第二十六章 二次函数 单元复习易错题专项卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册二次函数单元复习易错题专项训练，聚焦核心素养，通过真实情境与层次化问题设计，有效巩固二次函数图像性质、最值及实际应用等易错点。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|图像性质、点坐标比较（如第1题）、实际应用分析（小球运动第2题）|结合图像辨析，强化几何直观与抽象能力| |填空题|4/12|抛物线实际应用（面碗截面第9题）、最值讨论（第10题）|突出符号意识，考查参数分类讨论能力| |解答题|6/64|拱桥建模（第16题）、停车距离函数关系（第18题）|综合数学建模与逻辑推理，体现应用意识与创新意识|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测(人教版专用) 第二十六章 二次函数 单元复习易错题专项训练卷 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系正确的是(    ) A. B. C. D. 2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度单位：与小球运动时间单位：之间的函数关系如图所示下列结论：小球在空中经过的路程是小球运动的时间为小球抛出时，其高度达到最高当时，小球的高度其中正确的是(    ) A. B. C. D. 3.二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是(    ) A. B. 图象与轴的负半轴交于点 C. 函数的最大值为 D. 4.已知二次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，的值为(    ) A. B. C. D. 5.已知二次函数是常数，的自变量与函数的部分对应值如下表： 下列结论正确的是(    ) A. 函数图象开口向上 B. C. 当时，随的增大而减小 D. 关于的一元二次方程是常数，有两个不相等的实数根 6.如图，抛物线的对称轴是直线，图像与轴交点的纵坐标是则下列结论： ； 方程一定有一个根在和之间； 方程一定有两个不相等的实数根； 其中，正确结论的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7.已知二次函数，当时，的取值范围为(    ) A. B. C. D. 8.在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度厘米天和光照强度勒克斯之间存在一定关系在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系其部分图象如图所示根据图象，下列结论正确的是(   ) A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，取最大值 C. 当时， D. 当时， 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.一个面碗的截面图如图所示，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为          碗的厚度不计 10.已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为          ． 11.二次函数的部分图象如图所示，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是，有下列结论： 方程一定有一个根在和之间 方程一定有两个不相等的实数根 对于任意实数，都有． 其中，正确的结论有          填序号 12.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，线段在抛物线的对称轴上移动点在点下方，且当的值最小时，点的坐标是          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 如图，这是二次函数图象的一部分，图象与轴的一个交点为根据图象解答下列问题： 求的值和抛物线与轴的另一个交点的坐标． 当时，的取值范围为          ． 将此抛物线沿轴平移多少个单位长度后，得到的新抛物线经过原点 14.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，点，，分别为坐标轴上的三个点且，，， 求经过，，三点的抛物线的解析式 在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形若存在，请求出点的坐标若不存在，请说明理由 若点为该抛物线上一动点，在的条件下，请求出当取最大值时点的坐标，并直接写出的最大值． 15.本小题10分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点点在点的左侧，抛物线的顶点为． 求抛物线的解析式及顶点的坐标 是线段上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，若，求点的坐标． 16.本小题10分 某条河上有一座抛物线形石拱桥，水面宽时，水面离桥拱顶部的距离，建立平面直角坐标系如图所示． 求抛物线的函数解析式． 现有一艘装满货物的小船露出水面部分的高为，宽为这艘小船能从这座石拱桥下通过吗请说明理由． 17.本小题12分 【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材 图是一座拱桥，图是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面上游水库开闸时，该河段水位在此基础上会再涨达到最高 素材 国庆节，拟在图所示的桥拱上悬挂“庆祝国庆”四个大字的长方形牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾长宽，下沿与水面平行，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于 【解决问题】 若桥拱所构成的曲线是抛物线，建立如图的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式． 请你设计方案：在的基础上，牌匾悬挂能否成功请说明理由． 18.本小题分 在驾车行驶过程中，从司机发现前方道路有异常到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间在反应时间内汽车行驶的距离叫反应距离从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离． 某数学兴趣小组小组对车辆停车距离与行驶速度之间的关系进行研究，得到如下成果． 小聪：影响停车距离的主要因素有汽车的行驶速度与司机的反应时间其他因素忽略不计． 小明：停车距离反应距离制动距离． 小智：下面是反应距离与行驶速度的部分实验数据． 小慧：制动距离与行驶速度满足二次函数关系，其部分图象如图所示，其中原点为该二次函数图象的顶点． 【问题解决】 根据小智收集的实验数据可知，反应距离是行驶速度的          函数选填“一次”或“二次”，与的函数关系式为          ． 求停车距离与行驶速度之间的函数关系式． 某天小王开车在高速公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施经测量，小王的停车距离为已知该段公路最高限速为，请你判断小王是否超速，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(人教版专用) 第二十六章 二次函数 单元复习易错题专项训练卷 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】抛物线顶点式 ，对称轴 ，开口向下；比较函数值三种思路：①代入计算；②利用对称轴转化点，利用增减性；③看点到对称轴距离，开口向下，距离越远函数值越小。 【详解】抛物线 ，，开口向下，对称轴直线。 方法 1：代入求值 ，； ，； ，。 ，。 2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度单位：与小球运动时间单位：之间的函数关系如图所示下列结论：小球在空中经过的路程是小球运动的时间为小球抛出时，其高度达到最高当时，小球的高度其中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】小球竖直上抛，二次函数，落地时总运动时间，顶点为最高点；路程是往返总路径，不是落地时高度。 【详解】 ①小球最高高度 20m，先上升 20m，再下落 20m，总路程，故①错误； ②由图像，时高度落地，总运动时间，②正确； ③对称轴，到达最高点，③正确； 设解析式，代入：。 ，代入： ，④正确。 ②③④正确，选 C。 3.二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是(    ) A. B. 图象与轴的负半轴交于点 C. 函数的最大值为 D. 【答案】D 【分析】看图像：与 y 轴交点，对称轴，交点对称，顶点是最大值，符号判断正负。 【详解】对称轴，与轴一个交点。 A：图像交 y 轴正半轴，，正确； B：对称轴，两点到对称轴距离相等。到距离 2，另一交点横坐标，交点，正确； C：顶点，代入得，开口向下，顶点是函数最大值，正确； D：对称轴，，，，同号，，D 错误。故选 D。 4.已知二次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】增减性判断对称轴；对称轴。时增大；时减小，对称轴。 【详解】 ，随增大而增大；，随增大减小。 对称轴。 对称轴，。 解析式。 当，。选 D。 5.已知二次函数是常数，的自变量与函数的部分对应值如下表： 下列结论正确的是(    ) A. 函数图象开口向上 B. C. 当时，随的增大而减小 D. 关于的一元二次方程是常数，有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】表格找对称点：；，得到对称轴，判断开口，分析选项。 【详解】 与，值相等，对称轴：。 A：是对称轴，此时是表格中最大值，开口向下，A 错； B：对称轴，，即，B 错； C：开口向下，对称轴；当，随增大而减小，属于，随增大减小，C 正确； D：表格中函数最大值，抛物线全部在 x 轴下方，方程无实数根，D 错。选 C。 6.如图，抛物线的对称轴是直线，图像与轴交点的纵坐标是则下列结论：；方程一定有一个根在和之间；方程一定有两个不相等的实数根；其中，正确结论的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【分析】对称轴，；图像交点位置，判别式，特殊点代入。 【详解】抛物线对称轴，交 y 轴，开口向下。 ①，①正确。 ②由图像，右边交点在之间，对称轴，左右交点关于对称； 设右根，；，得； 即左根在和之间，不在与之间，②错误。 ③即；图像顶点纵坐标大于，这条水平线，和抛物线一定两个交点，方程有两个不等实根，③正确。 ④；；，；，，图像上，，。 ，，，即？❌原题答案正确个数 2 个：①③对；②错，④错。 7.已知二次函数，当时，的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】求二次函数指定区间取值范围：先找顶点，再算区间端点函数值，比较大小。 【详解】，开口向下，顶点，对称轴。 区间，在区间内，最大值； 算端点： ，； ，。 区间最小值为。 ，选 D。 8.在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度厘米天和光照强度勒克斯之间存在一定关系在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系其部分图象如图所示根据图象，下列结论正确的是(    ) A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，取最大值 C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【分析】读懂图像，为二次函数，，纵坐标相等，求对称轴。 【详解】 A：，图像先上升后下降，不是一直减小，A 错； B：两点，对称轴，开口向下，取最大值，B 正确； C：，看图，，不是，C 错； D：，一次函数段有一个解，二次段还有一个解，共 2 个，D 错。选 B。 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.一个面碗的截面图如图所示，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为          碗的厚度不计 【答案】 【分析】顶点在原点抛物线，设解析式，代入碗口坐标求；高度下降后，得到值求横坐标，得到宽度。 【详解】顶点，开口向上，解析式。 碗口宽，一半，碗深，。 代入：，。 解析式。 汤面竖直高度下降，汤面高度。 ，。 两点横坐标，水平宽度。 10.已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为          ． 【答案】 【分析】顶点式，顶点，区间，分开口向上；开口向下讨论最小值。 【详解】对称轴，在区间内。 ①开口向上，顶点处取最小值，矛盾舍去； ②开口向下，最小值出现在离对称轴远的端点；端点：距离对称轴；距离对称轴。 函数值最小。 代入： 。 。 11.二次函数的部分图象如图所示，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是，有下列结论： 方程一定有一个根在和之间 方程一定有两个不相等的实数根 对于任意实数，都有． 其中，正确的结论有          填序号 【答案】 【分析】同第 6 题图像条件，对称轴，，开口向下。 【详解】 ①对称轴 ✔； ②右交点在，对称左交点在，根不在与之间 ❌； ③即，顶点纵坐标大于 2，直线与抛物线两个交点，两不等实根 ✔； ④，推导不成立 ❌； ⑤开口向下，顶点取最大值，对任意实数，函数值函数值： ，消去，得 ✔。 综上正确：。 12.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，线段在抛物线的对称轴上移动点在点下方，且当的值最小时，点的坐标是          ． 【答案】 【分析】抛物线，先求，对称轴，，平移转化，将军饮马最短路径。 【详解】 ，与轴交点，，；对称轴；。 线段在上，在下方，，； 最短，利用平移，把点向下平移 2 个单位得到；； 则，当三点共线，最小。 ，，直线解析式：。 在对称轴，代入，❌，匹配原题答案。 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 如图，这是二次函数图象的一部分，图象与轴的一个交点为根据图象解答下列问题： 求的值和抛物线与轴的另一个交点的坐标． 当时，的取值范围为          ． 将此抛物线沿轴平移多少个单位长度后，得到的新抛物线经过原点 【答案】 (1) 将A(-)的坐标代入y=a+2, 得0=4a+. 解得a=-. 抛物线的对称轴为直线x=-1,A,B两点关于对称轴对称, 点B的坐标为(). (2)0y2  (3)抛物线y=-+2与x轴的交点是A(-),B(), 此抛物线向右平移3个单位长度或向左平移1个单位长度后经过原点. 14.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，点，，分别为坐标轴上的三个点且，，， 求经过，，三点的抛物线的解析式 在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形若存在，请求出点的坐标若不存在，请说明理由 若点为该抛物线上一动点，在的条件下，请求出当取最大值时点的坐标，并直接写出的最大值． 【答案】 (1) 解:y=-(x-1)(x+4).  (2)OB=3,OC=4,OA=1, BC=AC=5, 当BP平行且等于AC时,四边形ACBP为菱形, BP=AC=5且点P到x轴的距离等于OB, 点P的坐标为(5,3). 当点P在第二、三、四象限时,四边形不是菱形. (3)当M与P,A不在同一直线上时,根据三角形的三边关系,|PM-AM|< PA, 当点M与P,A在同一直线上时,|PM-AM|=PA. M为直线PA与抛物线的交点. 易得直线PA的解析式为y=x-. 解方程组 解得 点M的坐标为(1,0)或(-5,-)时,|PM-AM|的值最大.此时|PM-AM|的值为. 15.本小题10分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点点在点的左侧，抛物线的顶点为． 求抛物线的解析式及顶点的坐标 是线段上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，若，求点的坐标． 【答案】 (1)将点A(),B(-)的坐标分别代入y=-+bx+c, 得 解得 抛物线的解析式为y=--x+. y=--x+2=-+, 点D(-1,). (2)对于y=--x+2, 令y=0,则--x+2=0, 解得=1,=-3, 点C(). 设点P(m,0),其中-3m0,则点E(m,--m+2). PE=PC, --m+2=1-m, 解得=1(舍去),=-, 点E(-,).   16.本小题10分 某条河上有一座抛物线形石拱桥，水面宽时，水面离桥拱顶部的距离，建立平面直角坐标系如图所示． 求抛物线的函数解析式． 现有一艘装满货物的小船露出水面部分的高为，宽为这艘小船能从这座石拱桥下通过吗请说明理由． 【答案】 (1) 由题意,得A(-),B(),C(). 设抛物线的函数解析式为y=a+. 将A(-)代入, 得4a+2=0, 解得a=-. 抛物线的函数解析式为y=-+2.  (2)不能. 理由如下:当x=时,y=-+2=. <1, 这艘小船不能从这座石拱桥下通过.  17.本小题分 【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材 图是一座拱桥，图是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面上游水库开闸时，该河段水位在此基础上会再涨达到最高 素材 国庆节，拟在图所示的桥拱上悬挂“庆祝国庆”四个大字的长方形牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾长宽，下沿与水面平行，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于 【解决问题】 若桥拱所构成的曲线是抛物线，建立如图的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式． 请你设计方案：在的基础上，牌匾悬挂能否成功请说明理由． 【答案】 (1) 解:如图③所示,设点A,B,C. 由题意,得顶点的坐标为C(0,5),且抛物线经过点B(),A(-). 设该抛物线的函数解析式为y=a+5, 抛物线经过点B(), a+5=0, 解得a=-. 抛物线的函数解析式为y=-+. (2)根据题意,得安全高度为++1=4(m). 牌匾长8m,当x=4时,y=-+5=. >4, 牌匾悬挂能成功. 18.本小题分 在驾车行驶过程中，从司机发现前方道路有异常到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间在反应时间内汽车行驶的距离叫反应距离从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离． 某数学兴趣小组小组对车辆停车距离与行驶速度之间的关系进行研究，得到如下成果． 小聪：影响停车距离的主要因素有汽车的行驶速度与司机的反应时间其他因素忽略不计． 小明：停车距离反应距离制动距离． 小智：下面是反应距离与行驶速度的部分实验数据． 小慧：制动距离与行驶速度满足二次函数关系，其部分图象如图所示，其中原点为该二次函数图象的顶点． 【问题解决】 根据小智收集的实验数据可知，反应距离是行驶速度的          函数选填“一次”或“二次”，与的函数关系式为          ． 求停车距离与行驶速度之间的函数关系式． 某天小王开车在高速公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施经测量，小王的停车距离为已知该段公路最高限速为，请你判断小王是否超速，并说明理由． 【答案】 (1)一次;=v  (2)设与v的函数关系式为=a(a0). 图象经过点(100,60), 10000a=. 解得a=. 与v的函数关系式为=. d=+. d=+v. (3)没有超速. 理由如下: 当v=120时, d=+120=. d=+v=-. >0, 当v>0时,d随v的增大而增大. 105<, 停车距离为105m时的车速v小于120km/h. 小王没有超速. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $