专题11 相似三角形中（双）A字型模型与（双）8字型模型的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦相似三角形（双）A字与（双）8字模型，构建“通法指引-题型精析-压轴突破”三阶训练体系，提炼图形特征识别、比例传递、方程构建等可迁移方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|图形特征分类、比例线段核心解法、易错点警示|从图形本质到解法原理，建立模型认知基础| |题型归纳|4题型（每题型含典例1+变式3）|每类题型提供“特征+方法”模版，如双A字比例传递、A与8字综合等量代换|从单一模型到双模型叠加，形成“识别-推理-计算”链条| |压轴挑战|15题（选择5+填空5+解答5）|多模型联用、动态问题分析、实际应用转化|对接中考命题趋势，提升综合解题与模型应用能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11相似三角形中（双)A字型模型与（双)8字型模型 的四类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、"A”字模型与反“A”字模型 题型二、同向双“A”字模型 题型三、"8”字模型与反"8”字模型 题型四、“A”字模型与"8”字模型综合 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，勋力能力迁移 题型特征：图形呈A形（平行线截三角形两边）或8字形（交叉线与平行线组合），常含多对相似，考 查比例线段与求值。 解题方法：A字型中利用DE/BC得1P-A二.DE AB-AC BC:双A字型通过中间量传递比例：8字型利用对 顶角与平行线得两三角形相似；双8字型可建立等量关系（如共线段）列方程。 -易错提醒：A字型中找错对应边（如把AD与AC对应）；双A字型比例传递时中间量选取不当；8字型 中平行线位置判断错误导致相似关系反转；比例式交叉相乘时漏项或符号错误。 同 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一、“A”字模型与反“A“字模型 典例1(25-26八年级下福建福州期末)如图，点D、E分别在边AB、AC上，∠ADE=∠C,若AB=9, AD=2,AC=6,求AE的长 E 题型模版 1特征：形如“A”或倒“A”的图形（斜边被平行线截断)，利用平行线分线段成比例或相似三角形。 2方法：由平行线得同位角相等，证两三角形相似，利用相似比列方程求边长或角度。倒“A”则方向相 反。 变式1-1(25-26八年级下江苏苏州期末)如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若∠A=40, ∠B=65°，∠AED=75°」 (I)求证：△ADE~△ABC: (2)已知AD:BD=2:3,AE=5,求AC的长. 变式1-2如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,D、E分别在AB、AC上，BD=2,CE=5. B (I)求证：△AED∽△ABC (2)若DE=5,求BC的长 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1-3(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)如图，在△ABC中，AC=2,BC=3,∠C=60°，D为 AB边上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E,过点E作AB的平行线交BC于点F. D (I)求证：△ADE∽△EFC: (2)若DE:CF=2:3,求△ADE与△ABC的面积比. 题型二、同向双“A”字模型 典例2如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，∠AED=∠B,AG分别交线段DE,BC于点 AD DF F,G,且ACCG (1)求证：AG平分∠BAC: EF DF (2)求证：BGCG 题型模版 1特征：两个“A”字图形同向叠加，共享项点或底边，平行线产生多组相似三角形。 2方法：分别找出各对相似三角形，利用平行线得对应角相等，列出比例式联立求解边长或参数。 变式2-1(25-26九年级上·上海期中)如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且 AFAE DFIBE,FECE· 3/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 5 (I)求证：DE∥BC: AF 2 (②)如果FE=3,SADEF=3,求SABc的值. 变式2-2(25-26九年级上·上海课后作业)如图，在△ABC中，DE∥BC,交AB于D,交AC于E,F AD=2 为BC上的一点，DE交AF于G,AB=3,AE=5:求： DG AG ()AF: (2)AC的长. 变式23(25-26九年级上江苏扬州开学考试)如图在锐角△18C中，BC=6,Sc=12 两动点M, N分别在AB,AC上滑动，且MN∥BC,以MN为边长向下作正方形MPON,设MN=x,正方形 MPON与△ABC公共部分的面积为y. M B ■ DO (图1) (图2) (I)求出△ABC的边BC上的高AD (②)如图1，当正方形MPON的边PO恰好落在边BC上时，求x的值. 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图2，当PQ落在△ABC外部时，求出y与x的函数关系式. 题型三、“8”字模型与反“8”字模型 典例3(26-27九年级上全国课后作业)如图，己知AB1DE,AC=4cm,BC=3cm,CE=6cm.求 AD的长. D 题型模版 1特征：两条线段交叉形成“8”字，对顶角相等，平行时产生相似三角形：反“8”为方向相反。 2方法：利用对顶角相等和平行线性质（内错角相等)，证明三角形相似，用比例式求线段长度或角度。 变式3-1(25-26九年级上北京房山期中)如图，AD与BC交于0点，∠A=∠C，B0=4,D0=2, AB=3,求CD的长 D 变式3-2如图，已知：AB⊥BC,CD⊥BC,垂足分别为B、C,AC与BD交于点E,过点E作EF L BC, 垂足为F. D EFEF ①求证：AB+CD1, (②)连接AFDF,求证：EF平分∠AFD. 5/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3-3(25-26九年级上广东茂名阶段检测)【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O,经测量， 得到AB=CD=136cm,OA=0C=51cm,OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开，横杆链EF成一条线段， 测得EF=32cm, 图1 图2 (I)晒衣架完全稳固张开时，连接AC,证明：AC‖EF: (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 题型四、“A”字模型与“8“字模型综合 典例4(25-26九年级上江苏苏州阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，四边形CDEF是正方形， AC=15,BC=10,AF交DE于点G. E (I)求正方形CDEF的边长： (2)求EG的长. 题型模版 1.特征：图形中同时出现“A”字和“8”字结构，需多次利用相似三角形传递比例。 2方法：分别识别“A”型和“8”型相似，列出各比例式，通过等量代换（如公共边）联立求解未知量。 变式41如图，在菱形ABCD中，点F在边CD上，连接AF并延长，交对角线BD于点E、BC的延长线 与点G 6/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G (1)求证：AE是EG、EF的比例中项； EF (2)若BC=6,DF=4,求EG的值. 变式42(25-26九年级上：四川眉山期末)如图，平行四边形ABCD中，点E为CD边上任意一点（不与 点C、D重合)，连接AE并延长与BC的延长线交于点F. D B C (1)图形中有哪几对相似三角形？请分别写出来， △AODA_,△AOB△_，△ABDA_,△ADEA_△ CF 2 CE (②)若BC3,AD=6,求BF的长及DC的值. 变式43如图，AC是口ABCD的对角线，在AD边上取一点F,连接BF交AC于点E,并延长BF交CD的 延长线于点G. G R O E (I)若∠ABF=∠ACF,求证：△ECF∽aEGC. (2)若DG=DC,BE=6,求EF的长. 3在(2)的条件下，若5=3. 求 S四边形CDFE ◆◆ 同压轴桃战一支克高压轴，突破思维上限 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1,(2026云南中考真题)如图，AC,BD相交于点0，AB∥CD,记△COD S△AOB 的面积为， 的面 CD 2 SL= 积为S.若AB3,则S,() A B.7 D.12 2.(26-27九年级上全国课后作业)如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE,BD,且AE,BD交于 点B,5er:S4c=4:25 D B A.2:3 B.2:5 C.3:5 D.32 3.(2026安徽蚌埠·三模)如图，BD,CE分别是△ABC的中线，BD与CE相交于点O,点M,N分别在 BO,CO上，四边形EMND是平行四边形.若BD=6,则BM的长度为() A E D B A.1 B.2 C.3 D.4 4.(26-27九年级上全国课后作业)如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从A开始沿AB边 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P,Q分别从A,B 同时出发，经过s时△PB0与△ABC相似，那么t的值为() 5 A.2 B.5或2 C.5 D.4或2 5.(25-26九年级下辽宁盘锦期中)如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点O,点E是OA 的中点，连接BE并延长交D于点R.已知 △AEr= 4,则下列结论：OFD=24F,② SABCE=36 ；③ S△MBE=1 6,④△MF△MD,③4F-CE=D-A 其中一定正确的个数是() F A A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题 6.(25-26八年级下江苏苏州阶段检测)在△MBC中，DE∥BC,AD=2,DB=3S,DE=2 ,则 S△ABC= 7.(26-27九年级上全国单元复习)如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE‖AC,若 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SADOE SACO4=1:16SARDE SACDE= ,则 D 8.(2026吉林模拟预测)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE,AC相 交于点F,过F作AD的平行线交AB于点G,若FG=2,则BC=一· D G 9.(2026山东日照模拟预测)如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE=2ED,连接BE BG 交AC于点G,延长BE交CD的延长线于点F,则GF E D G B C 10.(2026浙江丽水·一模)如图，在口ABCD中，点E在BC上，点B关于直线AE的对称点F落在 ABCD内，延长AF交DC于点G,交射线BC于点P,延长EF交CD于点O.当CP=CE时，设 BE DO CE =m(0<m<2),c =n,则n= (用含m的代数式表示)· D 三、解答题 11.(25-26八年级下山东青岛期末)如图，己知△ABC,DE∥BC,AD=2,BD=4,BC=12, 10/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC=9.求线段DE和CE的长 E 12.(25-26八年级下·山东济南期末)如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且 ∠AED=∠C B C (I)求证：△AED∽△ACB: (2)若AB=9,AD=6,AC=7,求AE的长. AD 1 13.(25-26八年级下重庆沙坪坝：期末)如图，在AABC中，DE∥BC,DB2,点F在BC边上，连 接DF B (I)若△ADE的面积为1，求四边形BCED的面积； (2)若DF∥AC,BF=3,求DE的长度. 14.(25-26九年级下山东烟台期末)如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，连接AD,过点A作 EBC,连接BE分别交4D,4C 、BE ，于点R,G,AF2=FG-EF 11/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)求证：∠DAC=∠CBE: (2)若AB=AC=5,BC=6,点D为BC的中点，求BG的长. 15.(2026·贵州贵阳模拟预测)如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE=AD,连 接EC,交AD于点F,交BD于点G,BD⊥EC. D C F G B (I)求证：AF=AB: (2)若AD=2,求AB的长： )连接46，求证： EG-DG=2AG 16.(25-26九年级上·江苏扬州开学考试)完成以下问题 B 图① 图② (I)如图①，△ABC中，∠A=50°，∠B=45°，点D、E分别在AB、AC上，且AD·AB=AE·AC,则△ABC 与△ADE的关系为_； (2)如图②，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,M为AD中点，连接CM交BD于点N, 且ON=1,求BD的长， 17.(25-26八年级下山东烟台期中)认知基础：如图：a∥b∥C,直线m,n与平行线交于A、B、C、 AB DE AB DE D、E、F,则BCEF,ACDF,…,即：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 12/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E -b F m 请依据“认知基础”的理解，解决下列问题： 、A d D E E D 6 F 图1 图2 图3 图4 ()如图1，a∥b,直线m,n交于点O,与a,b分别交于A、B、C、D,若OA:OB=2:3,CD=10, 则OC的长度为一： (②)如图2，△ABC中，DE∥BC,EF∥CD,AF=6,AD=10,AE=9,求AB的长： (3)如图3，△ABC中，BC=12,点D在AB上，且AD=2BD,DE∥BC,EFI‖AB,求DE的长度： (4)如图4，矩形ABCD中，AB=8,BC=10,点E是对角线BD上一点，且DE=2BE,延长CE交AB于 点F,求CF的长 18.(2026山东青岛中考真题)根据以下探究完成相关题目： E B (图①) (图②) (图③) K D B (图④) (图⑤) (I)探究一：如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=10.在该三角形内部排列边长为1.2的小 正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与BC平行），最多能排列多少个小正方形？我 们不妨这样思考： 13/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF AE 如图②，排列第一层时，因为EB=1.2,所以AE=4-1.2=2.8,易得△AEF∽△ABC,所以BC=AB,解 得EF=7· 因为7÷1.2=5 ,所以第一层最多排列5个： GH AG 如图③，排列第二层时，因为GB=2.4,所以AG=4-2.4=1.6,易得△AGH△ABC,所以BCAB, 解得GH=4·因为4÷12=3 ,所以第二层最多排列3个；按上述思路，可求得在Rt△ABC内部能排列的 小正方形个数最多为 个； (②)探究二：如图@，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠B=90°，AB=4,BC=10,CD=2.4.在该梯形内 部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与BC平行）.在梯形ABCD 内部能排列的小正方形个数最多为一个： (3)探究三：如图⑤，在五边形ABCJK中，AB∥CJ,AK∥BC,∠B=90°，AB=4,BC=10,CJ=1.2, AK=3.6,在该五边形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在五边形内部，互不重叠，且一边与 BC平行).在五边形ABCK内部能排列的小正方形个数最多为一个. 14/14 专题11 相似三角形中（双）A字型模型与（双）8字型模型的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、“A”字模型与反“A”字模型 题型二、同向双“A”字模型 题型三、“8”字模型与反“8”字模型 题型四、“A”字模型与“8”字模型综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：图形呈A形（平行线截三角形两边）或8字形（交叉线与平行线组合），常含多对相似，考查比例线段与求值。 - 解题方法：A字型中利用DE∥BC得 = = ；双A字型通过中间量传递比例；8字型利用对顶角与平行线得两三角形相似；双8字型可建立等量关系（如共线段）列方程。 - 易错提醒：A字型中找错对应边（如把AD与AC对应）；双A字型比例传递时中间量选取不当；8字型中平行线位置判断错误导致相似关系反转；比例式交叉相乘时漏项或符号错误。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、“A”字模型与反“A”字模型 典例1 （25-26八年级下·福建福州·期末）如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 【答案】 【分析】利用题目条件推出，从而，代入值可得的长． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， ． 题型模版 1.特征：形如“A”或倒“A”的图形（斜边被平行线截断），利用平行线分线段成比例或相似三角形。 2.方法：由平行线得同位角相等，证两三角形相似，利用相似比列方程求边长或角度。倒“A”则方向相反。 变式1-1（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ∴， 即， 解得：． 变式1-2如图，在中，，，D、E分别在、上，，． (1)求证：． (2)若，求的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握对应边成比例是解题关键． （1）根据两边成比例且夹角相等，可证明两个三角形相似； （2）根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：，，，， ，， ， 又， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ． 变式1-3（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点． (1)求证：； (2)若，求与的面积比． 【答案】(1) 解：∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． 同理： ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． ∴． (2)与的面积比为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． （1）根据平行相似证明、，即可得出； （2）先证明四边形为平行四边形，得出边的关系，再运用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴设，， ∴． ∵由（1）得， ∴． ∴与的面积比为． 题型二、同向双“A”字模型 典例2 如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由相似三角形的判定和性质确定，即可证明； （2）根据相似三角形的判定得出，再由性质得出，利用等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：两个“A”字图形同向叠加，共享顶点或底边，平行线产生多组相似三角形。 2.方法：分别找出各对相似三角形，利用平行线得对应角相等，列出比例式联立求解边长或参数。 变式2-1（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， ． (2) 【分析】（1）由 可得，再结合已知比例，可得，证明，即可解答； （2）由图可知与等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由，得出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ； 与同高， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 变式2-2（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． （1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； （2），， ， ， ． 变式2-3（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）如图在锐角中，，，两动点，分别在，上滑动，且，以为边长向下作正方形，设，正方形与公共部分的面积为． (1)求出的边上的高． (2)如图1，当正方形的边恰好落在边上时，求的值． (3)如图2，当落在外部时，求出与的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算可求出； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； （3）根据相似三角形的性质列出比例式，用含的代数式表示，再根据公共部分的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， 是边上的高， ∴， ∴； （2）解：如图，设交于点， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，，即， ∴，是中边上的高， ∴，即， 解得：， ∴当正方形的边恰好落在边上时，的值为； （3）如图，设交于点，交于点， 由（2）知：恰好落在边上时，， 又∵四边形是正方形，，，两动点，分别在，上滑动， ∴当落在外部时，， ，， 由（2）知：，是中边上的高， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴当落在外部时，求出与的函数关系式为． 题型三、“8”字模型与反“8”字模型 典例3 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据，得到，得，求得，  即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即，解得， ∴． 题型模版 1.特征：两条线段交叉形成“8”字，对顶角相等，平行时产生相似三角形；反“8”为方向相反。 2.方法：利用对顶角相等和平行线性质（内错角相等），证明三角形相似，用比例式求线段长度或角度。 变式3-1（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 【答案】1.5 【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，，即可求出CD的长． 【详解】解：∵AD与BC交于O点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． 变式3-2如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明和可得，，相加即可求证； （）证明可得，又由平行线等分线段定理得，即得，进而可得，即得到，即可得，即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． 变式3-3（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 题型四、“A”字模型与“8”字模型综合 典例4 （25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关判定定理的内容即可求解； （1）证推出，设，则，根据即可求解 ； （2）证，推出，求得，即可求解 ； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即正方形的边长为； （2）解：由（1）得：， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴GE=DE-DG= 题型模版 1.特征：图形中同时出现“A”字和“8”字结构，需多次利用相似三角形传递比例。 2.方法：分别识别“A”型和“8”型相似，列出各比例式，通过等量代换（如公共边）联立求解未知量。 变式4-1如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，则、可得，进而得到，从而证明结论； （2）根据菱形的性质可得，进而得到，再证明可得，再证明可得,即：；然后代入即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴是、的比例中项． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴,即：， ∵， ∴，即， ∴． 变式4-2（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，平行四边形中，点E为边上任意一点（不与点C、D重合），连接并延长与的延长线交于点F． (1)图形中有哪几对相似三角形？请分别写出来． ， ， ， (2)若，，求的长及的值． 【答案】(1)；；；； (2)， 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和图形可以直接写出图中的相似三角形； （2）根据，，平行四边形的性质和相似三角形的性质可以求得的长及的值． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，，，，， ∴； 故答案为：；；；；； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，． 变式4-3如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)15 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件． （1）依据等量代换得到，依据，即可证明； （2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题； （3）过点作于点H，由（2）知，由，求出，即可求出，再根据，得到，推出，证明，得到，推出，求出，从而求出，再根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵平行四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作于点H， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·云南·中考真题）如图，，相交于点，，记的面积为，的面积为．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 【答案】B 【详解】四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． 3．（2026·安徽蚌埠·三模）如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理得出，，根据平行四边形的性质得出，，，进而得出，，证明可得出，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（     ） A．2 B．或2 C． D．或2 【答案】B 【分析】设x秒后，与相似，可表示出，再分与两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意，得，． ，， ． ①当时， ， ， ， ， 解得； ②当时， ， ， ， ， 解得， 综上所述，的值为或2． 5．（25-26九年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在平行四边形中，，相交于点O，点E是的中点，连接并延长交于点F．已知，则下列结论：①；②；③； ④；⑤其中一定正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】①根据平行四边形的性质可得出，由可得出，根据相似三角形的性质可得出，即可判断⑤正确；确定，进而可得出，结论①正确；②根据相似三角形的性质结合，即可求出，结论②正确；③由和等高且，即可得出，进而可得出，结论③错误；④假设，根据相似三角形的性质可得出，进而可得出，根据平行四边形的性质可得出，由与不共线可得出假设不成立，即和不相似，结论④错误．综上即可得出结论． 【详解】解：①四边形是平行四边形， ， 点E是的中点， ， ， ， ，，故⑤正确； ， ∴，结论①正确； ②， ， ，结论②正确； ③和等高，且， ， ，结论③错误； ④假设， 则， ， 即． ， 和共线． 点为的中点， 即与不共线， 假设不成立，即和不相似，结论④错误； 综上可得：正确的有3个． 二、填空题 6．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）在中，，，，，则______． 【答案】 【分析】由题意易得，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则________． 【答案】 【分析】证明得出，证明得出，进而求出结论． 【详解】解：， ． ， ． ， ， ， ． 与等高， ． 8．（2026·吉林·模拟预测）如图，已知四边形是平行四边形，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则______． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，由四边形是平行四边形，得 ，再证明 ，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵是的中点， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 解得：． 9．（2026·山东日照·模拟预测）如图，在平行四边形中，点是上一点，，连接交于点，延长交的延长线于点，则________． 【答案】 【分析】由平行四边形性质，结合相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，，，则， ， 则， ， ， ， ． 10．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，点在上，点关于直线的对称点落在内，延长交于点，交射线于点，延长交于点．当时，设，，则_________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】延长交于点，设，，证明得出，证明得出，证明得出，进而求得． 【详解】解：如图，延长交于点， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴ ∵，即 ∴ ∴即 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵折叠， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： 三、解答题 11．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，已知，，，，，．求线段和的长． 【答案】， 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据得出，根据相似三角形的性质，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，． ∴． ∴，即． ∴． ∵， ∴，即． ∴． 12．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：∽； (2)若求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴； (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，点F在边上，连接． (1)若的面积为1，求四边形的面积； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，结合，求出， 即可求解； （2）证明四边形是平行四边形，得出，根据平行线分线段成比例可得，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 14．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在中，点D为边上的一点，连接，过点A作，连接分别交，于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，点D为的中点，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； (2) 【分析】（1）证明，结合平行线的性质解题； （2）推出，根据面积法计算． 【详解】（1）略 （2）解：如图，∵，，点D为的中点， ∴，， ∴， 由（1）知， 而， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 15．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，，连接，交于点F，交于点G，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)连接，求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴． (2) (3)证明：如图，在线段上取点P，使得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明，进而利用相似三角形的性质解答即可； （3）在线段上取点P，使得，证明，得出，证得为等腰直角三角形，可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∴，即． 由（1）知， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得，（舍去）． ∴． （3）略 16．（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形相似的判断推导即可； （2）证明，设，则，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：M为中点， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ，解得， ． 17．（25-26八年级下·山东烟台·期中）认知基础：如图：，直线与平行线交于、、、、、，则，，……，即：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 请依据“认知基础”的理解，解决下列问题： (1)如图1，，直线，交于点，与，分别交于、、、，若，，则的长度为_____； (2)如图2，中，，，，，，求的长； (3)如图3，中，，点在上，且，，，求的长度； (4)如图4，矩形中，，，点是对角线上一点，且，延长交于点，求的长． 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【分析】（1）首先由得到，然后根据平行线分线段成比例求解； （2）根据平行线分线段成比例求解； （3）首先得到，然后证明出，然后利用相似三角形的性质求解； （4）由矩形得到，，，证明出，求出，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴，即 ∴； （2）解：∵，，，， ∴，即 ∴ ∵ ∴，即 ∴； （3）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴； （4）解：∵ ∴ ∵四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴，即 ∴ ∵， ∴． 18．（2026·山东青岛·中考真题）根据以下探究完成相关题目： (1)探究一：如图①，在中，，，．在该三角形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？我们不妨这样思考： 如图②，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列个； 如图③，排列第二层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第二层最多排列个；按上述思路，可求得在内部能排列的小正方形个数最多为________个； (2)探究二：如图④，在梯形中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．在梯形内部能排列的小正方形个数最多为________个； (3)探究三：如图⑤，在五边形中，，，，，，，，在该五边形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在五边形内部，互不重叠，且一边与平行）．在五边形内部能排列的小正方形个数最多为________个． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用相似三角形求出每层位置上水平方向最大宽度，宽度除以正方形边长得到本层最多可放置的正方形数量，逐层累加即可得到总数； （2）梯形上下底长度已知，先判断底部几层宽度充足，再利用相似三角形求出靠上位置截面宽度，逐层计算正方形个数求和； （3）把五边形分成一个矩形和一个梯形，分别计算最多可放置的正方形数量，相加即可得到总数． 【详解】（1）解：由题意得第一层最多排列个，第二层最多排列个， 如图，排列第三层时，， ， ， ， ， ， 第三层无法排列完整的小正方形， ， 在内部能排列的小正方形个数最多为个； （2）解：， 以为宽度能排列两排， ， 第一层最多排列个，第二层最多排列个， 如图，排列第三层时，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 第三层最多排列个， ， 第四层最多排列个， ， 在梯形内部能排列的小正方形个数最多为个； （3）解：如图， ，， 四边形和是矩形， ，，，， ，， ，， 在矩形中最多放置三列，每列最多放个， ， 在矩形中最多可排列个， 由（2）的第一层一共可放置个， ， 在梯形中，第一层最多排列个， ， ， ， ， 在梯形中，第二层最多排列个， ，， ， ， ， ， 在梯形中，第三层无法排列完整的小正方形， ， 在梯形中最多可排列个， ， 在五边形内部能排列的小正方形个数最多为个． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $