专题03 配方法的应用（一题三练·专项突破）2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以配方法为核心，通过7类递进题型构建从代数到几何再到创新应用的完整训练体系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |配方法应用|7题型，含例题+变式|聚焦“化完全平方+非负性质”，提炼配方步骤与多情境迁移技巧|从方程配方（基础）→比较大小/单双变量最值（代数应用）→图形面积/三角形形状（几何应用）→新定义问题（创新应用），形成“概念-性质-应用”逻辑链|

专题03 配方法的应用 【新人教版】 【题型1 利用配方法求值】...................................................................................................................................1 【题型2 利用配方法比较大小】...........................................................................................................................3 【题型3 利用配方法求最值1——单变量】........................................................................................................5 【题型4 利用配方法求最值2——双变量】........................................................................................................9 【题型5 利用配方法求最值3——图形面积】..................................................................................................12 【题型6 利用配方法判断三角形形状】.............................................................................................................18 【题型7 利用配方法解决新定义问题】.............................................................................................................23 题型1 利用配方法求值 【例1】（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（   ） A．4， B．4， C．4， D．4， 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，由得，，推出即可求解； 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：A 【变式1-1】（25-26九年级上·山东青岛·期中）已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，解题的关键是将配方后的方程展开，与原方程对比系数求的值． 先将展开为，整理成一般式，再与原方程对比，得到． 【详解】配方后得到 ， 展开得 ， 即 ， 又原方程为 ， ． 故选B 【变式1-2】（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ） A．1 B．5 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 通过完成平方将方程化为的形式，直接计算n的值即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴． 故选D． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·期末）用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A．2028 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出、的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程， ∴移项得， 配方得，即， 与比较，得，， ∴， 故选：B． 题型2 利用配方法比较大小 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）若，，为实数，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．的大小关系与的取值有关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，配方法的应用．直接利用整式的加减运算法则结合偶次方的性质得出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 【变式2-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）我们知道：，所以． 解答下列问题： (1)填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） (2)已知，请判断的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)2；1； (2)．理由如下： ， ． ， 即， ． 【分析】（1）根据差值比较法比较两式大小即可； （2）求出，据此得出结论即可； 【详解】（1）解：设， 则． 所以，； （2）略 题型3 利用配方法求最值1——单变量 【例3】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知代数式， (1)用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1) 证明： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)当时，代数式的值最小，最小值为1 【分析】本题主要考查了在代数式中配方法的运用，抛物线的最值等知识，熟练掌握配方法的运用是解题关键． （1）首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是正数； （2）设代数式的值为y，根据二次函数的图像与性质可求出最值． 【详解】（1）略 （2）解：令， ∴， ∵， ∴函数开口向上，有最小值， ∴当时，最小值为1． 【变式3-1】（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，为内一点，．若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查的是旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及配方法的应用．把绕点逆时针旋转得到，作于，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和配方法计算可得出答案． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到，作于， 则， ， ，， 由勾股定理得 ， ， 在中， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2) ，理由如下： ， ． 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）略 【变式3-3】（25-26九年级上·海南海口·期中）阅读与思考 配方法：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到． 即的最小值为2．进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)用配方法因式分解：（写过程）； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)25 (2) (3)当时，多项式有最小值，最小值为5 【分析】本题考查了配方法的应用，熟悉掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法解答即可； （2）利用配方法因式分解即可； （3）利用配方法，先把原式化为，再利用平方的非负性解答即可． 【详解】（1）解： 故答案为：25； （2）解： ； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为5． 题型4 利用配方法求最值2——双变量 【例4】（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，即得，进而即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用、非负数的性质，依据题意将化为，又对于任意的，都有，，进而得解．熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 【详解】解：∵ ， 又∵对于任意的，都有，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级上·广西河池·期中）阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方： ； 请根据阅读材料解决下列问题： (1)【直接应用】，将代数式配方：______； (2)【类比应用】已知，求的值； (3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，得，即可作答． （2）先整理原式为，再结合非负性，得出，，然后代入计算，即可作答． （3）先整理原式为，因为，所以当，时，取得最小值，最小值为16，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴配方得：， 即， ，， 故． （3）解：依题意， ， ， ，时， 即当，时，则， 即取得最小值，最小值为16． 题型5 利用配方法求最值3——图形面积 【例5】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ． (3)如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 【答案】(1)，小， (2)，大， (3)当宽是，高是时，窗户的透光面积最大 【分析】本题考查了配方法的应用及不等式的基本性质，熟练掌握配方法变形二次三项式及不等式的基本性质是解题的关键． （1）利用利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解； （2）先利用配方法将二次三项式变形，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解； （3）窗框的宽度为，则高度为，则，利用配方法变形二次三项式，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 当，即时，代数式有最小值， 故答案为：，小，； （2） ， ， ， ， 当，即时，代数式有最大值， 故答案为：，大，； （3）窗框的宽度为，则高度为， 窗户的透光面积 ， ， ， ， 当，即时，代数式有最大值，即窗户的透光面积最大为， 此时窗框的高为， 答：当宽是，高是时，窗户的透光面积最大． 【变式5-1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）（1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当t的值为2时，的面积最大，最大值为 【分析】本题考查配方法的应用： （1）利用配方法求解； （2）利用配方法得出，即可求解； （3）用含t的式子表示出的面积，再利用配方法求解． 【详解】解：（1）， ，； 故答案为：； （2）， 当时，代数式有最小值，最小值是； 故答案为：； （3）解：由题意得：，则， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴当时，有最大值，最大值为4． 即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 【变式5-2】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ． ∵， ∴． ∴当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ． ∵， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值是-1． (1)【直接应用】若，试求的最小值； (2)【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1)2020 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）根据已知得出，即可求解； （2）设垂直于墙的一边长为，则另一边长为，得出，即可求解． 【详解】（1）解：（1）． ∵，， ∴． ∴的最小值是. （2）设垂直于墙的一边长为，则另一边长为， 根据题意，得． ∵，∴．∴． ∴当时，有最大值，最大值是． ∴围成的菜地的最大面积是． 【变式5-3】（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： (1)将配方成的形式为：_________________________； (2)利用配方法分解因式：_________________________； (3)多项式的最小值为_________________________； (4)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________． 【答案】(1) (2) (3)2026 (4)8 【分析】本题主要考查配方法及因式分解，解题的关键是理解题意； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据配方法进行因式分解即可； （3）先对代数式进行配方，然后再根据偶次幂的非负性进行求解即可； （4）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：； ∴将配方成的形式为：； （2）解：； （3）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为2026； （4）解：如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，四边形面积有最大值，最大值为8． 题型6 利用配方法判断三角形形状 【例6】（25-26九年级上·河南周口·期末）先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． (1)已知，求的值； (2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 【答案】(1)，； (2) 解：是等腰三角形，理由， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰三角形． 【分析】本题考查了配方法的应用，等腰三角形定义，掌握完全平方公式、非负数的性质是解题的关键． （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出即可； （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出，根据等腰三角形的概念解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （2）略 【变式6-1】（25-26八年级下·河南信阳·期末）先阅读，再解答 例：，求的值． 解： 即： (1)已知，求的值； (2)已知、、为的三边，且满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：是等边三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， 即：， 是等边三角形． 【分析】本题考查了配方法的应用以及非负数的性质，等边三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式把原式变形为，再根据完全平方的非负性求出和的值，即可求出的值． （2）利用完全平方公式，把原式变形为，再根据完全平方的非负性．确定、及的关系式，即可作出判断． 【详解】（1）解：， ， 即， ， ， ， ； （2）略 【变式6-2】（25-26八年级下·河南南阳·期中）阅读材料：若，求、的值． 解：∵ ∴ ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，解答下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知、、为三边，且，判断的形状． 【答案】(1) (2)为等边三角形 【分析】（1）根据完全平方公式，有理数的乘法运算即可求解； （2）根据完全平方公式，平方数的非负性即可求解． 【详解】（1）解： ∴，， ∴． （2）解： ∴，，，即， ∴为等边三角形． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，及非负性，掌握完全平方公式，非负性是解题的关键． 【变式6-3】（25-26八年级下·广东深圳·期中）阅读材料：若，求m，n的值． 解：，， ，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则_______， _______； (2)已知的三边长a 、b 、c都是正整数，且满足，求的周长． (3)已知a、b、c分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，1； (2)9； (3) 解： 由， 配方可得， 即， ， ，     三角形为等边三角形. 【分析】本题考查配方法的应用，解题关键是掌握完全平放式的非负性，熟练掌握配方法． (1)(2)(3)都是用完全平方公式进行配方，再利用偶次方的非负性得平方为0的数只有0，从而分别得解. 【详解】（1）解：由：，得： ， ， ， ， ， ，． 故答案为：； 1． （2）解：由得： ， ， ， ，； 已知的三边长a 、b 、c都是正整数，由三角形三边关系知， 的周长为9． （3）略 题型7 利用配方法解决新定义问题 【例7】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 【变式7-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题，我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）下列各数中，“完美数”有______（只填序号）； ①10；②24；③34；④60 【探究问题】 （2）若可配方成（m，n为常数），求的值； 【拓展应用】 （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，求符合条件的k的值． 【答案】（1）①③；（2）6或；（3）5 【分析】本题考查新定义、配方法的应用，理解题中新定义是解答的关键． （1）根据题中定义判断即可； （2）先配方求得m、n值，进而代值求解即可； （3）利用完全平方公式配方得，根据题中定义可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴10和34是“完美数”， 故答案为：①③； （2）由题意，得． ∵可配方成， ∴， ∴，或． 当，时，； 当，时，， 即的值为6或； （3）由题意，得． ∵S为“完美数”， ∴， ∴． 【变式7-2】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是 ． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为 ； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【答案】(1)8，10 (2)6 (3) (4) 解：设，（a、b、c、d为整数）， ∴， ． 又∵a、b、c、d为整数， ∴，均为整数， ∴是“雅美数”． 【分析】本题主要考查了配方法的应用、完全平方公式、偶次方的非负性等知识点，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题关键． （1）根据“雅美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后比较，即可求得对应系数的值； （3）配方后根据非负数的性质可得x、y的值，再根据“雅美数”的定义列式计算即可； （4）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论即可． 【详解】（1）解：8是“雅美数”，理由：因为； 10是“雅美数”，理由：因为． 故答案为：8，10． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：6． （3）解：， 又∵，， ∴ ∴， ∴． （4）略 【变式7-3】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，(x，y是整数)，所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 (1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； ①；    ②；     ③． 【探究问题】 (2)若可配方成，为正整数），则的值为 ； (3)已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【拓展应用】 (4)已知实数，均满足，求代数式 的最小值． 【答案】（1）②； （2）9； （3）解:，理由如下： ， 要使为“完美数”， 则需为完全平方式， 故， 此时，符合“完美数”定义， ； （4） 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，据此求解即可； （4），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ； 所以,不能表示成 (a，b是整数)的形式，不是完美数 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3）略 （4）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 配方法的应用 【新人教版】 【题型1 利用配方法求值】....................................................................................................................................1 【题型2 利用配方法比较大小】............................................................................................................................1 【题型3 利用配方法求最值1——单变量】.........................................................................................................2 【题型4 利用配方法求最值2——双变量】.........................................................................................................3 【题型5 利用配方法求最值3——图形面积】.....................................................................................................4 【题型6 利用配方法判断三角形形状】................................................................................................................6 【题型7 利用配方法解决新定义问题】................................................................................................................8 题型1 利用配方法求值 【例1】（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（   ） A．4， B．4， C．4，-11 D．4，-21 【变式1-1】（25-26九年级上·山东青岛·期中）已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为（    ） A．-1 B．-3 C．-4 D．4 【变式1-2】（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ） A．1 B．5 C．16 D．17 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·期末）用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A．2028 B．-2028 C．2024 D．-2024 题型2 利用配方法比较大小 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【变式2-1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）若，，为实数，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．的大小关系与的取值有关 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 【变式2-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）我们知道：，所以． 解答下列问题： (1)填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） (2)已知，请判断的大小关系，并说明理由． 题型3 利用配方法求最值1——单变量 【例3】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知代数式， (1)用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【变式3-1】（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，为内一点，．若，则的最小值为________． 【变式3-2】（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【变式3-3】（25-26九年级上·海南海口·期中）阅读与思考 配方法：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到． 即的最小值为2．进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)用配方法因式分解：（写过程）； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 题型4 利用配方法求最值2——双变量 【例4】（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 【变式4-3】（25-26九年级上·广西河池·期中）阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方： ； 请根据阅读材料解决下列问题： (1)【直接应用】，将代数式配方：______； (2)【类比应用】已知，求的值； (3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 题型5 利用配方法求最值3——图形面积 【例5】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ． (3)如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 【变式5-1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）（1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【变式5-2】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ． ∵， ∴． ∴当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ． ∵， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值是-1． (1)【直接应用】若，试求的最小值； (2)【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【变式5-3】（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： (1)将配方成的形式为：_________________________； (2)利用配方法分解因式：_________________________； (3)多项式的最小值为_________________________； (4)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________． 题型6 利用配方法判断三角形形状 【例6】（25-26九年级上·河南周口·期末）先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． (1)已知，求的值； (2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 【变式6-1】（25-26八年级下·河南信阳·期末）先阅读，再解答 例：，求的值． 解： 即： (1)已知，求的值； (2)已知、、为的三边，且满足，判断的形状，并说明理由． 【变式6-2】（25-26八年级下·河南南阳·期中）阅读材料：若，求、的值． 解：∵ ∴ ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，解答下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知、、为三边，且，判断的形状． 【变式6-3】（25-26八年级下·广东深圳·期中）阅读材料：若，求m，n的值． 解：，， ，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则_______， _______； (2)已知的三边长a 、b 、c都是正整数，且满足，求的周长． (3)已知a、b、c分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 题型7 利用配方法解决新定义问题 【例7】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题，我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）下列各数中，“完美数”有______（只填序号）； ①10；②24；③34；④60 【探究问题】 （2）若可配方成（m，n为常数），求的值； 【拓展应用】 （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，求符合条件的k的值． 【变式7-2】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是 ． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为 ； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【变式7-3】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，(x，y是整数)，所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 (1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； ①；    ②；     ③． 【探究问题】 (2)若可配方成，为正整数），则的值为 ； (3)已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【拓展应用】 (4)已知实数，均满足，求代数式 的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $