精品解析：四川成都市武侯区西川实验学校2026-2027学年八年级上学期入学考数学试题

成都西川实验学校 八年级数学作业 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一个符合题目要求） 1. 体育锻炼是提高人民健康水平的重要途径，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点E，F在上，，，下列条件中不能使成立是（ ） A. B. C. D. 5. 下列数据是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 6. 如图①所示，是工程中画平行线的工具．在画平行线之前，先通过调整中间螺丝的松紧来调整横板与竖板的夹角，使其呈直角，如图②所示；再根据调整好的工具中的横板画平行线即可，如图③所示．其中画平行线的数学道理，下列解释不合理的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D. 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 7. 《九章算术》有个题目，大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量分别为x两，y两，可得方程组是（ ） A. B. C. D. 8. “司马光砸缸”是大家熟知的故事，故事情节是水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水逐渐没过孩童头顶，同伴们除了大声呼救，毫无办法，此时，司马光急中生智，举起石头砸破水缸，水逐渐流出后，孩童得救．下面比较符合“司马光砸缸”的故事情节的图是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 计算：______． 10. 已知方程组那么________． 11. 若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是______． 12. 如图，将一张矩形纸条折叠，若，则______． 13. 如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14. 计算 （1） （2）解方程组： 15. 如图所示，梯形的上底长是5cm，下底长是13cm，当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化． （1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______，常量是______； （2）请直接写出梯形的面积y（cm2）与高x（cm）之间的关系式； （3）当梯形的高由8cm变化到2cm时，梯形的面积的变化情况． 16. 在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 （1）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； （2）若盒子里黑球有24个，则红球有______个； （3）在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 17. 如图，点、、、在正方形网格的格点上，按下述要求画图并回答问题： （1）作射线，过点作射线的垂线，交于点，连接； （2）在（1）中所作图形里，已知， ，求的度数．在下列解答中，填空： 解：， ①_____②_____（同旁内角互补，两直线平行）． ③_____（④_____）． ， ⑤_____． 18. 如图，，，点为中点，点在线段上，点在线段上，连接，，，，． （1）求的度数； （2）已知平分，延长与的平分线相交于点，求证：； （3）若，点为中点，且，为等腰三角形，求的度数． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，，则______． 20. AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则AD的取值范围是_____． 21. 若的乘积结果中不含的一次项，则常数的值为________． 22. 如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝__________． 23. 我们定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”，例如：，，，所以4，12，24都是“比肩数”．设两个连续正整数中较小的数为n，对应的“比肩数”记为Bn．当时，“比肩数”为______；请用含n的代数式表示“比肩数”Bn为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 2025年安徽推进千亿斤粮食产能提升行动，某产粮大县种植甲、乙两种优质水稻．2024年该县甲、乙两种水稻总产量为1200吨；2025年该县甲种水稻产量增长20%，乙种水稻产量增长15%，总产量达1410吨． （1）求2024年该县甲、乙两种水稻的产量； （2）求2025年该县甲、乙两种水稻各自的增产量． 25. （1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中阴影部分面积为 　　，图2中阴影部分面积为 　　，请写出这个乘法公式 　　； （2）应用（1）中的公式，完成下面任务： 若m是不为0的有理数，已知， ，比较P、Q大小． （3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小正方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式 　　． 26. 如图，在中，，点D为线段上一点，且，点E是线段上一点（不与端点重合），连接，以为斜边在其右侧作，且． （1）当时， （i）若，证明：平分． （ii）连接，若点E是线段的中点，且，求的长． （2）当时，连接并延长交的延长线于点G，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都西川实验学校 八年级数学作业 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一个符合题目要求） 1. 体育锻炼是提高人民健康水平的重要途径，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A，图形找不到对称轴，不是轴对称图形； 选项B，图形沿竖直中线折叠，直线两旁部分能够完全重合，是轴对称图形； 选项C，图形找不到对称轴，不是轴对称图形； 选项D，图形找不到对称轴，不是轴对称图形． 2. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数数，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：A． 3. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、积的乘方、完全平方公式和平方差公式，根据相关运算法则逐项计算即可得出答案． 【详解】解：A，，计算错误，不合题意； B，，计算错误，不合题意； C，，计算错误，不合题意； D，，计算正确，符合题意； 故选D． 4. 如图，点E，F在上，，，下列条件中不能使成立是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 由，，根据“”不能得出，故A符合题意； ∵， ∴， 即， 由，，根据“”能得出，故B不符合题意； ∵， ∴， 由，根据“”能得出，故C不符合题意； 由，，根据“”能得出，故D不符合题意． 5. 下列数据是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，灵活运用“两边之和大于第三边”是解题的关键． 根据两边之和大于第三边逐项判断即可． 【详解】解：A．由，与两边之和大于第三边矛盾，故A不符合题意； B．由，与两边之和大于第三边矛盾，故B不符合题意； C．由，与两边之和大于第三边矛盾，故C不符合题意； D．由，符合两边之和大于第三边，故D符合题意． 故选：D． 6. 如图①所示，是工程中画平行线的工具．在画平行线之前，先通过调整中间螺丝的松紧来调整横板与竖板的夹角，使其呈直角，如图②所示；再根据调整好的工具中的横板画平行线即可，如图③所示．其中画平行线的数学道理，下列解释不合理的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D. 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定和推论依次判断即可． 【详解】解：选项A：两个横板与竖板形成的同位角都是，符合同位角相等，两直线平行的原理，解释合理，不符合题意； 选项B：两个横板与竖板形成的同旁内角和为，符合同旁内角互补，两直线平行的原理，解释合理，不符合题意； 选项C：“过一点，有且只有一条直线与已知直线平行”的前提是这个点在已知直线外，且该定理描述的是过定点作平行线的唯一性，并不是这个工具画出两条平行线的依据，解释不合理，符合题意； 选项D：两个横板都垂直于同一条竖板，符合同一平面内垂直于同一直线的两直线平行的原理，解释合理，不符合题意． 7. 《九章算术》有个题目，大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量分别为x两，y两，可得方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得等量关系：①5只雀的重量+6只燕的重量=16两，②4只雀的重量+1只燕的重量=1只雀的重量+5只燕的重量，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每只雀、燕的重量分别为x两，y两，由题意得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，熟练掌握计算法则是解题关键． 8. “司马光砸缸”是大家熟知的故事，故事情节是水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水逐渐没过孩童头顶，同伴们除了大声呼救，毫无办法，此时，司马光急中生智，举起石头砸破水缸，水逐渐流出后，孩童得救．下面比较符合“司马光砸缸”的故事情节的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象，掌握折线图的特征是解决问题的关键． 统计图的纵轴表示水面的高度，横轴表示时间，水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水面上涨，水已没过孩童头顶后．水面高度不变，此时，举起石头砸破水缸，水流出后，水面下降，据此解答． 【详解】解：水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水面上涨，水已没过孩童头顶后．水面高度不变，此时，举起石头砸破水缸，水流出后，水面下降，孩童得救．下面比较符合“司马光砸缸”的故事情节的图是C． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 计算：______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】逆用积的乘方法则简化高次幂运算，拆分指数后分组计算即可得结果． 【详解】解： ． 10. 已知方程组那么________． 【答案】4 【解析】 【详解】解： 得， ∴． 11. 若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 12. 如图，将一张矩形纸条折叠，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质得出，利用平角的定义求出，再根据矩形对边平行，利用平行线的性质求出的度数即可． 【详解】解：由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 13. 如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据的面积为，求出，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求出． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， ， ， ， ， 是的平分线，， ． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14. 计算 （1） （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 15. 如图所示，梯形的上底长是5cm，下底长是13cm，当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化． （1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______，常量是______； （2）请直接写出梯形的面积y（cm2）与高x（cm）之间的关系式； （3）当梯形的高由8cm变化到2cm时，梯形的面积的变化情况． 【答案】（1）梯形的高，梯形的面积，上底，下底 （2） （3）面积从变化到 【解析】 【分析】（1）根据自变量，因变量，常量的定义解答； （2）根据梯形的面积公式解答即可； （3）将分别代入关系式，再求出解即可． 【小问1详解】 解：在这个变化过程中，自变量是梯形的高，因变量是梯形的面积，上底和下底是常量； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：当时，； 当时，， 所以梯形的面积从变化为． 16. 在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 （1）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； （2）若盒子里黑球有24个，则红球有______个； （3）在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用大量重复试验下频率的稳定值估计摸到红球的概率； （2）根据黑球数量与黑球的概率计算总球数，进而求得红球个数； （3）根据放入红球后的概率列方程求解的值． 【小问1详解】 解：， 即随着摸球次数增大，摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率估计值为； 【小问2详解】 解：摸到黑球的概率为， 总球数为（个）， 则红球个数为（个）； 【小问3详解】 解：根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 17. 如图，点、、、在正方形网格的格点上，按下述要求画图并回答问题： （1）作射线，过点作射线的垂线，交于点，连接； （2）在（1）中所作图形里，已知， ，求的度数．在下列解答中，填空： 解：， ①_____②_____（同旁内角互补，两直线平行）． ③_____（④_____）． ， ⑤_____． 【答案】（1）见解析 （2），，，两直线平行、内错角相等， 【解析】 【分析】（1）根据射线的定义作出射线即可；借助网格，取的中点E，过点B和点E作直线，则直线是射线的垂线；连接即可； （2）根据平行线的判定与性质结合所给过程解答即可． 【小问1详解】 解：如图，射线，直线，线段即为所求. 【小问2详解】 解：， （同旁内角互补，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． ， ． 18. 如图，，，点为中点，点在线段上，点在线段上，连接，，，，． （1）求的度数； （2）已知平分，延长与的平分线相交于点，求证：； （3）若，点为中点，且，为等腰三角形，求的度数． 【答案】（1） （2）证明：延长与的平分线相交于点，与交于点， ∵平分，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴ （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作，由两直线平行，内错角相等，即可得到答案； （2）通过三角形内角和定理与角平分线的性质，可以表示出和，由两直线平行，内错角相等，即可证得结论； （3）为等腰三角形，分三种情况讨论：，，，由两直线平行的性质和等腰三角形的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， ∵，点为中点，点为中点， ∴， 为等腰三角形，分三种情况讨论： 情况1：若， ∵， ∴， 在中，， 由（1）可知，， ∵， ∴是等腰直角三角形， 取的中点，连接，则， ∵，点为中点，点为中点， ∴，， ∴，， 又∵ ， ∴， 情况2：若， ∵，点为中点，点为中点，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 情况3：若， ，， ∵， ∴，， ∴， 由情况2可知，是等腰直角三角形，，， ∴， ∴，，， ∵，与矛盾，此种情况不存在， 综上，的度数为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式变形，先根据已知条件求出的值，再代入计算的展开式． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴． 20. AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则AD的取值范围是_____． 【答案】2＜AD＜10． 【解析】 【分析】求中线AD的取值范围可延长AD至点E，使AD＝DE，得出△ACD≌△EBD，进而在△ABE中利用三角形三边关系求解． 【详解】解：如图，延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE， ∵AD是△ABC的边BC上的中线， ∴BD＝CD， 又∠ADC＝∠BDE，AD＝DE ∴△ACD≌△EBD， ∴BE＝AC， 在△ABE中，AB−BE＜AE＜AB＋BE，即AB−AC＜AE＜AB＋AC，12−8＜AE＜12＋8， ∴4＜AE＜20， ∴2＜AD＜10， 故答案为2＜AD＜10. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系，要注意掌握出现中点的辅助线一般应延长中线所在的直线构造全等三角形，这是一种非常重要的方法. 21. 若的乘积结果中不含的一次项，则常数的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】展开多项式乘积，令的一次项系数为，解方程即可得到的值． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴一次项系数等于，即， 解得． 22. 如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝__________． 【答案】5秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况． 分与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； 旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； 旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：，， ，． 分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ，， 要使，则， 即． 解得； 旋转到与都在的右侧时， ，， 要使，则， 即， 解得； 旋转到与都在的左侧时， ，， 要使，则， 即， 解得． ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为5秒或秒时，与平行． 故答案为：5秒或秒． 23. 我们定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”，例如：，，，所以4，12，24都是“比肩数”．设两个连续正整数中较小的数为n，对应的“比肩数”记为Bn．当时，“比肩数”为______；请用含n的代数式表示“比肩数”Bn为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“比肩数”的定义，两个连续正整数中较小数为时，较大数为，代入定义式计算化简即可． 【详解】解：当时，相邻的较大正整数为， 根据“比肩数”的定义计算得： ， 因此时，“比肩数”为． 推导含的代数式时，较大的连续正整数为， 代入定义得：． 展开并化简：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 2025年安徽推进千亿斤粮食产能提升行动，某产粮大县种植甲、乙两种优质水稻．2024年该县甲、乙两种水稻总产量为1200吨；2025年该县甲种水稻产量增长20%，乙种水稻产量增长15%，总产量达1410吨． （1）求2024年该县甲、乙两种水稻的产量； （2）求2025年该县甲、乙两种水稻各自的增产量． 【答案】（1）2024年该县甲种水稻的产量为600吨，乙种水稻的产量为600吨 （2）2025年该县甲种水稻增产量为120吨，乙种水稻增产量为90吨 【解析】 【分析】（1）设2024年甲种水稻产量为吨，乙种水稻产量为吨，根据题意列二元一次方程组进行求解即可； （2）根据增长率计算增长量即可． 【小问1详解】 解：设2024年甲种水稻产量为吨，乙种水稻产量为吨， 根据题意，得 解得 答：2024年该县甲种水稻的产量为600吨，乙种水稻的产量为600吨． 【小问2详解】 甲种水稻的增产量：（吨）， 乙种水稻的增产量：（吨）． 答：2025年该县甲种水稻增产量为120吨，乙种水稻增产量为90吨． 25. （1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中阴影部分面积为 　　，图2中阴影部分面积为 　　，请写出这个乘法公式 　　； （2）应用（1）中的公式，完成下面任务： 若m是不为0的有理数，已知， ，比较P、Q大小． （3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小正方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式 　　． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图1中阴影部分的面积看作成两个正方形的面积差，图2中的阴影部分是长为，宽为的长方形，即可求得阴影部分的面积，从而可得到乘法公式； （2）利用作差法可得，根据，即可得出结果； （3）分别求出图3左右两侧图形的体积，即可求得恒等式． 【详解】解：（1）由图可得，图1中，图2中， 因此，乘法公式为， 故答案为：，，； （2）∵ ， ∵若m是不为0的有理数， ∴，即， ∴； （3）∵图3左图的体积为， 图3右图的体积为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查列代数式的应用，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． 26. 如图，在中，，点D为线段上一点，且，点E是线段上一点（不与端点重合），连接，以为斜边在其右侧作，且． （1）当时， （i）若，证明：平分． （ii）连接，若点E是线段的中点，且，求的长． （2）当时，连接并延长交的延长线于点G，求证：． 【答案】（1）（i）证明：如图1， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （ii）8 （2）证明：如图3，延长到，使，连接，在上取点，使，连接、 ， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，即：， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， ∴，即：， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， 又∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）（i）根据，，求出的度数，再根据，即可求出的度数，再根据，可求出，再根据，可求出的度数，进而可求出，即可得，进而可判断平分． （ii）过点作于，再过作于，即可得、等于90度，根据条件，结合等腰三角形性质可得四边形是矩形，再证明，即可得四边形是正方形，根据正方形性质得，设，根据E是线段的中点，即可列方程求出 ，再根据，即可列方程解出的长． （2）延长到，使，连接，再在上取点，使，连接、 ，根据是直角三角形，即可得是的垂直平分线，进而得，根据等边对等角得，再根据等腰三角形性质，结合已知条件得，进而得，再在和中，运用三角形内角和定理推出，进而得，即可证明，根据全等性质得，再根据，进一步推理得，即可得，根据平行线性质得，即可证明，根据全等性质即可得． 【小问1详解】 解：（i）略 （ii）如图2，过点作于，再过作于，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是直角三角形，且，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设， ∵E是线段的中点， ∴， ∴，， ， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，即：，解得：， ∴， ∴的长为8． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $