25.2.1第1课时直接开平方法 作业 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习针对直接开平方法，采用基础-提升-拓展三层设计，通过概念辨析、运算训练到综合应用的递进路径，巩固新授课知识，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练|直接开平方法概念、方程根判断、简单解方程|以选择、填空为主，如方程根的存在性判断，夯实运算基础| |提升练|含参数方程、实际问题应用、新定义运算|结合自由落体问题（伽利略实验），体现模型意识，衔接知识综合应用| |拓展练|整体思想、新解法探究、跨情境问题|引入整体代换与新解法模仿，如将(x+1)²视为整体，培养创新意识|

25.2.1 第1课时 直接开平方法 一、基础练 1．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．若方程的根是有理数，则的值可能是（     ） A． B．3 C． D．4 3．已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 4．已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 5．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．解方程： (1)； (2)； (3)． 7．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 二、提升练 8．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（    ） A． B． C．或 D．或 9．解下列方程： (1)； (2)． 10．在实数范围内定义一种运算“※”，其规则是，根据这个规则，求方程的解． 11．已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 12．意大利物理学家伽利略（GalileoGalilei，1564—1642）曾在比萨斜塔上做自由落体实验，他将两个质量不同的铁球从相同的高度h处同时扔下，结果两个铁球的落地时间t几乎一样．已知h（单位：m）与t（单位：s）满足关系式，其中，，求铁球的落地时间t．（精确到） 三、拓展练 13．对于实数，我们用符号表示两数中较小的数，如，，若，则________ ． 14．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： (1)计算． (2)，求的值． 15．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《25.2.1 第1课时 直接开平方法》参考答案 题号 1 2 3 4 5 7 8 答案 B D B A D C C 1．B 【分析】将各选项方程整理为的形式，若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程无实数根；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，移项，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； B、，移项，得， ∵， ∴此方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意； C、，系数化为，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； D、， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意． 2．D 【详解】由，可得． ∵ 方程的根是有理数， ∴ ，且是有理数的平方． A选项，，不符合要求，选项A错误； B选项，不是有理数的平方，根为无理数，选项B错误； C选项，，不符合要求，选项C错误； D选项中，，根为，是有理数，选项D正确． 3．B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，解题的关键是一元二次方程的一般形式是（为常数且），特别注意，这是在解题中容易忽略的知识点． 由一元二次方程常数项为0，得，解方程即可，二次项系数已满足非零条件． 【详解】解：常数项为0， ， ， ， 由二次项系数， ． 故选：． 4．A 【分析】利用直接开平方法结合实数平方的非负性，分别判断两个方程解的情况即可． 【详解】解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 5．D 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 6．(1) (2)方程无实数根 (3) 【详解】（1）解： 即； （2）解： ∵， ∴原方程无实数根； （3）解： 即． 7．C 【分析】先直接用开平方法求出一元二次方程的两根，根据确定a、b的值，再判断各选项的说法是否正确． 【详解】解：解方程， 解得，， ，， A、，A选项错误； B、a与b不是互为相反数，B选项错误； C、，是17的算术平方根，C选项正确； D、，不是17的算术平方根，D选项错误． 8．C 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的解、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程． 由已知根代入原方程得与的关系，再代入新方程求解即可． 【详解】解： 方程 的一个根为， ， ， 对于方程， 代入，得 ， ，两边除以，得 ， 即， 或， 或， 即方程根为或． 故选：． 9．(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 即，； （2）解：， ， 或， 解得，． 10．， 【分析】由运算规则可得，结合得出，最后解一元二次方程即可． 【详解】解：∵在实数范围内定义一种运算“※”，其规则是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 11．(1)，方程的解为， (2)方程的解为， 【分析】（1）先根据已知求得m的值，再解一元二次方程即可； （2）将m值代入方程中，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由得， ∵方程不含的一次项， ∴，解得， ∴，则， ∴，； （2）解：当时，方程为 移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 12．铁球的落地时间约为 【分析】将已知数值代入自由落体关系式，解关于t的一元二次方程，根据实际意义舍去负数解，再对算术平方根取近似值，精确到． 【详解】解：由题意得，，， ， 化简得， ， ， 答：铁球的落地时间约为． 13．或 【分析】根据新定义，分、及时三种情况，分别令较小的数等于求解，再验证是否符合大小条件即可； 【详解】解：分情况讨论：当时，展开不等式得，化简得， ∵， ∴较小的数，解得或， 又，舍去，得，符合条件； 当时，展开不等式得，化简得， ∵， ∴较小的数，开方得，解得或， 又，舍去，得，符合条件； 当时，解得，此时两数都为，不符合题意，舍去； 综上，或； 14．(1) (2) 【分析】（1）将原式变形为，再将看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）把看成一个整体，利用平方差公式计算，最后解方程即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ． 令， ， ． 又，即， ， ． 15．(1)，，， (2)， 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $