专题01 比例线段与平行线分线段成比例（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为主线，系统整合比例线段与平行线分线段成比例知识，通过题型分类提炼方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比例线段|1典例+3变式|比例尺计算、定义辨析（顺序性）|从实际情境抽象比例关系，奠定基础| |比例性质|1典例+3变式|基本/合比/等比性质应用|性质推导与计算结合，强化推理| |成比例线段|1典例+3变式|比例中项计算、线段排序验证|概念延伸，衔接比例性质| |黄金分割|1典例+3变式|黄金比应用、双分割点辨析|特殊比例应用，渗透几何直观| |平行线分线段成比例|1典例+6变式|定理应用（A型/X型模型）|核心定理应用，连接图形与比例| |作图题|1典例+3变式|网格平行线构造等分点|定理操作化，培养空间观念| |作平行线解题|1典例+5变式|中点辅助线构造中位线/比例|辅助线策略，提升问题转化能力|

专题01 比例线段与平行线分线段成比例 （题型突破·举一反三） 题型01 比例线段 题型02 比例的性质 题型03 成比例线段 题型04 黄金分割 题型05 利用平行线分线段成比例定理求解 题型06 利用平行线分线段成比例定理解答作图题 题型07 作平行线解答线段问题 ▌题型01 比例线段 1．比例尺：图上距离:实际距离=比例尺，注意单位统一（通常化为厘米）。 2．比例线段的定义：四条线段a,b,c,d中，若a:b=c:d，则这四条线段成比例。 3．易错提醒：成比例线段有顺序性，a,b,c,d成比例只能写成a:b=c:d，不能随意换位置。 【典例1】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）一幅地图上，用的线段表示的实际距离，它的比例尺是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 【变式1-2】（2025九年级上·上海·专题练习）在比例尺为的地图上，相距10厘米的两地实际距离为______千米． 【变式1-3】小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． ▌题型02 比例的性质 1．基本性质：若，则ad=bc（交叉相乘）。 2．合比性质：若，则。 3．等比性质：若，则。 【典例2】由，可得比例式：____． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知，则的值为______． 【变式2-2】已知：． (1)求代数式的值； (2)如果，求的值． 【变式2-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知线段a，b的长满足． (1)求的值； (2)当线段m是a，b的比例中项，且时，求m的值． ▌题型03 成比例线段 1．比例中项：若a:b=b:c，则b是a,c的比例中项，。 2．判断四条线段成比例：将四条线段按大小排序后验证。 3．易错提醒：求比例中项时线段长度取正值；四条线段成比例有多种排列方式，需分类讨论。 【典例3】若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知三条线段的长分别为2，4，6，请你写出一条线段的长，使这四条线段是成比例线段． 【变式3-3】如图，若是与的比例中项，，求___________ ▌题型04 黄金分割 1．黄金分割：点C把线段AB分成AC和BC（AC>BC），若，则C为黄金分割点。 2．黄金比：，一条线段有两个黄金分割点。 3．易错提醒：黄金分割点有两个（靠近两端各一个），注意题目要求的是哪个。 【典例4】已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律，如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点恰好是线段的黄金分割点（），则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ ▌题型05 利用平行线分线段成比例定理求解 1．定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2．三角形中的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得对应线段成比例。 3．易错提醒：找准"对应线段"，注意A型和X型两种基本模型，对应关系不要搞混。 【典例5】如图，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（　） A． B．4 C．10 D． 【变式5-2】（2026·浙江衢州·一模）如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 【变式5-3】如图，直线，已知，，，___________． 【变式5-4】如图，交于点，，，，当______时，可与平行． 【变式5-5】如图，在中，，点D为边的中点，点E在边上，，将沿BE折叠至，当时，则_______． 【变式5-6】（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，在菱形中，在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点分别在边上，点在对角线上．若，则阴影部分的面积为__________． ▌题型06 利用平行线分线段成比例定理解答作图题 1．网格作图：利用网格的平行线构造等分点，通过平行线分线段成比例实现线段的等分。 2．三等分线段：在过端点的平行线上取等距点，连接后作平行线即可得到等分点。 3．易错提醒：网格作图要利用格点的平行关系，作图痕迹用虚线表示。 【典例6】在的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图： (1)在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形． (2)在图2中仅用无刻度的直尺，把线段三等分． 【变式6-1】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图（1）中，，分别是边，与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点，画出点，再在上画点，使； (2)在图（1）中，是边上一点，．先将绕点逆时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称． 【变式6-2】（2026·湖北武汉·三模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B是格点，C是网格线上一点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个画图任务．每个任务的连线不超过四条． (1)在图（1）中，先将绕点A逆时针旋转得到线段；作的高； (2)在图（2）中，在上找到一点F，使得；再将绕点A顺时针旋转得到线段． 【变式6-3】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹）． (1)在图①中画的高CH； (2)在图②的线段AC上画一点D，连结BD，使得； (3)在图③中的外部画一点F，使，且． ▌题型07 作平行线解答线段问题 1．辅助线策略：过中点作平行线，构造中位线或利用平行线分线段成比例。 2．常用模型：过三角形一边中点作另一边的平行线，可得中位线或比例关系。 3．易错提醒：作平行线后要找准对应线段的比例关系，注意中点带来的1:1比例。 【典例7】如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【变式7-2】中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：． 【变式7-3】如图，已知，是的中线，是的中点，则___________． 【变式7-4】（2026·山西临汾·三模）如图，在中，，，点D是上一点，且，过点B作的垂线分别交，于点E和点F，则的长为______． 【变式7-5】如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 比例线段与平行线分线段成比例 （题型突破·举一反三） 题型01 比例线段 题型02 比例的性质 题型03 成比例线段 题型04 黄金分割 题型05 利用平行线分线段成比例定理求解 题型06 利用平行线分线段成比例定理解答作图题 题型07 作平行线解答线段问题 ▌题型01 比例线段 1．比例尺：图上距离:实际距离=比例尺，注意单位统一（通常化为厘米）。 2．比例线段的定义：四条线段a,b,c,d中，若a:b=c:d，则这四条线段成比例。 3．易错提醒：成比例线段有顺序性，a,b,c,d成比例只能写成a:b=c:d，不能随意换位置。 【典例1】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）一幅地图上，用的线段表示的实际距离，它的比例尺是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例尺，根据比例尺为图上线段的长度与实际距离的比值，求解即可． 【详解】解：， ∴比例尺为：； 故选A． 【变式1-1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 【答案】C 【分析】此题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺． 【详解】解：设两地间的实际距离为毫米， 根据题意，， 解得， 即实际距离是千米． 故选：C． 【变式1-2】（2025九年级上·上海·专题练习）在比例尺为的地图上，相距10厘米的两地实际距离为______千米． 【答案】1 【分析】本题考查了比例线段，根据比例尺正确进行计算并注意单位的转换是解题的关键． 根据比例尺图上距离实际距离，列出关系式即可得出实际的距离． 【详解】解：设两地实际距离为x厘米，得：， 所以相距10厘米的两地的实际距离是厘米千米， 故答案为：1． 【变式1-3】小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． ▌题型02 比例的性质 1．基本性质：若，则ad=bc（交叉相乘）。 2．合比性质：若，则。 3．等比性质：若，则。 【典例2】由，可得比例式：____． 【答案】 【分析】把等式两边同时除以即可得到答案． 【详解】解：∵，且由题意得， ∴，即． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，解决本题的关键是熟练掌握比例的性质． 根据比例的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】已知：． (1)求代数式的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，解一元一次方程，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键． （1）设，代入化简即可； （2）设，代入求出k的值，进而可求出a，b，c的值． 【详解】（1）解：∵， ∴设，代入，得 ； （2）解：∵， ∴设，代入，得 ， 解得， ∴． 【变式2-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知线段a，b的长满足． (1)求的值； (2)当线段m是a，b的比例中项，且时，求m的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例中项的定义．熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）根据比例的性质求解即可； （2）根据比例中项的定义，得到，再根据，可得即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵线段m是a，b的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． ▌题型03 成比例线段 1．比例中项：若a:b=b:c，则b是a,c的比例中项，。 2．判断四条线段成比例：将四条线段按大小排序后验证。 3．易错提醒：求比例中项时线段长度取正值；四条线段成比例有多种排列方式，需分类讨论。 【典例3】若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例线段的定义，注意成比例的线段有顺序性，如a，b，c，d是成比例线段，那么只能写成或，不能随便更改位置，列出比例式（方程）求解即可． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，且，，， ∴，即， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了比例线段的定义，列出比例式（方程）求解是解题的关键． 【变式3-1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【答案】D 【分析】根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算出线段d的所有可能值，即可判断出不可能的取值． 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知三条线段的长分别为2，4，6，请你写出一条线段的长，使这四条线段是成比例线段． 【答案】12或3或 【分析】本题考查了成比例线段，设线段的长为d，根据题意分3种情况，分别列出比例式求解即可． 【详解】解：设线段的长为d， 根据题意，得： 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：； 所以线段的长为12或3或． 【变式3-3】如图，若是与的比例中项，，求___________ 【答案】/ 【分析】由，求得，是与的比例中项，解一元二次方程即可求得， 【详解】∵， ∴， ∵是与的比例中项， ∴，即， 解得：， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了比例中项和公式法解一元二次方程，熟练掌握比例中项是解决问题的关键 ▌题型04 黄金分割 1．黄金分割：点C把线段AB分成AC和BC（AC>BC），若，则C为黄金分割点。 2．黄金比：，一条线段有两个黄金分割点。 3．易错提醒：黄金分割点有两个（靠近两端各一个），注意题目要求的是哪个。 【典例4】已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用黄金分割的性质可直接得到对应比值． 【详解】∵ 点是线段的黄金分割点，且， 根据黄金分割的定义可得 ， ∴ ． 【变式4-1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律，如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点恰好是线段的黄金分割点（），则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的定义，由点恰好是线段的黄金分割点，，则，然后代入得，整理得，然后求解即可，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴，整理得：， 解得：（负值已舍去）， 故选：． 【变式4-2】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比． 根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：B． 【变式4-3】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． ▌题型05 利用平行线分线段成比例定理求解 1．定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2．三角形中的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得对应线段成比例。 3．易错提醒：找准"对应线段"，注意A型和X型两种基本模型，对应关系不要搞混。 【典例5】如图，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，找到对应边，即可求解． 【详解】解：∵ A. ，故该选项正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，符合题意；     C. ，故该选项正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（　） A． B．4 C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点包括直角三角形的勾股定理、三角形中位线的判定与性质．运用勾股定理是解题的关键．先通过勾股定理求出的长度，再结合是中点、的条件，判定为的中位线，进而利用中位线性质求出的长度． 【详解】解：在中，由勾股定理： ， ， , ∴， 点是的中点，即： ， ，即：点是的中点， 是的中位线 故选：B． 【变式5-2】（2026·浙江衢州·一模）如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，首先得到，然后利用四边形的面积求解即可. 【详解】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作， ∵， ∴， ∴四边形的面积． ∴四边形的面积为定值. 【变式5-3】如图，直线，已知，，，___________． 【答案】 【分析】此题考查平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 【变式5-4】如图，交于点，，，，当______时，可与平行． 【答案】 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案； 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式5-5】如图，在中，，点D为边的中点，点E在边上，，将沿BE折叠至，当时，则_______．      【答案】/ 【分析】过点D作于点H，于点F，设与交于点M，由题意易得，则有，然后设，则有，进而可得，最后根据勾股定理可求解． 【详解】解：过点D作于点H，交于点F，设与交于点M，如图所示：      ∵， ∴， ∵点为中点， ∴，， ∴点F是的中点， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：（负根舍去）， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例、勾股定理、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与判定、折叠的性质及直角三角形斜边中线性质，熟练掌握平行线所截线段成比例、勾股性质、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与判定、折叠的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键． 【变式5-6】（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，在菱形中，在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点分别在边上，点在对角线上．若，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】如图，连接交于O，易证四边形是菱形，同理：四边形是菱形，再证明四边形是菱形，利用菱形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理可求得菱形的面积为；进而求得菱形的面积为，同理菱形的面积为，最后根据求解即可． 【详解】解：如图：连接交于O， ∵菱形中， ∴， ∵菱形， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， 同理：， ∴， ∴四边形是菱形，同理：四边形是菱形， ∴， ∵菱形和菱形， ∴， ∴，即， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴，即， ∴菱形的面积为； 设，则， 由题意可得：， ∴，即，解得：， ∴，， ∴， ∴，即 ∴菱形的面积为， 如图：连接交于I，则， ∴，即， ∴菱形的面积为，同理菱形的面积为， ∴． ▌题型06 利用平行线分线段成比例定理解答作图题 1．网格作图：利用网格的平行线构造等分点，通过平行线分线段成比例实现线段的等分。 2．三等分线段：在过端点的平行线上取等距点，连接后作平行线即可得到等分点。 3．易错提醒：网格作图要利用格点的平行关系，作图痕迹用虚线表示。 【典例6】在的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图： (1)在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形． (2)在图2中仅用无刻度的直尺，把线段三等分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）对于已知的三角形的三边分别为平行四边形的对角线进行分类讨论画出图形即可； （2）根据平行线分线段成比例定理画出图形即可． 【详解】（1）解：根据点A、B、C的位置，通过平移边找点D：例如以为平行四边形的对角线，将点向右平移2格、向下平移1格即可得到格点，顺次连接四个顶点即得到符合要求的平行四边形；或以、为对角线，同理可得符合要求的平行四边形；画出图形如图1所示． 故图中平行四边形，平行四边形，平行四边形即为所求． （2）解：在过点的水平格线上，从开始顺次取3个相邻的等距格点，将最外侧的格点与点连接，再过另外两个格点作这条连线的平行线，平行线与的两个交点就是的三等分点，完成作图即可，即如图2所示． ∵，， ∴， 即点E，F是线段的三等分点． 【变式6-1】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图（1）中，，分别是边，与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点，画出点，再在上画点，使； (2)在图（1）中，是边上一点，．先将绕点逆时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称． 【答案】(1)如图，点F和点G即为所求， (2)如图，线段和点即为所求， 【分析】（1）取格点，构造平行四边形即可解决问题，连接，交格线于点M，连接交于点G，点G，点F即为所求； （2）取格点D、E，连接，取格点R，连接并延长交于一点H，连接，此线段即为所求作线段；连接交于点，连接并延长交于点，则该点就是点关于直线的对称点． 【详解】（1）解：连接，，交于点E， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点F即为所求的点； 取格点K，N， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴即； （2）解：取格点W，与相交于点K， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴点是的中点，即， ∴垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，两点关于直线对称． 【变式6-2】（2026·湖北武汉·三模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B是格点，C是网格线上一点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个画图任务．每个任务的连线不超过四条． (1)在图（1）中，先将绕点A逆时针旋转得到线段；作的高； (2)在图（2）中，在上找到一点F，使得；再将绕点A顺时针旋转得到线段． 【答案】(1)如图，线段，高即为所求； (2)如图，点F，线段即为所求． 【分析】（1）根据网格画出旋转后的线段；设与网格线的交点为，连接并延长交网格线于点G，连接交于点E即可； （2）连接交网格线于点F即可；取格点H，连接并延长交于点E，取格点G，连接并延长交网格线于点，连接即可． 【详解】（1）解：如图，取格点H，I ∵， ∴ ∴ 同理可得， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴是的高； （2）解：如图，取格点I，D，O ∵ ∴ ∴，即； ∵， ∴垂直平分 ∴ ∴ ∴所在直线和所在直线关于对称， ∴由对称和网格特点可得， 又∵ ∴ ∴， ∴． 【变式6-3】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹）． (1)在图①中画的高CH； (2)在图②的线段AC上画一点D，连结BD，使得； (3)在图③中的外部画一点F，使，且． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先观察线段的横向和纵向格数分别为3，3，交换横向和纵向数据后，再在目标点按正确方向画出新线段，其横向和纵向格数分别为3，3． （2）构造相似三角形，其相似比为，即可把分成两段，． （3）将沿水平方向移动两格到处，再在上取点，过点作的垂线交于点，则垂直平分，故． 【详解】（1）解：如图①，取格点，连接交于点，线段即为所求作． （2）解：如图②，取格点、，，，连接交于点，连接，点即为所求作． （3）解：如图③，连接、，交于，连接，线段即为所求作． ▌题型07 作平行线解答线段问题 1．辅助线策略：过中点作平行线，构造中位线或利用平行线分线段成比例。 2．常用模型：过三角形一边中点作另一边的平行线，可得中位线或比例关系。 3．易错提醒：作平行线后要找准对应线段的比例关系，注意中点带来的1:1比例。 【典例7】如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，交于点，根据平行线分线段成比例可得点是的中点，从而可得，然后再利用平行线分线段成比例可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：过点作，交于点， ，点是的中点， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 故选：A 【变式7-1】如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可． 【详解】解：过点D作，交于H， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式7-2】中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，作的中点G，连接，证明，即可得出，进而可证明，即可得出． 【详解】证明：作的中点G，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-3】如图，已知，是的中线，是的中点，则___________． 【答案】 【分析】过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：过点作交于， 则， 是的中线，是的中点， ，， ， ． 故答案为：． 【变式7-4】（2026·山西临汾·三模）如图，在中，，，点D是上一点，且，过点B作的垂线分别交，于点E和点F，则的长为______． 【答案】 【分析】过点A作交于点H，过点D作交于点G，由题意可得，，，，，由勾股定理得，，，在中，利用等面积法得，由勾股定理得，，则，故是的中点，由可推得是的中点，因此是的中位线，故，由得，故，从而，设，则，，故，解得，，即． 【详解】解：如图，过点A作交于点H，过点D作交于点G， ，，， ，，， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 是的中点， 又， ， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 化简得，， 解得，，即． 【变式7-5】如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）根据题意可知，继而得到本题答案； （2）过D作交于M点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过D作交于M点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $