专题02 解一元二次方程（一题三练·专项突破）2026-2027学年数学人教版九年级上册
2026-09-15
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摘要：
**基本信息**
以题型分层为框架，通过“例题+变式”梯度设计，覆盖7类解一元二次方程方法，从单一技能到综合应用，培养运算能力与推理意识。
**分层设计**
|层次|知识覆盖|设计特色|
|----|----------|----------|
|基础理解层|单一解法直接应用|例题为选择/填空题，变式1-1为基础解答题，巩固概念|
|技能应用层|不同情境解法深化|变式1-2/1-3结合地区开学考真题，提升运算准确性|
|综合迁移层|方法选择与跨知识应用|题型6需优化解法，题型7将分式方程转化为一元二次方程，体现模型意识|
内容正文：
专题02 解一元二次方程
【新人教版】
【题型1 解一元二次方程——直接开平方法】...................................................................................................1
【题型2 解一元二次方程——配方法】...............................................................................................................3
【题型3 解一元二次方程——公式法】...............................................................................................................5
【题型4 解一元二次方程——因式分解法】.......................................................................................................8
【题型5 解一元二次方程——换元法】.............................................................................................................10
【题型6 用适当的方法解一元二次方程】.........................................................................................................14
【题型7 解分式方程（化为一元二次方程）】...................................................................................................17
题型1 解一元二次方程——直接开平方法
【例1】（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程，使用移项、直接开平方的方法即可得到结果．
【详解】∵，
∴，
故．
【变式1-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：，
，
，
，
即，；
（2）解：，
，
或，
解得，．
【变式1-2】（26-27九年级上·全国·随堂练习）解下列方程：
(1)．
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用直接开方法求出的值即可；
（2）先化简，再利用直接开方法求出的值即可．
【详解】（1）解：直接开平方，得，
解得，．
（2）解：方程可化为，
则，
直接开平方，得，
解得，．
【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：，
，
，
，，
，；
（2）解：，
，
，
，
，，
，．
题型2 解一元二次方程——配方法
【例2】（26-27九年级上·北京东城·开学考试）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
，
．
【变式2-1】（25-26九年级下·山东威海·期中）一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：
方程配方后得到．
【变式2-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】按照配方的方法步骤解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
∴，．
（2）解：，
，
，
，
，
，
∴，．
【变式2-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：，
，
，
，
∴，
∴，；
（2）解：，
，
，
，
，
∴，
∴，．
题型3 解一元二次方程——公式法
【例3】（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得，
∴，解得，
，解得，
对比根号内的项，得
，
将代入，得，
∴原方程为．
【变式3-1】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）用公式法解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：即，
∴，
，
∴，.
（2）解：，
∴，
，
∴，．
【变式3-2】（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）解方程：
(1)（配方法）
(2)（公式法）．
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：整理得，
配方得，即，
∴或，
解得，；
（2）解：，
，，，
，
∴，
解得，．
【变式3-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：，
，
∴,
∴，
∴，
解得：；
（2）解：
，
∴，
∴，
∴，
解得：．
题型4 解一元二次方程——因式分解法
【例4】（2026九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的两个根是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【详解】解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：或，
∴方程的两个根为，．
【变式4-1】（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：，
移项，得：，
提取公因式，得：，
∴或，
解得：，；
（2）解：，
根据平方根的性质，得：，
∴或，
解得：，．
【变式4-2】（26-27九年级上·河南信阳·开学考试）解一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：
或
，
（2）解：
或
，
【变式4-3】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）用因式分解法解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，；
(2)，．
【详解】（1）解：原方程可变形为，
提取公因式得，
即，
因此或，
解得，；
（2）解：移项整理原方程得，
因式分解得，
因此或，
解得，．
题型5 解一元二次方程——换元法
【例5】（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（ ）
A． B．
C． D．，方程无实数解
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键．
通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程．
【详解】令，则方程化为,
∵方程的解为，，
∴或，
∴或，
解得或
∴新方程的解为，
故选：A．
【变式5-1】（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）已知实数满足，则的值为（ ）
A．或1 B．或6 C．6 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．
将看做一个整体，代入求解，再根据判断即可．
【详解】，
设，
∵实数满足，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴的值为．
故选：D．
【变式5-2】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程化为，
解得，．
或．
，．
以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
，，，
(2)
，，
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键．
（1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程；
（2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程．
【详解】（1）解：设，则原方程化为，
，
或，
或，
或，
原方程的解为，，，；
（2）解：原方程为，
即，
设，则原方程化为，
，
或，
或，
或，
对于，即，
，
，
对于，即，
，
，
原方程的解为，，．
【变式5-3】（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）【阅读材料】解方程：．
解∶设，则原方程变为，
解得，．
当时，，解得．
当，解得．
所以，原方程的解为．
【问题解决】
(1)利用上述方法，解方程：；
(2)利用上述方法，解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键：
（1）利用换元法解方程即可；
（2）利用换元法解方程即可．
【详解】（1）解：设，则原方程化为，
解得，
当当时，，解得．
当时，，解得．
所以，原方程的解为．
（2），
，
设，则原方程化为，
解得，
当当时，，解得．
当时，，此方程无实数根．
所以，原方程的解为．
题型6 用适当的方法解一元二次方程
【例6】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：，
，
，
或，
解得；
（2）解：，
，
，
或，
．
【变式6-1】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
，
(2)
，
【分析】（1）用直接开方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
或，
∴，；
（2）解：，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
∴，．
【变式6-2】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：，
，
或，
解得；
（2）解：，
，
，
∴，
∴．
【变式6-3】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）解下列方程：
(1) ；
(2)；
(3)；
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
【详解】（1）解：整理，得，
∴，
∴或
解得，；
（2）解：移项，得，
∴，
∴，
解得，；
（3）解：整理，得，
∵，
∴，
∴，．
题型7 解分式方程（化为一元二次方程）
【例7】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）解方程：．
【答案】，
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】解：，
方程去分母得：，
整理得：，
，
∴或，
解得：，
检验：当时，，
当时，，
故原方程的解为，．
【变式7-1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）解分式方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得，
经检验，都是原方程的解，
∴原方程的解为．
【变式7-2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤．
（1）先去分母，再解一元二次方程，最后检验即可；
（2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验即可．
【详解】（1）解：
，
解得，，
经检验，，都是原方程的解，
∴原方程的解为，；
（2）解：
方程两边同乘以，得，
解得，，
经检验，是方程的解，
∴原方程的解为．
【变式7-3】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）计算
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)原方程无实数解
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：，
两边同乘去分母得，
展开得，
整理得，
∵，
∴整式方程无实数解，
综上所述，原方程无实数解．
1
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专题02 解一元二次方程
【新人教版】
【题型1 解一元二次方程——直接开平方法】...................................................................................................1
【题型2 解一元二次方程——配方法】...............................................................................................................1
【题型3 解一元二次方程——公式法】...............................................................................................................2
【题型4 解一元二次方程——因式分解法】.......................................................................................................2
【题型5 解一元二次方程——换元法】...............................................................................................................3
【题型6 用适当的方法解一元二次方程】...........................................................................................................4
【题型7 解分式方程（化为一元二次方程）】.....................................................................................................5
题型1 解一元二次方程——直接开平方法
【例1】（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程：
(1)；
(2)．
【变式1-2】（26-27九年级上·全国·随堂练习）解下列方程：
(1)．
(2)．
【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程：
(1)；
(2)．
题型2 解一元二次方程——配方法
【例2】（26-27九年级上·北京东城·开学考试）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（25-26九年级下·山东威海·期中）一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【变式2-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程：
(1)；
(2)．
题型3 解一元二次方程——公式法
【例3】（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）用公式法解下列方程：
(1)
(2)
【变式3-2】（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）解方程：
(1)（配方法）
(2)（公式法）．
【变式3-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程．
(1)；
(2)．
题型4 解一元二次方程——因式分解法
【例4】（2026九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的两个根是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【变式4-1】（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）解方程
(1)；
(2)．
【变式4-2】（26-27九年级上·河南信阳·开学考试）解一元二次方程：
(1)；
(2)．
【变式4-3】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）用因式分解法解下列方程：
(1)
(2)
题型5 解一元二次方程——换元法
【例5】（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（ ）
A． B．
C． D．，方程无实数解
【变式5-1】（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）已知实数满足，则的值为（ ）
A．或1 B．或6 C．6 D．1
【变式5-2】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程化为，
解得，．
或．
，．
以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)．
(2)．
【变式5-3】（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）【阅读材料】解方程：．
解∶设，则原方程变为，
解得，．
当时，，解得．
当，解得．
所以，原方程的解为．
【问题解决】
(1)利用上述方法，解方程：；
(2)利用上述方法，解方程：．
题型6 用适当的方法解一元二次方程
【例6】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）解方程：
(1)
(2)
【变式6-1】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）解方程：
(1)；
(2)．
【变式6-2】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）解方程：
(1)；
(2)．
【变式6-3】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）解下列方程：
(1) ；
(2)；
(3)；
题型7 解分式方程（化为一元二次方程）
【例7】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）解方程：．
【变式7-1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）解分式方程：．
【变式7-2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）解分式方程：
(1)
(2)
【变式7-3】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）计算
(1)
(2)
(3)
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