专题05 根与系数的关系及其应用 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以9类递进题型系统覆盖根与系数的关系应用，从直接求值到综合构造，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接求值|4题|基础代数式直接应用韦达定理|概念直接应用，建立知识起点| |降次求值|4题|利用方程根的定义降次转化|体现转化思想，深化定理应用| |求参数|4题|结合方程根的关系求参数值|关联参数讨论，培养推理意识| |分式化整|4题|分式形式转化为韦达定理表达式|强化代数变形能力| |关联判别式|4题|结合根的存在性与韦达定理综合应用|构建定理与判别式的逻辑联系| |整体代换|4题|利用根的定义进行代数式整体代换|培养整体思维，提升运算效率| |构建方程|4题|根据根的关系反推方程构造|体现模型意识，发展创新思维| |构造方程|4题|通过根的特征构造新方程求解|深化逆向思维，拓展应用维度| |根分布|4题|结合根的符号与绝对值讨论参数|强化分类讨论，提升综合解题能力|

专题05 根与系数的关系及其应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 利用根与系数的关系直接求值】 1．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 2．已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 3．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 4．已知，是一元二次方程的两根，则的值为________． 【题型2 利用根与系数的关系降次求值】 5．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 6．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 7．已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 _________ ． 8．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为_______． 【题型3 利用根与系数的关系求参数】 9．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 10．定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （    ） A．或4 B． C． D．或1 11．已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【题型4 利用根与系数的关系分式化整求值】 13．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 14．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 15．已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．已知，a，b是一元二次方程的两个根，则______． 【题型5 根与系数的关系关联根的判别式】 17．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 19．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 20．在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； (3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 【题型6 利用方程的根和根与系数的关系整体代换】 21．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 22．已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 24．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 【题型7 利用方程的根和根与系数的关系构建方程】 25．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 26．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 27．已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为 _____． 28．通过学习，我们知道：若关于的一元二次方程有两个实数根，，则，．已知，，且，则代数式的值等于________． 【题型8 利用方程的根和根与系数的关系构造方程】 29．对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，则的值是（     ） A． B． C． D． 30．设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 31．若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 32．已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ____________________ ． 【题型9 利用根与系数的关系分类解析根分布】 33.已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程的根的情况； (2)若该方程的两根异号，且负根的绝对值较大，求整数的值． 34.关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 35.关于 的一元二次方程 有一个正根、一个负根，且正根的绝对值不大于负根的绝对值，则的取值范围是_____________ 36.关于的方程有两个不相等的实数根，． 求的取值范围． 若，试说明此方程有两个负根． 在的条件下，若，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 根与系数的关系及其应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 利用根与系数的关系直接求值】 1．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 2．已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得． 3．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 4．已知，是一元二次方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求代数式因式分解后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴由根与系数的关系可得，； 对所求代数式因式分解得， 将，代入， 得原式． 【题型2 利用根与系数的关系降次求值】 5．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 6．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】7 【分析】根据，是方程的两个实数根，利用一元二次方程解的定义得到降次关系式，再利用根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式逐步降次变形，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，且， 整理得，， 则 ． 7．已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 _________ ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和代数式求值，熟知方程解的定义、灵活应用整体思想是关键． 由m是方程的根，得，进而表示m³，并利用方程变形得到，代入求值． 【详解】解：因为m是一元二次方程的一个根，所以，即． 则． 因此，． 由， 两边除以，得， 即． 所以，原式 ． 故答案为：2024． 8．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】3 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解． 先根据一元二次方程的解的定义及根与系数的关系得出，，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】∵a，b是一元二次方程的两个实数根﹐ ∴，，即， ． 故答案为3． 【题型3 利用根与系数的关系求参数】 9．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 【答案】 【分析】先由方程有两个不相等实数根得判别式大于0，确定的取值范围，再利用根与系数的关系将转化为关于的方程，求解后根据的范围检验得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴，代入得， 整理为， 解得或， ∵， ∴舍去，得． 10．定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （    ） A．或4 B． C． D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上公式是解题的关键． 根据特征数的定义，得出方程的原形式，利用根与系数关系及平方和条件列出方程，结合判别式求出的值． 【详解】解：∵特征数为， ∴方程为， 设两实数根为，，则， ， ， ∵， ∴， 化简得：， 解得或， 又∵方程有实数根， ∴， 即， ∴（舍去）， ∴， 故选C． 11．已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，故，又因为，得到，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或， ∵，即方称恒有解， ∴的值为或． 12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 【题型4 利用根与系数的关系分式化整求值】 13．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【答案】17 【分析】先得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 ． 14．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到方程两根之和、两根之积的值，再代入算式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为、， ∴， ∴ = = = =． 15．已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据两个方程都有实数根，用判别式求出k的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系化简所求代数式，最后根据一次函数的性质求出代数式的最小值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴的取值范围为， ∴ ∵， ∴原式随k的增大而减小，且， ∴当k取最大值时，原式取得最小值，即． 16．已知，a，b是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，并利用方程变形简化表达式． 【详解】解：由根与系数的关系，得，． 由于a是方程的根，故，即， 所以． 因此，（，由 知）． 原式． 代入，得． 故答案为：4． 【题型5 根与系数的关系关联根的判别式】 17．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】(1)证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）将原方程化为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，结合绝对值的非负性证明判别式恒大于0； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解，进而得到的值． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 19．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式求解； （2）根据根与系数的关系（韦达定理）与完全平方式的变形求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根， ， ． （2）解：，是方程的两个实数根，， ，． ． 20．在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； (3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2)① ，；② (3) 【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根得判别式大于0，解不等式得到k的取值范围； （2）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果； （3）先由方程有两个实数根得判别式非负，再利用根与系数关系变形已知等式得到关于的方程，求解后舍去不符合条件的解得到的值． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 的取值范围为； （2）解：①根据题意得：方程， 由根与系数的关系得：，， ② ； （3）解：方程有两个实数根， 判别式， 解得：， 由根与系数的关系得：、， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ． 【题型6 利用方程的根和根与系数的关系整体代换】 21．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 22．已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∵， 同理可得， ∴． 23．已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到，，，代入所求代数式进行解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴，， ∴ 24．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件，利用根与系数的关系列方程求出和的值，再计算所求方程两根的和与积，构造出一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴由根与系数的关系得， ∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴，， ∴，， 将代入得：， 整理得． 将代入得：， 化简得 把代入， 解得 ∵， ， ∴所求一元二次方程为． 【题型7 利用方程的根和根与系数的关系构建方程】 25．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 【答案】2026 【分析】根据题意，，是两个不相等的实数，且满足，，则可将，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入、的值计算即可求解． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 26．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】由题意可知，两个不相等的实数，都满足同一个二次关系式，因此，是一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再对所求代数式降次变形，整体代入计算即可． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个不相等实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， 又， ， 将代入所求代数式得： ． 27．已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为 _____． 【答案】2021 【详解】解：设a、b是方程的两根，且， ∴，ab＝， ∴，， ＝， ＝2021． 28．通过学习，我们知道：若关于的一元二次方程有两个实数根，，则，．已知，，且，则代数式的值等于________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式化简与方程构造的综合应用，解题的关键是通过换元构造出同解方程，从而利用韦达定理建立与的关系，再代入代数式化简求值． 由方程和，设，则，令，代入得，与第一个方程同解，故和是方程的两个根，根据根与系数的关系，得和，即和．代入代数式，化简后利用计算． 【详解】解：和， 设，则． 令，代入得，与形式相同， 故和是方程的两个根． 根据根与系数的关系，得： 即： 代入代数式： 由，得， 代入分子：， ∴， 由，得 ，代入分子：， ∴． 【题型8 利用方程的根和根与系数的关系构造方程】 29．对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得出，，再求出，再用裂项相消法计算求和即可． 【详解】解：∵方程的两个根为， ∴由根与系数的关系得，， ∴， ∴， ∴ ． 30．设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和、两根之积，构造恒等式，代入已知条件整体代换求值即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ，，， ． 31．若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第二个方程变形为关于的一元二次方程，与第一个方程形式一致，结合根与系数的关系求解，即可解答． 【详解】解：∵时，，与题设矛盾， ∴， 将两边除以， 整理得， ∵，且， 即， ∴，是方程的两个不等实根， ∴，即． 32．已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ____________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根等知识，通过变形的方程，得到满足与相同的二次方程，从而利用根与系数的关系求出与 的和与积，进而代入表达式求值． 【详解】解：由，且（因为若，代入方程得，矛盾）， 两边除以，得， 又， 所以和是方程的两个根， 根据根与系数的关系，有，，即， 所以， 代入原式：， 将代入， 分子为， 分母为． 由，得， 代入分子：， 分母：， 所以原式． 故答案为：． 【题型9 利用根与系数的关系分类解析根分布】 33.已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程的根的情况； (2)若该方程的两根异号，且负根的绝对值较大，求整数的值． 【答案】(1)该方程总有两个实数根； (2)． 【分析】本题考查了根的判别式及一元二次方程根与系数的关系． （1）利用根的判别式求得，即可得到方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系求得，，根据题意得到，，据此计算得出答案即可． 【详解】（1）解：， ， ， 该方程总有两个实数根； （2）解：设两根为和且， 由根与系数的关系得：，， ∵该方程的两根异号，且负根的绝对值较大， ∴，， ∴，， 解得， ∴整数． 34.关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 【答案】C 【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由题意得：方程可化为， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：， ∴该方程的两个根为一正一负， 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 35.关于 的一元二次方程 有一个正根、一个负根，且正根的绝对值不大于负根的绝对值，则的取值范围是_____________ 【答案】且m≠0 【分析】根据根与系数的关系判断即可． 【详解】设方程得两个根为，， ∴ ∵于 的一元二次方程 有一个正根、一个负根， ∴且m≠0 解得且m≠0 故答案为：且m≠0． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟记是解题的关键． 36.关于的方程有两个不相等的实数根，． 求的取值范围． 若，试说明此方程有两个负根． 在的条件下，若，求的值． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）． 【分析】（1）根据判别式的意义得到△=4（k-1）2-4k2＞0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2（k-1），x1•x2=k2，由于k＜，k≠0，所以x1+x2=2（k-1）＜0，x1•x2=k2＞0，然后根据有理数乘法的运算性质得到x1，x2都为负数； （3）先根据x1，x2都为负数，去绝对值得到-x1+x2=4，两边平方后变形得到（x1+x2）2-4x1x2=16，则4（k-1）2-4k2=16，然后解方程即可． 【详解】（1）根据题意得， 解得； （2）∵，， ∴，， ∴，都为负数，即此方程有两个负根； （3）∵，都为负数，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac以及一元二次方程的根与系数的关系，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $