精品解析：四川省成都市武侯区成都市棕北中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题

棕北中学数学入学限时训练 （满分150分 时间120） A卷（100分） 一、选择题（共8小题，分32分，每小题4分） 1. 一个企业的logo（标志）代表着一种精神，一种企业文化，以下是深圳市四个公司的logo，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的定义即可解答． 【详解】解：根据轴对称的定义可知：B选项为轴对称图形． 故选B． 【点睛】本题主要考查了轴对称的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 2. 已知某新型感冒病毒的直径约为0.000 000 733米，将0.000 000 733用科学记数法表示为( ) A. 7.33×10－6 B. 7.33×10－7 C. 7.33×106 D. 7.33×107 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意科学记数法的定义即可求解. 【详解】0.000 000 733=7.33×10－7 故选B. 【点睛】此题主要考查科学记数法的定义，解题的关键是熟知科学记数法的表示方法. 3. 下列不能能组成三角形的线段是（ ） A. 5cm,3cm,6cm B. 3cm,4cm,5cm C. 2cm,4cm,6cm D. 5cm,6cm,9cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 【详解】A. ∵5+3>6，∴5cm,3cm,6cm能组成三角形； B. ∵3+4>5，∴3cm,4cm,5cm能组成三角形； C. ∵2+4=6，∴2cm,4cm,6cm不能组成三角形； D. ∵5+6>9，∴5cm,6cm,9cm能组成三角形； 故选C. 【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键. 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 打开电视机，正在播放广告是随机事件 B. 某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票，一定有1张中奖 C. 抛掷1枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D. 任意一个三角形，其内角和为是必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此对各选项分析判断求解． 【详解】解：A、打开电视机，正在播放广告是随机事件，故本选项符合题意； B、某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票不一定会中奖，故本选项不符合题意； C、抛掷1枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为，故本选项不符合题意； D、任意一个三角形，其内角和为是不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在和中，，欲证，必须补充的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的证明；已知两边相等，可以添加第三边相等或两边的夹角相等进行证明． 【详解】解：A、添加，不能根据证明； B、添加，不能根据证明； C、添加，则， ∴， ∴根据能证明； D、添加，不能证明； 故选：C． 6. 如图，要得到，则需要条件（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴，故C符合题意；A、B、D均不能证明． ． 7. 已知多项式x2+kx+36是一个完全平方式，则k=（ ） A. 12 B. 6 C. 12或—12 D. 6或—6 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析： ∴k=12或k=−12， 故选C. 8. 如图1，四边形是正方形，点在直线上，．直线沿方向平行移动，设移动离为．直线经过的阴影部分面积为．那么表示与之间函数关系的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．关键是理解图形运动过程中的几个分界点． 【详解】解：当 时，图象为顶点在原点，开口向上的抛物线的一部分， 当时， ∵ 为定值， ∴函数图象是开口向下的抛物线的一部分. 故选 B. 二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 9. 成立的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数次幂，掌握任何一个不等于零的数的零次幂都等于解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为： 10. 如图,∠AOC与∠BOD都是直角,且∠AOB:∠AOD=2:7,则∠COD=_____°. 【答案】36 【解析】 【分析】直接表示出各角的度数，再利用已知及同角的余角相等得出答案． 【详解】设∠AOB=x，则∠AOD=90°+x． ∵∠AOB：∠AOD=2：7，∴，解得：x=36°． ∵∠AOB+∠BOC=90°，∠COD+∠BOC=90°，∴∠COD=∠AOB=36°． 故答案为36． 【点睛】本题考查了同角的余角相等，正确表示出各角度数是解题的关键． 11. 若与的乘积中不含一次项，则m的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算，再由乘积中不含的一次项，可得从而可得答案． 【详解】解：∵且与的乘积中不含的一次项， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是多项式的乘法运算，多项式中不含某项，掌握以上知识是解题的关键． 12. 如图在中．的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，由线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得， 继而求得的度数， 则可求得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】解：由图可知，右上角和右下角可测量，为已知条件，两角的夹边也可测量，为已知条件，故可根据即可得到与原图形全等的三角形， 即小亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等， 故答案为：． 三、解答题（共5小题，满分4分） 14. 计算 （1）； （2）； （3） 【答案】（1）0 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，整式的乘除，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据负整数指数，零指数次幂和乘方运算，然后合并解题即可； （2）先运算积的乘方，然后运用单项式的乘除法解题即可； （3）先利用单项式乘以多项式运算，然后运用多项式除以单项式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 15. 居委会要在街道旁修建一个奶站，向居民区提供牛奶．奶站应建在什么地方，才能使从到它的距离之和最短？ 小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得点的坐标为点的坐标为． （1）小聪利用轴对称图形的性质找到奶站．你在图中标出奶站的位置（不写作法，保留作图迹） （2）求出两点到奶站的最小距离． 【答案】（1） 作点关于轴的对称点 连结. 交轴于点，连接.则点应为奶站的地方. （2） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理； 正确确定奶站的位置是解题的关键． （1）在坐标轴中轴是街道所在直线，要求奶站的具体位置我们可以作图分析； 作点关于轴的对称点连结交轴于点，连结，则点即为奶站的地方； （2）最短距离为的长度，由点是关于轴的对称点可知是的垂直平分线，从而得出，从而根据两点之间线段最短验证了的长即为最短距离； 根据两点距离公式即可得出的长，进而得出问题的答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知， 的坐标为， ∵点与关于轴对称， ， ∴是 的垂直平分线， ， ， ∴所求最短距离即线段的长， ∵点的坐标是, 点的坐标是， ， 即从两点到奶站的距离之和最小值是. 16. 为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目．现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图： 根据以上信息．解答下列问题： （1）参与此次抽样调查的学生人数是______人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数） （2）图②中扇形的圆心角度数为______度： （3）计划在五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法．求恰好选中这两项活动的概率． 【答案】（1）120 补全统计图如下： （2）108 （3） 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图，列表法或树状图法求简单随机事件的概率，理解条形统计图、扇形统计图中数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提． （1）从两个统计图中可得样本中选择“．七巧板”的有36人，占调查人数的，根据频率即可求出答案，进而补全条形统计图； （2）根据扇形B所占的百分比，求出相应的圆心角的度数； （3）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可． 【小问1详解】 解：调查学生总数为（人， 选择“．数学园地设计”的有（人， 【小问2详解】 解：图②中扇形B的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：在，，，，五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下： —— —— —— —— —— ∵共有20种可能出现的结果，其中恰好选中，这两项活动的有2种， 所以恰好选中，这两项活动的概率为． 17. 如图所示，在等边中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点． （1）求的大小； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得到，根据两直线平行，同位角相等，得到，再根据直角三角形，两锐角互余，即可得解； （2）证明为等边三角形，为等腰三角形，即可得证． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查等腰三角形判定和性质，等边三角形的判定和性质，以及直角三角形的两个锐角互余．熟练掌握等角对等边，以及三个角均为的三角形为等边三角形是解题的关键． 18. 如图1，图2，图3，将一块含角的直角三角尺放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点D，E． （1）如图1，若，，，求的度数； （2）如图2，改变的位置，使点C在外，且在边的左侧，边与边交于点P，求与之间的数量关系； （3）如图3，若，，且边与边在同一条直线上，固定三角尺，将绕点D按顺时针方向以每秒的速度进行旋转． ①在绕点D旋转一周的过程中，当边恰好与边平行时，求旋转时间； ②若绕点D不停旋转，在旋转过程中，若边和的一条边平行（不包括共线的情况），则称之为一次“边平行”，直接写出第15次边平行时旋转的时间． 【答案】（1） （2） （3）①6秒或15秒；②43.5秒 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理解题即可； （2）利用三角形外角的性质计算解题； （3）①分为在的下方和在的上方两种情况，利用平行线的性质解题即可； ②根据题意可知，共有四种情况，依次为：，，，，，， 然后运用，可知旋转的时间为旋转一周需要秒，然后计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∵， ∴，， 又∵，， ∴． 【小问2详解】 由题意知，， ∵， ∴，即． 【小问3详解】 ①∵，， ∴， 如图，当时，设的延长线交交于点G， 则，， ∵， ∴， ∴旋转的角度为， ∴旋转时间为（秒）； 如图，当时， 则，， ∵， ∴， ∴旋转的角度为， ∴旋转时间为（秒）． 综上，当边恰好与边平行时，旋转时间为6或15秒． ②绕点D不停旋转，在旋转一周过程中， 边和的一条边平行（不包括共线的情况），共有六种情况，依次为：，，，，，， 而旋转一周需要（秒）， 又∵， ∴当第15次边平行时，，且在如图所示位置,延长CA交于点K， 则, 由旋转知， ， ∴第15次边平行时旋转的时间为（秒) . B卷（50分） 四、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 19. 计算的结果是______． 【答案】#### 【解析】 【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形进而得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了积的乘方运算，解题的关键是正确将原式变形． 20. 如图，在长方形ABCD中，点E在AD上，连接BE、CE．将△ABE沿BE翻折得到△A′BE，△DCE 沿CE翻折得到△D'CE，分别作∠CED、∠A′BC的角平分线相交于点F．若∠BCE＝40°，∠A′ED′＝m°， 则∠BFE的度数为_____________度 （用含m的代数式表示）． 【答案】(25+m)． 【解析】 【分析】设BF与EC交于G，由四边形ABCD为矩形，可得AD∥BC，由折叠可得∠AEB=∠A′EB，∠DEC=∠D′EC，∠ABE=∠A′BE，由∠ECB=40°和EF平分∠CED，可求∠DEF=∠FEC=20°，由∠A′ED′＝m°可求∠AEA′=100°+m°，可求∠A′BC=90°-2∠ABE=10°+m°，由BF平分∠A′BC，可求∠GBC=利用八字形图形中角关系可求． 【详解】解：设BF与EC交于G， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∵折叠， ∴∠AEB=∠A′EB，∠DEC=∠D′EC，∠ABE=∠A′BE， ∴∠ECB=40°， ∴∠DEC=∠D′EC=∠ECB=40°， ∵EF平分∠CED， ∴∠DEF=∠FEC=20°， ∵∠A′ED′＝m°， ∴∠A′EC=∠D′EC-∠D′EA′=40°-m°， ∴∠AEA′=180°-∠A′EC-∠DEC=180°-40°+m°-40°=100°+m°， ∴∠AEB=， ∴∠ABE=90°-∠AEB=40°-m°， ∴∠A′BC=90°-2∠ABE=10°+m°， ∵BF平分∠A′BC， ∴∠GBC=， ∵∠EGF=∠BGC， ∴∠FEG+∠F=∠GBC+∠GCB即20°+∠F=5°+m°+40°， ∴∠F=5°+m°+40°-20°=25°+m°， 故答案为(25+m)． 【点睛】本题考查折叠中角度问题，矩形性质，平行线性质，角平分线，三角形内角和，掌握折叠中角度问题，矩形性质，平行线性质，角平分线，三角形内角和是解题关键． 21. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则 ______ ． 【答案】##45度 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理，求出，再根据线段垂直平分线的性质，推得，即可求解． 【详解】解：∵，， ， 的垂直平分线交于， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．掌握垂直平分线的性质是解题关键． 22. 如图，为线段上一动点点不与点、重合，在同侧分别作等边和等边，与交于，与相交于P，与交于点，连结，以下五个结：①；②；③；④；⑤平分，其中正确的结论有___________只填序号． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件运用等边三角形的性质得到三角形全等，进而得到更多结论，然后运用排除法，对各个结论进行验证从而确定最后的答案； 【详解】解：等边和等边， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故正确； ②∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 故正确； ③， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴； 故正确； ④∵， ， ，故错误； 如图，过点作，垂足为，作，垂足为， 同理可得出，， ∵，， ∴， ∴， 平分，故正确． 综上所述，正确的结论有：， 故答案为； 【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定等知识点；得到三角形全等是正确解答本题的关键． 23. 代数式的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． 作，过点B作，过点D作，使，，连接交于点C，则的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，，利用矩形和直角三角形的性质可求得的值． 【详解】解：原式 作，过点B作，过点D作，使，连接交于点C，设，则的长即为代数式的最小值．如图所示， 过点A作交的延长线于点F，得矩形，则，，， 所以， 即的最小值为． 故答案为：． 五．解答题（共3小题，满分30分） 24. 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，请你写出下列三个代数式之间的等量关系为　 　； （2）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，试求的值； （3）如图3，在中，，，分别以、为边向两边作正方形，两正方形的面积分别为．设，求图中阴影部分面积． 【答案】（1） （2）或 （3）9 【解析】 【分析】（1）用两种不同的方法表示出图中阴影部分的面积，即可得出结论； （2）根据（1）中的结论进行求解即可； （3）根据，求出的值，根据阴影部分的面积等于，即可得解． 【小问1详解】 解：由图可知：图中阴影部分的面积， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴． 又∵， 即， ∴． ∴． 【点睛】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 25. 某市两个蔬菜基地得知四川两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运两个灾民安置点，从地运往两处的费用分别为每吨元和元，从地运往两处的费用分别为每吨元和元．设从地运往处的蔬菜为吨． （1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值： 总计/ 总计/ （2）设两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； （3）经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 【答案】（1） 填表如下： 总计/ 总计/ 两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值为； （2），此时调运方案为： 总计/ 总计/ （3）解：由题意得， ∴当时，（）中调运方案总费用最小； 当时，在的前提下调运方案的总费用不变； 当时，总费用最小，其调运方案如下： 总计/ 总计/ 【解析】 【分析】（）根据题意，用减可得需要从处调运的数量，用减去可得从调研往处的数量，用减去即为从调运往处的数量； （）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得与的函数关系，列不等式组可解； （）本题根据的取值范围不同而有不同的解，分、和三情况解答即可； 本题考查了一次函数在实际问题中的应用，根据题意，正确得出一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 （）依题意得：， 解得， ∴两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时，的值为； 【小问2详解】 解：与之间的函数关系为： 由题意得：， ∴， ∵在中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，总运费最小， 进而可得此时调运方案； 【小问3详解】 略 26. 【问题背景】 如图，在中，，和的平分线和相交于点 G． 【问题探究】 （1）的度数为 ； （2）过G作交的延长线于点 F，交于点 H，判断与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵和的平分线和相交于点 G， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）4 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理得到，再由角平分线的定义得到，由此即可利用三角形内角和定理求出答案； （2）利用三角形内角和定理证明，进而证明，由此可证明得到； （3）由全等三角形的性质得到，则，再证明，即可得到． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∵和的平分线和相交于点 G， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 棕北中学数学入学限时训练 （满分150分 时间120） A卷（100分） 一、选择题（共8小题，分32分，每小题4分） 1. 一个企业的logo（标志）代表着一种精神，一种企业文化，以下是深圳市四个公司的logo，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知某新型感冒病毒的直径约为0.000 000 733米，将0.000 000 733用科学记数法表示为( ) A. 7.33×10－6 B. 7.33×10－7 C. 7.33×106 D. 7.33×107 3. 下列不能能组成三角形的线段是（ ） A. 5cm,3cm,6cm B. 3cm,4cm,5cm C. 2cm,4cm,6cm D. 5cm,6cm,9cm 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 打开电视机，正在播放广告是随机事件 B. 某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票，一定有1张中奖 C. 抛掷1枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D. 任意一个三角形，其内角和为是必然事件 5. 如图，在和中，，欲证，必须补充的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，要得到，则需要条件（ ） A. B. C. D. 7. 已知多项式x2+kx+36是一个完全平方式，则k=（ ） A. 12 B. 6 C. 12或—12 D. 6或—6 8. 如图1，四边形是正方形，点在直线上，．直线沿方向平行移动，设移动离为．直线经过的阴影部分面积为．那么表示与之间函数关系的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 9. 成立的条件是______． 10. 如图,∠AOC与∠BOD都是直角,且∠AOB:∠AOD=2:7,则∠COD=_____°. 11. 若与的乘积中不含一次项，则m的值为____________． 12. 如图在中．的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，若，则______ 13. 如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是______． 三、解答题（共5小题，满分4分） 14. 计算 （1）； （2）； （3） 15. 居委会要在街道旁修建一个奶站，向居民区提供牛奶．奶站应建在什么地方，才能使从到它的距离之和最短？ 小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得点的坐标为点的坐标为． （1）小聪利用轴对称图形的性质找到奶站．你在图中标出奶站的位置（不写作法，保留作图迹） （2）求出两点到奶站的最小距离． 16. 为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目．现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图： 根据以上信息．解答下列问题： （1）参与此次抽样调查的学生人数是______人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数） （2）图②中扇形的圆心角度数为______度： （3）计划在五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法．求恰好选中这两项活动的概率． 17. 如图所示，在等边中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点． （1）求的大小； （2）求证：． 18. 如图1，图2，图3，将一块含角的直角三角尺放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点D，E． （1）如图1，若，，，求的度数； （2）如图2，改变的位置，使点C在外，且在边的左侧，边与边交于点P，求与之间的数量关系； （3）如图3，若，，且边与边在同一条直线上，固定三角尺，将绕点D按顺时针方向以每秒的速度进行旋转． ①在绕点D旋转一周的过程中，当边恰好与边平行时，求旋转时间； ②若绕点D不停旋转，在旋转过程中，若边和的一条边平行（不包括共线的情况），则称之为一次“边平行”，直接写出第15次边平行时旋转的时间． B卷（50分） 四、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 19. 计算的结果是______． 20. 如图，在长方形ABCD中，点E在AD上，连接BE、CE．将△ABE沿BE翻折得到△A′BE，△DCE 沿CE翻折得到△D'CE，分别作∠CED、∠A′BC的角平分线相交于点F．若∠BCE＝40°，∠A′ED′＝m°， 则∠BFE的度数为_____________度 （用含m的代数式表示）． 21. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则 ______ ． 22. 如图，为线段上一动点点不与点、重合，在同侧分别作等边和等边，与交于，与相交于P，与交于点，连结，以下五个结：①；②；③；④；⑤平分，其中正确的结论有___________只填序号． 23. 代数式的最小值是______． 五．解答题（共3小题，满分30分） 24. 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，请你写出下列三个代数式之间的等量关系为　 　； （2）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，试求的值； （3）如图3，在中，，，分别以、为边向两边作正方形，两正方形的面积分别为．设，求图中阴影部分面积． 25. 某市两个蔬菜基地得知四川两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运两个灾民安置点，从地运往两处的费用分别为每吨元和元，从地运往两处的费用分别为每吨元和元．设从地运往处的蔬菜为吨． （1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值： 总计/ 总计/ （2）设两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； （3）经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 26. 【问题背景】 如图，在中，，和的平分线和相交于点 G． 【问题探究】 （1）的度数为 ； （2）过G作交的延长线于点 F，交于点 H，判断与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $