四边形中，，，．连接、，若，，则________． 【答案】(1) (2)平分， ， ， ， ， ∴， ，， ． (3) 【分析】（1）延长至点，使，连接，则，证明是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一即可求解； （2）根据角平分线的定义得，证明，则，即可得证； （3）延长，，交于点，则，，都是等腰三角形，再利用等面积法即可求出的长． 【详解】（1）解：延长至点，使，连接． ∴， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴． （2）略 （3）解：如图，延长，，交于点， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26八年级上·河南开封·期末）综合与实践 【问题情境】补短法在非遗手作（如滚灯竹架拼接、醒狮角架制作）的尺寸校准中应用广泛，其核心思路为：将手作中的某条竹条（或木杆）延长，使延长段与特定竹条（或木杆）长度相等，再利用全等三角形的性质，验证待备部件的长度关系是否符合制作标准． 例：如图①，在同学们制作非遗滚灯的竹制外框四边形中，（符合滚灯旋转时的受力均衡要求），是的中点（滚灯框架的核心节点），平分（优化框架受力角度），试判断该滚灯外框的竹条之间的等量关系，确保框架拼接合规． 小颖的手作验证方法：如图②，延长加固竹条与竹条的延长线相交于点F，构造全等竹架三角形和等腰三角形（由即可判断） 【问题解决】（1）按照小颖的滚灯手作验证方法，，之间的数量关系是_____； 【自主探究】（2）如图③，同学们制作非遗醒狮的木质主角架，在中（醒狮角架为三角形结构，保证造型挺拔），是木质主杆的中点（醒狮角架的核心固定节点），点在辅杆上（角架的辅助支撑部件），连接加固木杆交主杆于点，制作要求中明确辅杆（保证角架受力均匀），请结合补短法说明：该醒狮角架的主杆与加固木杆长度相等，即． 【拓展延伸】（3）如图④，在同学们制作非遗滚灯的竹制内框四边形中（滚灯内框为四边形支撑结构，保证框架稳固），，点F在上且满足，请直接写出竹条_____． 【答案】（1）； （2）延长至点G，使得，连接． ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）3 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的面积，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，掌握补短法，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据小颖的方法即可得到； （2）延长至点G，使得，连接．证明得到，，再证明，得到，即可得到； （3）过点A作于点N，连接，并延长交于点G，延长至点H，使得，连接．根据三角形的面积公式，结合得到，从而可证，得到，，因此．证明得到，，从而，因此． 【详解】解：（1）延长，相交于点F， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）略 （3）过点A作于点N，连接，并延长交于点G，延长至点H，使得，连接． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 9．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，则． (1)【初步感知】 如图1，根据以上条件，容易发现与的数量关系为： ； (2)【类比解答】 如图2，在中，是的角平分线，于E，若，，通过上述构造全等的方法，可求得的度数为 ； (3)【拓展应用】 ①如图3，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论； ②如图4，在中，，，点F在线段上，，，垂足为E，与相交于点D．若的面积为36，请直接写出的长 ． 【答案】(1) (2) (3) ①．理由如下： 延长，交于点F． ∵， ∴ ∴ ∴． ∵， ∴ ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ②6 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，由条件证得是解题的关键． （1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据互余得出的度数，进而利用角平分线的定义和三角形的内角和解答即可； （3）①延长，交于点F，根据证明解答即可； ②过F作交的延长线于H，交于G，根据①的结论得出，进而利用三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （3）解：① 略 ②过F作交的延长线于H，交于G， ∴是等腰三角形， 由①可知， ∵的面积为36， ∴， ∴， 故答案为：6． 10．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）探究以下问题： 【问题提出】 (1)如图①，在和中，点在边上，是边的中点，．探究与之间的数量关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法；如图②，过点作，交的延长线于点，构造即可判断，则与之间的数量关系是________； (2)如图③，在中，，，是的中线，过点作，且，，求的长； (3)【问题解决】为贯彻五育并举方针，将劳动教育纳入必修课程，某校在校园内建造了一处劳动实践基地（如图④），米，为的中点，于点，将区域作为工具房，点在上，米，，，将和区域作为展示区．求展示区的边的长． 【答案】(1) (2)6米 (3)80米 【分析】（1）证明，得出，，结合题意可得，由等腰对等角得出，即可得解； （2）过点作，交的延长线于点，证明，得出，．再证明出是线段的垂直平分线，即可得解； （3）过点作，交的延长线于点，先证明．得出，，再证明，得出，，从而可得，求出米，即可得解． 【详解】（1）解：如图②，过点作，交的延长线于点， 则， ∵是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图③，过点作，交的延长线于点． ∴，． ∵是的中线， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴，即，，三点共线． ∵，即， ∵， ∴是线段的垂直平分线． ∴． （3）解：如图④，过点作，交的延长线于点． ∴． ∵为的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴． ∵米， ∴米． ∴米． ∴（米）． ∴展示区的边的长为80米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $