专题04 根的判别式的综合应用（举一反三专项训练）数学新教材人教版九年级上册

专题04 根的判别式的综合应用（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 判断不含参方程根的情况】 1 【题型2 判断含参方程根的情况】 2 【题型3 二次项系数为常数——知根的情况求参数的取值范围】 4 【题型4 二次项系数含参——知根的情况求参数的取值范围】 7 【题型5 根的判别式联系代数】 9 【题型6 根的判别式融汇函数】 11 【题型7 根的判别式结合几何】 15 【题型1 判断不含参方程根的情况】 【例1】（2025·贵州贵阳·一模）一元二次方程________实数根（填“有”或“没有”）． 【答案】有 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是先根据根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【详解】解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数解． 故答案为：有． 【变式1-1】（25-26九年级上·青海海东·期中）一元二次方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】求出一元二次方程根的判别式，根据判别式的范围即可得到答案，此题考查了根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，准确求出一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：对于一元二次方程来说， ∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根 【变式1-2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个互为相反数的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】先将方程整理为一元二次方程一般形式为，计算判别式的值，根据判别式的符号判断根的情况即可． 【详解】解：∵原方程，整理为一般形式得， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式1-3】关于x的一元二次方程，下面说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无法确定是否有实数根 D．没有实数根 【答案】D 【详解】解：方程整理为一般形式得 可得，， 计算根的判别式 ∴原一元二次方程没有实数根． 【题型2 判断含参方程根的情况】 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）判断一元二次方程的根的情况_____． 【答案】当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根 【分析】本题考查根据一元二次方程根的判别式，计算判别式并判断其符号，从而确定根的情况． 【详解】解：， ， ∴当 时，，方程有两个不相等的实数根； 当 时，，方程有两个相等的实数根． 故答案为：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根． 【变式2-1】（25-26八年级下·山东泰安·期中）若点在第四象限，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】先根据点所在象限得到、的符号，再计算一元二次方程的根的判别式，通过判别式的符号即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∵中是一元二次方程， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式2-2】已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程进行了讨论：甲说：这一定是关于x的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；丙说：只有当且时，该方程有实数根；丁说：当时，该方程有实数根（   ） A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．乙和丁说的对 D．乙和丙说的对 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的概念，可以判断甲、乙；分类讨论，即当时，此时方程一定有实数根，当时，根据根的判别式，可以得到的取值范围，将取值范围合并即可得到方程有实数根时，的取值范围． 【详解】解：当时，为一元一次方程，故甲的说法错误，乙的说法正确； ①当时，方程为，此时方程的根为，即k可以取0； ②当时，方程为一元二次方程，当时，方程有实数根，即， 解得， 且， 综上所述：当时，方程有实数根，故丁的说法正确，丙的说法错误， 综上，乙和丁说的对． 【变式2-3】（25-26九年级上·河南漯河·期末）关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，将方程化为一般式，计算判别式，根据判别式的值判断根的情况． 【详解】解：原方程化为一般形式：. 判别式， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【题型3 二次项系数为常数——知根的情况求参数的取值范围】 【例3】（2026·河南许昌·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）关于一元二次方程，下列说法正确的是（   ） A．若方程有实数根，则 B．若方程无实数根，则 C．当时，方程有两个不相等的实数根 D．当时，方程的根为 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，由一元二次方程的一般式可得，再根据判别式与根的关系逐一分析选项即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴判别式， 、若方程有实数根，则，即， 解得，故正确，符合题意； 、若方程无实数根，则，即， 解得，故错误，不符合题意； 、当时，， ∴方程有两个相等的实数根，故错误，不符合题意； 、当时，， ∴方程无实数根，故错误，不符合题意； 故选：． 【变式3-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，设此方程的一个实数根为b，令 ，则y的最小值为__________． 【答案】1 【分析】由一元二次方程根的判别式先求解，根据一元二次方程的解的定义得出代入二次函数，再由一次函数的性质求解即可． 【详解】解： 关于x的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， 设此方程的一个实数根为b， ， ，， ∴y随m的增大而减小， 当时，y取得最小值为． 【变式3-3】（25-26八年级下·浙江丽水·期中）等腰的一边长为，另外两边的长恰好是方程的两个根，则的值为______． 【答案】或 【分析】分两类讨论，当是方程的根，则，计算得，经检验符合题意；当不是方程的根，则原方程有两个相等的实根，即，解得，经检验符合题意． 【详解】解：设方程的两根为和， ∵是等腰三角形， ∴或或， ①当或时， ∵为方程的根， ∴，解得， ∴原方程为， 解得或， 此时的三边长为，，，符合题意； ②当时， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得， 此时的三边长为，，，符合题意； 综上所述，的值为或． 【题型4 二次项系数含参——知根的情况求参数的取值范围】 【例4】（2026·山东滨州·一模）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 【答案】且 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式建立不等式，联立求解即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 该方程有两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根的判别式， 即：， 计算得， 解得：， 实数的取值范围是且． 【变式4-1】（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】D 【分析】分情况讨论，根据一元二次方程和一元一次方程的定义，以及根的判别式解答即可． 【详解】解：根据题意得，方程有实数根 当时，该方程为一元二次方程， 判别式， 解得：， ， ， 当方程为一元二次方程时，m的取值范围是且； 当时，该方程可化为为， ， 解得， 此时， 当时，方程为一元一次方程，此时方程也有实数根， 综上所述，m的取值范围是． 【变式4-2】已知关于x的一元二次方程有实数根，当m取最大整数值时，代数式的值为______． 【答案】6 【分析】根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于或等于0，且，进而求得的值，得到，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，则， ∴，且， 解得，且， m取最大整数为0，此时原方程为， 即， ∴代数式． 【变式4-3】（25-26八年级下·安徽池州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)如果方程的一个根为1，求另一个根和m的值． 【答案】(1)且 (2)，另一根为 【分析】（1）根据一元二次方程定义得出：，根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，即可得出答案； （2）先将代入方程，求出，再代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故且． （2）解：将代入一元二次方程得：， ∴， ∴原方程化为：． 解得：，， 故，另一根为． 【题型5 根的判别式联系代数】 【例5】若实数a，b满足，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意得到其根的判别式为非负数，据此求得a的取值范围即可． 【详解】解：因为b是实数，所以关于b的一元二次方程， △=(-a)2-4×1×()≥0，解得a≥2． 故答案为：a≥2． 【点睛】本题考查根的判别式的应用，牢记根的判别式以及正确求解不等式成为解答本题的关键． 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知实数满足：．求的最小值_______________ 【答案】6 【分析】用分类讨论的思想，解决问题即可． 【详解】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即，，由题设知， 且，， 于是b，c是一元二次方程的两实根， ∴，即， 所以． 又当，时，满足题意． 故a，b，c中最大者的最小值为4． 因为，所以a，b，c为全大于0或一正二负． ①若a，b，c均大于0，a，b，c中的最大者不小于4，这与矛盾． ②若a，b，c为或一正二负， 不妨设，，，则， ∵， 故， 当，时，满足题设条件且使得不等式等号成立． 故的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查绝对值，一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，题目比较难，属于竞赛题目． 【变式5-2】已知实数x、y满足，则的取值范围是_______． 【答案】或 【分析】设，则，代入，得到关于x的方程，根据题意此方程有解，利用根的判别式即可求解． 【详解】解：设，则， ∵， ∴，整理得， 由题意得，， 整理得，解得， ∴或，即或， ∴的取值范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是消去y得到关于x的方程，利用根的判别式求解． 【变式5-3】设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式：b2+c2＝2a2+16a+14①bc＝a2﹣4a﹣5②．求a的取值范围． 【答案】a的取值范围为a＞﹣1且且． 【分析】先通过代数式变形得（b+c）2=2a2+16a+14+2（a2-4a-5）=4a2+8a+4=4（a+1）2，即有b+c=±2（a+1）．有了b+c与bc，就可以把b，c可作为一元二次方程x2±2（a+1）x+a2-4a-5=0③的两个不相等实数根，由△=4（a+1）2-4（a2-4a-5）=24a+24＞0，得到a＞-1．再排除a=b和a=c时的a的值．先设a=b和a=c，分别代入方程③，求得a的值，则题目要求的a的取值范围应该是在a＞-1的前提下排除求得的a值． 【详解】∵b2+c2＝2a2+16a+14，bc＝a2﹣4a﹣5， ∴（b+c）2＝2a2+16a+14+2（a2﹣4a﹣5）＝4a2+8a+4＝4（a+1）2， 即有b+c＝±2（a+1）． 又bc＝a2﹣4a﹣5， 所以b，c可作为一元二次方程x2±2（a+1）x+a2﹣4a﹣5＝0③的两个不相等实数根， 故△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣4a﹣5）＝24a+24＞0， 解得a＞﹣1． 若当a＝b时，那么a也是方程③的解， ∴a2±2（a+1）a+a2﹣4a﹣5＝0， 即4a2﹣2a﹣5＝0或﹣6a﹣5＝0， 解得，或． 当a＝c时，同理可得或． 所以a的取值范围为a＞﹣1且且． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的求根公式：同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式b2-4ac和根与系数的关系． 【题型6 根的判别式融汇函数】 【例6】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第________象限． 【答案】二 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一次函数图象与系数的关系．由一元二次方程没有实数根可得判别式小于零，从而求出的取值范围，再根据一次函数的斜率与截距判断直线所经过的象限． 【详解】解：∵ 一元二次方程 没有实数根， ∴ 判别式 ， 解得 ， ∵ ， ∴ 一次函数 中，斜率，截距， ∴直线经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 【变式6-1】一元二次方程有两个相等的实数根，点、是一次函数上的两个点，若，则______（填“＜”或“＞”或“＝”）． 【答案】＞ 【分析】首先根据题意和一元二次方程根的判别式，即可求得m的值，再根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得m=4， 一次函数的解析式为， ， 一次函数的图象中，y随x的增大而减小， 点、是一次函数上的两个点，且， ， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图象和性质，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及一次函数的性质是解决本题的关键． 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称为该一元二次方程的衍生点． (1)方程的衍生点坐标为______． (2)若关于x的一元二次方程的衍生点坐标为，求b和c的值． (3)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程、根的判别式以及根与系数的关系，解题关键是理解题意并正确计算． （1）根据题意解出方程的两个根，再根据衍生点的定义即可求出M点坐标． （2）根据衍生点的定义可得到方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系，解答即可； （3）根据点M在直线上，可得，再利用根的判别式即可解出答案． 【详解】（1）解：， 解得：， ∴方程的衍生点坐标为． 故答案为： （2）解：∵方程的衍生点坐标为， ∴方程的两根为． ∴，， ∴； （3）解：∵方程的衍生点为M，且点M在直线上， ∴，即该方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 【变式6-3】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，直线交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，垂足为． (1)求直线的函数关系式； (2)当的面积为时，求点的坐标； (3)的面积能达到吗？请说明理由． 【答案】(1)直线的函数关系式为； (2)或； (3)的面积不能达到，理由见解析． 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，一元二次方程根的情况，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）设直线的解析式为，把，代入解方程组得到直线的函数关系式为； （2）设，求得，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）假如的面积能达到，得到，整理得，由于，于是得到方程无实数根，即可得到结论． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 把，代入得 ， 解得 ∴直线的函数关系式为； （2）解：设， ∵． ∴． ∵的面积为， ∴， ∴或， 当时，，当时，， ∴或； （3）解：的面积不能达到．理由如下： 假如的面积能达到．则 ， 整理得． ∴， ∴方程无实数根， 故的面积不能达到． 【题型7 根的判别式结合几何】 【例7】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在四边形中，，点是上一点，连接，，已知，． (1)求证：； (2)已知，，，以，，为二次项系数、一次项系数和常数项构造关于的一元二次方程，称为勾股方程． ①若勾股方程有两个相等的实数根，求证：； ②若是勾股方程的一个根，且四边形的周长是，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②16 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，一元二次方程的解的定义，根的判别式，熟知相关知识是解题的关键。 （1）可证明，据此可利用证明； （2）①由根的判别式得到．由勾股定理可得．则，据此得到，则可得． ②由全等三角形的性质得到，，，则．根据一元二次方程的解的定义得到．根据四边形周长计算公式可得．则，再根据梯形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：， ． ． 又， ∴． （2）解：①方程有两个相等的实数根， ． ，，，， ，即． 把代入，得． ． ， ∵， ． ②由（1）知， ，，， ∴． 当时，，则． 四边形的周长是， ． ． ． ． 【变式7-1】定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB'的方向平移，得到A'B'C'，连接AC'，CC'，若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是_____．    【答案】1或． 【分析】由平移的性质得到，① 当时，；② 如图1，当时，③如图2，当时，则，延长交AB于H，设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵将Rt△ABC平移得到， , ① 当时，； ②如图1，当时，    ∵∠ABC＝90°，是∠ABC的角平分线， ∴， 延长交AB于H， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴22＝（2﹣x）2+（1+x）2， 整理方程为：2x2﹣2x+1＝0， ∵△＝4﹣8＝﹣4＜0， ∴此方程无实数根，故这种情况不存在； ③如图2，当当时，则， 延长交AB于H， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴（x）2＝（2﹣x）2+（1+x）2， 解得：x＝， ∴BB′＝， 综上所述，若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是1或， 故答案为：1或．    【点睛】此题主要考查勾股定理，平移的性质，理解“等邻边四边形”的定义是解本题的关键． 【变式7-2】已知a、b为实数，关于x的方程恒有三个不等的实根． （1）求b的最小值； （2）若该方程的三个不等实根，恰好是一个三角形内角的度数，求证该三角形必有一个内角是； （3）若该方程的三个不等实根恰为一个直角三角形的三条边，求a和b的值． 【答案】（1）-2；（2）见解析；（3）a=-16，b=62 【分析】（1）由绝对值的意义，原方程可以化为两个方程，又因为原方程有三个根，所以这两个方程中有一个方程是有不等实数根，有一个方程有两相等实数根，用一元二次方程根的判别式确定答案； （2）根据三角形三内角和为180°，以及一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和求出a的值，然后确定三角形的内角； （3）根据根与系数的关系，利用勾股定理进行计算，求出a，b的值． 【详解】解：（1）由原方程得：x2+ax+b-2=0①，x2+ax+b+2=0②， 两方程的判别式分别为：△1=a2-4b+8，△2=a2-4b-8， ∵原方程有三个根， ∴方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根， 即△1，△2中必有一个大于0，一个等于0，比较△1，△2，显然△1＞△2， ∴△1＞0，△2=0， 即，得， 由，可知a取任意实数， ∴当 a=0 时，b的最小值是-2； （2）由（1），设x2+ax+b=2的根为x1，x2，x2+ax+b=-2的根为x3 ∴x1+x2=-a，x3＝， 由已知x1+x2+x3=180°，即−a＝180°，得a=-120 ∴x3=60°即该三角形必有一个内角是60° （3）由△2＝a2−4b−8=0，知a2-4b=8，得△1＝a2−4b+8＝16 所以x2+ax+b=2的根为x1，2＝， ∵， ∴，得a=-16，或a=0， 当a=0时，x3＝＝0，不可能． ∴a=-16，b＝=62． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，（1）题根据方程的根的情况，用一元二次方程根的判别式进行求解．（2）题根据一元二次方程根与系数的关系以及三角形三内角和是180°进行证明．（3）题根据一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理，并用（1）题中的结论进行计算求出a，b的值． 【变式7-3】（2025八年级下·浙江·专题练习）(1)试用一元二次方程的求根公式，探索方程的两根互为相反数的条件是　　． (2)已知、为实数，，则　　． (3)在直角梯形中，，度，，，，动点从点出发，沿线段方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点从点出发，在线段以每秒1个单位长度的速度向点运动．点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． ①设的面积为，求和之间的函数关系式； ②当为何值时，以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形？（分类讨论） 【答案】(1)，且，异号 (2) (3)①；②或，、、三点为顶点三角形是等腰三角形 【分析】本题考查了根与系数的关系；根式和完全平方式的意义；三角形面积公式及勾股定理的应用． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，可求出； （2）先将原式变形为，再根据二次根式与平方都是非负数，即可求得，，即可求得． （3）①作，则，根据三角形的面积公式即可求解． ②若以、、三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：第一种：；第二种：；第三种：若．根据勾股定理可求得或，、、三点为顶点三角形是等腰三角形． 【详解】（1）解：依题意可知：， ． 并且判别式△，则，异号． 故方程的两根互为相反数的条件是：，且，异号． 故答案为：，且异号； （2）解：， 即， ，， ，， ． 故答案为：； （3）解：①作，垂足为．则四边形为矩形． ， ． ②由①可知，， 若以、、三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： 第一种：，在中， 则，解． 第二种：，在中，， 则， 整理得， ∵， ∴方程无实根， ． 第三种：若，由得，解得，（舍去） 综上可知：或，、、三点为顶点三角形是等腰三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 根的判别式的综合应用（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 判断不含参方程根的情况】 1 【题型2 判断含参方程根的情况】 1 【题型3 二次项系数为常数——知根的情况求参数的取值范围】 2 【题型4 二次项系数含参——知根的情况求参数的取值范围】 2 【题型5 根的判别式联系代数】 3 【题型6 根的判别式融汇函数】 3 【题型7 根的判别式结合几何】 4 【题型1 判断不含参方程根的情况】 【例1】（2025·贵州贵阳·一模）一元二次方程________实数根（填“有”或“没有”）． 【变式1-1】（25-26九年级上·青海海东·期中）一元二次方程的根的情况是______． 【变式1-2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个互为相反数的实数根 D．没有实数根 【变式1-3】关于x的一元二次方程，下面说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无法确定是否有实数根 D．没有实数根 【题型2 判断含参方程根的情况】 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）判断一元二次方程的根的情况_____． 【变式2-1】（25-26八年级下·山东泰安·期中）若点在第四象限，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【变式2-2】已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程进行了讨论：甲说：这一定是关于x的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；丙说：只有当且时，该方程有实数根；丁说：当时，该方程有实数根（   ） A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．乙和丁说的对 D．乙和丙说的对 【变式2-3】（25-26九年级上·河南漯河·期末）关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【题型3 二次项系数为常数——知根的情况求参数的取值范围】 【例3】（2026·河南许昌·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A． B． C．0 D．3 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）关于一元二次方程，下列说法正确的是（   ） A．若方程有实数根，则 B．若方程无实数根，则 C．当时，方程有两个不相等的实数根 D．当时，方程的根为 【变式3-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，设此方程的一个实数根为b，令 ，则y的最小值为__________． 【变式3-3】（25-26八年级下·浙江丽水·期中）等腰的一边长为，另外两边的长恰好是方程的两个根，则的值为______． 【题型4 二次项系数含参——知根的情况求参数的取值范围】 【例4】（2026·山东滨州·一模）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 【变式4-1】（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【变式4-2】已知关于x的一元二次方程有实数根，当m取最大整数值时，代数式的值为______． 【变式4-3】（25-26八年级下·安徽池州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)如果方程的一个根为1，求另一个根和m的值． 【题型5 根的判别式联系代数】 【例5】若实数a，b满足，则a的取值范围是______． 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知实数满足：．求的最小值_______________ 【变式5-2】已知实数x、y满足，则的取值范围是_______． 【变式5-3】设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式：b2+c2＝2a2+16a+14①bc＝a2﹣4a﹣5②．求a的取值范围． 【题型6 根的判别式融汇函数】 【例6】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第________象限． 【变式6-1】一元二次方程有两个相等的实数根，点、是一次函数上的两个点，若，则______（填“＜”或“＞”或“＝”）． 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称为该一元二次方程的衍生点． (1)方程的衍生点坐标为______． (2)若关于x的一元二次方程的衍生点坐标为，求b和c的值． (3)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值． 【变式6-3】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，直线交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，垂足为． (1)求直线的函数关系式； (2)当的面积为时，求点的坐标； (3)的面积能达到吗？请说明理由． 【题型7 根的判别式结合几何】 【例7】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在四边形中，，点是上一点，连接，，已知，． (1)求证：； (2)已知，，，以，，为二次项系数、一次项系数和常数项构造关于的一元二次方程，称为勾股方程． ①若勾股方程有两个相等的实数根，求证：； ②若是勾股方程的一个根，且四边形的周长是，求四边形的面积． 【变式7-1】定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB'的方向平移，得到A'B'C'，连接AC'，CC'，若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是_____．    【变式7-2】已知a、b为实数，关于x的方程恒有三个不等的实根． （1）求b的最小值； （2）若该方程的三个不等实根，恰好是一个三角形内角的度数，求证该三角形必有一个内角是； （3）若该方程的三个不等实根恰为一个直角三角形的三条边，求a和b的值． 【变式7-3】（2025八年级下·浙江·专题练习）(1)试用一元二次方程的求根公式，探索方程的两根互为相反数的条件是　　． (2)已知、为实数，，则　　． (3)在直角梯形中，，度，，，，动点从点出发，沿线段方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点从点出发，在线段以每秒1个单位长度的速度向点运动．点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． ①设的面积为，求和之间的函数关系式； ②当为何值时，以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形？（分类讨论） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $