专题05 根与系数的关系的应用（一题三练·专项突破）2026-2027学年数学人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦根与系数的关系应用，分7类题型系统覆盖直接求值、公式变形、降次、参数求解及与判别式综合等，通过典例与变式构建从基础到综合的知识逻辑，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型1|1例+3变式|直接应用根与系数关系求两根和/积|从概念直接应用切入，建立基础认知| |题型2|1例+3变式|通过公式变形（如倒数和、平方和）求值|深化代数式变形能力，拓展关系应用维度| |题型3|1例+3变式|利用方程降次转化高次代数式求值|体现方程思想，实现知识迁移| |题型4|1例+3变式|已知一根求另一根|强化根与系数关系的逆向应用| |题型5|1例+3变式|根据根与系数关系列方程求参数|衔接方程求解，培养推理意识| |题型6|1例+3变式|结合根的判别式求参数取值范围|综合运用判别式与根系关系，提升综合思维| |题型7|1例+3变式|根据条件建构方程求未知量|渗透模型思想，发展问题解决能力|

专题05 根与系数的关系的应用 【新人教版】 【题型1 利用根与系数的关系求值1——直接求值】.........................................................................................1 【题型2 利用根与系数的关系求值2——公式变形】.........................................................................................2 【题型3 利用根与系数的关系求值3——降次求值】.........................................................................................4 【题型4 利用根与系数的关系求方程另一个根】................................................................................................6 【题型5 已知根与系数的关系求参数】................................................................................................................8 【题型6 根与系数的关系和根的判别式综合1——求参数】...........................................................................10 【题型7 根与系数的关系和根的判别式综合2——建构方程】.......................................................................13 题型1 利用根与系数的关系求值1——直接求值 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的两根为，，则________，________． 【答案】 4 【分析】对于一元二次方程，若两根为，，根据根与系数的关系可得 ，． 【详解】解：∵方程为， ∴，，， ∴，． 【变式1-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）若是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．9 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值． 先将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，再代入对应值计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∴； 故选：C． 【变式1-3】（25-26九年级上·山西晋城·阶段检测）若一元二次方程的两个根为，，则代数式的值为（   ） A．0 B．2 C．2026 D．2028 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．也考查了一元二次方程的解． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与积，然后代入代数式化简计算即可． 【详解】解：∵ 方程 的两根为 , ， ∴ , ， ∵ ， 代入得：． ∴ 原式的值为 2． 故选：B． 题型2 利用根与系数的关系求值2——公式变形 【例2】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．先由一元二次方程得出两根之间的关系，得，，再将进行通分得到，代入原式可得到结果． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，， ∴． 故选：D． 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·期中）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，分式化简求值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系． 将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵方程， ∴两边乘以，得， 即． ∵、分别为方程的两个实数根， ∴，． ∴． 故选：B． 【变式2-2】（25-26九年级上·天津西青·期末）已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先由一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵，是方程的根， ∴可得，， ∴， 故选：C． 【变式2-3】（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，二次根式的运算，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形是解题的关键．利用根与系数的关系得，，再利用，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， 故选：B． 题型3 利用根与系数的关系求值3——降次求值 【例3】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）已知和是方程的两个解，则的值为（    ） A．2020 B．2024 C．2025 D．2028 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，由题意可得，，整体代入计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-1】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2036 B．2035 C．2034 D．2033 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的定义，代数求值，解题的关键是掌握根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据根的定义得出，然后代数求值即可． 【详解】解：根据题意得，， ∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴， 故选：B． 【变式3-2】（25-26九年级上·四川自贡·阶段检测）若m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．15 B． C． D．29 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 根据根与系数的关系得到，，进而得到， 代入计算即可． 【详解】若m，n是方程的两根， 则，， ∴，即 ， 故选：A． 【变式3-3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）若、是方程的两根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出，，，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，，， ∴ 故选：C． 题型4 利用根与系数的关系求方程另一个根 【例4】（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）关于x的方程的一个根是2，则它的另一个根是（    ） A． B．5 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据韦达定理即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根是n，则，故， 故答案为：B． 【变式4-1】（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）若方程的一个根是2，则方程的另一个根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，方程的一个根为2，设另一根为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵方程的一个根为2，设另一根为， ∴， 解得：， 即方程的另一个根为． 故选：D 【变式4-2】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）已知关于x的方程的一个解为2，那么另一个解是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查根与系数的关系，熟记是解题的关键． 根据根与系数的关系，代入一个即可求得方程的另一根即可． 【详解】设的两根为， 则， 又因为关于x的方程的一个解为2， 所以，解得． 故选：C． 【变式4-3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）一元二次方程有一根是，则另一根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．设方程的一个根是，根据根与系数的关系可得，解答出即可． 【详解】解：设一元二次方程的一个根，另一个根为， 则， 解得． 故选：A． 题型5 已知根与系数的关系求参数 【例5】（25-26九年级上·广东潮州·阶段检测）关于x的一元二次方程的两个实数根、，已知，则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）以及判别式的应用．关于x的一元二次方程的两个实数根、，根据韦达定理可知，，通过已知条件代入式子后得出，再进一步验证判别式，此时，表明方程恒有两实数根，将代入原方程后，满足已知条件的两根之和为2． 【详解】解：由题意知，关于x的一元二次方程的两个实数根、， ∴， ∴， 进一步验证判别式：，表明方程恒有两实数根， 将代入原方程后，两根的和为2，符合题意． 故选：B． 【变式5-1】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）关于x的一元二次方程的两个根满足，则a的值为（    ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之和为6，直接求解a的值． 【详解】解：∵方程化为标准形式：， ∴两根之和， 又∵，即， ∴， ∴． 故选：C． 【变式5-2】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．若，则的值是（　　） A．3 B． C．3或 D．不存在 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． 先由一元二次方程有两个不相等的实数根，根据判别式大于零求出k的取值范围；再根据根与系数的关系，将条件转化为关于k的方程，解出k的值，并验证是否满足取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得 又∵，， ∴， 整理得，， 解得或， ∵， ∴符合，不符合 故， 故选：A． 【变式5-3】（2026·湖北襄阳·二模）若一元二次方程的两根分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系列出方程求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 解得． 题型6 根与系数的关系和根的判别式综合1——求参数 【例6】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)证明：在一元二次方程中，，，， ∴根的判别式， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）计算方程的根的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，代入已知等式求解的值． 【详解】（1）略； （2）解：∵、是方程的两根， ∴由根与系数的关系得：，， 将上述两式代入得：， 整理得：， 解得． 【变式6-1】（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请解答下列问题： (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根之积为，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】（1）根据判别式与根的个数的关系，列不等式，求解即可； （2）根据根与系数的关系可得两根之积，结合题干列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得； （2）解：设方程的两根为、， 由根与系数的关系可得， 根据题意可得， 整理，得， 解得或，均符合， ∴的值为或． 【变式6-2】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 【变式6-3】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，突破口是计算根的判别式，因为一元二次方程，当时总有两个实数根，所以先写出该方程对应的，再计算并证明其非负． （2）突破口是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），因为已知方程的两根，所以先写出和的表达式，再将等式展开，代入和的表达式得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：在方程 中，,,, 则 ． ∵ ∴ ． ∴不论为何值，方程总有两个实数根． （2）解：在方程 中，,,, ∴ ． ∵ ∴, 解得． ∴的值为3． 题型7 根与系数的关系和根的判别式综合2——建构方程 【例7】（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第二个方程变形为关于的一元二次方程，与第一个方程形式一致，结合根与系数的关系求解，即可解答． 【详解】解：∵时，，与题设矛盾， ∴， 将两边除以， 整理得， ∵，且， 即， ∴，是方程的两个不等实根， ∴，即． 【变式7-1】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知，且有及，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2018 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可求出，进而可得是关于t的方程的两个实数根，则由根与系数的关系可求出，据此可得答案． 【详解】解：当时，， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴是关于t的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 【变式7-2】（25-26九年级上·全国·单元复习）若a，b满足，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程  的两边都除以得，进而得出a，为方程的两个实数根，最后根据根与系数的关系进行求解． 【详解】由题意可知，将方程 的两边都除以得， ∵，， ∴，为方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，将方程 变形，进而得出a，为方程的两个实数根是解题的关键． 【变式7-3】（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知，且，那么的值为（   ） A．205 B．520 C．1001 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、换元法解一元二次方程，把方程两边同时除以，可得：，可知和是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可以求出的值． 【详解】解：， 由方程可知， 把方程两边同时除以， 可得：， 和是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故选：A. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 根与系数的关系的应用 【新人教版】 【题型1 利用根与系数的关系求值1——直接求值】.........................................................................................1 【题型2 利用根与系数的关系求值2——公式变形】.........................................................................................1 【题型3 利用根与系数的关系求值3——降次求值】.........................................................................................2 【题型4 利用根与系数的关系求方程另一个根】................................................................................................2 【题型5 已知根与系数的关系求参数】................................................................................................................3 【题型6 根与系数的关系和根的判别式综合1——求参数】.............................................................................3 【题型7 根与系数的关系和根的判别式综合2——建构方程】.........................................................................4 题型1 利用根与系数的关系求值1——直接求值 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的两根为，，则________，________． 【变式1-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【变式1-2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）若是方程的两个根，则的值为（   ） A．-9 B．-1 C．1 D．9 【变式1-3】（25-26九年级上·山西晋城·阶段检测）若一元二次方程的两个根为，，则代数式的值为（   ） A．0 B．2 C．2026 D．2028 题型2 利用根与系数的关系求值2——公式变形 【例2】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（    ） A．2 B．-1 C． D．-2 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·期中）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·天津西青·期末）已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 【变式2-3】（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A．-2025 B． C． D． 题型3 利用根与系数的关系求值3——降次求值 【例3】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）已知和是方程的两个解，则的值为（    ） A．2020 B．2024 C．2025 D．2028 【变式3-1】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2036 B．2035 C．2034 D．2033 【变式3-2】（25-26九年级上·四川自贡·阶段检测）若m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．15 B．-15 C．-1 D．29 【变式3-3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）若、是方程的两根，则代数式的值为（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 题型4 利用根与系数的关系求方程另一个根 【例4】（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）关于x的方程的一个根是2，则它的另一个根是（    ） A．-2 B．5 C．-5 D．3 【变式4-1】（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）若方程的一个根是2，则方程的另一个根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式4-2】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）已知关于x的方程的一个解为2，那么另一个解是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式4-3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）一元二次方程有一根是，则另一根是（　　） A． B． C． D． 题型5 已知根与系数的关系求参数 【例5】（25-26九年级上·广东潮州·阶段检测）关于x的一元二次方程的两个实数根、，已知，则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式5-1】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）关于x的一元二次方程的两个根满足，则a的值为（    ） A． B．1 C．3 D．9 【变式5-2】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．若，则的值是（　　） A．3 B． C．3或 D．不存在 【变式5-3】（2026·湖北襄阳·二模）若一元二次方程的两根分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 题型6 根与系数的关系和根的判别式综合1——求参数 【例6】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 【变式6-1】（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请解答下列问题： (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根之积为，求的值． 【变式6-2】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【变式6-3】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 题型7 根与系数的关系和根的判别式综合2——建构方程 【例7】（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知，且有及，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2018 【变式7-2】（25-26九年级上·全国·单元复习）若a，b满足，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知，且，那么的值为（   ） A．205 B．520 C．1001 D．1 1 学科网（北京）股份有限公司 $