海南省海口市国兴中学第二十五章一元二次方程和第十第二十六章二次函数单元练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数单元核心，通过毕业祝福、地铁里程等真实情境设计问题，强化运算能力与模型意识的自我评价卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/36|方程根的定义、应用题建模、二次函数性质|第2题毕业祝福情境考查方程应用，第5题表格数据分析培养抽象能力| |填空题|4/12|二次函数定义、增长率模型、等腰三角形方程应用|第14题地铁里程体现模型意识，第15题结合三角形三边关系考查推理能力| |解答题|6/72|方程解法、函数图像比较、利润最值问题|第20题销售利润强化应用意识，第12题函数与矩形边界交点渗透几何直观|

海南省海口市国兴中学2026年秋季九年级上册（第二十五章 一元二次方程和第十第二十六章 二次函数）自我评价练习卷人教版 时间：100分钟 满分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（12题，每小题3分，合计36分） 1．若是方程的根，则代数式的值为（） A．0 B．2023 C．2024 D．2025 2．育才中学九（1）班学生毕业时，老师要求每位同学向班上其他同学写一条毕业祝福语，全班共送出祝福语2070条，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，则可列方程（   ） A． B． C． D． 3．将一元二次方程配方，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若关于x的方程的两根之和是m，两根之积是n，则关于t的方程的两根之积是（    ） A． B． C． D． 5．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 6．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，y的值随x值得增大而减小 B．y有最大值，最大值为0 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．y的值随x值得增大而减小 7．有一个人患流感，经过两轮传染后共有个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A． B． C． D． 8．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 9．方程的解是（    ） A． B． C． D． 10．根据下面表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（   ） x A． B． C． D． 11．已知m，n是一元二次方程的两个根，则___________．（　　） A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为是轴上的点，四边形为矩形，．若抛物线与矩形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A．或 B． C．或 D． 二、填空题（4题，每小题3分，合计12分） 13．若关于的函数是二次函数，则的取值范围是________． 14．中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022年我国地铁运营里程约为0.8万公里．若2024年运营里程约为y万公里，运营里程的年平均增长率为x，则y关于x的函数表达式为__________________． 15．等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是_______． 16．如图，嘉淇从斜坡上的点O处抛出一个沙包，沙包运动路线的表达式为，若斜坡的坡度，则沙包在斜坡的落点A的垂直高度是___________． 三、解答题（6题，17-21每小题11分，22题17分合计72分） 17．解方程： 18．用适当的方法解方程： (1) (2) 19．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数与的图象，并说明这两个函数图象性质的相同点与不同点（从开口方向、开口大小、对称轴、顶点、增减性这5个方面进行说明）． 20．在淘宝网店，某种服装的进价为60元，据市场调查，当每件服装的销售价定为80元时，每月可卖200件，当每件的销售价每涨1元，每月的销售数量将减少5件，如果每件服装的销售价涨x元，当x为何值时，该月获得的总利润（元）最大？并求出最大利润？ 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 22．已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 试卷第2页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《海南省海口市国兴中学2026年秋季九年级上册（第二十五章 一元二次方程和第十第二十六章 二次函数）自我评价练习卷人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D C D B A D D B 题号 11 12 答案 C D 1．D 【分析】根据方程根的定义得到的值，再整体代入计算即可. 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 2．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；每个学生要向其他个学生共赠送祝福语条，则名学生共赠祝福语为条，由题意即可列出方程． 【详解】解：∵每个学生要向其他个学生共赠送祝福语条， ∴名学生共赠祝福语为条， 由题意得：； 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据解一元二次方程配方法进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则．利用换元的思想是解决问题的关键．先把方程看作关于的一元二次方程，则利用关于x的方程的两根为得到，然后利用根与系数的关系得到结论． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 设关于x的方程的两根为， 则方程的两根为， ∵关于x的方程的两根之和是m，两根之积是n， ， ． 故选：C． 5．D 【分析】此题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，直接找出使代数式的值等于2的值，这些值即为方程的根． 【详解】由表格可知，当时，；当时，． ∴方程的根是， ． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质逐选项判断即可． 【详解】解： ， 时，y的值随x值得增大而增大；A不正确； 当时，y有最大值，最大值为0，B正确； 当时，y的值随x值得增大而增大； 当时，y的值随x值的增大而减小，C不正确；D不正确； 故选：B． 7．A 【分析】传染问题中传染源传染后仍计入患病人数，设每轮传染中平均一个人传染人，根据两轮传染后总患病人数为列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为， 初始有人患病，第一轮传染后共有人患病，第二轮传染中，新增患病人数为，两轮后总患病人数为， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 则每轮传染中平均一个人传染的人数为． 8．D 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式，整理等式即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 展开整理得， 即， ∴，得， ∵， 等式两边同除以得． 9．D 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 根据直接开平方法解一元二次方程，然后判断即可． 【详解】解：， ∴， 解得，， 故选：D． 10．B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据表格可知， 当时，， 当时，， ∴当时，一个解x的取值范围是， 故选：B． 11．C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出和的值，再将通分变形，代入求值．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两根，则，是解题的关键． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴ ，． ∴ 故选：C． 12．D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合的能力；抛物线的顶点为，所以c的变化会使得抛物线沿着y轴上下移动，结合图象找到临界状态即可确定c的范围． 【详解】解：如图所示，由题意得，， 当抛物线经过C点时，抛物线与矩形边界只有一个公共点， 将代入得， 当抛物线经过A点时，抛物线与矩形边界只有一个公共点， 将代入得，解得， 由图象得：当时，抛物线与矩形边界会有两个公共点， 故选：D． 13． 【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，解题的关键是要读懂题目的意思，找到等量关系．先用x表示出2023年我国高铁的运营总里程，再表示出2024年我国高铁的运营总里程，然后根据已知条件列函数解析式即可． 【详解】解：2023年我国高铁的运营总里程：， 2024年我国高铁的运营总里程：， 根据题意，可列函数解析式为：．故选． 15．17 【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再利用等腰三角形的定义与三角形三边的关系可得到答案． 【详解】解：， 或， ，， 等腰三角形的腰为3，底边为7时，，不符合题意； 等腰三角形的腰为7，底边为3，， 等腰三角形的周长为． 故答案为： 17． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系，等腰三角形的定义，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 16． 【分析】先根据坡度定义设出点坐标，再结合抛物线过原点确定的值，最后求出点纵坐标．本题主要考查了二次函数的应用以及坡度的定义，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵ 斜坡的坡度， ∴ 设点的坐标为（）． ∵ 抛物线过原点， ∴ ， 解得或． ∵ 抛物线开口向下， ∴ ， ∴ ， ∴ 抛物线的表达式为． ∵ 点在抛物线上， ∴ ， 解得（舍去）或． 故答案为：． 17． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解本题的关键．用十字相乘法因式分解求出方程的根． 【详解】解：分解因式得：， 或， 解得：，． 18．(1) ， (2) ， 【分析】（1）先移项，再直接开方可得解； （2）先求出，再根据求根公式求出解． 【详解】（1）解：移项，得， 开方，得， 解得， ∴，； （2）解：， 由题意，得，，． ∵， ∴， ∴，． 19． 图象如图所示： 相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y轴． 不同点：①开口方向不同，函数的图象开口向上，函数的图象开口向下； ②增减性不同，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，当时，随x的增大而减小，函数随x的增大而增大； ③顶点不同，函数的图象的顶点坐标为，函数的图象的顶点坐标为 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的图像可得二次函数的性质，进行分析比较即可． 【详解】略 20．每件服装的销售价涨10元，该月获得的总利润（元）最大，最大利润为4500元 【分析】每件服装的销售价涨x元，获得利润为w元，根据总利润等于单件利润与销售量的乘积列出函数解析式，根据函数的性质求最值． 本题考查二次函数的应用，关键是利用等量关系写出函数解析式． 【详解】解：设每件服装的销售价涨x元，获得利润为元，由题意得： ， ，抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为4500， 每件服装的销售价涨10元，该月获得的总利润元最大，最大利润为4500元． 21．(1) 证明：∵ ∴该方程总有两个不相等的实数根； (2)或 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求证； （）利用根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∵， ∴， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴或． 22．(1)点在此抛物线上 (2)，理由： ∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越小， ∴． 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）略 答案第2页（共9页） 答案第1页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $