专题06 相似三角形章末56道压轴题型专训重难点专题提升精讲精练（7大题型）2026-2027学年九年级数学上册（沪教五四版）

**基本信息** 聚焦相似三角形7大压轴题型，以56道典例构建“概念-模型-综合”递进训练体系，融合动态分析、模型迁移与跨知识综合，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |黄金分割|8道|比例证明与尺规作图|从定义到几何应用，渗透数形结合| |平行线分线段|8道|比例转化与辅助线构造|定理应用到复杂图形转化| |动点问题|8道|动态分类讨论与方程思想|静态相似到动态变量关系| |坐标与图形|8道|位似作图与坐标变换|几何图形与坐标系结合| |模型问题|8道|模型构建与迁移应用|从基础模型到拓展变式| |二次函数综合|8道|函数建模与最值分析|相似性质与代数综合| |判定与性质|8道|综合推理与性质应用|判定定理到多知识点融合|

专题06 相似三角形章末56道压轴题型专训（7大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、黄金分割压轴题型 1 题型二、平行线分线段成比例定理综合问题 2 题型三、相似三角形动点问题 3 题型四、坐标与图形综合压轴 4 题型五、相似三角形模型问题 5 题型六、相似三角形与二次函数综合应用 6 题型七、相似三角形判定与性质综合问题 7 【经典例题一 黄金分割压轴题型】 1．（2025·上海静安·一模）已知：如图，在梯形中，，连接，是等边三角形，，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】(1) 证明：如图所示， ∵为等边三角形， ∴, ∵， ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴, ∵，且， ∴， ∴． (2) 证明：∵， ∴为等边三角形，即， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点是线段的黄金分割点． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据为等边三角形，，得到,由，得到,,由，得到,结合，得到，由相似三角形的判定方法即可求解； （2）根据题意可得为等边三角形，即，由为等边三角形，得到，根据，得到，即，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）如图1，点在线段上的黄金分割点，且. (1)设， ①求的长； 填空：设，则 点在线段上的黄金分割点，且， 　　，可列方程为　　， 解得方程的根为　　，于是，的长为　　. ②在线段（如图上利用三角板和圆规画出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若、为正实数，是关于的方程的一正实数根， ①求证：； ②若两条线段的长分别为、（如图，请画出一条长为的线段（保留作图痕迹，不写作法）. 【答案】(1)，，，，； (2) ①证明：解关于的方程 ， 是关于的方程的一正实数根， ； ② 【分析】（1）若点B在线段上的黄金分割点，且，则，设，则代入求值即可． （2）①利用勾股定理画出，再在长为的线段上截取长为1的线段，剩余部分就是． ②根据配方法解该方程的根即可，作图与①雷同． 【详解】（1）解：①设，则 点在线段上的黄金分割点，且， ， 可列方程为：， 解得：，， 的长为：； 故答案为：，，，，； ②作图如下 （2）略． 【点睛】本题考查了黄金分割、解一元一次方程、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点的内涵及其应用方法． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，是的内接三角形，在延长线上取一点F，连接．有． (1)连接，求证：； (2)黄金分割点是指将一条线段分为两部分．使得较长部分与整条线段的长度之比等于较短部分与较长部分的长度之比．若，求证：点A是的黄金分割点； (3)若，，，求的直径． 【答案】(1) 证明：作直径，连接， ∴， ∵， ， ∵是的直径， ∴， ∴， 又， ∴，即， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴，即， 又， ∴，即点A是的黄金分割点； (3) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键． （1）作直径，连接，证得，由圆周角定理知，可推出，即可求证； （2）先证明，推出，再由，即可求证； （3）作直径，连接，作于M，由推出，，，再由勾股定理得，再由即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作直径，连接，作于M， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即的直径为． 4．（25-26八年级下·全国·单元测试）在中，，，把像这样的三角形叫做黄金三角形． (1)请你设计三种不同的分法，将黄金三角形分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中） 注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法． (2)如图4中，平分交于，取的中点，连接并延长交的延长线于．试判断与之间的数量关系？只需说明结果，不用证明． 答：与之间的数量关系是　　． 【答案】(1) 如图所示： (2) 【分析】（1）黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°．它的底与它的腰成黄金比．当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形．这两三角形之一相似于原三角形．依此作图即可． （2）连接，根据黄金三角形的性质即可得出与之间的数量关系，从而得出与之间的数量关系． 【详解】（1）略 （2）连接，如图： ∵在中，，， ∴， ∵平分交于， ∴， ∴， ∴ ∵是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了黄金三角形，注意线段的黄金分割点的概念的延伸，关键是能够根据黄金分割的定义结合等腰三角形的判定和性质进行分析并作图． 5．（2026·江苏宿迁·二模）如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） (2)如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)证明：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点是线段的黄金分割点； (3)如图所示，即为所求． 【分析】（1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得，则，，再证明，即可证明结论； （3）如图1，作出线段的中点，过点B作的垂线，并在该垂线上截取，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点P，则点P即为所求；同理在图2中作出靠近点A的黄金分割点即可． 【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（已检验）或（舍去）； （2）略 （3）略 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）某研究小组由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为．若，则直线l为该图形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，若D是AB的黄金分割点，直线CD是否是的“黄金分割线”？请说明理由． (2)在图①的基础上，过点C作直线CE交AB于点E，过点D作，交AC于点F，连接EF，得到图②，则直线EF是否也是的“黄金分割线”？请说明理由． 【答案】(1) 直线CD是的“黄金分割线”，理由如下： 设的AB边上的高为h， 则． 是AB的黄金分割点， ∴， ， ∴直线CD是的“黄金分割线”． (2) 直线EF是的“黄金分割线”．理由如下： ， ， ． 由（1）可得， ，即， ∴直线EF是的“黄金分割线”． 【分析】本题是相似形的综合题，考查了黄金分割，黄金分割线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题型． （1）根据点是的黄金分割点，得到，根据题意即可得到结论； （2）根据，得到，于是得到，，根据黄金分割线的定义即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 7．（2026九年级·甘肃·专题练习）如图1，一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点白银分割，点叫做线段的白银分割点，与的比叫做白银比．在《中国古代木结构建筑比例与尺度研究》中记载了我国古建筑如：山西晋祠献殿、山西平遥文庙大成殿都具有这个比例． 小景用不带刻度的直尺和圆规通过如下作图步骤确定了一条线段的白银分割点： 已知：射线，，． ①以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧交射线于点． 则点是线段的白银分割点． 根据以上信息完成下列问题： (1)如图，请你根据小景的作图步骤，用不带刻度的直尺和圆规完成以上作图； (2)证明：点是线段的白银分割点． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（）按题中步骤画图即可； （）连接， 可证四边形是正方形，设，则， 得，即得，再计算的值即可求证； 本题考查白银分割点的定义，正方形的判定和性质，勾股定理，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：画图如下： （2）证明：连接， 由作图知：， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴点是线段的白银分割点． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）【知识情境】在研学实践活动中，小安同学认识了一种特殊的长方形——黄金矩形．它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．矩形是我们即将学习的内容，下面运用已学的二次根式知识，对黄金矩形的比例进行解释． 如图，黄金矩形按如下方式构造： 1.作正方形，边长； 2.取的中点； 3.以为圆心，为半径画弧，交延长线于点； 4.过点作的垂线，交延长线于点． 经计算，该黄金矩形的宽与长的比值为：． 【知识回顾】素材1： ；素材2：． 【解决问题】 (1)化简：； (2)根据计算可知【知识情境】中的长方形也是黄金矩形，请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 根据作图可知，， 在中，， ， ， 长方形也是黄金矩形． 【分析】（1）根据素材1平方差公式及素材2分母有理化的技巧化简即可； （2）根据黄金矩形的定义及已知条件找到与的长，再求比值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：略． 【经典例题二 平行线分线段成比例定理综合问题】 9．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，在中，、、分别是边上的点，且，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据，可得，则，再由，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在四边形中，，延长至点，连接交于点，且． (1)若，求CE的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：， ．         ， ．             【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为，根据平行线分线段成比例等量可得，代入数据计算即可； （2）因为，所以，因为，代换可得，则可证． 【详解】（1）解：， ，            ， ．            ； （2）略 11．（25-26九年级下·江苏盐城·阶段检测）已知中，，．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图： (1)在边上找一点E，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在边上找一点F，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1) 如图，点即为所求； (2) 如图，点即为所求； 【分析】（）作的角平分线，交于点即为所求； （2）作交于点F即为所求． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为平分 所以， 所以，， 所以； （2）解：由（1）得，，即， ∵ ∴ ∴ ∴． 12．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在中，，过AC上一点E作交AB于点F，过点A作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，，，求BF的长． 【答案】(1) 证明：， ． 又∵， ； (2)3 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由得到，然后结合即可证明； （2）由得到，得到，勾股定理求出，然后得到，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， ． ，． ． 在中，由勾股定理，得． ， ． ． 13．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，中，点D，E，F分别在，，边上，已知，． (1)求证：； (2)设． ①若，求线段的长； ②若的面积是20，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据，，得即可得证； （2）① 根据，得，继而得到，结合，求线段即可； ②根据题意，得，继而得到求得，根据，得，结合的面积是20，得到，于是四边形的面积为． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积是20， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·山西运城·期中）以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点，，，均在格点上． (1)如图： ． (2)在上找点，使． (3)在上找点使． 【答案】(1) (2) 如图所示：点即为所求； (3) 如图所示：点为所求． 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，关键是巧妙利用网格解题； （1）由图可得两三角形相似，进而根据对应边成比例得到结果； （2）利用网格构造相似比是的相似三角形即可； （3）利用网格构造全等三角形即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 即：； （2）略 （3）略 15．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 【答案】(1)平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） (2)答案不唯一， 如答图1，点即为所求. (3) 【分析】（1）根据题中证明过程填写依据即可； （2）根据题意，作角平分线即可； （3）过点作，交于点，则，进而证明，即可得出． 【详解】（1）解：平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）； （2）略 （3）如答图2，过点作，交于点.     ，，.     平分， .             . .             . 16．（25-26九年级上·吉林长春·期末）【知识储备】如图①，在中，点D是的中点，，则与的数量关系为______； 【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题： 如图②，在中，点D是边的中点，点E是边上一点，且，、相交于点．求证：． 小明同学发现：如图③，可以过点D作，交边于点F，从而可以得到，再利用线段间的数量关系推出结论．下面是小明同学的部分证明过程： 证明：如图③，过点D作，交于点F． ∵，点D是边的中点， ∴点F是的中点， ∴． 请你补全余下的证明过程． 【拓展迁移】如图④，在中，点D是边的中点，点E是边延长线上一点，且，射线DA与射线相交于点O，则线段和线段的数量关系是_____． 【答案】（1）； 类比探究： 证明：如图③，过点D作，交于点F． ∵，点D是边的中点， ∴点F是的中点， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，作出合适的辅助线是解题的关键． 知识储备：根据平行线分线段成比例，可得，即可得出答案； 类比探究：结合，可得到，再根据平行线分线段成比例，得到，即可得证； 拓展迁移：过点作，先证明点是的中点，那么，结合，得到，推出，再根据平行线分线段成比例，得到，那么，即可得出结论． 【详解】解：知识储备：∵点D是的中点，， ∴， ∴； 故答案为：； 类比探究：略 拓展迁移： 过点作，如图所示： ∵，点D是边的中点， ∴点是的中点， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【经典例题三 相似三角形动点问题】 17．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，中，厘米，厘米，点从出发，以每秒2厘米的速度向运动，点从同时出发，以每秒3厘米的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间是多少？ 【答案】运动时间是秒 【分析】此题考查了相似三角形的性质．首先设运动了秒，根据题意得：，，然后分别从当与当时去分析得出t的值，再由“其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动”可得t的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：设运动了秒． 根据题意得：，，则， 当时，， 即， 解得：， 当时，， 即， 解得：， ∵其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动， ∴点运动时长最多为秒，点运动时长最多为秒， ， ∵，， ， 故当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间是秒． 18．（24-25九年级上·山东济南·阶段检测）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1) ___________，___________．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1)， (2)秒或秒 (3) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． （1）设运动的时间为t秒，根据题意可得出、含t的代数式； （2）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （3）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【详解】（1）解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：， （2）解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； （3）解： 如图，过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， （秒）． 19．（24-25九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，，动点Q从B点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点Q，P移动的时间为t秒．    (1)当时，求的面积． (2)当t为何值时，与相似？ 【答案】(1) (2)t为或时，与相似． 【分析】（1）如图所示，过点Q作于H，先利用勾股定理求出，则，由题意得，，则，再三角函数，得到，则由三角形面积公式可得答案； （2）分当时，当时，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：过点Q作于H，    在中，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 当时， ； （2）当时，，则：， ∴， 解得t； 当时，，则：， ∴， ∴， 当t为或时，经检验，它们都符合题意，此时与相似． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 20．（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合）．若两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为？ (2)当移动几秒时，四边形的面积为？ (3)当移动几秒时，与相似？ 【答案】(1)当移动或时，的面积为 (2)当移动时，四边形的面积为 (3)当移动或时，与相似 【分析】（1）设出时间，表示出每条线段的长度，利用面积公式列出方程即可． （2）表示出的面积，用面积减去的面积等于，解方程即可． （3）根据两边对应成比例，夹角相等，列出比例式即可，注意分类讨论对应边． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，． 由题意，得， 解得，． 故当移动或时，的面积为． （2）解：由题意，得， 解得． 故当移动时，四边形的面积为． （3）解：可分以下两种情况讨论： ①当时，，即，解得． ②当时，，即，解得． 综上所述，当移动或时，与相似． 【点睛】本题考查了动点问题，相关知识点有：相似三角形的判定、分类讨论思想等，表示出线段的长度是解题关键． 21．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长（用含t的代数式表示）； (2)求点E落在区域（含边界）内的时长； (3)连接，当与相似时，求t的值； (4)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 【答案】(1) (2)秒 (3)的值为或1 (4)1或 【分析】（1）由题意可知，得，由此可知，代入相关数据即可求解； （2）找到临界位置，当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内，再此时证明，可知，据此列出方程即可求解； （3）由（1）可知，，，则，则，分两种情况：当时，；当时，，即：，分别求解即可； （4）由题意得，若将的面积分成两部分，可知或，分两种情况：当时，，当时，，结合面积列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，，则， ∴； （2）由勾股定理可知，， 当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内， 此时，，，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，则， ∴， ∴，即：，解得：， 即：点落在区域（含边界）内的时长为秒； （3）由（1）可知，，，则， 则， ∵， ∴当时，，即：，解得：； 当时，，即：，解得：； 综上，当与相似时，的值为或1； （4）， 若将的面积分成两部分， 则或， 当时，， ∴，解得：， 此时，，，则， ∴点在线段上，则， 即：点到的距离为1； 当时，， ∴，解得：， 此时，，，则， ∴点在射线上，则， 即：点到的距离为； 综上，点到的距离为1或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、列代数式、方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 22．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，已知中，．如果点P由B出发治方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：s）解答下列问题： (1)当t为何值时平行于； (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的周长平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． (3)当t为何值时，与相似？ 【答案】(1) (2) 解：不存在， ∵已知中，， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴不存在某时刻，使线段恰好把的周长平分； (3)或 【分析】本题考查相似三角形的应用、勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的对应边成比例列方程求解； （2）先利用勾股定理求得，进而求得的周长和，进而可得结论； （3）分和两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， 答：当时，平行于； （2）略 （3）解：当时，由（1）知，； 当时，，则， 解得， 综上，当t为或时，与相似． 23．（25-26九年级上·海南儋州·期中）如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边、上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题： (1)如图1，当t为何值时，； (2)当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； (3)点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）根据平行线的性质判定，得到，表示出，，代入比例式，解方程即可； （2）分和分别讨论即可； （3）过P作，垂足为D，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于t的方程，解之即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， 当时，； （2）∵，，， ∴当时， 同（1）可得：； 当时， ，即， 解得：； 综上：当或时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （3）存在，理由是： 如图，过P作，垂足为D，作边上的高， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，故不合题意， ∴，即存在，使得的面积等于4． 【点睛】本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论． 24．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）在中，，是边的中点，以为角的顶点作．如图1，射线经过点，交边于点．    (1)不添加辅助线，请直接写出图1中所有与相似的三角形； (2)如图2，将从图1中的位置开始，绕点按逆时针方向旋转（旋转角不大于），射线，分别交，于点，． ①求证：； ②如图3，若，，在线段上有一点，且，若点始终在内（包括边界上），求的取值范围； ③若，直接写出旋转角为多少度时，与相似． 【答案】(1) (2) ①证明：∵是的一个外角， ∴. ∵，， ∴. 又∵， ∴； ②的取值范围为；③当旋转角为或时，与相似 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出相似三角形即可； （2）①根据三角形的外角可以得到．再根据，即可得到；②根据相似三角形的性质得到，解题即可；③分与两种情况分别解题即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴， 又∵，是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：、、； （2）① 略 ②如图1，初始位置时，，如图2，当过点时，由①知，∴，即， 解得， ∴的取值范围为；    26题图1                        26题图2 ③当旋转角为或时，与相似. ∵， ∴， ∴. ∵是的中点， ∴，    当时，旋转角为； 当时，旋转角为； 综上所述，当旋转角为或时，与相似. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 【经典例题四 坐标与图形综合压轴】 25．（24-25九年级上·广东阳江·期末）如图，已知O是坐标原点，点B、点C的坐标分别为、． (1)以O点为位似中心，在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到； (2)在（1）的条件下，若面积为m，则的面积为______． 【答案】(1)所作图形如图所示： (2) 【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，掌握位似图形的性质，是解题的关键： （1）根据位似图形的性质，画出即可； （2）根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）由（1）知：与的相似比为：， ∴与的面积比为：， ∵面积为m， ∴的面积为； 故答案为：． 26．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以为位似中心，相似比为，在格点上将放大得到，请画出； (2)图2中，在线段上画一个点，使． 【答案】(1)如图所示即为所作， (2)如图所示点即为所作， 【分析】（1）根据位似的定义解题； （2）通过构造相似三角形解题即可． 【详解】（1）解：图中，， ，， ∴， 又∵， ∴，且相似比为， 图略； （2）解：图中，，且， ∴， ∴， 图略． 27．（25-26八年级下·山东东营·期末）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比； (3)以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出△A′B′C′各顶点的坐标． 【答案】(1) 连接对应顶点，并同向延长，得到交点O，画图如下： ． (2)2：1 (3)根据题意，建立坐标系如上图，结合坐标系，可得到A′（﹣6，0），B′（﹣3，2），C′（﹣4，4）． 【分析】（1）各对应点连线的交点即为位似中心； （2）任意一对对应边的比即为两三角形的位似比； （3）根据坐标系直接直接写出点的坐标． 【详解】（1）略 （2）根据题意，得BC=，， 故△ABC与△A′B′C′的位似比为=2：1． （3）略 【点睛】本题考查了位似中心的作图，位似比即位似图形的对应边的比，勾股定理，正确理解位似比并熟练计算是解题的关键． 28．（25-26九年级上·江西新余·期末）已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 29．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，以原点为位似中心，在轴右侧画出的位似，点的对应点分别是点，且与的相似比为，并写出点的坐标． 【答案】 依题意，如图所示即为所求： 点的坐标为 【分析】本题考查了画位似图形，熟练掌握位似图形的性质得出对应点位置是解答本题的关键． 先连接原点和的三个顶点，再根据位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，结合网格的特点，分别找出点、、，再依次连接，得，即可作答． 【详解】解：由图可知，点的坐标为． 30．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别是，， (1)以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在y轴右侧画出 (2)求出的正切值． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 【分析】本题考查作图-位似变换，垂径定理，三角形的外接圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）作出的外接圆，利用圆周角定理解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：作的外接圆，交轴负半轴于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）在如图的方格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置． (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出一个与的位似比为的． (3)分别写出A，B的对应点，的坐标：________，________． 【答案】(1) 如图所示，点为所求； (2) 如图所示，为所求； (3)， 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比作答即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：∵与的位似比为，，， ∴，， 故答案为：，． 32．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，，，点在轴负半轴上，且． (1)求点的坐标； (2)将三点的横坐标分别乘以，纵坐标保持不变，得到点，请在平面直角坐标系中画出，并直接写出与的位置关系； (3)在轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形的面积为2？若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)与关于y轴对称 (3)或 【分析】（1）设点B表示的数为，根据，，由，得到，解得，，结合点在轴负半轴上，得到继而得到． （2）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定坐标后，画图即可． （3）设，根据的面积为2，坐标特征，解答即可． 本题考查了两点间的距离，坐标特征，关于y轴对称的判定，三角形面积公式，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【详解】（1）解：设点B表示的数为， ∵，， ∴， 解得或， ∵点在轴负半轴上， ∴， ∴． （2）解：根据题意，得，三点的横坐标分别乘以，纵坐标保持不变，得，画图如下： ． 则即为所求． 故与关于y轴对称． （3）解：设， ∵的面积为2，， ∴， ∴， 解得或， 故点的坐标为或. 【经典例题五 相似三角形模型问题】 33．（2025·河南南阳·一模）中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早的双轮马车始见年代为商代晚期（河南安阳殷城）．小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型，他绘制了如图2的车轮侧面图．如图2，当过圆心O的车架的一端C落在地面上时，与的另一个交点为点B，水平地面切于点D． (1)求证：． (2)若车轮的直径为1米，米，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 与相切于点D， ，，即， 为的直径， ， 即， ， ， ； (2)的长度为2米 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是证明，求出AC的长，从而求出的长． （1）如图，连接，根据切线的性质得到，即根据圆周角定理得到，即根据等腰三角形的性质得到，求得； （2）由（1）知，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， 又， ， 的直径，，， ， 解得：，舍去 答：的长度为2米． 34．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）【模型建立】（1）如图1，在等边中，点、分别在、边上，，求证：； 【模型应用】（2）如图2，在中，，，于点，点在边上，，点在边上，，则的值为_________； 【模型拓展】（3）如图3，在钝角中，，点、分别在、边上，，若，，求的长．    【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）2； （3） 【分析】（1）利用等边三角形的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质解答即可； （2）先证明为等边三角形，进一步得到，是直角三角形，则，再证得，则，得到答案； （3）在上截取，连接，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：2； （3）解：在上截取，连接，如图3，    ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质等，熟练掌握等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 35．（2025·山东泰安·一模）【模型建立】如图，在正方形中，是边上一点（不与点，重合），是延长线上一点，，连接，， （1）①求证：； ②判断的形状，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图，连接与交于点，连接，试判断与的关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）①证明：四边形是正方形， ，， 又， ， ； ②解：为等腰直角三角形．理由如下： ∵， ， 即， 又， 为等腰直角三角形； （2）解：垂直平分理由如下： 如图，过点作的垂线交于点， ∵是正方形的对角线， ， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ， ． ∵， ∴， ，， ， ， ， 垂直平分； （3）． 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，，即可证明，根据全等三角形的对应边相等得证； ②由，得到，推出，从而得到为等腰直角三角形； （2）过点作的垂线交于点，由，得到，进而有，即可证明，得到，又，根据垂直平分线的判定即可得到垂直平分； （3）连接，根据，是等腰直角三角形，得到，从而，又，得到，即可证得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接， 为等腰直角三角形，垂直平分， ， 是等腰直角三角形． 是等腰直角三角形， ∴ ， ， ， ， ， ∴ ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 36．（2025·江西吉安·一模）综合与实践 【数学思考】（1）如图1，已知和都是等边三角形，点D在上，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（2）如图2，在四边形中，，垂足为点E，，，，（k为常数），求的长（用含k的式子表示）； 【拓展运用】（3）如图3，等边三角形中，，点E在上， ．点D是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）． 理由如下， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）； （3）的长为或 【分析】本题主要考查三角形综合题，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据条件易证，再进行线段转化易得答案； （2）由，，推出，将绕点A逆时针旋转得到，连接．则，只要证明，可得，由此即可解决问题． （3）由为直角三角形可知，需要分类讨论确定哪个角是直角三角形，再根据点D的位置关系去讨论即可，因为点D是动点，所以按照前面两问带给我们的思路，去构造类似的全等三角形，进而讨论求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）连接， ∵， ∴， 将绕点A逆时针旋转得到，连接．则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）过E作，则为等边三角形． ①当点D在H左侧时，如图1， ∵， ∴， ∴， 此时不可能为直角三角形． ②当点D在H右侧，且在线段上时，如图2， 同理可得∴， ∴， 此时只有有可能为， 当时，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． ③当点D在H右侧，且延长线上时，如图3，此时只有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上：的长为或． 37．（2026·甘肃陇南·模拟预测）【模型建立】 （1）如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，求证：． 【模型应用】 （2）如图 2，在等边中，点M是延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在等腰中，，，，点M是上的任意一点（不含端点B、C），连结，以为边作等腰，使顶角．连结．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：、是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ． （2）结论仍成立； 理由如下： 、是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ． （3）， 理由如下： ，， ∴， 又∵， ， ∴， ， 又，， ， ， ， ∵，， ∴； 【分析】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论． （1）利用可证明，继而得出结论； （2）也可以通过证明，得出结论，和（1）的思路完全一样． （3）首先得出，从而判定，得到，根据，，得到，从而判定，得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 38．（2026·甘肃天水·模拟预测）【模型建立】（1）如图1，在四边形ABCD中，，，求证：； 【模型应用】（2）如图2， 在正方形中，E为上一点，在上取点F，使，过点F作，与相交于点G，求出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图3，在矩形中，，E为上一点，在上取点F，使，过点F作，与相交于点G．若，求的长． 【答案】 （1）证明：如解图，连接. ∵， ∴， ∴. （2），理由如下： 如解图，连接，由(1)同理可得， ∴. 将 绕点顺时针旋转得到，可得， ∴. ∵是正方形， ∴， ∴，即， ∴. ∵， ∴. （3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，证明，即可解题； （2）连接，则，然后推导，得到，即可解题； （3）连接，推导，即可得到，然后根据，解题即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如解图，连接， 由（1）同理可得， ∴. 过点作，交的延长线于点， ∴. ∵， ∴， ∴， 即 由（2）得， ． 39．（25-26九年级上·山西忻州·期末）综合与实践 问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究． 猜想推理：    （1）如图1，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，，，，则______． 问题解决： （2）如图2，是等边三角形，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求证：． （3）如图3，，，，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求的值． 【答案】（1）； （2）证明：如图，连接，过D作于M，作于N， ∵是等边三角形，D为的中点， ∴是的平分线，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴；    （3） 【分析】（1）首先求出，证明，得到，即可求出结果； （2）连接，过D作于M，作于N，根据证明，再根据全等三角形的性质可得； （3）过点分别作于，于，根据勾股定理及中位线的性质可得，，根据矩形的性质可得，最后由相似三角形的判定与性质可得答案． 【详解】解：（1）∵在等边中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）略 （3）过点分别作于，于，    在中，， 是的中点， ， ，，， ，， 是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形综合题．需要掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，关键是找到图中关键的相似和全等三角形，比较典型，但有点难度． 40．（2026·江苏泰州·模拟预测）综合与实践 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，经过焦点的光线经凸透镜折射后平行于主光轴沿射出，与光线交于点，过点作主光轴的垂线段，垂足为，即可得出物体所成的像． 【模型验证】 设焦点到光心的距离称为焦距，记为；物体到光心的距离称为物距，记为；像到光心的距离称为像距，记为． 已知，，当时，求证：． 证明：∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， 同理可得， ∴，即 ① ， ∴ ② ， ∴， ∴，即． 请结合上述材料，解决以下问题： (1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)； (2)若该凸透镜的焦距为20，物体距凸透镜的距离为30，物高为10，则物体所成的像的高度为__________； (3)如图2，由物理学知识知“经过点且平行于主光轴的光线经凸透镜折射后经过点”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线始终经过主光轴上一定点．若该凸透镜的焦距为20，物高为10，试说明这一物理现象． 【答案】(1)①② (2)20 (3) 如下图，设与交于点， 根据题意，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距，光线始终经过主光轴上一定点，该定点透镜为焦点． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）分别证明，，由相似三角形的性质可得，整理可得，等号两边同时除以，即可获得答案； （2）结合（1），首先解得，结合，代入数值求解即可； （3）设与交于点，证明四边形为矩形，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，结合（1）可得，等号两边同时加1，整理可得，结合可得出，即可说明这一物理现象． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， 同理可得， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：①；②； （2）由（1）可知，，， 当，，时， 可得，解得， ∴可有，解得， 即物体所成的像的高度为． 故答案为：20； （3）略 【经典例题六 相似三角形与二次函数综合应用】 41．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，是半圆的直径，是半圆上任意一点（不与点，重合），和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． (1)求证：平分； (2)已知直径，设，，求关于的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） 【答案】(1)证明：如图，连接， 是半圆的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的定义得到，进而得到，根据平行线的性质得到，再利用等腰三角形的性质求出，从而得到结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，再结合（1）中结论证明，根据相似三角形的对应边成比例列等式，整理后得到y关于x的函数解析式． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 是半圆的直径， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 即， ， 关于的函数解析式为． 42．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，若设，． (1)求出与之间的函数表达式； (2)直接写出当取何值时，矩形面积最大． 【答案】(1) (2)当时，矩形面积最大 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质及应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先证，再利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求解； （2）根据（1）的结论，再根据矩形的面积及二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）是的高， ， 四边形是矩形， ， ， 是的高， ，，，， ， ， （2）， ， 当时，矩形面积的最大值为． 43．（2026·浙江杭州·模拟预测）探究角度与线段比例之间的关系 如图，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，． (1)【图形认识】求证：． (2)【引元关联】设，求关于的函数表达式． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据，得出，根据相似三角形的性质，结合已知条件即可得证； （2）根据，得出，根据相似三角形的性质得出比例式，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴ ∴． 44．（2025·广西来宾·模拟预测）如图，在中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点作于点，连接． (1)求证：； (2)设的长为的面积为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)结合（2）所得的函数，判断当的长为多少时，的面积最大． 【答案】(1) 证明：， ， 又， ， ， ． (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据两角对应相等判断三角形相似即可； （2）根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得出，求出，， 然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ． 由（1）知， ， ， ， ， ． 是边上的动点，且不与点A，B重合， ， 关于的函数解析式为． （3）解：，且， 当时，有最大值， 即当的长为时，的面积最大． 45．（25-26九年级下·重庆巴南·期中）如图，在中，，，，点D是边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向运动，到达点C时停止运动；点Q从点C出发，以每秒0.5个单位长度的速度，沿方向运动，到达点A时停止运动．连接，过点Q作于点M．设运动时间为x秒，线段与的长度之比为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)，； (2) 函数图象如下： ； 随x的增大而减小；在上随x增大而增大，在上随x增大而减小； (3)当时，． 【分析】（1）证明，求得，据此计算可求得；当时，利用三角形面积公式可求解；当时，作于点，证明，求得，利用三角形面积公式即可求解； （2）列表、描点，连线，画出函数图象，分别写出函数，的一条性质即可； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴， 当时，点在上，则， ∴； 当时，点在上，则， 作于点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上，，； （2）解：列表： 1 2 3 5 8 5 2.5 1 2 6 0 由函数图象知，随x的增大而减小；在上随x增大而增大，在上随x增大而减小； （3）解：根据图象可知：当时，． 46．（2026·重庆·一模）如图，在矩形中，是边的中点，是边上一点且满足，连接、．现将以每秒1个单位长度的速度沿射线方向，从点出发水平向左运动得到，当点运动到点时，停止运动．设运动时间为秒，记点与点的距离为，的面积为与矩形重叠部分的面积为． (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1)； (2)当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大；当时，最小；（写出一条即可） (3) 【分析】（1）分两种情况：当点在点F左侧时，当点在点F右侧时，分别写出函数解析式即可；根据平移得出，，，从而得出，证明，得出，求出，得出，即可得出答案； （2）先列表，然后描点，画出和的函数图象即可，根据一次函数性质写出函数的一条性质即可； （3）根据函数图象得出时，x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴当点在点F左侧时，， 当点在点F右侧时，， 综上；； ∵矩形中，，点E为的中点， ∴， 根据平移可得：，，， ∴， ∵在矩形中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； （2）解：列表： x 0 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 0 1 2 0 1 4 9 描点，连线，如图所示： 函数的一条性质：当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大；当时，最小； （3）解：根据函数图象可得，当时，的函数图象在的函数图象下面，因此当时，． 47．（2026·上海普陀·二模）小普同学在物理课上学习光的折射知识后，知道了近视眼镜的镜片是凹透镜． 【生活观察】生活中配眼镜时需要先验光，如图是店家提供的验光单的一部分，其中“”中的“”表示该镜片为近视眼镜的镜片，“”表示该镜片的透镜焦度是2.75（焦度是表示透镜对光线偏折能力强弱的物理量，用Φ表示），平时说的眼镜镜片的度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为． (1)根据上图验光单的一部分，直接写出右眼和左眼眼镜镜片的度数． 【问题解决】小普同学为了验证一副近视眼镜和一张标记左眼、右眼均为的验光单是否匹配，他综合数学与物理所学的知识（见材料一、二），设计了一个验证实验（见材料三）． 材料一：摘自数学八上教材P79页 近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距f（米）成反比例．已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米． 材料二：摘自物理八上教材页 如图所示，平行于主轴的光通过凹透镜后，会向远离主轴的方向偏折，这些光的反向延长线相交于主轴上一点F，点F叫做凹透镜的虚焦点．凹透镜的光心O是主轴上一个特殊的点．虚焦点F到光心O的距离叫做凹透镜的焦距，用字母f表示． 材料三：把这副近视眼镜的镜片看作一个圆，如图，把发光物、镜片和光屏放置在光具底座上，将它们的中心位置调节到高度一致．用一束平行于主光轴GE的光线射向镜片，镜片光心为点O，在镜片另一侧的光屏上形成了一个圆形光斑． (2)根据材料一，求近视眼镜镜片的透镜焦度关于镜片焦距f的函数解析式． (3)根据材料三抽象出数学模型（如图），镜片直径与光斑直径平行，，测得米，米，镜片光心O到光屏的距离为0.3米．结合材料二，请判断这副近视眼镜的度数是否与这张验光单匹配？并阐述理由． 【答案】(1)右眼度数为度，左眼度数为度； (2) (3) 解：这副眼镜与验光单匹配，理由如下： 如图，延长交于点， 由题意，得点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即点在的垂直平分线上， ∵，点是的中点， ∴垂直平分， ∴点在上， 设凹透镜虚焦点到光心的距离为焦距， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得米， 由（2）的结论， 解得， ∵是近视镜片，焦度为， ∴和验光单标记一致，因此匹配． 【分析】（1）根据度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为，分别代入数据计算即可； （2）设， 把，代入，求得，再根据，代入计算即可； （3）延长交于点，由题意，得点是的中点，证明点在上，设凹透镜虚焦点到光心的距离为焦距，证明，推出，求出米，由（2）的结论，代入计算即可解答． 【详解】（1）解：右眼焦度，则（度）； 左眼焦度 ，则（度）； 答：右眼度数为度，左眼度数为度； （2）解：∵近视眼镜度数与焦距成反比例， 设， 把，代入得：， 解得， 因此​， 又∵，代入得​， 化简得：； （3）略 48．（25-26九年级上·山西大同·期末）综合与实践 问题情境： 某布艺玩具厂生产一批玩具时，剩下一批直角三角形废料，为了废料再利用，需将这些废料剪成矩形布料，综合实践活动小组的同学对布料的一种剪法进行了探究． 剪法：三角形废料如图1所示，，用这块废料剪出一个矩形，其中点D，E，F分别在，，上，使能够剪出的矩形的面积最大． 特例探究： 博学小组：如图1所示，．设，矩形的面积为y（单位：）． 剪裁并得出以下数据： x/cm … 1 2 3 4 … … 4 6 6 4 … 数据分析： 小组同学根据表中数据，建立平面直角坐标系，画图分析（如图2），得出了一些结论…… 问题解决： (1)博学小组剪布料问题中，当______cm时，能够使剪出的矩形的面积最大，y关于x的函数表达式为______（不要求写x的取值范围） (2)选择一块特殊废料如图3所示，，，．当的长为多少时，能够使剪出的矩形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)2.5， (2)当的长为时，能够使剪出的矩形的面积最大，最大面积是 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，判断出用自变量表示出的长度是解题的关键． (1)根据表格中的数据可得抛物线的对称轴，根据函数图象可得抛物线的开口方向，那么可得当长为多少时，矩形的面积最大，根据，根据等腰直角三角形和矩形的性质得到的长度，即可得出y与x的关系式； (2)设，则，得到用k表示的矩形的面积，进而根据二次函数的性质可得当k的值为多少时，矩形的面积最大，即可得到此时的值． 【详解】（1）解：由题意得y是x的二次函数，二次函数的开口向下， ∵二次函数过，， ∴当时，y最大，当时，能够使剪出的矩形的面积最大， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为2.5，． （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即， 设，，则， ∴， ∴， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，矩形的面积最大，， ∴当的长为时，能够使剪出的矩形的面积最大，最大面积是． 【经典例题七 相似三角形判定与性质综合问题】 49．（26-27九年级上·浙江温州·期中）如图1，四边形为正方形，，将边绕点顺时针旋转至，连接，，交于点． (1)用含的代数式表示和的大小． (2)求证：． (3)如图2，作和的平分线分别交和的延长线于点，．若，求的长． 【答案】(1)， (2)证明：如图所示，连接， 由（1）得，， ． 由正方形的性质可得，， ． 又， ， ， 即． 在中，由勾股定理得 ； (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，则由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得的度数；求出的度数，证明，据此可得的度数； （2）连接，可证明，得到，由勾股定理得，则； （3）连接，记交于点，证明，得到，，可证明，，则可证明；证明与平行，得到，则可证明，进而得到，进一步可证明；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，， ； 在正方形中，，， ，， ； （2）略 （3）解：如图所示，连接，记交于点， 平分， ； 由（1）得， 又∵， ， ，， ， ， ， ； 平分， ， ， ∵， ； ， 与平行， ， ， ， ∴， ， ， ； 设，则， 由正方形的性质可得， 由勾股定理得 ， 解得，（舍）， ， ，， ． 50．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，得， 则， 则； ，，， ， 解得； （2），， ， ∵反射角等于入射角， ， ， ，                                         ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 51．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）探究解题 (1)在四边形中，，垂足为D，交于点E．求证：； (2)在矩形中，N是上的一点，交于点E，若N是的中点，，．求； (3)在中，，，点Q为边上的点，过点B作的垂线，垂足为D，交于点P．若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)9 【分析】（1）由题意得，利用等角的余角相等求得，即可证明； （2）设，证明，得到，据此求解即可； （3）作交的延长线于点，证明，推出，，再证明，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵N是的中点， ∴设， ∵矩形， ∴，，， 同理，得， ∴， ∴，解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴； （3）解：作交的延长线于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 52．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图1，在和中，D，分别是，上的一点，． (1)当时，求证：．证明途径可用框图2表示，请填写其中的空格． (2)当时，判断与是否相似，并说明理由． 【答案】(1)， (2)与相似， 理由如下：， ， 即， ． 又， ， ， ， 又， ． 【分析】（1）由证明，说明即可证明结论； （2）由得，再根据已知条件证明，说明即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ． （2）略． 53．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，为线段上一动点，过向、分别作垂线，垂足分别为、，连结，已知． (1)由题易证四边形的形状是______（无需证明），请写出四边形对角线的性质______． (2)请用圆规和无刻度的直尺在图2中，画出当线段的长度最短时，点的位置（铅笔作图后请用中性笔描出作图痕迹） (3)将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①当点落在线段上时，求的值； ②当与重叠部分的面积，恰好是面积的时，直接写出的值． 【答案】(1)矩形；相等且互相平分 (2) 点即为所求． (3)； 【分析】 （1）利用矩形的判定和性质即可得到结论． （2）利用矩形的对角线相等，可得当时，长度最短，作，垂足即为所求． （3）①过点作，垂足为，证明得、，证明得，设，把用含的代数式表示出来，再利用三角形相似求出的长，然后用勾股定理求出的长，进而求出的值； ②过点作，垂足为，证明得，证明得，设，根据，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：、、， 四边形是矩形， 、与互相平分． （2）略 （3）解：当点落在线段上时，如图 过点作，垂足为， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， 同理：， 设， 则、， ， ， ， 、， ， ， ， ． 过点作，垂足为， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， 与重叠部分的面积，恰好是面积的， ， ， 设， 则，， 、， ， ， ， ， ， ， ． 54．（2026·山西晋城·一模）阅读与思考 【阅读材料】 如图1，在中，点D在边上，过点D作射线与直线交于点E．若，则称射线为中关于边的等角分线，点D为等角分点．特别地，当时，则称此时的射线为平行等角分线． 【概念辨析】 (1)若是等腰三角形，且，，射线是中关于边的等角分线，则的度数为______． 【作图计算】 (2)如图2，在等腰三角形中，，． ①尺规作图：作中关于边的平行等角分线，交边于点E；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母） ②求的长． 【答案】(1)50 (2) ①如解图1，射线即为所求； ② 【分析】（1）首先利用等边对等角求出，然后利用等角分线的定义求解即可； （2）①首先作的垂直平分线交于点D，然后作交于点E即可； ②连接，过点A作于点F，则，由三线合一得到，利用勾股定理求出，设，则，，利用勾股定理求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵射线是中关于边的等角分线， ∴； （2）解：①略 ②如解图2，连接，过点A作于点F，则， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∵点D在线段的垂直平分线上， ∴， 设，则，， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 55．（2026·海南省直辖县级单位·一模）在正方形中，点M、N分别是边、的中点． (1)如图，连接、相交于点E.求证：； (2)如图，延长、相交于点F，连接．求证：； (3)如图，若正方形的边长为2，将沿翻折得到，延长交的延长线于点G，交于点Q，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点、分别是边、的中点， ∴， ∴； (2) 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， 又由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴； (3) 【分析】（1）根据正方形的性质结合已知条件，利用证明，即可得证； （2）根据正方形的性质得出，得出，进而根据相似三角形的性质得出，再结合全等的性质推出是直角三角形，，即可得证； （3）连接，证明，设，得出，由，得出，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，连接， 依题意，，，， ， 又， ∴， ∴， 设， 则，，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 56．（26-27九年级上·全国·单元复习）有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ， ， ， ， ， （依据②）， ， ． 请完成填空：①______________；②依据是________________________；③___________________． (2)如上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点的坐标为______________． (3)如图，在中，，，垂足为，为线段上一点，连结并延长至点，连结．若，，，求的长． 【答案】(1)；两角分别相等的两个三角形相似； (2) (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，根据两角分别相等的两个三角形相似得到，继而根据相似三角形对应线段成比例得到，即． （2）根据勾股定理得到，继而根据得到，继而得到点的坐标． （3）通过证明，得到，继而根据，得到，继而得到，得到，利用勾股定理得到的长． 【详解】（1）略； （2）解：由题意，得，， ， 由（1）可得， ， ， 点的坐标为； （3）解：，， ， ， ，                                 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似三角形章末56道压轴题型专训（7大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、黄金分割压轴题型 1 题型二、平行线分线段成比例定理综合问题 2 题型三、相似三角形动点问题 3 题型四、坐标与图形综合压轴 4 题型五、相似三角形模型问题 5 题型六、相似三角形与二次函数综合应用 6 题型七、相似三角形判定与性质综合问题 7 【经典例题一 黄金分割压轴题型】 1．（2025·上海静安·一模）已知：如图，在梯形中，，连接，是等边三角形，，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：点是线段的黄金分割点． 2．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）如图1，点在线段上的黄金分割点，且. (1)设， ①求的长； 填空：设，则 点在线段上的黄金分割点，且， 　　，可列方程为　　， 解得方程的根为　　，于是，的长为　　. ②在线段（如图上利用三角板和圆规画出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若、为正实数，是关于的方程的一正实数根， ①求证：； ②若两条线段的长分别为、（如图，请画出一条长为的线段（保留作图痕迹，不写作法）. 3．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，是的内接三角形，在延长线上取一点F，连接．有． (1)连接，求证：； (2)黄金分割点是指将一条线段分为两部分．使得较长部分与整条线段的长度之比等于较短部分与较长部分的长度之比．若，求证：点A是的黄金分割点； (3)若，，，求的直径． 4．（25-26八年级下·全国·单元测试）在中，，，把像这样的三角形叫做黄金三角形． (1)请你设计三种不同的分法，将黄金三角形分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中） 注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法． (2)如图4中，平分交于，取的中点，连接并延长交的延长线于．试判断与之间的数量关系？只需说明结果，不用证明． 答：与之间的数量关系是　　． 5．（2026·江苏宿迁·二模）如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） (2)如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）某研究小组由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为．若，则直线l为该图形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，若D是AB的黄金分割点，直线CD是否是的“黄金分割线”？请说明理由． (2)在图①的基础上，过点C作直线CE交AB于点E，过点D作，交AC于点F，连接EF，得到图②，则直线EF是否也是的“黄金分割线”？请说明理由． 7．（2026九年级·甘肃·专题练习）如图1，一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点白银分割，点叫做线段的白银分割点，与的比叫做白银比．在《中国古代木结构建筑比例与尺度研究》中记载了我国古建筑如：山西晋祠献殿、山西平遥文庙大成殿都具有这个比例． 小景用不带刻度的直尺和圆规通过如下作图步骤确定了一条线段的白银分割点： 已知：射线，，． ①以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧交射线于点． 则点是线段的白银分割点． 根据以上信息完成下列问题： (1)如图，请你根据小景的作图步骤，用不带刻度的直尺和圆规完成以上作图； (2)证明：点是线段的白银分割点． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）【知识情境】在研学实践活动中，小安同学认识了一种特殊的长方形——黄金矩形．它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．矩形是我们即将学习的内容，下面运用已学的二次根式知识，对黄金矩形的比例进行解释． 如图，黄金矩形按如下方式构造： 1.作正方形，边长； 2.取的中点； 3.以为圆心，为半径画弧，交延长线于点； 4.过点作的垂线，交延长线于点． 经计算，该黄金矩形的宽与长的比值为：． 【知识回顾】素材1： ；素材2：． 【解决问题】 (1)化简：； (2)根据计算可知【知识情境】中的长方形也是黄金矩形，请通过计算说明理由． 【经典例题二 平行线分线段成比例定理综合问题】 9．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，在中，、、分别是边上的点，且，，，，求的长． 10．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在四边形中，，延长至点，连接交于点，且． (1)若，求CE的长； (2)求证：．                            11．（25-26九年级下·江苏盐城·阶段检测）已知中，，．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图： (1)在边上找一点E，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在边上找一点F，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 12．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在中，，过AC上一点E作交AB于点F，过点A作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，，，求BF的长． 13．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，中，点D，E，F分别在，，边上，已知，． (1)求证：； (2)设． ①若，求线段的长； ②若的面积是20，求四边形的面积． 14．（25-26九年级上·山西运城·期中）以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点，，，均在格点上． (1)如图： ． (2)在上找点，使． (3)在上找点使． 15．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系．       16．（25-26九年级上·吉林长春·期末）【知识储备】如图①，在中，点D是的中点，，则与的数量关系为______； 【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题： 如图②，在中，点D是边的中点，点E是边上一点，且，、相交于点．求证：． 小明同学发现：如图③，可以过点D作，交边于点F，从而可以得到，再利用线段间的数量关系推出结论．下面是小明同学的部分证明过程： 证明：如图③，过点D作，交于点F． ∵，点D是边的中点， ∴点F是的中点， ∴． 请你补全余下的证明过程． 【拓展迁移】如图④，在中，点D是边的中点，点E是边延长线上一点，且，射线DA与射线相交于点O，则线段和线段的数量关系是_____． 【经典例题三 相似三角形动点问题】 17．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，中，厘米，厘米，点从出发，以每秒2厘米的速度向运动，点从同时出发，以每秒3厘米的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间是多少？ 18．（24-25九年级上·山东济南·阶段检测）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1) ___________，___________．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 19．（24-25九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，，动点Q从B点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点Q，P移动的时间为t秒．    (1)当时，求的面积． (2)当t为何值时，与相似？ 20．（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合）．若两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为？ (2)当移动几秒时，四边形的面积为？ (3)当移动几秒时，与相似？ 21．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长（用含t的代数式表示）； (2)求点E落在区域（含边界）内的时长； (3)连接，当与相似时，求t的值； (4)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 22．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，已知中，．如果点P由B出发治方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：s）解答下列问题： (1)当t为何值时平行于； (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的周长平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． (3)当t为何值时，与相似？ 23．（25-26九年级上·海南儋州·期中）如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边、上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题： (1)如图1，当t为何值时，； (2)当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； (3)点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）在中，，是边的中点，以为角的顶点作．如图1，射线经过点，交边于点．    (1)不添加辅助线，请直接写出图1中所有与相似的三角形； (2)如图2，将从图1中的位置开始，绕点按逆时针方向旋转（旋转角不大于），射线，分别交，于点，． ①求证：； ②如图3，若，，在线段上有一点，且，若点始终在内（包括边界上），求的取值范围； ③若，直接写出旋转角为多少度时，与相似． 【经典例题四 坐标与图形综合压轴】 25．（24-25九年级上·广东阳江·期末）如图，已知O是坐标原点，点B、点C的坐标分别为、． (1)以O点为位似中心，在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到； (2)在（1）的条件下，若面积为m，则的面积为______． 26．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以为位似中心，相似比为，在格点上将放大得到，请画出； (2)图2中，在线段上画一个点，使． 27．（25-26八年级下·山东东营·期末）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比； (3)以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出△A′B′C′各顶点的坐标． 28．（25-26九年级上·江西新余·期末）已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 29．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，以原点为位似中心，在轴右侧画出的位似，点的对应点分别是点，且与的相似比为，并写出点的坐标． 30．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别是，， (1)以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在y轴右侧画出 (2)求出的正切值． 31．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）在如图的方格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置． (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出一个与的位似比为的． (3)分别写出A，B的对应点，的坐标：________，________． 32．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，，，点在轴负半轴上，且． (1)求点的坐标； (2)将三点的横坐标分别乘以，纵坐标保持不变，得到点，请在平面直角坐标系中画出，并直接写出与的位置关系； (3)在轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形的面积为2？若存在，请直接写出点的坐标． 【经典例题五 相似三角形模型问题】 33．（2025·河南南阳·一模）中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早的双轮马车始见年代为商代晚期（河南安阳殷城）．小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型，他绘制了如图2的车轮侧面图．如图2，当过圆心O的车架的一端C落在地面上时，与的另一个交点为点B，水平地面切于点D． (1)求证：． (2)若车轮的直径为1米，米，求的长． 34．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）【模型建立】（1）如图1，在等边中，点、分别在、边上，，求证：； 【模型应用】（2）如图2，在中，，，于点，点在边上，，点在边上，，则的值为_________； 【模型拓展】（3）如图3，在钝角中，，点、分别在、边上，，若，，求的长．    35．（2025·山东泰安·一模）【模型建立】如图，在正方形中，是边上一点（不与点，重合），是延长线上一点，，连接，， （1）①求证：； ②判断的形状，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图，连接与交于点，连接，试判断与的关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若，求的长． 36．（2025·江西吉安·一模）综合与实践 【数学思考】（1）如图1，已知和都是等边三角形，点D在上，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（2）如图2，在四边形中，，垂足为点E，，，，（k为常数），求的长（用含k的式子表示）； 【拓展运用】（3）如图3，等边三角形中，，点E在上， ．点D是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 37．（2026·甘肃陇南·模拟预测）【模型建立】 （1）如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，求证：． 【模型应用】 （2）如图 2，在等边中，点M是延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在等腰中，，，，点M是上的任意一点（不含端点B、C），连结，以为边作等腰，使顶角．连结．试探究与的数量关系，并说明理由． 38．（2026·甘肃天水·模拟预测）【模型建立】（1）如图1，在四边形ABCD中，，，求证：； 【模型应用】（2）如图2， 在正方形中，E为上一点，在上取点F，使，过点F作，与相交于点G，求出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图3，在矩形中，，E为上一点，在上取点F，使，过点F作，与相交于点G．若，求的长． 39．（25-26九年级上·山西忻州·期末）综合与实践 问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究． 猜想推理：    （1）如图1，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，，，，则______． 问题解决： （2）如图2，是等边三角形，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求证：． （3）如图3，，，，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求的值． 40．（2026·江苏泰州·模拟预测）综合与实践 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，经过焦点的光线经凸透镜折射后平行于主光轴沿射出，与光线交于点，过点作主光轴的垂线段，垂足为，即可得出物体所成的像． 【模型验证】 设焦点到光心的距离称为焦距，记为；物体到光心的距离称为物距，记为；像到光心的距离称为像距，记为． 已知，，当时，求证：． 证明：∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， 同理可得， ∴，即 ① ， ∴ ② ， ∴， ∴，即． 请结合上述材料，解决以下问题： (1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)； (2)若该凸透镜的焦距为20，物体距凸透镜的距离为30，物高为10，则物体所成的像的高度为__________； (3)如图2，由物理学知识知“经过点且平行于主光轴的光线经凸透镜折射后经过点”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线始终经过主光轴上一定点．若该凸透镜的焦距为20，物高为10，试说明这一物理现象． 【经典例题六 相似三角形与二次函数综合应用】 41．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，是半圆的直径，是半圆上任意一点（不与点，重合），和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． (1)求证：平分； (2)已知直径，设，，求关于的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） 42．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，若设，． (1)求出与之间的函数表达式； (2)直接写出当取何值时，矩形面积最大． 43．（2026·浙江杭州·模拟预测）探究角度与线段比例之间的关系 如图，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，． (1)【图形认识】求证：． (2)【引元关联】设，求关于的函数表达式． 44．（2025·广西来宾·模拟预测）如图，在中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点作于点，连接． (1)求证：； (2)设的长为的面积为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)结合（2）所得的函数，判断当的长为多少时，的面积最大． 45．（25-26九年级下·重庆巴南·期中）如图，在中，，，，点D是边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向运动，到达点C时停止运动；点Q从点C出发，以每秒0.5个单位长度的速度，沿方向运动，到达点A时停止运动．连接，过点Q作于点M．设运动时间为x秒，线段与的长度之比为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 46．（2026·重庆·一模）如图，在矩形中，是边的中点，是边上一点且满足，连接、．现将以每秒1个单位长度的速度沿射线方向，从点出发水平向左运动得到，当点运动到点时，停止运动．设运动时间为秒，记点与点的距离为，的面积为与矩形重叠部分的面积为． (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 47．（2026·上海普陀·二模）小普同学在物理课上学习光的折射知识后，知道了近视眼镜的镜片是凹透镜． 【生活观察】生活中配眼镜时需要先验光，如图是店家提供的验光单的一部分，其中“”中的“”表示该镜片为近视眼镜的镜片，“”表示该镜片的透镜焦度是2.75（焦度是表示透镜对光线偏折能力强弱的物理量，用Φ表示），平时说的眼镜镜片的度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为． (1)根据上图验光单的一部分，直接写出右眼和左眼眼镜镜片的度数． 【问题解决】小普同学为了验证一副近视眼镜和一张标记左眼、右眼均为的验光单是否匹配，他综合数学与物理所学的知识（见材料一、二），设计了一个验证实验（见材料三）． 材料一：摘自数学八上教材P79页 近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距f（米）成反比例．已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米． 材料二：摘自物理八上教材页 如图所示，平行于主轴的光通过凹透镜后，会向远离主轴的方向偏折，这些光的反向延长线相交于主轴上一点F，点F叫做凹透镜的虚焦点．凹透镜的光心O是主轴上一个特殊的点．虚焦点F到光心O的距离叫做凹透镜的焦距，用字母f表示． 材料三：把这副近视眼镜的镜片看作一个圆，如图，把发光物、镜片和光屏放置在光具底座上，将它们的中心位置调节到高度一致．用一束平行于主光轴GE的光线射向镜片，镜片光心为点O，在镜片另一侧的光屏上形成了一个圆形光斑． (2)根据材料一，求近视眼镜镜片的透镜焦度关于镜片焦距f的函数解析式． (3)根据材料三抽象出数学模型（如图），镜片直径与光斑直径平行，，测得米，米，镜片光心O到光屏的距离为0.3米．结合材料二，请判断这副近视眼镜的度数是否与这张验光单匹配？并阐述理由． 48．（25-26九年级上·山西大同·期末）综合与实践 问题情境： 某布艺玩具厂生产一批玩具时，剩下一批直角三角形废料，为了废料再利用，需将这些废料剪成矩形布料，综合实践活动小组的同学对布料的一种剪法进行了探究． 剪法：三角形废料如图1所示，，用这块废料剪出一个矩形，其中点D，E，F分别在，，上，使能够剪出的矩形的面积最大． 特例探究： 博学小组：如图1所示，．设，矩形的面积为y（单位：）． 剪裁并得出以下数据： x/cm … 1 2 3 4 … … 4 6 6 4 … 数据分析： 小组同学根据表中数据，建立平面直角坐标系，画图分析（如图2），得出了一些结论…… 问题解决： (1)博学小组剪布料问题中，当______cm时，能够使剪出的矩形的面积最大，y关于x的函数表达式为______（不要求写x的取值范围） (2)选择一块特殊废料如图3所示，，，．当的长为多少时，能够使剪出的矩形的面积最大，最大面积是多少？ 【经典例题七 相似三角形判定与性质综合问题】 49．（26-27九年级上·浙江温州·期中）如图1，四边形为正方形，，将边绕点顺时针旋转至，连接，，交于点． (1)用含的代数式表示和的大小． (2)求证：． (3)如图2，作和的平分线分别交和的延长线于点，．若，求的长． 50．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度．                        51．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）探究解题 (1)在四边形中，，垂足为D，交于点E．求证：； (2)在矩形中，N是上的一点，交于点E，若N是的中点，，．求； (3)在中，，，点Q为边上的点，过点B作的垂线，垂足为D，交于点P．若，．求的面积． 52．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图1，在和中，D，分别是，上的一点，． (1)当时，求证：．证明途径可用框图2表示，请填写其中的空格． (2)当时，判断与是否相似，并说明理由． 53．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，为线段上一动点，过向、分别作垂线，垂足分别为、，连结，已知． (1)由题易证四边形的形状是______（无需证明），请写出四边形对角线的性质______． (2)请用圆规和无刻度的直尺在图2中，画出当线段的长度最短时，点的位置（铅笔作图后请用中性笔描出作图痕迹） (3)将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①当点落在线段上时，求的值； ②当与重叠部分的面积，恰好是面积的时，直接写出的值． 54．（2026·山西晋城·一模）阅读与思考 【阅读材料】 如图1，在中，点D在边上，过点D作射线与直线交于点E．若，则称射线为中关于边的等角分线，点D为等角分点．特别地，当时，则称此时的射线为平行等角分线． 【概念辨析】 (1)若是等腰三角形，且，，射线是中关于边的等角分线，则的度数为______． 【作图计算】 (2)如图2，在等腰三角形中，，． ①尺规作图：作中关于边的平行等角分线，交边于点E；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母） ②求的长． 55．（2026·海南省直辖县级单位·一模）在正方形中，点M、N分别是边、的中点． (1)如图，连接、相交于点E.求证：； (2)如图，延长、相交于点F，连接．求证：； (3)如图，若正方形的边长为2，将沿翻折得到，延长交的延长线于点G，交于点Q，求的长． 56．（26-27九年级上·全国·单元复习）有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ， ， ， ， ， （依据②）， ， ． 请完成填空：①______________；②依据是________________________；③___________________． (2)如上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点的坐标为______________． (3)如图，在中，，，垂足为，为线段上一点，连结并延长至点，连结．若，，，求的长．              学科网（北京）股份有限公司 $