专题04 根的判别式的应用（一题三练·专项突破）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以根的判别式为核心，通过6类递进题型构建从基础判断到参数求解再到几何代数综合应用的训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断不含参方程根的情况|1例+3变式|直接计算判别式判断根的情况|概念基础应用，巩固判别式计算技能| |判断含参方程根的情况|1例+3变式|含参数（二次项系数常数）的根的情况判断|进阶应用，培养参数分析能力| |根据根的情况求参数（二次项系数常数）|1例+3变式|已知根的情况反求参数值或范围|逆向思维训练，强化方程根与参数关系| |根据根的情况求参数（二次项系数含参）|1例+3变式|含参二次项系数的方程根的情况与参数范围|分类讨论思想，完善参数求解逻辑| |根的判别式在几何中的应用|1例+3变式|结合三角形、矩形等几何图形性质求参数|跨领域应用，发展几何直观与模型意识| |根的判别式在代数中的应用|1例+3变式|方程解的判断、代数式最值等代数综合|深化代数推理，提升知识迁移能力|

专题04 根的判别式的应用 【新人教版】 【题型1 判断不含参方程的根的情况】...............................................................................................................1 【题型2 判断含参方程的根的情况】...................................................................................................................1 【题型3 根据根的情况求参数1——二次项系数为常数】................................................................................2 【题型4 根据根的情况求参数2——二次项系数含参】....................................................................................2 【题型5 根的判别式在几何中的应用】...............................................................................................................3 【题型6 根的判别式在代数中的应用】...............................................................................................................3 题型1 判断不含参方程的根的情况 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式1-1】（2026·贵州遵义·模拟预测）一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【变式1-2】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况： (1)； (2)； (3)． 题型2 判断含参方程的根的情况 【例2】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式2-1】（25-26九年级上·河北保定·期末）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定有没有实数根 【变式2-2】（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 【变式2-3】（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）一元二次方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 题型3 根据根的情况求参数1——二次项系数为常数 【例3】（25-26九年级上·四川成都·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A．9 B．-9 C．-36 D．36 【变式3-1】（25-26九年级上·河南周口·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（  ） A． B．-1 C． D．-2 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知关于的一元二次方程，若方程只有一个实数根小于2，则的取值范围是（   ） A． B． C．a＜0 D． 【变式3-3】（26-27九年级上·天津河西·开学考试）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 题型4 根据根的情况求参数2——二次项系数含参 【例4】（25-26九年级上·陕西商洛·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【变式4-1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式4-2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）若关于的方程有实数根，则的取值范围是(　　) A．且 B． C．且 D． 【变式4-3】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 题型5 根的判别式在几何中的应用 【例5】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式5-1】（25-26九年级上·湖南永州·期中）等腰三角形边长分别为a、b、3，且a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为（    ）． A．13或14 B．14或15 C．15或16 D．13或15 【变式5-2】（25-26九年级上·四川内江·阶段检测）已知等腰的一条边长为7，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（    ） A．4 B．4或1 C．2 D．2或4或10 【变式5-3】（25-26九年级上·全国·阶段检测）矩形两条对角线交于点，且、的长是关于的方程的根，则的值为__________． 题型6 根的判别式在代数中的应用 【例6】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知关于的整式，其中均为自然数，且，以下说法： 若，则方程的解为； 若，且方程有两个不等实根，则的最大值为； 若为整系数多项式，则这样的有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）关于的一元二次方程给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根，其中说法正确的序号是______． 【变式6-2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 【变式6-3】（25-26九年级上·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小玲撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 我们知道，对于一元二次方程根的判别式能判断方程实数根的个数；对于二次函数能判断抛物线与轴的交点个数．另外还有其他的应用：求代数式的最值． 如：已知，求的最大值． 解：由，得 将其代入，得 设，则 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是实数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为． 学习任务： (1)用根的判别式判断一元二次方程根的情况，体现的数学思想是（   ） A．整体思想        B．数形结合        C．分类讨论        D．转化 (2)通过阅读材料的解题步骤，完成下题： 已知，求的最大值，请写出完整解题过程． (3)已知正数满足，直接写出的最小值_____．（提示：先求的最大值） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 根的判别式的应用 【新人教版】 【题型1 判断不含参方程的根的情况】...............................................................................................................1 【题型2 判断含参方程的根的情况】...................................................................................................................3 【题型3 根据根的情况求参数1——二次项系数为常数】................................................................................4 【题型4 根据根的情况求参数2——二次项系数含参】....................................................................................6 【题型5 根的判别式在几何中的应用】...............................................................................................................8 【题型6 根的判别式在代数中的应用】.............................................................................................................11 题型1 判断不含参方程的根的情况 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 【变式1-1】（2026·贵州遵义·模拟预测）一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【详解】解：对于一元二次方程 ，得 ，，， ∴， ∴原一元二次方程有两个不相等的实数根． 【变式1-2】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算各一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断方程是否有实数根． 【详解】解：A选项：方程，，无实数根； B选项：方程，，有实数根； C选项：方程，，无实数根； D选项：方程，，无实数根． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根． (2)方程有两个相等的实数根． (3)方程没有实数根． 【分析】先计算出根的判别式的值，再根据其大于、等于或小于来判断一元二次方程根的情况． 【详解】（1）解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：， ，，， ， 方程有两个相等的实数根． （3）解：， ， ，，， ， 方程没有实数根． 题型2 判断含参方程的根的情况 【例2】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】计算根的判别式，判定，解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式2-1】（25-26九年级上·河北保定·期末）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定有没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是通过计算判别式的符号，判断方程根的情况． 【详解】解：对于方程， , ， ， 即， 故方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式2-2】（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用．根据确定方程是一元二次方程，再计算判别式判断符号即可得出根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，方程是一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式2-3】（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）一元二次方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，利用判别式判断根的情况是解题的关键． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， 当时，，此时方程有两个相等的实数根； 当时，，此时方程有两个不相等的实数根； ∴方程有实数根， 故选：B． 题型3 根据根的情况求参数1——二次项系数为常数 【例3】（25-26九年级上·四川成都·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A．9 B． C． D．36 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，当一元二次方程有两个相等实数根时，根的判别式，代入方程系数求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得， 故选：A． 【变式3-1】（25-26九年级上·河南周口·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解题的关键，一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式，可得关于的方程，求解即可． 【详解】解：方程有两个相等的实数根， ， 得， 故选：． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知关于的一元二次方程，若方程只有一个实数根小于2，则的取值范围是（   ） A． B． C．a＜0 D． 【答案】D 【分析】先通过因式分解求出方程的两个实数根，再根据“只有一个实数根小于2”的条件，结合两根的大小关系列出不等式组求解，进而确定的取值范围． 【详解】解：∵原方程可因式分解为：， ∴方程的两个实数根为，． ∵， ∴， ∵方程只有一个实数根小于2，即两个根中一个小于2，另一个不小于． ∴，即， 解得． 【变式3-3】（26-27九年级上·天津河西·开学考试）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】该方程为一元二次方程，有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，据此列不等式求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， ∵, , ， ∴， 计算得， ∴， 解得． 题型4 根据根的情况求参数2——二次项系数含参 【例4】（25-26九年级上·陕西商洛·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式求解，一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于等于0，据此计算k的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 【变式4-1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程有两个不相等的实数根的条件：二次项系数不为零且判别式大于零． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，列不等式即可求解． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， 其中， ∴， 解得， ∴且． 故选：． 【变式4-2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）若关于的方程有实数根，则的取值范围是(　　) A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】当方程为一元一次方程时(二次项系数为)，直接验证是否有实数根；当方程为一元二次方程时，利用判别式确定参数范围，最后综合两种情况得到的取值范围．关键是不能忽略二次项系数为0的情况，否则会漏解． 【详解】解：当时，，此时方程变为，解该方程得，存在实数根，故符合条件． 当，，此时方程为一元二次方程． 若方程有实数根，则判别式， 解得， ∴此时的取值范围是且． 综合两种情况，的取值范围是． 【变式4-3】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，即，根据根的判别式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，且有两个实数根， ∴，即． 解得且． 题型5 根的判别式在几何中的应用 【例5】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得一个关于的等式，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴， ∴， 又∵与不一定相等， ∴是直角三角形，不一定是等腰直角三角形． 【变式5-1】（25-26九年级上·湖南永州·期中）等腰三角形边长分别为a、b、3，且a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为（    ）． A．13或14 B．14或15 C．15或16 D．13或15 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及等腰三角形的性质．分两种情况讨论：当时，求m值；当或时，求m值，每种情况均需验证三角形三边是否满足任意两边之和大于第三边，即可作答． 【详解】解：∵a、b是关于x的一元二次方程的两个根， ∴ 情况一：当时， 则， 解得 即三角形边长为4、4、3，满足三角形三边关系； ∴ 即， ∴； 情况二：当时， 则 ∴， ∴三角形边长为3、5、3，满足三角形三边关系， ∴ ∴ 综上，m的值为14或15， 故选：B． 【变式5-2】（25-26九年级上·四川内江·阶段检测）已知等腰的一条边长为7，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（    ） A．4 B．4或1 C．2 D．2或4或10 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根及三角形三边关系，注意分类讨论和检验．分7为底边或腰两种情况讨论是解题的关键． 当7为底边时，方程有相等实根，但需满足三角形不等式；当7为腰时，代入求解，并检验三角形边长是否有效． 【详解】等腰一边长为7，其余两边为方程的两根， 分两种情况： ①当7为底边时，方程有两相等实根， ， 解得． 当时，方程化为，根为， 此时三边为3，3，7， ，不满足三角形三边关系， 舍去． ②当7为腰，则是方程的一个根， 代入得：， 即， 整理得， 解得或． 当时，方程化为， 根为或， 三边为7，7，15， ，不满足， 舍去． 当时，方程化为， 根为或， 三边为3，7，7， ，，，均成立， 有效． 综上，的值为4． 故选A． 【变式5-3】（25-26九年级上·全国·阶段检测）矩形两条对角线交于点，且、的长是关于的方程的根，则的值为__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，以及一元二次方程根的判别式，根据矩形的性质得出，再根据根的判别式得出，求解即可． 【详解】解：矩形两条对角线交于点， ， 、的长是关于的方程的根， ， 解得， 即的值为． 故答案为：． 题型6 根的判别式在代数中的应用 【例6】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知关于的整式，其中均为自然数，且，以下说法： 若，则方程的解为； 若，且方程有两个不等实根，则的最大值为； 若为整系数多项式，则这样的有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式，一元二次方程的根的判别式等知识，根据题意得，得，即可求出方程的解为；方程整理得，根据方程有两个不等实根，则且，所以且，然后分若，若， 若时，进行求解；求得，然后分四种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，且，为自然数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 若，则， ∵方程， ∴， ∴， ∵方程有两个不等实根， ∴且， ∴且， ∵，为自然数， ∴， 若，则，不符合题意，舍去； 若，则，不符合题意，舍去； 若，则， 又∵， ∴，此时， ∴， ∵， ∴最大为， ∴最大为，故正确； ∵均为自然数，且， ∴均从最小的数取起，则（舍去）， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵是整系数多项式， ∴， ∴时，或或，有个整系数多项式； 时，或，有个整系数多项式； 时，，有个整系数多项式； 故当时, 共个整系数多项式； 当时，， ∴时， ，或，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； 时， ，，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； 时， ，，有个整系数多项式； 故当时，共个整系数多项式； 当时，， 只有，，，，这种； 同理，当时，， 只有，，，，，这种； 综上，共有整系数多项式（个），故错误， 故选：C． 【变式6-1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）关于的一元二次方程给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根，其中说法正确的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】本题考查一元二次方程，在条件变化下确等方程的根情况，掌握利用条件将判别式变形，化为非负是解题关键．①若，，，判断b2+4c2的值即可；②若，，方程变为，把方程左边因式分解，即可确定方程的根；③若，判别式变形，，讨论，与时，看判别式的符号即可；④若，，判别式变为，无法确定的值， 【详解】解：①若，， ∴，则方程必有两个实数根，①正确； ②若，， 变为， ， ， ， ， 则方程必有实数根，②正确； ③若， ， ， ， ，当， ， 当时 ， 则方程有两个不等的实数根，③正确； ④若，， ， 无法确定的值，故④错误． 故答案为：①②③． 【变式6-2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 【答案】 ①②③ 【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性： ①通过代入求解； ②利用判别式即可； ③通过判别式得到，代入倒方程判别式可得； ④举反例说明不成立． 【详解】解：结论①，原方程 的倒方程为 ， 将 代入得 ， 解得 ， 故①正确； 结论②，当 时， 判别式 ， 两个方程均有两个不相等的实数根， 故②正确； 结论③， 原方程无解， ， 即 ， 倒方程判别式 ， 倒方程无解， 故③正确； 结论④， 举反例说明，当 时，原方程为， 若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：， 即， 原方程 的倒方程为 ，，， 倒方程为，是一元一次方程， 只有一个根， 故④错误． 故答案为①②③． 【变式6-3】（25-26九年级上·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小玲撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 我们知道，对于一元二次方程根的判别式能判断方程实数根的个数；对于二次函数能判断抛物线与轴的交点个数．另外还有其他的应用：求代数式的最值． 如：已知，求的最大值． 解：由，得 将其代入，得 设，则 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是实数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为． 学习任务： (1)用根的判别式判断一元二次方程根的情况，体现的数学思想是（   ） A．整体思想        B．数形结合        C．分类讨论        D．转化 (2)通过阅读材料的解题步骤，完成下题： 已知，求的最大值，请写出完整解题过程． (3)已知正数满足，直接写出的最小值_____．（提示：先求的最大值） 【答案】(1)C (2)的最大值为 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根判别式的应用，分式化简求值等知识． （1）根据判别式的定义和用法即可得出答案． （2）根据题干的解题方式求解即可． （3）根据题干的解题方式求解出的最大值，再根据分式的化简和性质即可求出答案． 【详解】（1）解：用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，需根据，或来判断，则体现的数学思想是分类讨论， 故选C． （2）解：由，得 将其代入，得， 设，则， 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是实数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为． （3）解：由，得 将其代入，得 设，则 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是正数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为9． ∴， ∵的最大值为9， ∴的最小值为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $