专题04 一元二次不等式的解法七类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版高一必修第一册

**基本信息** 以“三个二次”关系为核心，通过通法引领-题型精析-压轴突破的三阶体系，系统构建一元二次不等式解法的思维框架，强化数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|数形结合分析、含参分类讨论（二次项系数/判别式）|立足二次函数图像，确立解法底线原则| |题型归纳|7典例+21变式|不含参解法（图像法）、参数求解（根与系数关系）、恒成立（判别式/分离参数）、根分布（端点值/对称轴）、实际问题（模型抽象）|从基础到参数，从理论到应用，形成概念生成-原理推导-拓展应用链条| |压轴挑战|14题|综合应用分类讨论、转化化归思想|融合函数、集合等知识，提升复杂问题解决能力，发展模型观念|

专题04 一元二次不等式的解法七类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、不含参的一元二次不等式解法 题型二、由一元二次不等式的解集求参数 题型三、一元二次不等式在R上（恒）能成立问题 题型四、一元二次不等式在区间上（恒）能成立问题 题型五、一元二次方程根的分布问题 题型六、一元二次方程的实际问题 题型七、含参数的一元二次不等式解法 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次不等式属于高考基础性必考内容，选择题常搭配集合运算命题。解题普遍依托二次函数图像数形分析。含参数不等式是高频拉分点，需要分系数正负、判别式大小讨论，该知识点常嵌套在函数题干中充当解题前置条件。一元二次不等式所有题型均围绕不含参的一元二次不等式解法、由一元二次不等式的解集求参数、一元二次不等式在R上（恒）能成立问题、一元二次不等式在区间上（恒）能成立问题、一元二次方程根的分布问题、一元二次方程的实际问题、含参数的一元二次不等式解法七大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是依托二次函数图像吃透一元二次不等式解法，牢记数形结合分析；二是注重含参不等式分类讨论训练，重点围绕二次项系数、判别式分类。该知识常融合集合、函数出题，需强化变形与分类逻辑。. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、不含参的一元二次不等式解法 典例1 若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可知, 是的必要不充分条件， 故选:C 题型模版 1.特征：三个“二次”之间的关系 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 一元二次不等式的解集 解集为 一元二次不等式的解集 2.方法：借助一元二次函数图像求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 变式1-1已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，又，所以． 故选:D 变式1-2已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，解得， ， ． 故选:C 变式1-3（多选）已知函数，则的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】即为，故或. 设，则充分不必要条件对应的集合应为的真子集， 4个选项中只有BD对应的集合为的真子集. 故选:BD 类型二、由一元二次不等式的解集求参数 典例2 设，不等式的解集为或，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】二次不等式的解集端点是对应方程的两根，利用韦达定理得出的关系，从而得出结果. 【解析】由题意可知是方程的两根， 则，∴ ∴ 故选：D 题型模版 1.特征：一元二次不等式中含有参数，利用解集形式判别二次项系数正负以及根与系数的关系解决. 2.方法：利用根与系数的关系建立关于参数的方程（组）求解． 变式2-1若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解. 【解析】因为关于的不等式的解集是， 所以且， 解得，所以的取值范围是. 故选：C. 变式2-2已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由题意可知：，是方程的两根，且， 则，可得，， 又，则则，当且仅当时取等号， 所以其最小值为. 故选：B． 变式2-3已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】二次不等式的解集端点是对应方程的两根，利用韦达定理从而得出结果. 【解析】因为二次不等式的解集为， 则的两根为，则， 所以，解得或， 故答案为：或 题型三、一元二次不等式在R上（恒）能成立问题 典例3 若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 【答案】 【解析】若不等式对一切实数恒成立的问题，需分和两种情况讨论： 当时： 此时不等式变为：， 该式对所有实数恒成立，故符合条件； 当时： 此时不等式为二次不等式，需满足：， ， 令，即：， 结合，解得：， 综上，的取值范围是. 题型模版 1.特征：（1）关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上（恒）能成立；（2）关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0在R上（恒）能成立。 2.方法：解题规律如下： (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上恒成立的充要条件是 (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的充要条件为 (3) 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在R上恒成立的充要条件是 (4)一元二次不等式ax2＋bx＋c0在R上恒成立的充要条件为 (5).关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上有解的条件为 (6)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0在R上有解的条件为为 注：对于一元二次不等式在某区间上有解的问题，则往往利用分离参数法，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数存在最值时，有解；有解. 变式3-1命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题意说明：“，恒成立”是真命题，然后对分类讨论可得. 【解析】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. 故选：A． 变式3-2若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【解析】将不等式整理可得， 即不等式对任意实数x均成立， 当，即时，不等式变为，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得实数a的取值范围是. 故选：B 变式3-3已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，结合条件，分析求解，即可得答案. 【解析】因为，所以， 因为，所以， 则，即， 所以关于b的一元二次不等式有解，且， 所以， 因为，所以，解得或， 当时，不等式为，得，符合题意； 当时，不等式为，得，符合题意， 则t的取值范围是. 故答案为： 题型四、一元二次不等式在区间上（恒）能成立问题 典例4 不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 故选：B． 题型模版 1.特征：（1）当a>0时，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在区间[m,n]上恒成立；（2）当a<0时，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在区间[m,n]上恒成立. 2.方法：(1)分离参数法，先分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，在某区间上恒成立；在某区间上恒成立. (2)当a>0时，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在区间[m,n]上恒成立的条件是 (3)当a<0时，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在区间[m,n]上恒成立的条件是 变式4-1若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法1：利用绝对值不等式性质转化求解； 方法2：将不等式两边平行，利用不等式恒成立求解． 【解析】解析：方法1：不等式化为， 使成立， 则，故选：A. 方法2：将两边平方整理得，对恒成立， 则有， 解得， 故选：A． 变式4-2不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值. 【解析】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 故选：C． 变式4-3已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 . 【答案】4（答案不唯一） 【分析】将问题转化为对任意正实数x恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【解析】不等式对任意正实数x恒成立， 即对任意正实数x恒成立， 当时，不等式，即，不符合对任意正实数x恒成立， 当时，令， 若对任意正实数x恒成立， 则，无解，或，解得. 所以的一个值可以是. 故答案为：4 题型五、一元二次方程根的分布问题 典例5 若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【解析】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得 故答案为： 题型模版 1.特征：所谓一元二次方程的实根的零分布，是指方程的根相对于零的位置关系，比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次方程的一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧； 2.方法：(1)对于实根的正负问题，往往结合韦达定理、根的判别式列式求解. (2)先明确对应二次函数的开口方向，再通过判别式确认实根存在性，最后联立区间端点的函数值符号、对称轴与区间的位置关系两类约束条件，求解即可得到参数的取值范围。 变式5-1“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】判别式： ，解得或， 对称轴在右侧： 对称轴，解得， 再由：恒成立， 所以两根都大于1的充要条件是， ，推不出，因此充分性不成立， ，可推出，因此必要性成立， 因此""是"方程的两根都大于1"的必要不充分条件. 变式5-2关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【解析】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 变式5-3关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为. 故答案为： 题型六、一元二次方程的实际问题 典例6 某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 题型模版 1.特征：从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 2.方法：实际情境中抽象出一元二次不等式，然后利用不含参数的一元二次不等式的解法解决，最后带入实际问题检验。 变式6-1网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】设这批削笔器的销售价格定为元/个，利用题意列不等式，结合定义域解不等式即可求解. 【解析】设这批削笔器的销售价格定为元/个， 由题意得，即， ∵方程的两个实数根为,， 解集为，又，， 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)， 才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 故选：B. 变式6-2如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元.若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为___________m. 【答案】 【解析】设正方形的边长为，则正方形的面积为， 四个相同的矩形即阴影部分的面积为， 四个空角的面积为， 设总造价为元，则， 即，即，解得， 故正方形周长的最大值为. 故答案为：12. 变式6-3某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元），要使不超过7.2万元，则设备占地面积的取值范围为__________； 【答案】 【分析】由题意得，解不等式即可得解. 【解析】由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. 故答案为： 题型七、含参数的一元二次不等式解法 典例7 已知二次函数，解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】对参量分类讨论即得。 【解析】由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 题型模版 1.特征：以一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a>0）为例求解步骤： ⑴计算判别式 ⑵根据的值分类讨论： 若方程有两个相等的实根:不等式的解集为 若方程有两个不等的实根:不等式的解集为. 若方程无实根,不等式的解集为. 2.方法：解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 变式7-1已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】首先解一元二次不等式求出集合、，再分中的两个整数是、和中的两个整数是、两种情况讨论，分别得到不等式组，计算可得. 【解析】由，即，解得， 所以； 由，即， 解得， 所以， 若集合中的两个整数是、，则，解得； 若集合中的两个整数是、，则，解得； 综上可得实数a的取值范围是或. 故选：A 变式7-2（多选）关于的不等式（）的解集可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，分类求解不等式，进而判断得解. 【解析】不等式中，当时，，解得，A可能； 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为，若，则；B可能； 若，则或；若，则或， C不可能，D可能. 故选：ABD 变式7-3已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)，；(2)答案见解析 【分析】（1）由不等式的解集可知是方程的一个根，从而可求出. （2）对分情况讨论，由方程根的分布情况即可求解集. 【解析】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， ①当时，即，解得：，不等式的解集为：； ②当时，令，解得， 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时， 不等式解集为：； 综上所述：当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（    ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，借助韦达定理计算即可得. 【解析】令， 则由韦达定理可得，故. 故选：B. 2．不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】按的正负分类可得： 或， 得：或或， 解得：或或. 故选：A 3．已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数在区间内有两个零点，得到函数在上与x轴有两个交点， 所以，即， 整理得，解得 所以则的取值范围为. 故选：A. 4．若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ，得： ， 由于分母 ，故只需满足 ， 即原不等式恒成立等价于对任意实数恒成立， 即：， 解得： . 故选：D 5．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由 可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围． 【解析】关于的不等式，而， 由原不等式的解集中的整数恰有3个，得， 解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是， 则，即，于是，又， 因此，解得， 实数的取值范围是， 故选：C 6．已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】由可得：， 所以，. 又，且，，可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立，所以. 由二次函数的性质可知的图象开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 所以故实数的最小值是4. 故选：A. 7．（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【解析】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 故选：AD. 8．（多选）社区中心有一块三角形闲置空地，为打造居民休闲花园，计划在空地内规划种植区.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）可以取（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】ABC 【解析】设矩形的另一边长为，如图： 由与相似得且， 所以，又矩形的面积， 所以即，解得， 故边长可以取10，20，30，即ABC符合题意，D不符合题意. 故选：ABC 9．（多选）已知的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．的最小值是 D．当时，，的值域是，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】二次不等式的解集端点是对应方程的两根，利用韦达定理进一步分析选项即得. 【解析】对于A，由题意可知： 是关于x的方程 的两个根，且 ，故A错误； 对于B，由题意可知： ，可得 ，. 不等式 化为： ， 由 可得 ，解得 ， 所以不等式 的解集为 ，故B正确； 对于C，因为， ， 可得 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 的最小值是，故C正确； 对于D，当 时， ， 则 ， 当 时， 取到最大值 ， 由 得， 或 ， 的值域是 ， 因 在 上的最小值为 ，最大值为1， 从而得 或 ， 因此 ，故D正确. 故选：BCD. 10．已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】令，其图象开口向上， 又方程有一正根一负根，则， 解得， 故答案为： 11．已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【解析】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 12．已知，则的最大值为________ 【答案】4 【解析】因为， 所以，即，， 可得，又，故， 即，即， 即， 由题意知，则恒成立， 所以，即， 当时，，， 满足， 所以最大值为4， 故答案为：4 13．近年来，某县大力发展旅游业，带动周边乡村游.该县某乡村计划在2026年新增一个特色体验项目，通过调查分析：运营该项目全年需投入固定成本12万元，年接待游客（千人），需另投入成本（万元），且由市场调研知，每人收费90元，且每年内接待的游客当年能全部服务完. (1)求出2026年的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式； (2)2026年年接待游客量为多少（千人）时，该乡村所获利润最大？最大利润是多少？ (3)若该乡村希望至少盈利5万元，求年接待游客量的取值范围. （参考数据：，） 【答案】(1)； (2)最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得 (3) 【解析】（1）当时，；   当时，，   所以； （2）若，即， 当时，万元；   若时，， 当且仅当时，即时，万元，   因为， 所以2026年最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得. （3）当时，由，即； 即，判别式，该不等式无解. 因此，在区间内，无法达到盈利5万元.   当时，由，即， 解方程，得两根为，   由于，所以解得 综合两段区间，年接待游客量在千人范围内时，该乡村至少盈利5万元. 14．斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． (1)求不等式的解集； (2)若，，，求m的取值范围； (3)若的解集为，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由，即， ，所以． 所以的解集为； （2），，此时， 即，使得， 又， 则， 故的取值范围为； （3）不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，不符合题意； ②若，， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得； ③若，， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，的范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元二次不等式的解法七类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、不含参的一元二次不等式解法 题型二、由一元二次不等式的解集求参数 题型三、一元二次不等式在R上（恒）能成立问题 题型四、一元二次不等式在区间上（恒）能成立问题 题型五、一元二次方程根的分布问题 题型六、一元二次方程的实际问题 题型七、含参数的一元二次不等式解法 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次不等式属于高考基础性必考内容，选择题常搭配集合运算命题。解题普遍依托二次函数图像数形分析。含参数不等式是高频拉分点，需要分系数正负、判别式大小讨论，该知识点常嵌套在函数题干中充当解题前置条件。一元二次不等式所有题型均围绕不含参的一元二次不等式解法、由一元二次不等式的解集求参数、一元二次不等式在R上（恒）能成立问题、一元二次不等式在区间上（恒）能成立问题、一元二次方程根的分布问题、一元二次方程的实际问题、含参数的一元二次不等式解法七大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是依托二次函数图像吃透一元二次不等式解法，牢记数形结合分析；二是注重含参不等式分类讨论训练，重点围绕二次项系数、判别式分类。该知识常融合集合、函数出题，需强化变形与分类逻辑。. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、不含参的一元二次不等式解法 典例1 若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：三个“二次”之间的关系 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 一元二次不等式的解集 解集为 一元二次不等式的解集 2.方法：借助一元二次函数图像求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 变式1-1已知集合，则（   ） A． B． C． D． 变式1-2已知集合，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3（多选）已知函数，则的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 类型二、由一元二次不等式的解集求参数 典例2 设，不等式的解集为或，则（    ） A. B. C. D. 题型模版 1.特征：一元二次不等式中含有参数，利用解集形式判别二次项系数正负以及根与系数的关系解决. 2.方法：利用根与系数的关系建立关于参数的方程（组）求解． 变式2-1若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-2已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 变式2-3已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 题型三、一元二次不等式在R上（恒）能成立问题 典例3 若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 题型模版 1.特征：（1）关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上（恒）能成立；（2）关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0在R上（恒）能成立。 2.方法：解题规律如下： (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上恒成立的充要条件是 (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的充要条件为 (3) 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在R上恒成立的充要条件是 (4)一元二次不等式ax2＋bx＋c0在R上恒成立的充要条件为 (5).关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上有解的条件为 (6)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0在R上有解的条件为为 注：对于一元二次不等式在某区间上有解的问题，则往往利用分离参数法，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数存在最值时，有解；有解. 变式3-1命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3-2若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 变式3-3已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 题型四、一元二次不等式在区间上（恒）能成立问题 典例4 不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：（1）当a>0时，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在区间[m,n]上恒成立；（2）当a<0时，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在区间[m,n]上恒成立. 2.方法：(1)分离参数法，先分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，在某区间上恒成立；在某区间上恒成立. (2)当a>0时，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在区间[m,n]上恒成立的条件是 (3)当a<0时，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在区间[m,n]上恒成立的条件是 变式4-1若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4-2不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式4-3已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 . 题型五、一元二次方程根的分布问题 典例5 若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 题型模版 1.特征：所谓一元二次方程的实根的零分布，是指方程的根相对于零的位置关系，比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次方程的一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧； 2.方法：(1)对于实根的正负问题，往往结合韦达定理、根的判别式列式求解. (2)先明确对应二次函数的开口方向，再通过判别式确认实根存在性，最后联立区间端点的函数值符号、对称轴与区间的位置关系两类约束条件，求解即可得到参数的取值范围。 变式5-1“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式5-2关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 变式5-3关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 题型六、一元二次方程的实际问题 典例6 某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 题型模版 1.特征：从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 2.方法：实际情境中抽象出一元二次不等式，然后利用不含参数的一元二次不等式的解法解决，最后带入实际问题检验。 变式6-1网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-2如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元.若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为___________m. 变式6-3某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元），要使不超过7.2万元，则设备占地面积的取值范围为__________； 题型七、含参数的一元二次不等式解法 典例7 已知二次函数，解关于x的不等式． 题型模版 1.特征：以一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a>0）为例求解步骤： ⑴计算判别式 ⑵根据的值分类讨论： 若方程有两个相等的实根:不等式的解集为 若方程有两个不等的实根:不等式的解集为. 若方程无实根,不等式的解集为. 2.方法：解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 变式7-1已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 变式7-2（多选）关于的不等式（）的解集可以是（    ） A． B． C． D． 变式7-3已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（    ） A． B．4 C．5 D．6 2．不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 8．（多选）社区中心有一块三角形闲置空地，为打造居民休闲花园，计划在空地内规划种植区.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）可以取（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 9．（多选）已知的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．的最小值是 D．当时，，的值域是，则的取值范围是 10．已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 11．已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是____． 12．已知，则的最大值为________ 13．近年来，某县大力发展旅游业，带动周边乡村游.该县某乡村计划在2026年新增一个特色体验项目，通过调查分析：运营该项目全年需投入固定成本12万元，年接待游客（千人），需另投入成本（万元），且由市场调研知，每人收费90元，且每年内接待的游客当年能全部服务完. (1)求出2026年的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式； (2)2026年年接待游客量为多少（千人）时，该乡村所获利润最大？最大利润是多少？ (3)若该乡村希望至少盈利5万元，求年接待游客量的取值范围.（参考数据：，） 14．斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． (1)求不等式的解集； (2)若，，，求m的取值范围； (3)若的解集为，求a的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $