专题06 利用基本不等式求最值十二类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版高一必修第一册

**基本信息** 以“一正二定三相等”为核心，通过十二类题型系统构建基本不等式求最值方法体系，实现从基础应用到综合迁移的逻辑进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|提炼“拆拼凑项、1的代换、消元”三类核心方法，明确“一正二定三相等”前提|从基本不等式本质出发，建立方法应用的底层逻辑| |题型归纳|12题型（每题型1典例+3变式）|针对直接法、配凑法等十二类题型，总结特征与解题模版|按“直接应用→构造转化→综合融合”递进，形成题型-方法对应体系| |压轴挑战|14题|综合运用多元均值、多次不等式等复杂方法|衔接高考难题，提升数学思维的严谨性与创新性|

专题06 利用基本不等式求最值十二类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接法 题型二、配凑法 题型三、二次与二次（一次）的商式（换元法） 题型四、 “1”的代入法 题型五、双换元法 题型六、条件等式有和有积求最值 题型七、消元法求最值 题型八、多次使用基本不等式求最值 题型九、多元均值不等式求最值 题型十、基本不等式中的恒成立（能成立）问题 题型十一、利用基本不等式解决实际问题 题型十二、与其他章节融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 基本不等式求最值问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕直接法、配凑法、二次与二次（一次）的商式（换元法）、“1”的代入法、双换元法、条件等式有和有积求最值、消元法求最值、多次使用基本不等式求最值、多元均值不等式求最值、基本不等式中的恒成立（能成立）问题、利用基本不等式解决实际问题、与其他章节融合十二大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是抓住基本不等式求最值的三大前提条件：“一正”“二定”“三相等”；二是掌握拆拼凑项、1的代换、消元三类核心解题方法，灵活构造和或定值，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接法 典例1 若正实数满足，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】因为均为正实数，所以， 当且仅当，时取等号 故答案为： 题型模版 1.特征：适用于题干给出的式子本身就满足一正二定三相等，无需额外变形，直接套用基本不等式就能求出最值． 2.方法：如果，,则或（当且仅当时取等号“=”） 变式1-1下列函数的最小值为2的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A. ,当时，，所以最小值为不是2，A错误； 对于B. ， 所以时， 即，此时无解，所以原式取不到最小值2 ，B错误. 对于C. ，当且仅当，此方程无解，则的最小值取不到2，C错误； 对于D,，因为， 所以， 当且仅当，即时，有最小值2，满足，D正确； 故选：D. 变式1-2已知，，且，则的最大值为（  ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 变式1-3已知，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为 故答案为： 类型二、配凑法 典例2 若，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故选：C 题型模版 1.特征：原式无法直接满足一正二定三相等的情况； 2.方法：：通过拆分项、增补常数的代数变形，凑出乘积或者和为固定值的结构，满足基本不等式使用条件后计算最值。 拆分项举例： 变式2-1已知，则取得最大值时x的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 则由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立， 故取得最大值时x的值为 故选：D 变式2-2已知，则的最大值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：C 变式2-3已知，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】由于，故， ， 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为， 故答案为： 题型三、二次与二次（一次）的商式（换元法） 典例3 已知，则的最小值为__________ 【答案】7 【解析】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：7. 题型模版 1.特征：形如的分式函数。 2.方法：通过配凑分子或者替换分母的方式拆分解析式，拆成整式加分式的组合形式，满足定值条件后，利用基本不等式完成最值计算 变式3-1函数在上的最小值是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时函数在上的最小值是2. 故选：C 变式3-2设，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为 故答案为： 变式3-3已知，则的最小值为______. 【答案】 【解析】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为： 题型四、“1”的代入法 典例4 已知，，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是 故选：D 题型模版 1.特征：模型求最值. 2.方法：先从已知关系式中提炼定值，把定值整体化为1，再将所求代数式和“1”相乘展开，拆分构造和定、积定形式，最后套用不等式求解。 例：已知，求的最小值. 解析： 变式4-1已知，则的最小值为（  ） A．44 B．46 C．48 D．50 【答案】D 【解析】因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故选：D 变式4-2设，，且，则的最小值为（  ） A．8 B． C．10 D． 【答案】D 【解析】两边同时除以，得到， ， 当且仅当，即，时等号成立 故选：D 变式4-3已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】， ， ， ， ， 当且仅当，即，结合得时等号成立， 的最小值为4 故答案为：4 题型五、双换元法 典例5 已知正实数满足，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】已知，则， ， 当且仅当时，即时取等号，联立 解得，满足 为正实数，等号能够取到，所以最小值为 故选：C 题型模版 1.特征：模型求最值 2.方法：遇到两个分式相加的复杂式子，可把两个分式的分母统一当作整体进行换元，简化原式结构，转化为能够使用基本不等式的标准形式后再计算。 变式5-1已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为 故答案为： 变式5-2已知，，，则的最大值为____. 【答案】 【解析】令，，所以， 因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 结合，解得，即时，，所以的最大值为. 故答案为： 变式5-3设实数满足，则的最小值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】因为，所以， 令，所以， 因为，所以 当且仅当，即或时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 题型六、条件等式有和有积求最值 典例6已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【解析】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4 故答案为：4 题型模版 1.特征：条件式和积共存求最值. 2.方法：已知等式中同时出现和与积两种结构：①不含常数时，式子同除以乘积，转化为1的代换题型；②也可灵活配凑不等式，通过解不等式确定目标代数式的取值范围。 变式6-1 已知，，且，则的最小值是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是 故选：A. 变式6-2（多选）已知正数满足，则（  ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为1 【答案】AC 【解析】由得，选项A正确； ，即，则，所以的最小值为4，选项B错误； ， 当且仅当，时等号成立，即，选项C正确； ，当且仅当时成立， 而，则，所以取不到，选项D错误 故选：AC. 变式6-3已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为 故答案为： 题型七、消元法求最值 典例7 设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（  ） A．9 B．1 C． D．4 【答案】D 【解析】由题意可知，， 所以， 因为，所以，当，即时，等号成立， 此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值4，所以的最大值为4. 故选：D 题型模版 1.特征：题干涉及含多个变量研究最值。 2.方法：题干含多个变量时，利用等式条件用一个变量替换其余变量，减少变量个数，化简表达式，凑出定值结构，再利用基本不等式求最值。 变式7-1已知，，且，则的最小值为（  ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【解析】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13 故选：C 变式7-2已知正数满足，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A 变式7-3已知，，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】因为，，且， 所以，则， 整理得， 又，，所以， 所以. 因此， 当且仅当，即时取等号. 此时，满足题意. 故答案为： 题型八、多次使用基本不等式求最值 典例8 已知，，，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，当，时，原式取得最小值 故选：D 题型模版 1.特征：同一道题目需要反复多次使用基本不等式时，每一次套用公式都要单独验证等号成立条件。 2.方法：所有不等式取等的条件必须完全统一，若前后等号成立的约束互相冲突，则无法同时取到最值，该解题思路失效。 变式8-1若，，则的最小值是（       ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【解析】由基本不等式得， 当且仅当，时等号成立，因此，的最小值为. 故选A. 变式8-2若，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 变式8-3已知，，且，则的最小值是______. 【答案】24 【解析】解：， 因为，所以， 所以， 当且仅当，，时等号成立， 故答案为：24 题型九、多元均值不等式求最值 典例9 若，，求 的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， , 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 故选：C． 题型模版 1.特征：针对三个及以上正数的求最值问题，可使用多元均值不等式。 2.方法：利用多元均值不等式：，为正数，当且仅当时，取等号。 变式9-1若，，则的最小值为______． 【答案】/ 【解析】由题设， 则. 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： ，的最小值为. 故选：B 变式9-2我们知道，当且仅当时，等号成立，即的算术平均数的平方不大于平方的算术平均数.此结论可以推广到三元，即，当且仅当时，等号成立.已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为（  ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，由题中的推广可得， 所以，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为， 由恒成立，可得， 故的最小值为 故选：B 变式9-3已知，，都是正实数，且，则的最大值是______. 【答案】 【解析】解：，，是正实数，且，， 当且仅当，即时，等号成立 ，，即的最大值为． 故答案为： 题型十、基本不等式中的恒成立（能成立）问题 典例10 若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由，得，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，则，解得， 则的取值范围是 故答案为： 题型模版 1.特征：处理单变量含参不等式恒成立、能成立问题，最常用的方法是参变分离法，将参数单独放置在不等式一侧，转化为利用基本不等式研究最值问题进行求解，对应四类核心判定规则： ①、， ②， ③， ④，。 2.方法：利用参变分离法结合基本不等式解决。 变式10-1，，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，， 则，，即， 当时，由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 变式7-2对于任意的，，恒成立，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，则， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得， 即的最大值为， 故选：D. 变式7-3若若存在，使不等式成立，则k的最小值是（  ） A．8 B．10 C．16 D．24 【答案】A 【解析】因为，故， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 因为存在，使不等式成立， 所以，即的最小值为8， 故选：A. 题型十一、利用基本不等式解决实际问题 典例7 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小．(2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大．(3)． 【解析】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 题型模版 1.特征：基本不等式作为工具融合在应用题里考查最值问题。 2.方法：从实际问题中抽取基本不等式模型进而研究最值。 变式7-1“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价，第二次降价； 其中，则四个方案中提价最多的方案为（  ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解析】设商品原价为， 对于甲：最终价格为； 对于乙：最终价格为； 所以甲、乙方案结果相同， 对于丙：最终价格为； 由均值不等式，，所以方案丙的最终价格高于甲、乙， 对于丁：最终价格为：，该式存在负项，所以明显小于其他方案的结果， 综上，提价最多的是方案丙. 故选：C. 变式7-2如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【答案】 【解析】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为： 变式7-3中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低； (2) 【解析】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 题型十二、与其他章节融合 典例12已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，则， ，此时不可能满足. 若，则，令，则 ，所以 当且仅当（即）时取等号. 因此，不等式成立的充要条件是 A.：此时式子，与题目矛盾，排除. B.：这是不等式成立的充要条件，不是“充分不必要条件”，排除. C.：若，则，一定能推出不等式成立（充分性成立）； 但不等式成立只要求，也可以是，不一定是（必要性不成立），所以这是充分不必要条件 ：此时，式子，与题目矛盾，排除 故选：C. 题型模版 1.特征：利用基本不等式与集合、常用逻辑用语等章节融合研究最值。 2.方法：利用基本不等式求最值模型分析解决问题。 变式12-1已知命题: “，”，若命题是真命题，则实数取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，不等式可化为， 所以，，等价于， 函数，在单调递减，在单调递增， 又当时，，当时，， 所以， 所以， 故选：A 变式12-2若存在，使得成立是假命题，则实数不可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为存在，使得成立时假命题， 所以对，使得是真命题， 即在恒成立， 令，则， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，因为， 故选：D. 变式12-3已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）原不等式等价于 或， 又， 或， 则不等式解集为： ； （2）由题设可得恒成立，即， 注意到 ，当且仅当时取等号，从而 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．当（  ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 【答案】C 【解析】依题意，，，当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值 故选：C. 2．已知，，且，则的最小值是（  ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号 故选：D. 3．已知，，且，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得，因为，所以. 由代入，解得， 因此当，的最小值为 故选：A. 4．已知，若，则的最小值为（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为 故选：C. 5．已知，函数的最大值是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先换元，再运用基本不等式求解. 【解析】令，则， 所以， 当且仅当等号成立. 故选：B. 6．（多选）若，则的值可能是（  ） A．0 B． C．2 D． 【答案】CD 【解析】因为，所以，，， 当时，， 当时，， 结合选项，的值可能为或 故选：CD. 7．（多选）设非负实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是4 【答案】ACD 【解析】已知非负实数满足，因此，得，. 选项A.将代入得，开口向下，对称轴为， 最大值，正确. 选项B.将代入得，函数在上单调递减， 最小值在处取得，错误. 选项C..由A知，因此， 等号在时成立，正确. 选项D.. 由基本不等式，因此，等号在时成立，正确 故选：ACD. 8．（多选）已知实数a，b满足，，，则（  ） A．ab的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最大值为2 【答案】BC 【解析】A，,，解得， 当且仅当时等号成立，因此最小值为，无最大值. B，因为，则， 所以， 当且仅当时等号成立. C，，则，整理得， 因此， 因为，所以，当且仅当时等号成立. D，根据题设及A分析知，显然的最大值为2说法有误 故选：BC. 9．（多选）记为，两数中较大的数，已知，，当，变化时，的值可能为（  ） A．12 B．16 C．20 D．26 【答案】BCD 【解析】因为，所以，，所以. 令得， 由，，得，，则. 因为，，当且仅当，时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 又，，同时成立，所以，则, 且，时，. 故选：BCD. 10.已知，则的最小值是____． 【答案】2 【解析】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 11．设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 【答案】 【解析】而为正实数，则，故的最大值为， 当且仅当时，取得最大值． 令，， ， ， 又， ， 当且仅当时，即时取得最小值， 的最小值为． 故答案为： 12．已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【解析】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故答案为：7 13．已知正实数满足且，则的最小值为 【答案】 【解析】设，则， 当且仅当且，即，时等号成立 故答案为： 14．某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】(1)10米； (2) 【解析】（1）设甲工程队的总报价为元， 依题意，左、右两面墙的长度均为（）米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当，即时，等号成立. 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元. （2）由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当，即时，取最小值36. 所以，即的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 利用基本不等式求最值十二类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接法 题型二、配凑法 题型三、二次与二次（一次）的商式（换元法） 题型四、 “1”的代入法 题型五、双换元法 题型六、条件等式有和有积求最值 题型七、消元法求最值 题型八、多次使用基本不等式求最值 题型九、多元均值不等式求最值 题型十、基本不等式中的恒成立（能成立）问题 题型十一、利用基本不等式解决实际问题 题型十二、与其他章节融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 基本不等式求最值问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕直接法、配凑法、二次与二次（一次）的商式（换元法）、“1”的代入法、双换元法、条件等式有和有积求最值、消元法求最值、多次使用基本不等式求最值、多元均值不等式求最值、基本不等式中的恒成立（能成立）问题、利用基本不等式解决实际问题、与其他章节融合十二大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是抓住基本不等式求最值的三大前提条件：“一正”“二定”“三相等”；二是掌握拆拼凑项、1的代换、消元三类核心解题方法，灵活构造和或定值，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接法 典例1 若正实数满足，则的最大值为__________． 题型模版 1.特征：适用于题干给出的式子本身就满足一正二定三相等，无需额外变形，直接套用基本不等式就能求出最值． 2.方法：如果，,则或（当且仅当时取等号“=”） 变式1-1下列函数的最小值为2的是（  ） A． B． C． D． 变式1-2已知，，且，则的最大值为（  ） A． B． C．1 D． 变式1-3已知，则的最大值为__________． 类型二、配凑法 典例2 若，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：原式无法直接满足一正二定三相等的情况； 2.方法：：通过拆分项、增补常数的代数变形，凑出乘积或者和为固定值的结构，满足基本不等式使用条件后计算最值。 拆分项举例： 变式2-1已知，则取得最大值时x的值为（  ） A． B． C． D． 变式2-2已知，则的最大值为（  ） A．1 B． C． D． 变式2-3已知，则的最大值为__________. 题型三、二次与二次（一次）的商式（换元法） 典例3 已知，则的最小值为__________ 题型模版 1.特征：形如的分式函数。 2.方法：通过配凑分子或者替换分母的方式拆分解析式，拆成整式加分式的组合形式，满足定值条件后，利用基本不等式完成最值计算 变式3-1函数在上的最小值是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式3-2设，则的最小值为_____________． 变式3-3已知，则的最小值为______. 题型四、“1”的代入法 典例4 已知，，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：模型求最值. 2.方法：先从已知关系式中提炼定值，把定值整体化为1，再将所求代数式和“1”相乘展开，拆分构造和定、积定形式，最后套用不等式求解。 例：已知，求的最小值. 解析： 变式4-1已知，则的最小值为（  ） A．44 B．46 C．48 D．50 变式4-2设，，且，则的最小值为（  ） A．8 B． C．10 D． 变式4-3已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 题型五、双换元法 典例5 已知正实数满足，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D．2 题型模版 1.特征：模型求最值 2.方法：遇到两个分式相加的复杂式子，可把两个分式的分母统一当作整体进行换元，简化原式结构，转化为能够使用基本不等式的标准形式后再计算。 变式5-1已知正数x，y满足，则的最小值为______. 变式5-2已知，，，则的最大值为____. 变式5-3设实数满足，则的最小值为（  ） A． B． C． D．1 题型六、条件等式有和有积求最值 典例6已知正实数，满足，则的最大值是__________． 题型模版 1.特征：条件式和积共存求最值. 2.方法：已知等式中同时出现和与积两种结构：①不含常数时，式子同除以乘积，转化为1的代换题型；②也可灵活配凑不等式，通过解不等式确定目标代数式的取值范围。 变式6-1 已知，，且，则的最小值是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式6-2（多选）已知正数满足，则（  ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为1 变式6-3已知实数，满足，则的最大值为_____. 题型七、消元法求最值 典例7 设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（  ） A．9 B．1 C． D．4 题型模版 1.特征：题干涉及含多个变量研究最值。 2.方法：题干含多个变量时，利用等式条件用一个变量替换其余变量，减少变量个数，化简表达式，凑出定值结构，再利用基本不等式求最值。 变式7-1已知，，且，则的最小值为（  ） A．11 B．12 C．13 D．14 变式7-2已知正数满足，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 变式7-3已知，，且，则的最小值为________. 题型八、多次使用基本不等式求最值 典例8 已知，，，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：同一道题目需要反复多次使用基本不等式时，每一次套用公式都要单独验证等号成立条件。 2.方法：所有不等式取等的条件必须完全统一，若前后等号成立的约束互相冲突，则无法同时取到最值，该解题思路失效。 变式8-1若，，则的最小值是（       ） A． B． C．4 D．2 变式8-2若，则的最小值为____________． 变式8-3已知，，且，则的最小值是______. 题型九、多元均值不等式求最值 典例9 若，，求 的最小值为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：针对三个及以上正数的求最值问题，可使用多元均值不等式。 2.方法：利用多元均值不等式：，为正数，当且仅当时，取等号。 变式9-1若，，则的最小值为______． 变式9-2我们知道，当且仅当时，等号成立，即的算术平均数的平方不大于平方的算术平均数.此结论可以推广到三元，即，当且仅当时，等号成立.已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为（  ） A．3 B． C． D． 变式9-3已知，，都是正实数，且，则的最大值是______. 题型十、基本不等式中的恒成立（能成立）问题 典例10 若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 题型模版 1.特征：处理单变量含参不等式恒成立、能成立问题，最常用的方法是参变分离法，将参数单独放置在不等式一侧，转化为利用基本不等式研究最值问题进行求解，对应四类核心判定规则： ①、， ②， ③， ④，。 2.方法：利用参变分离法结合基本不等式解决。 变式10-1，，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式7-2对于任意的，，恒成立，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 变式7-3若若存在，使不等式成立，则k的最小值是（  ） A．8 B．10 C．16 D．24 题型十一、利用基本不等式解决实际问题 典例7 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 题型模版 1.特征：基本不等式作为工具融合在应用题里考查最值问题。 2.方法：从实际问题中抽取基本不等式模型进而研究最值。 变式7-1“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价，第二次降价； 其中，则四个方案中提价最多的方案为（  ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 变式7-2如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    变式7-3中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 题型十二、与其他章节融合 典例12已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：利用基本不等式与集合、常用逻辑用语等章节融合研究最值。 2.方法：利用基本不等式求最值模型分析解决问题。 变式12-1已知命题: “，”，若命题是真命题，则实数取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式12-2若存在，使得成立是假命题，则实数不可能是（  ） A． B． C． D． 变式12-3已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．当（  ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 2．已知，，且，则的最小值是（  ） A．2 B．4 C． D． 3．已知，，且，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 4．已知，若，则的最小值为（  ） A．2 B． C． D． 5．已知，函数的最大值是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（多选）若，则的值可能是（  ） A．0 B． C．2 D． 7．（多选）设非负实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是4 8．（多选）已知实数a，b满足，，，则（  ） A．ab的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最大值为2 9．（多选）记为，两数中较大的数，已知，，当，变化时，的值可能为（  ） A．12 B．16 C．20 D．26 10.已知，则的最小值是____． 11．设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 12．已知，均为正数，若，则最小值为________. 13．已知正实数满足且，则的最小值为 14．某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $