专题01 锐角三角函数（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦锐角三角函数定义、性质及应用，通过分层题型构建从基础到综合的知识逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|35题（7题型，每题型5题）|基础题型聚焦定义应用（格点图求值、边长计算）、特殊值运算及性质理解（增减性、互余关系）|从三角函数定义（正弦、余弦、正切）到特殊值记忆，再到性质推导，形成概念-性质-基础应用逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|18题（8单选+4填空+6解答）|综合题型结合几何综合（矩形折叠、网格问题）、实际应用（坡度计算）及代数推理|衔接基础题型，拓展至跨知识综合应用，体现从数学思维到数学语言表达的素养提升|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01锐角三角函数 内容概览 目常考题型精准突破 题型1正弦（重） 题型2余弦（重） 题型3正切（重） 题型4特殊三角函数值（高频） 题型5由三角函数值求角（难） 题型6锐角三角函数值增减性（难） 题型7互余三角函数关系（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 1.B2.A3.D4.C5.C 6.A 8.1 9.A 10.C 11.【详解】解：在RtABCD中，BC=12,BD=83, cos∠CBD= BC 123 BD8√52 ∠CBD=30°， BD平分∠ABC, .∠ABC=60°， 在Rt△ABC中，an60e-AC=4S-V5, BC-12 1/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=123 12.【详解】解：9-2cos30°+l-V3 =3-29w5-0 =3-V3+V3-1 =2. 18【联解1保民式=43-3号4-=48-5+2-万3-25 14.【详解】解：+(sim60°-π)°-v4 =1+1-2 =0」 15. 【详解】解：（π-3）°+4sin60°+l-V3 1+490 =1+2√5+V5-1 =35. 16【样解】解：-m42020+6如45-引方 1+1+3-5+5-2, 22 =1. 17.D 1 18.2 19.90°/90度 20.等边 21.C 217 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.A 23.< 24.B 25.sin31<V2 cos40°<tan46°<tan77°， 26.45°<<60° 27.C 28.B 29.C 30 31,62 32.B 33.B 34.A 35.D 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 题号 1 3 8 答案 B 二、填空题 9.0 10.7 11.30° 12. 3n6 三、解答题 3/7 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13. 【详解】解：V27-3tan30°+ =3v5-5+2, =2V3+2. 14.【详解】解：(sin6-cos8)=sin20+cos20-2sin0cos0=1-2 sincos0= 4 0°<0<45°， .sin0<cos0,即：sinθ-cos8<0, .sino-cos0=-3 2 15.【详解】解：(1)an60°an30°=5×5=1. 3 故答案为：1 (2):在Rt△ABC中，∠C是直角， .'tan A=BC AC, tan B=AC BC· .'tan Atan B= BC AC =1 AC BC (3)tan37°，cot37° 2sin60°-1W5-2 1 =tan37°.tan53°+ 1 2x5-1 2+V5 2 =1+ 1-2+5 √3-1 =1+5+1-2+5 2 3v3-1 2 16.【详解】(1)解：证明如下： :Rt△ABC中，∠C=90° C0sB=BC .'sinB=AC B’AB2=AC2+BC2, AB,cos'B=BC2 ..sin'B=4C2 AB2, 417 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .sin'B+cosB=4C2 BC2 AC2+BC2 AB2 AB2 AB2 AB21. (2)解：：sinB+cosB= .'(sinB+cosB)2 .sin2B+cos2B+2sinB.cosB= 49 25' .sin2B+cos2B=1, .'.1+2sinB.cosB= 49 25’ :.sinB·cosB= 12 25 17.【详解】(1)解：过点E作EF⊥AC,垂足为F, B E374F 671.57° D C.∠EFC=∠FCD=∠EDC=90° ∴.四边形EDCF是矩形， .DE=CF=130米， BE=80米， 在RtABEF中，∠BEF=37°， BF=BE.sin37°≈80×0.60=48（米）， :.BC=BF+CF=130+48=178(米)， ∴.高楼BC的高度约为178米 (2)解：过点E作EF⊥AC,垂足为F, k71.57° D C 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtABEF中，∠BEF=37°，BE=80米， .EF=BE.cos3.7°≈80×0.80=64（米）， 由(1)得：EF=CD=64米， 在Rt△ACD中，∠ADC=71.57°， .AC=CD.tan71.57°≈64×3=192（米）， BC=178米， .AB=AC-BC=192-178=14(米)， ∴.发射塔AB的高度约为14米 18.【详解】(1)证明：：BF⊥EF,DE⊥EF, .BF∥DE, EF∥BD, ∴.四边形BDEF为平行四边形， ,BF⊥EF, ∴.BDEF为矩形： (2)解：“BD平分∠ABC, tan∠ABD= 2 tan∠CBD=J 2’ .DG⊥AB,∠ACB=90°， .DG=DC 设DG=DC=x,则BC=BG=2x, .∠A=∠A,∠ACB=∠AGD=90°， .△ACBP△AGD, AD GD .AB BC' AD 1 即2x+42, .AD=x+2, 在Rt△AGD中，(x+2)=x2+42, x=3, .DC=3BC=6. :EF∥BD, 617 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DBC=∠BCF, ·tan∠DBC=tan/BCF= 2, 设BF=y,则CF=2y, 在Rt△BCF中，6=y2+(2y, 解得y=VS 5, ..BF=65 5· 717 专题01 锐角三角函数 常考题型·精准突破 题型1正弦（重） 题型2 余弦（重） 题型3 正切（重） 题型4 特殊三角函数值（高频） 题型5 由三角函数值求角（难） 题型6 锐角三角函数值增减性（难） 题型7 互余三角函数关系（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1正弦（重） 1．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取格点，连接，，由平行四边形的判定和性质，可得，故，由勾股定理的逆定理得到，在中，求出即可得到解． 【详解】如图，取格点，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，，， ，， ， ， ， ． 2．如图，中，，斜边，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数的定义，在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，在，，根据余弦函数的定义即可求得． 【详解】解：三角形为直角三角形， ， ， ． 3．在中，，若将三边的长都缩小为原来的，则锐角的三角函数值（   ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的3倍 C．只有发生变化 D．都不变 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数的定义，解决本题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 根据三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的三角函数值只与角的大小有关，与边的长度无关，当三边同比例变化时，三角函数值不变，由此判断选项即可． 【详解】解：设原中，，，， 则，，， ∵三边都缩小为原来的， ∴，，， ∴， 同理，， ∴锐角A的三角函数值都不变． 故选：D． 4．在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．由的值设，，利用勾股定理求，再根据的定义计算 【详解】解：∵在中，，若 ， ∴设，， 由勾股定理，， ∴． 故选：C． 5．在中，，，，则的长为（     ） A．5 B．12 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义，利用余弦的定义列等式即可直接求出的长度． 【详解】解：∵在中，， 根据锐角余弦的定义可得 ， 又∵，， 代入得 ∴． ◆题型2 余弦 6．如图，在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 7．在中，，，，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出直角边的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 根据正切的定义，． 8．如图，是方格纸上的格点，则的值为__________． 【答案】1 【分析】连接，由网格可知：，则有，然后根据正切的定义进行求解即可． 【详解】解：连接， 由网格可知：， ∴， ∴， ∴． 9．如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先得出是直角三角形，且，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴在中，． 10．中，，下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据锐角三角函数的定义计算各选项的值，即可得到正确结论． 【详解】∵在中，，，， ∴由勾股定理得 ， 根据锐角三角函数定义判断： ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． ◆题型3 正切（高频） 11．如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 【答案】 【分析】求出的值，可知，根据角平分线的定义得到，根据计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 平分， ， 在中，， ． 12．计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根、特殊角的三角函数值并化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】解： ． 13．计算：． 【答案】 【分析】先进行负整数指数幂、立方根、特殊角三角函数值的计算及化简绝对值，再进行二次根式的加减即可． 【详解】解：原式． 14．计算：． 【答案】 【分析】先分别计算绝对值、零指数幂、算术平方根，再算加减法．任意非零数的零指数幂等于1． 【详解】解： ． 15．计算： 【答案】 【分析】根据指数幂的法则可得：，根据特殊角的三角函数值可得：，根据绝对值的定义可得：，再根据运算法则进行计算． 【详解】解： ． ◆题型4 特殊三角函数值 16．计算：； 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ． 17．若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为同类型三角函数，即可求出的取值范围． 【详解】解：，且 原不等式可化为 是锐角，正弦函数在之间随角度增大而增大， ． 18．如图，中，，，；_______． 【答案】 【分析】过点作于点，构造直角三角形，在中，利用锐角三角函数定义及勾股定理求出和的长；在中，利用特殊角的三角函数值求出的长；进而求出的长，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点， 在中，，，， ， 根据勾股定理，得， 在中，，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． 19．在中，若，满足 则的度数为________． 【答案】/90度 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴ 20．在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【答案】等边 【分析】先根据特殊角的三角函数值得到和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形的分类判断三角形类型． 【详解】解：在中，，都是锐角，，， ，， ， 的三个内角都是， 因此是等边三角形． ◆题型5 由三角函数值求角 21．若为锐角，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵为锐角， ∴也是锐角， ∵，且， ∴， ∴． 22．比较与的大小，结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．以上情况都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角函数，利用互余角的三角函数转换关系，将余弦值转化为正弦值，再根据锐角正弦函数的增减性比较大小． 【详解】解：， ， 在范围内，正弦函数值随角度增大而增大， 又， ， 即． 23．比较大小：__________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【分析】本题主要考查了正弦、余弦的性质，掌握当锐角时，正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小是解题的关键． 根据正弦、余弦的性质求解即可． 【详解】解：∵正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小， ∴， ∴，即． 故答案为：<． 24．下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，特殊角三角函数值，熟练掌握锐角三角函数的增减性及特殊角三角函数值是关键．根据锐角三角函数的增减性及特殊角三角函数值，先判断，再判断，再结合， 即可判断答案． 【详解】解：锐角的余弦值随角度增大而减小，且， ， 锐角的正弦值随角度增大而增大， ， 锐角的正切值随角度增大而增大，且， ， 综上所述，的值最大． 故选：B． 25．以“<”连接以下五个值，，，，：_____． 【答案】 【分析】本题考查了正弦、余弦和正切的定义及角度正弦、余弦、正切值的大小比较，先将进行转化，分别将，与进行比较，从而得出三者关系，再将和进行比较，得出二者关系，最后比较和发现前者小于1，后者大于1，从而得出最终比较结果． 【详解】解：， ∵， ∴， 又∵， 而在余弦中，角度越大，余弦值越小， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． ◆题型6 锐角三角函数值增减性 26．锐角满足，且，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键． 根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 故答案为：． 27．在中，，若实数，是方程的两根，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形三角函数关系，一元二次方程根与系数的关系求解，先利用直角三角形两锐角互余得到，再结合同角三角函数平方关系，通过根与系数关系建立关于的方程，最后根据三角函数值的正负性筛选符合条件的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在中，， 则，， ∴， 又∵， ∴， ∵，是方程的两根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∵， 将代入得：， 整理得：， 两边同乘（）：， 整理得：， 解得， 即或， ∵，， ∴，得， ∴， 故选：． 28．设，则用a可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正切函数的性质，熟练掌握两个互余角的正切值乘积为1是解题的关键．对于锐角，有，由题意即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选B． 29．在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系：若，那么或．利用互余两角三角函数的关系直接求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 30．已知，如图，在中，，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦与余弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义可得，再根据余弦的定义即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． ◆题型7 互余三角函数关系 31．若，且是锐角，则_____度． 【答案】62 【分析】此题考查了正弦和余弦的互余关系，利用正弦和余弦的互余关系求解． 【详解】解：∵，，且是锐角， ∴． 故答案为：62． 32．如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长，交网格于格点，连接，设网格小正方形边长为1，利用勾股定理求出，，，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，根据三角函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，延长，交网格于格点，连接， 设网格小正方形边长为1， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴． 33．如图在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据网格结构确定直角三角形的直角边长，利用勾股定理求出斜边长，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，为直角三角形，， 网格小正方形边长为 1， ，， 由勾股定理得， ． 【点睛】 34．如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据正弦定义可知，两边同时乘以可得米，所以小旺下降的高度为米． 【详解】解：如下图所示， 在中，，，米， ， ， 米， 小旺下降的高度为米． 35．如图，在中，，将沿向右平移得到，的对应边恰好经过的中点，连接，若，，则的长为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的性质得出，利用三角函数求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：将沿向右平移得到， ， ，， ， ，是的中点， ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．在中，，下列等式不一定成立的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义逐项验证即可得到答案． 【详解】解：、， ，故本选项不符合题意； B、， ，故本选项不符合题意； C、， ，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形中互余两角三角函数的关系以及三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是关键． 2．在Rt中，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据余弦的定义计算的值即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∴． 3．已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案 【详解】解：，， 由可得， 在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键． 4．在中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用非负数相加和为0则每一项都为0，求出和的度数，再根据三角形内角和计算即可. 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，， ∵ 在中，，， ∴，， ∵ 三角形内角和为， ∴. 5．如图，在矩形纸片中，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可知，，，， ∴在和中，， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得：，则， ∴． 6．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在格点上，连接、，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图所示，连接，证明，再进一步求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 根据网格得到，， ∴， ∴， ∴ ． 7．如图，已知，，点到线段的距离为，，则的长度为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】连接，延长交于点E，可知是线段的垂直平分线，根据三线合一得到，，根据三角函数可知的长度． 【详解】解：如图，连接，延长交于点E， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵点到线段的距离为， ∴， ∴． 8．如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，点在边上，连接交于点，将沿折叠得到，点落在上的处，若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是能够熟练掌握相关性质，理清楚线段之间的关系，正确求出的面积． 在正方形中，，，，由折叠的性质可得，，，根据平行线分线段成比例的性质可得，即，根据特殊角的三角函数值可得，并求得，求得的面积，即可求解． 【详解】解：在正方形中，，，，， 由折叠的性质可得，，，， ∵点，分别是边，的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，解得， ∴， ，C选项符合题意． 二、填空题 9．计算：s___________． 【答案】0 【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系．根据平方关系，倒数关系，互余关系，进行求解即可．掌握三角函数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：0． 10．若，则________． 【答案】7 【详解】解：由特殊锐角的三角函数值可知：． 已知因此可得 得． 11．已知α为锐角，，则____． 【答案】 【分析】根据和已知条件求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵α为锐角， ∴． 12．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为__________． 【答案】 / 【分析】作于点，根据等积法求出的长，结合勾股定理及正切定义直接求解即可得到答案． 【详解】解：作于点， 则，， ∴， 解得：，， ∴． 三、解答题 13．计算：． 【答案】 【详解】解：， ， ． 14．已知，其中，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了利用同角三角函数关系求值，先求出，再结合，即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，即：， ． 15．（1）计算的结果为______； （2）在RtABC中，∠C是直角，求证：． （3）根据（2）中的结果，计算：． 【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． （1）代入特殊角的三角函数值计算，即可得答案； （2）根据正切的定义即可得结论； （3）根据相关角的三角函数之间的关系，代入特殊角的三角函数值，再化简绝对值，计算即可得答案． 【详解】解：（1）． 故答案为： （2）∵在中，是直角， ∴，， ∴． （3） ． 16．如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可． （1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可； （2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出． 【详解】（1）解：证明如下： ∵中，， ∴，，， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图，某高楼顶部有一发射塔，已知和处于同一水平面上有一高楼，其高度为130米，在楼底端点测得的仰角为，在高楼的顶端点测得的仰角为，，之间的距离为80米，、、在同一直线上，且，． (1)求高楼的高度； (2)求发射塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)高楼的高度约为178米 (2)发射塔的高度约为14米 【分析】过点作于，构造矩形与直角三角形： （1）利用的米、，求出与，结合米得到； （2）由矩形性质得，再在中利用求出，最后得到发射塔高度． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ， 四边形是矩形， 米， 米， 在中，， （米）， （米）， 高楼的高度约为178米． （2）解：过点作，垂足为， 在中，，米， （米）， 由（1）得：米， 在中，， （米）， 米， （米）， 发射塔的高度约为14米． 18．如图，在中，，平分交于点，过点作，于点，于点，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴为矩形； (2) 【分析】（1）由两组对边分别平行可证四边形是平行四边形，再由，即可证明题目； （2）由题意可证，设，因为，则，证明，得，则可知，在中根据勾股定理可求，则，因为，所以，则，设，在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴ 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得， ∴． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 锐角三角函数 常考题型·精准突破 题型1正弦（重） 题型2 余弦（重） 题型3 正切（重） 题型4 特殊三角函数值（高频） 题型5 由三角函数值求角（难） 题型6 锐角三角函数值增减性（难） 题型7 互余三角函数关系（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1正弦 1．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，中，，斜边，则的长度是（     ） A． B． C． D． 3．在中，，若将三边的长都缩小为原来的，则锐角的三角函数值（   ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的3倍 C．只有发生变化 D．都不变 4．在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．在中，，，，则的长为（     ） A．5 B．12 C．13 D．15 ◆题型2 余弦 6．如图，在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．在中，，，，则的值为________． 8．如图，是方格纸上的格点，则的值为__________． 9．如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则（     ） A． B． C． D． 10．中，，下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． ◆题型3 正切 11．如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 12．计算：． 13．计算：． 14．计算：． 15．计算： ◆题型4 特殊三角函数值 16．计算：； 17．若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 18．如图，中，，，；_______． 19．在中，若，满足 则的度数为________． 20．在中，、都是锐角，，，则是______三角形． ◆题型5 由三角函数值求角 21．若为锐角，且，则为（    ） A． B． C． D． 22．比较与的大小，结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．以上情况都有可能 23．比较大小：__________．（填“>”“=”或“<”） 24．下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（    ） A． B． C． D． 25．以“<”连接以下五个值，，，，：_____． ◆题型6 锐角三角函数值增减性 26．锐角满足，且，则的取值范围为___________． 27．在中，，若实数，是方程的两根，则（   ） A．或 B． C． D．或 28．设，则用a可表示为（    ） A． B． C． D． 29．在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 30．已知，如图，在中，，若，则______． ◆题型7 互余三角函数关系 31．若，且是锐角，则_____度． 32．如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 33．如图在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（     ） A． B． C． D． 34．如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 35．如图，在中，，将沿向右平移得到，的对应边恰好经过的中点，连接，若，，则的长为（     ） A．3 B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．在中，，下列等式不一定成立的（　　） A． B． C． D． 2．在Rt中，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 4．在中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形纸片中，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在格点上，连接、，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知，，点到线段的距离为，，则的长度为（    ） A． B．1 C．2 D． 8．如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，点在边上，连接交于点，将沿折叠得到，点落在上的处，若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．计算：s___________． 10．若，则________． 11．已知α为锐角，，则____． 12．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为__________． 三、解答题 13．计算：． 14．已知，其中，求的值． 15．（1）计算的结果为______； （2）在RtABC中，∠C是直角，求证：． （3）根据（2）中的结果，计算：． 16．如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 17．如图，某高楼顶部有一发射塔，已知和处于同一水平面上有一高楼，其高度为130米，在楼底端点测得的仰角为，在高楼的顶端点测得的仰角为，，之间的距离为80米，、、在同一直线上，且，． (1)求高楼的高度； (2)求发射塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，，，） 18．如图，在中，，平分交于点，过点作，于点，于点，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $