精品解析：福建省泉州科技中学2025-2026学年高二上学期第一次限时训练数学试题

泉州科技中学2025-2026学年度 第一学期限时训练高二数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 22 B. C. D. 29 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标公式即可求值. 【详解】由，， 得，， 所以． 故选：C． 2. 如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解． 【详解】，，， 则． 故选：A． 3. 关于空间向量，以下说法错误的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是锐角 C. 已知向量是不共面的向量，则也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量夹角的范围、空间基底的定义和空间向量基本定理的知识依次判断即可. 【详解】选项A：根据共线向量的概念可知，空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A说法正确； 选项B：若，则与的夹角是锐角或与同向，即夹角为0，B说法错误； 选项C：假设是共面向量，则存在使得， 因为向量是不共面的向量，所以无解，则也是不共面的向量，C说法正确； 选项D：因为，且，所以四点共面，D说法正确； 故选：B 4. 如图，直线的斜率分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由斜率的定义判断大小即可. 【详解】由斜率的定义知，. 故选：D. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. （4，0，3） B. （4，0，3} C. （2，2，-1） D. （2，2，-1） 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影向量的概念求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：C 6. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】计算出时的的值，结合充分条件与必要条件的定义即可得. 【详解】若，则有，解得， 当时，，不重合，符合要求； 当时，，不重合，符合要求； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知直线恒过点，由此可知到直线的最远距离为，最短距离为0，即可得答案. 【详解】解：将直线方程变形为， 由，解得， 由此可得直线恒过点， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于 到直线的最短距离为0，此时直线经过点． 又， 所以到直线的距离的取值范围是． 故选：B． 8. 设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，从而可得,的坐标，再利用空间向量的数量积运算求解的最小值，即可得的值． 【详解】，，，点在直线上运动， 可设， ，， ， 当时，取得最小值， . 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】用空间向量的坐标运算处理即可. 【详解】由，得，故A错误； ，故B错误； 又，故C正确； ，所以与不垂直，故D错误. 故选：ABD. 10. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 11. 已知正方体的棱长为2，点是的中点，点满足，点在上，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则平面 B. 若，则 C. 若，则二面角的正弦值为 D. 若，则三棱锥的体积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由空间向量法判断线面位置关系，求角，距离即可. 【详解】 如图建立空间直角系， 则, 则， 则， 选项A：若，，， 设平面的法向量为，则由，， 可知，令，得，故， 由，故A错误； 选项B：， ，，故B正确； 选项C：若，，设， ， 由得，得， 故，又， 设平面的法向量为， 则，令，得，故， 平面的法向量为， 设二面角的平面角为，则， 故，故C正确； 选项D：若，则，， 由得，得， 当时，， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 平面的法向量为， 点到平面的距离， ， 故D正确， 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得存在实数，使得，再用向量 表示出向量，即可得出答案. 【详解】， ， ， P，A，B，C四点共面，则存在实数，使得 ， 所以， 即， 所以 ，解得. 13. 已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是___________. 【答案】或 【解析】 【分析】当纵截距为时，设直线方程为，代入点求得的值，当纵截距不为时，设直线的截距式方程，代入点求解. 【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，所以直线的方程为； ②当直线在两坐标轴上的截距均不为时， 设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为， 则直线的方程为， 又因为直线过点，所以， 解得：， 所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或， 故答案为：或． 14. “阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线与平面所成角的正弦值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】将多面体放置于正方体中,借助正方体分析多面体的结构,由此求解出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】如图所示:将多面体放置于正方体中,连接,设的中点为,连接, 因为分别为中点, 所以,且, 则四边形为平行四边形, 所以, 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角, 又平面, 所以直线与平面所成角即为, 设正方体的棱长为, 则, 所以, 即直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为:. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解； （2）根据条件得到，再利用，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又，所以，得到. 【小问2详解】 因为，又，所以，解得或， 所以的坐标为或. 16. 的三个顶点分别为 . （1）求边和所在直线的一般方程 （2）求边上的垂直平分线所在直线的一般方程． 【答案】（1）：，：； （2） 【解析】 【分析】（1）由两点式即可写出答案； （2）先求出的中点坐标与斜率，则可得所求直线的斜率，再由点斜式写出答案. 【小问1详解】 由两点式可得直线：，化简得：， 直线：，化简得：， 所以：，：； 【小问2详解】 记的中点为，则， ， 所以与垂直的直线的斜率， 所以边上的垂直平分线为： ， 化简得： , 所以边上的垂直平分线所在直线的一般方程为：. 17. 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF//AC，AB=,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE; 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】 【详解】(1)设AC与BD交于点G. 因为EF∥AG, 且EF=1,AG=AC=1, 所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF∥EG. 因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE, 所以AF∥平面BDE. (2)连接FG. 因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1, 所以四边形CEFG为菱形. 所以CF⊥EG. 因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC. 又因为平面ACEF⊥平面ABCD, 且平面ACEF∩平面ABCD=AC, 所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD. 又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE. 18. 如图，直线过点，夹在两已知直线和之间的线段恰被点平分. （Ⅰ）求直线的方程； （Ⅱ）设点，且，求：的面积. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用点是的中点，设得到点的坐标，再利用点在直线上，解得的值，进而确定点的坐标，求得直线的方程. （Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，及，确定直线的直线方程，进而利用点到直线的距离公式和两点间的距离公式分别求得的底边长和高进而求得的面积得到结果. 【详解】（Ⅰ）点在直线上，可设，又是的中点， 点在直线上， 解得：，即，直线的斜率为, 则直线的方程为，即. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，则 点到直线的距离， ， 19. 图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点D是棱的中点，点E是棱上的动点（不含端点B）. （1）证明:平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值的最小值. 【答案】（1） 因为是等边三角形，点是棱的中点， 所以， 又平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先分别证明、，由此即可证明平面，从而由面面垂直的判定定理即可得证. （2）建立适当的空间直角坐标系，设，分别求出求平面与平面的法向量（含有参数），由公式即可表示出（它可以看成是关于的函数），从而将问题转换为了求函数的最小值，从而即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面中，过点作, 由（1）可知，， 所以，， 又平面，平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示： 因为是等边三角形，， 所以，，， 因为 ，所以 设所以， 所以 设平面的法向量为， 又 所以，即 ， 令，得所以平面的一个法向量为 设平面的法向量为 ， 又 所以 ，即 ， 令，得 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 所以， 设，因为， 所以，所以， 所以， 设，则由复合函数单调性可知 在时单调递增， 所以当 时，即时，取到最小值. 【点睛】关键点点睛：本题第一问比较常规，其关键是转换为线面垂直，且要通过分析找出那条直线与另外一个平面垂直，而第二问的关键首先要想到有动点就有参数，设法将两平面夹角的余弦值转换为关于参数的函数，从而求函数最小值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州科技中学2025-2026学年度 第一学期限时训练高二数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 22 B. C. D. 29 2. 如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 关于空间向量，以下说法错误的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是锐角 C. 已知向量是不共面的向量，则也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 4. 如图，直线的斜率分别为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. （4，0，3） B. （4，0，3} C. （2，2，-1） D. （2，2，-1） 6. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 11. 已知正方体的棱长为2，点是的中点，点满足，点在上，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则平面 B. 若，则 C. 若，则二面角的正弦值为 D. 若，则三棱锥的体积的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 13. 已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是___________. 14. “阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线与平面所成角的正弦值为_____________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 16. 的三个顶点分别为 . （1）求边和所在直线的一般方程 （2）求边上的垂直平分线所在直线的一般方程． 17. 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF//AC，AB=,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE; 18. 如图，直线过点，夹在两已知直线和之间的线段恰被点平分. （Ⅰ）求直线的方程； （Ⅱ）设点，且，求：的面积. 19. 图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点D是棱的中点，点E是棱上的动点（不含端点B）. （1）证明:平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $