专题05 根与系数的关系及其应用（举一反三专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以根与系数的关系为核心，通过7类题型（每类含1例+3变式）构建从直接应用到综合拓展的递进训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接求值|1例+3变式|已知根求代数式值|韦达定理基础应用| |降次求值|1例+3变式|高次代数式化简|方程根定义与定理结合| |求参数|1例+3变式|根关系求方程参数|定理与方程定义综合| |分式化整|1例+3变式|分式形式求值|代数变形与定理应用| |关联判别式|1例+3变式|根的存在性分析|判别式与定理协同| |根分布|1例+3变式|根的符号与绝对值|定理与不等式结合| |构建方程|1例+3变式|构造新方程|模型意识与逆向思维|

专题05 根与系数的关系及其应用（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 利用根与系数的关系直接求值】 1 【题型2 利用根与系数的关系降次求值】 2 【题型3 利用根与系数的关系求参数】 5 【题型4 利用根与系数的关系分式化整求值】 7 【题型5 根与系数的关系关联根的判别式】 10 【题型6 利用根与系数的关系分类解析根分布】 13 【题型7 利用方程的根和根与系数的关系构建方程】 16 【题型1 利用根与系数的关系直接求值】 【例1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知，是方程的两个根，则________． 【答案】/ 【分析】根据根与系数的关系得到方程两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解： ，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得 ，， 对通分得 ， 将，代入得 原式． 【变式1-1】（2026·山东淄博·一模）若a，b是方程的两个根，则的值为___． 【答案】4 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到与的值，代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得 ，， ∴． 【变式1-2】（2026·山东东营·一模）若，是方程的两根，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式展开整理，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴ ． 【变式1-3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一元二次方程的两个根分别是，，那么代数式的值为______． 【答案】 【分析】先化为一般形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与积，将代数式完全平方公式变形，再代入求值，即可求解． 【详解】解：化为一般形式为 ∵一元二次方程的两个根分别是，， ∴ ∴ 【题型2 利用根与系数的关系降次求值】 【例2】（25-26九年级上·湖北咸宁·月考）已知，是一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．1 B．3 C．-1 D．-3 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，灵活运用整体思想是解题的关键． 根据一元二次方程解的定义以及根与系数的关系可得，，进而得到，然后对所求代数式变形并整体代入原式即可解答． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴，即， ∴ ． 故选B． 【变式2-1】（25-26九年级上·四川成都·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系．根据方程的解得到，根据根与系数的关系得到，然后将表达式进行变形，利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：因为α是方程的实数根， 所以， 即． 因为α，β是方程的两个实数根， 所以根据根与系数的关系，． ∴ 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）若一元二次方程的两根为、，则的值为______． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系．先根据题意得到，，则，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2025． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知、是方程的两个实数根，则代数式的值是_______ 【答案】4051 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：4051． 【题型3 利用根与系数的关系求参数】 【例3】（2026·安徽六安·一模）已知关于x的一元二次方程．若，是该方程不相等的两个实数根，如果，那么a的值为（   ） A．2或 B．或4 C．3或 D．或4 【答案】A 【分析】先结合，是该方程不相等的两个实数根，得出，以及再整理得，然后将用表示的与的代数式代入该展开式中计算，最后验算，当时，则；当时，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵，是该方程不相等的两个实数根， ∴ ∴ ∴ 则 ∴ ∵， ∴， 则 ∴ ∴ ∴ 解得 当时，则； 当时，则； ∴a的值为2或． 【变式3-1】（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则 ． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分， ，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 【变式3-2】定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（    ） A．或4 B． C． D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意得出该方程为，由一元二次方程根的判别式得出，设两实数根为，，则，，结合方程的两实数根的平方和为12，列出关于的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，该方程为， ∵方程的两实数根的平方和为12， ∴， ∴， 设两实数根为，，则，， ∵ ∴， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， 故选：C． 【变式3-3】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，满足，则m的值为_____________ 【答案】4 【分析】由韦达定理得出x1+x2=6，x1·x2=m+4，将已知式子3x1= | x2|+2去绝对值，对x2进行分类讨论，列方程组求出x1、x2的值，即可求出m的值. 【详解】由韦达定理可得x1+x2=6，x1·x2=m+4， ①当x2≥0时，3x1=x2+2， ，解得， ∴m=4； ②当x2＜0时，3x1=2﹣x2， ，解得，不合题意，舍去. ∴m=4. 故答案为4. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，其中对x2分类讨论去绝对值是解题的关键. 【题型4 利用根与系数的关系分式化整求值】 【例4】已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值_____． 【答案】﹣2 【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值． 【详解】由=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①； 由=﹣b﹣3得： b2+3b+c=0②； ∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c； ∴+﹣=====﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键． 【变式4-1】已知、是方程的两根，且，则的值为（　　） A． B． C．95 D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．先设，，则可用、表示，，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得，的值，然后将两个式子相加即可得． 【详解】解：设，， ∴， ， ∵、是方程的两根， ∴，， ∴， ∵， ∴（负值已舍去）， ∴， ， 将两个式子相加得：， ∴， 即， 故选：A． 【变式4-2】（2025·四川南充·一模）若m，n是方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，得到 和，并将表达式中的 转化为，从而简化原式． 【详解】解： m，n 是方程 的两个根， ，， ， ， 故选：A． 【变式4-3】（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是_______． 【答案】2029 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．先根据根与系数的关系得出，，再利用一元二次方程解的定义得到，，从而得到，，则原式化简为，最后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根 ，，， ， ，即 故答案为：2029． 【题型5 根与系数的关系关联根的判别式】 【例5】已知：关于的方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若两实数根、满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用； （1）利用一元二次方程有两个实数根时，判别式，列不等式求解的取值范围 （2）根据一元二次方程根与系数的关系，用含的代数式表示两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解，再结合第一问中的取值范围舍去不符合题意的解． 【详解】（1）解： 对于方程， 其中，， ∵方程有两个实数根 ， ∴ ，即， 解得； （2）解： ∵、是方程的两个实数根 ∴， ∵ ∴ 整理得 因式分解得 解得或 又∵由（1）知 ∴不符合题意，舍去 ∴ 【变式5-1】（25-26九年级上·四川成都·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求的取值范围； (2)若该方程的一个根是，求它的另一个根及的值． 【答案】(1) (2)4， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）把代入方程，可求出m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴，即， 解得：， ∴m的取值范围是． （2）解：把代入方程得：， 解得：， ∴原方程为， 设方程的另一个根为a， ∵方程有一个根是， ∴， 解得：， 即方程的另一个根为，的值为． 【变式5-2】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有实数根； (2)若是关于的方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟记一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，由已知得到或，代入整理得到，然后解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵（时取等号），（时取等号）， ∴， ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴且或， ∴， 当时，，（舍去）， 当时，，， ∴，， ∴，即， 解得或． 【变式5-3】（25-26九年级上·山东枣庄·期末）【知识技能】 材料：小明在学习一元二次方程解时，发现：若关于的一元二次方程 的两个实数根为，和系数，，有如下关系： ，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，则． 【数学理解】 （1）若一元二次方程的两个实数根为，，则___________，____________． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值． 【答案】（），；（）． 【分析】本题考查了根与系数的关系，通过完全平方公式进行变形求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （）利用根与系数的关系即可求解； （）利用根与系数的关系得，，然后根据即可求解． 【详解】（）解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， 故答案为：，； （）解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 【题型6 利用根与系数的关系分类解析根分布】 【例6】（25-26九年级上·湖北恩施·期末）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程的根的情况； (2)若该方程的两根异号，且负根的绝对值较大，求整数的值． 【答案】(1)该方程总有两个实数根； (2)． 【分析】本题考查了根的判别式及一元二次方程根与系数的关系． （1）利用根的判别式求得，即可得到方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系求得，，根据题意得到，，据此计算得出答案即可． 【详解】（1）解：， ， ， 该方程总有两个实数根； （2）解：设两根为和且， 由根与系数的关系得：，， ∵该方程的两根异号，且负根的绝对值较大， ∴，， ∴，， 解得， ∴整数． 【变式6-1】关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 【答案】C 【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由题意得：方程可化为， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：， ∴该方程的两个根为一正一负， 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 【变式6-2】关于 的一元二次方程 有一个正根、一个负根，且正根的绝对值不大于负根的绝对值，则的取值范围是_____________ 【答案】且m≠0 【分析】根据根与系数的关系判断即可． 【详解】设方程得两个根为，， ∴ ∵于 的一元二次方程 有一个正根、一个负根， ∴且m≠0 解得且m≠0 故答案为：且m≠0． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟记是解题的关键． 【变式6-3】关于的方程有两个不相等的实数根，． 求的取值范围． 若，试说明此方程有两个负根． 在的条件下，若，求的值． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）． 【分析】（1）根据判别式的意义得到△=4（k-1）2-4k2＞0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2（k-1），x1•x2=k2，由于k＜，k≠0，所以x1+x2=2（k-1）＜0，x1•x2=k2＞0，然后根据有理数乘法的运算性质得到x1，x2都为负数； （3）先根据x1，x2都为负数，去绝对值得到-x1+x2=4，两边平方后变形得到（x1+x2）2-4x1x2=16，则4（k-1）2-4k2=16，然后解方程即可． 【详解】（1）根据题意得， 解得； （2）∵，， ∴，， ∴，都为负数，即此方程有两个负根； （3）∵，都为负数，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac以及一元二次方程的根与系数的关系，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 【题型7 利用方程的根和根与系数的关系构建方程】 【例7】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）思维拓展：已知实数s，t分别满足，则____________ 【答案】 【分析】根据题意可知s与是方程的两个根，由根与系数的关系分别求出两根的和与两根的积，代入代数式即可求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， 方程两边除以得到：， 即， ∴s与是方程的两个根， ∴，， ∴， 故的值为． 【变式7-1】（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是把a、b看作是方程的解，然后根据根与系数的关系解题．分两种情况：当时，直接计算表达式；当时，将a和b视为方程的两个根，利用根与系数关系求和，再化简表达式即可． 【详解】解：①当时： ∵a和b满足，且（因为代入得）， ∴原式； ②当时： ∵a和b是方程的两个根， ∴，， 原式， ∵， ∴分子，分母， ∴原式， 综上所述，原式的值为2或． 故选：C． 【变式7-2】（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知，且，，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】由题意可得、是一元二次方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵，且，， ∴、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知实数、、满足，，则实数的最大值为______． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题关键是利用根与系数的关系构造一元二次方程． 由已知条件，将和视为二次方程的两个根，利用根与系数的关系构造一元二次方程，根据实数根的条件判别式非负，求解的取值范围，从而得到最大值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，且和为实数， 以、为根的二次方程有实数根， 即判别式， 将，代入， 得， 解得， 即的最大值为2． 故答案为：2． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 根与系数的关系及其应用（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 利用根与系数的关系直接求值】 1 【题型2 利用根与系数的关系降次求值】 1 【题型3 利用根与系数的关系求参数】 2 【题型4 利用根与系数的关系分式化整求值】 2 【题型5 根与系数的关系关联根的判别式】 2 【题型6 利用根与系数的关系分类解析根分布】 3 【题型7 利用方程的根和根与系数的关系构建方程】 4 【题型1 利用根与系数的关系直接求值】 【例1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知，是方程的两个根，则________． 【变式1-1】（2026·山东淄博·一模）若a，b是方程的两个根，则的值为___． 【变式1-2】（2026·山东东营·一模）若，是方程的两根，则的值为_____． 【变式1-3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一元二次方程的两个根分别是，，那么代数式的值为______． 【题型2 利用根与系数的关系降次求值】 【例2】（25-26九年级上·湖北咸宁·月考）已知，是一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．1 B．3 C．-1 D．-3 【变式2-1】（25-26九年级上·四川成都·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为_______． 【变式2-2】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）若一元二次方程的两根为、，则的值为______． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知、是方程的两个实数根，则代数式的值是_______ 【题型3 利用根与系数的关系求参数】 【例3】（2026·安徽六安·一模）已知关于x的一元二次方程．若，是该方程不相等的两个实数根，如果，那么a的值为（   ） A．2或 B．或4 C．3或 D．或4 【变式3-1】（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【变式3-2】定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（    ） A．或4 B． C． D．或1 【变式3-3】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，满足，则m的值为_____________ 【题型4 利用根与系数的关系分式化整求值】 【例4】已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值_____． 【变式4-1】已知、是方程的两根，且，则的值为（　　） A． B． C．95 D． 【变式4-2】（2025·四川南充·一模）若m，n是方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【变式4-3】（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是_______． 【题型5 根与系数的关系关联根的判别式】 【例5】已知：关于的方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若两实数根、满足，求的值． 【变式5-1】（25-26九年级上·四川成都·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求的取值范围； (2)若该方程的一个根是，求它的另一个根及的值． 【变式5-2】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有实数根； (2)若是关于的方程的两个根，且，求的值． 【变式5-3】（25-26九年级上·山东枣庄·期末）【知识技能】 材料：小明在学习一元二次方程解时，发现：若关于的一元二次方程 的两个实数根为，和系数，，有如下关系： ，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，则． 【数学理解】 （1）若一元二次方程的两个实数根为，，则___________，____________． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值． 【题型6 利用根与系数的关系分类解析根分布】 【例6】（25-26九年级上·湖北恩施·期末）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程的根的情况； (2)若该方程的两根异号，且负根的绝对值较大，求整数的值． 【变式6-1】关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 【变式6-2】关于 的一元二次方程 有一个正根、一个负根，且正根的绝对值不大于负根的绝对值，则的取值范围是_____________ 【变式6-3】关于的方程有两个不相等的实数根，． 求的取值范围． 若，试说明此方程有两个负根． 在的条件下，若，求的值． 【题型7 利用方程的根和根与系数的关系构建方程】 【例7】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）思维拓展：已知实数s，t分别满足，则____________ 【变式7-1】（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【变式7-2】（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知，且，，则的值为___________． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知实数、、满足，，则实数的最大值为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $