第1章 三角形单元自测培优卷- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 苏科版八年级三角形单元自测培优卷，整合多地期中期末真题，覆盖三角形性质、全等判定、等腰三角形等核心知识，梯度设计适配基础巩固与能力提升，助力单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|三边关系、中线高角平分线、全等判定|结合折叠（第4题）考查几何直观，体现数学眼光| |填空题|8/24|等腰三角形周长、角平分线性质、垂直平分线|以实际情境（第13题空地围篱笆）渗透模型意识| |解答题|7/52|全等证明、等边三角形、中线倍长法|设计条件开放题（第19题）与探究题（第22题），强化推理能力与创新意识|

第2章 三角形单元自测培优卷 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：苏科版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）若，，是的三边，化简：（     ） A．0 B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山西晋城·期末）如图，，，添加下列条件，不能判定的是（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖北荆门·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，若，，，则重叠部分的面积为（   ） A．32 B．40 C．48 D．60 5．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·河北保定·期末）等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，点为的中点．点是下方一点，连接；平分，，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26七年级下·福建福州·期末）等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 10．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别24、15，则的长为___________． 11．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 12．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的角平分线，过点作交的延长线于点，延长、交于点，点在上，连接．若，，，则的长为________． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）小凡家门前有一块如图所示的三角形空地，为一条石子路，通过测量得知，为边上的中点，，，石子路的长为．小凡的奶奶想将该空地利用起来，于是用竹篱笆将围挡起来，放养一群兔子，则竹篱笆的边的长度为____________m． 14．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则______ ，的长为______ ． 15．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知是线段的垂直平分线，直线经过点，过点作，垂足是，点是线段上一点，连接、，，平分，则线段、、之间的等量关系是__________． 16．（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，是等边三角形，，点P是上一动点，，，交于点D，连接．过点P作交于E，连接，交于F．当的值最小时，m的值为____． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17.（6分）（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图，在中，，，平分． （1）求的度数． （2）在中，分别画出边上的高和边上的高；求出的度数，猜想与的数量关系，并说明理由． 18.（6分）（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，，， ．求证：； 19.（8分）（2026·陕西榆林·三模）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． （1）你选择的补充条件是__________（填序号）； （2）根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 20.（8分）（2026·四川乐山·二模）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为．是由沿方向平移得到的，已知过点，连接交于点． （1）求的大小； （2）求证：． 21.（8分）（2026·黑龙江佳木斯·三模）如图1，在中，，于点，点在上． （1）求证：； （2）如图2，若的延长线交于点，且，垂足为，，原题设其它条件不变．试探索与的数量关系，并证明你的结论． 22.（8分）（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．         A．            B．            C．            D． （2）AD的取值范围是______． A．       B．       C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，则的长为______． 23.（8分）（2026·江苏扬州·二模）如图1，四边形中，，，，经过点的直线将四边形分成两部分，直线与所成的角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处（如图1）． （1）若点与点重合，则 ， ； （2）若折叠后点恰为的中点（如图2），则的度数为 ． （3）在（2）的条件下，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $第2章三角形单元自测培优卷 考试时间：60分钟满分：100分 适用：苏科版八年级单元基础测试、周测 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.(25-26七年级下·广东揭阳阶段检测)若a,b,c是△ABC的三边，化简： la+b-c-a-c-b=( A.0 B.2a-2c C.-2a+2c D.2b 【答案】B 【分析】由三角形三边关系确定绝对值内式子的符号，再去绝对值号化简，最后合并同类项即 可 解：a,b,c是△ABC的三边， ..a+b>c,b+c>a. .a+b-c>0,a-c-b<0, ..a+b-c=a+b-c, a-c-b=-(a-c-b)=b+c-a, ∴原式=(a+b-c)-(b+c-a) =a+b-c-b-c+a =2a-2c 2.(25-26八年级上：广东广州期中)如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分 线，AF是中线.则下列结论错误的是() FE D A.BF=CF B∠BAE=∠EAC C.∠C+∠CAD=90° D.SABAE=SAEAC 【答案】D 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断，本题考查的是三角形的角平分线、中 线和高，掌握它们的概念是解题的关键. 解：：AF是△ABC的中线， :.BF=CF,A说法正确，不符合题意： ,AE是角平分线， .∠BAE=∠CAE,B说法正确，不符合题意： ,AD是高， ∴.∠ADC=90°， ·∠C+∠CAD=90°，C说法正确，不符合题意： ,AE是角平分线， ∴.E不一定是BC的中点，即BE=CE不一定成立， :.Sm=SMBC不一定成立，D说法错误，符合题意. 故选：D. 3.(25-26八年级上山西晋城期末)如图，DE=BC,∠E=∠C,添加下列条件， 不能判定△ABC≌△ADE的是()· B A.AB=AD B.∠B=∠D C.∠1=∠2 D.AE=AC 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握好全等三角形的判定定理是关键. 根据全等三角形的判定方法“边边边，边角边，角角边，角边角，斜边直角边”进行推理判定 即可 解：对于选项A:添加AB=AD,根据SSA无法判断△ABC≌△ADE，故选项A符合题意； 对于选项B:添加∠B=∠D,符合ASA,能判断△ABC≌△ADE,故选项B不符合题意： 对于选项C:,∠I=∠2， :.∠I+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠DAE=∠BAC, :.可根据AAS判断△ABC≌△ADE,故选项C不符合题意： 对于选项D:添加AE=AC,符合SAS,能判断△ABC≌△ADE,故选项D不符合题意. 故选：A 4.(25-26八年级上·湖北荆门期中)如图，将一张长方形纸片ABCD沿BD折叠， 若AE=6,AB=8,BE=10,则重叠部分的面积为() A.32 B.40 C.48 D.60 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等.也考 查了三角形的面积公式，根据折叠的性质得到∠I=∠2，而∠I=∠3，易得ED=EB,然后根据 三角形的面积公式进行计算即可. 解：如图， :长方形纸片ABCD沿BD折叠， .1=∠2， :ABCD是长方形， .AD∥BC, .∠1=∠3， .∠2=∠3， ∴ED=EB, AE=6,AB=8,BE=10. .DE=10 ·重叠部分的面积2×10x8=40, 故选：B 5.(25-26七年级下·辽宁沈阳·期末)如图，已知在△ABC中，DE垂直平分BC, 若AB=6,△ABD的周长是15，则线段AC的长是() B A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合已知条件，等量代换，即可得线段AC的长， 解：，△ABD的周长是15， .AB+AD+DB=15. AB=6. .AD+DB=15-6=9. :DE垂直平分BC, ∴.DB=DC, ∴.AD+DC=AD+DB=9, ∴.AC=9 6.(25-26八年级下·河北保定·期末)等腰三角形的两边长分别为6和13，则它的 周长为() A.32 B.25 C.25或32 D.25或19 【答案】A 【分析】分腰长为6、腰长为3两种情况讨论，结合三角形三边关系排除不成立的情况后计算 周长 解：，等腰三角形的两边长分别为6和13， ·分两种情况讨论： ①当腰长为6时，三边长为6,6,13， ,6+6=12<13 .不能构成三角形： ②当腰长为13时，三边长为13,13,6， 13+6>13 ·能构成三角形，周长为13+13+6=32」 7.(25-26七年级下·四川达州期末)如图，在△ABC中，点D为AC的中点.点E 是AC下方一点，连接BE,CE;BD平分∠ABE,CE‖AB,若AB=12,BE=8,则 CE的长为() B A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析】延长CE、BD交于点F，先由平行线性质、中点定义及全等三角形的判定与性质得到 CF=AB=12,再由角平分线定义得到∠ABF=∠EBF,结合∠ABF=∠F，,确定 ∠EBF=∠F,由等角对等边求出FE,数形结合表示出CE并代入计算即可. 解：延长CE、BD交于点F,如图所示： D E F CE‖AB, ∴.∠ABF=∠F, 点D为AC的中点， :DA=DC, 在△ABD和△CFD中， ∠ABF=∠F ∠ADB=∠CDF DA-=DC :△ABD2aCFD(AAS), :.CF=AB=12, BD平分∠ABE, .∠ABF=∠EBF, :∠ABF=∠F, ∠EBF=∠F, ∴.FE=BE=8,则CE=CF-FE=12-8=4 8.(25-26七年级下·上海闵行·期中)如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点 E是线段CD上一点，且△BDE≌aCDA;其中点B与点C、点D与点D、点E与点A 分别是对应顶点，下列结论中正确的是() ①LCBE=∠CAE;②CE=ED;③BE⊥AC;④AE⊥BC A.①②③ B.①② C.①③④ D.③④ 【答案】C 【分析】根据△BDE2aCDA,得到两组三角形中的边角的关系，得到△ADE、△BCD为等腰直 角三角形，逐个判断各结论的正确性即可. 解：△BDE2aCDA, ∴.DB=DC,DE=DA,∠BDE=∠CDA,∠DEB=∠DAC. ∠BDE+∠CDA=180° .∠BDE=∠CDA=90°. DB=DC.DE=DA, ∴.∠DBC=∠DCB=45°，∠DAE=∠DEA=45° ∴.∠DEB-∠DCB=∠DAC-∠DAE, ∠CBE=∠CAE,即①正确： 根据现有条件，无法判断②，故②不正确： ·∠DEB=∠DAC,∠DEB+∠DBE=90° .∠DAC+∠DBE=90°， 设BE延长线交AC于点H,AE延长线交BC交于点M,则∠AHB=9O°， B .BE⊥AC,即③正确： .∠DAE=45°.∠DBC=45° .∴.∠DAE+∠DBC=90°， ∴.∠AMB=90° .AE⊥BC,即④正确： 综上所述，结论中正确的是①③④. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）】 9.(25-26七年级下·福建福州期末)等腰三角形的周长为36，一腰上的中线把周 长分为：2两部分，则这个等腰三角形的底边长为 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，先根据周长和比例求出两部分的长 度，再分两种情况计算腰长与底边长，最后利用三角形三边关系验证是否成立，即可得到底边 长 解：~等腰三角形的周长为36，一腰上的中线把周长分为1：2两部分 2 :分成的两部分周长分别为36×2,36×号 =24. 3 设等腰三角形的腰长为x,底边长为y: 分两种情况讨论： ①若腰长与半腰长的和为12”则x+=12。 2 解得x=8: 则y=36-2x=36-16=20. 此时三角形三边长为8,8,20： :8+8<20,不满足三角形两边之和大于第三边，所以此情况不成立，舍去： ②若暖长与半腰长的和为24则+空=24。 解得x=16, 则y=36-2x=36-32=4, 此时三角形三边长为16,16,4， :16+4>16,16+16>4,满足三角形三边关系，此情况成立. 综上，这个等腰三角形的底边长为4； 10.(25-26八年级上·吉林长春·期中)如图，在△ABC中，∠CAB的角平分线AD与 ∠CBA的角平分线BD交于点D,过D点作AB的平行线分别交AC、BC于点M、N ,若△ABC与△CMN的周长分别24、15，则AB的长为 【答案】9 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的定义，由角平分线定义得到 ∠MAD=∠BAD,由平行线的性质推出∠MDA=∠BAD,因此∠MAD=∠MDA,判定AM=MD ,同理：BN=DN,得到△CMN的周长=AC+BC=15,而△ABC的周长=24，即可求出AB 的长 解：：AD平分∠BAC, .∠MAD=∠BAD, MN∥AB, ∴.∠MDA=∠BAD, ∴.∠MAD=∠MDA, ∴.AM=MD, 同理得BN=DN, ∴.aCMN的周长=CM+CN+MD+DN=CM+CN+AM+BN=AC+BC=15. ,△ABC的周长=AC+BC+AB=24, .AB=24-15=9 故答案为：9， 11.(25-26八年级上河南周口·阶段检测)如图，已知线段AB与线段AB外一点C ,分别以点AB为圆心，AC,BC长为半径画弧，两弧分别交于点C,D,连接 AC,BC,AD,BD,CD,若AB=8,四边形ADBC的面积为60，则CD的长为 【答案】15 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，由题意得AC=AD,BC=BD,进而根据线段 垂直平分线的判定得到AB是CD的垂直平分线，再根据Sg边形Dc=S4Cm+S。AD得到 BCD=60,代入已知计算即可求解，热练笨握知识点是解题的关键. 1 解：如图，设AB与CD相交于点M, B 由题意知，AC=AD,BC=BD, ∴.AB是CD的垂直平分线， .CD⊥AB, ∴.S四边形ADBC=S.ACB+SADB BCM+ABL =I AB(CM+DM) -号0n ,AB=8,四边形ADBC的面积为60， ×8×CD=60. .2 解得CD=15, 故答案为：15. 12.(25-26七年级下·陕西咸阳期末)如图，AD是△ABC的角平分线，过点B作 BE⊥AD交AD的延长线于点E,延长AC、BE交于点F,点G在BC上，连接EG. 若AB=6AC=4BG=2Cr,则EG的长为 B D 【答案】1 【分析】证明△BAE≌△FAE(ASA),得到AF=AB=6,即可解答. 解：：AD是△ABC的角平分线， .∠BAE=∠FAE, BE⊥AD, ∴.∠AEB=∠AEF=90° AE=AE, :ABAE≌△FAE(ASA), ∴.AF=AB=6 :.CF=AF-AC=2, RG-cF-1 13.(25-26八年级下·全国课后作业)小凡家门前有一块如图所示的三角形空地 ABC,AD为一条石子路，通过测量得知，D为BC边上的中点，∠BAD=7O°， ∠DAC=40°，石子路AD的长为2.4m.小凡的奶奶想将该空地利用起来，于是用竹 篱笆将△ABC围挡起来，放养一群兔子，则竹篱笆的边AC的长度为 1m. B 【答案】4.8 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等 三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键， 延长AD到E,使DE=AD=2.4,连接CE,则AE=4.8,证明△CDE和△BDA全等得 ∠E=∠BAD=70°，进而得∠AEC=∠E=70°，由此即可得出AC的长. 解：延长AD到E,使DE=AD=2.4,连接CE,如图所示： 则AE=AD+DE=4.8, :点D是BC边的中点， ∴.CD=BD, 在△CDE和△BDA中， DE=AD ∠CDE=∠BDA CD=BD ·.△CDE≌△BDA(SAS), ∴.∠E=∠BAD=70° 在△ACE中，∠CAD=40°， .∠ACE=180°-（∠CAD+∠E)=180°-(40°+70）=70°， ∴.∠ACE=∠E=70° .AC=AE=4.8 故答案为：4.8. 14.(25-26八年级上：浙江衢州期中)已知在等边三角形ABC中，点D是BC的中 点，点E在AB的延长线上，且CD=BE,连接AD,DE.AB=I0时，P,O分别为射 线AB、射线CA上的动点，且∠PDQ=120若Ag=4,则∠ADE=一，BP的长为 【答案】 120° 9或1 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的 判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键.分 两种情况：当点Q在线段CA的延长线上时，当点Q在线段CA上时，分别求解即可得到答 案 解：~△ABC是等边三角形，点D是BC的中点， ∠ABC=60°，BD=CD,AD⊥BC, .∠EBD=120°，∠ADB=90°， .CD=BE. .BD=BE, ∴∠BDE=∠E=0-12w）=30, .∠ADE=90°+30°=120°： 当点Q在线段CA的延长线上时， 如图③，作DM∥AB交AC于点M, B 图③ 由(2)知ACDM为等边三角形， ∴.CD=DM=MC,∠DMC=60°， :D为等边△ABC的边BC的中点， .DB=DC=DM,∠ABD=60°， M=0-x10=5. AM=5, ∴QM=AM+AQ=5+4=9, ∠BDM=120°，∠PD9=120°. ∴∠BDP=∠QDM,∠QMD=∠PBD=180°-60°=120°， 在APBD和△OMD中， [∠PBD=∠QMD BD=MD ∠PDB=∠QDM APBDS2OMD(ASA). :.BP=OM=9: 当点Q在线段CA上时，如图④， B 图④ 同理可证明△PBD≌aOMD(ASA). 则BP=QM=AM-AQ=5-4=1, 综上所述，BP的长为9或1. 故答案为：120°，9或1. 15.(24-25八年级上·江苏镇江期中)如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，直 线I经过点A,过C点作CE⊥I,垂足是E,点F是线段AE上一点，连接BF、CF ,∠BFE=2LBAC,CF平分∠BFE,则线段BF、EF、AF之间的等量关系是 【答案】BF=AF+2EF 【分析】过点C作CM⊥BF于点M,连接BC,先得出AC=BC,CM=CE,再证出 RtACEFS≌RtACMF,RtABCM≌RtAACE,则可得EF=MF,BM=AE,由此即可得. 解：如图，过点C作CM⊥BF于点M,连接BC, B CD是线段AB的垂直平分线， .AC=BC, ,CF平分∠BFE,CE⊥EF,CM⊥MF, .CM=CE, 在RtACEF和Rt△CMF中， CF=CF CE=CM· ..RtACEFRtACMF(HL), .EF MF, 在Rt△BCM和RtAACE中， BC=AC CM=CE' ..RtABCMRtAACE(HL). .BM=AE, .'BF BM +MF=AE+EF, 又，AE=AF+EF, .BF =AF+EF +EF =AF+2EF. 16.(26-27八年级上全国开学考试)如图，△ABC是等边三角形，AB=3,点P 是BC上一动点，BP=m,PD∥AC,交AB于点D,连接CD.过点P作PE∥AB交 AC于E,连接BE,交CD于F.当BE+CD的值最小时，m的值为一. F 【答案】2 【分析】先证明△BPE≌aDPC,从而得到BE=CD,再根据垂线段最短得到BE⊥AC,点E 为AC中点，求出CE的长，再根据等边三角形求出PC的长，从而求得m. 解：：△ABC为等边三角形， .∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC=3, PD∥AC,PE∥AB, .∠DPB=∠ACB=60°，∠BDP=∠A=60°，∠PEC=∠A=60°，∠EPC=∠ABC=60° :aBDP和△CEP为等边三角形，∠BPE=∠CPD=120°， .PB=PD,PE PC. :ABPE≌aDPC(SAS), ..BE=CD ∴.BE+CD=2BE ∴当BE⊥AC时，BE+CD最短，此时点E是AC中点， CE-14B 2 2 .PC=CE= 2 m=BP=BC-PC=3 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17.(6分】(25-26七年级下·海南儋州期末)如图，在△ABC中，∠B=30°， ∠C=70°，AD平分∠BAC. (1)求∠ADC的度数. (2)在△ABC中，分别画出BD边上的高AE和AD边上的高BF;求出∠DAE的度 数，猜想∠DAE与∠DBF的数量关系，并说明理由. B D 【答案】(1)70°；(2)解：如图，线段AE、BF即为所求： :AE是高， AE⊥DE, .∠AED=90°， ∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=20°： 猜想∠DAE=∠DBF;理由如下： BF是高， .BF⊥AF, .∠F=90°， :∠DAE+∠ADE+∠AED=18O°，∠DBF+∠BDF+∠F=18O°.∠ADE-∠BDF, .∠DAE=∠DBF: 【分析】(1)先根据三角形内角和定理求得∠BAC=80°，再根据角平分线的定义求得 ∠BAD=4O°，即可根据三角形外角的性质求得答案； (2)分别过点A和点B作对边的垂线段即可画出图形：根据三角形内角和定理即可求得 ∠DAE的度数：根据三角形高的定义及三角形内角和定理，即可求得答案。 (1)解：∠B=30°，∠C=70°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-70°=80°， :AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=二∠BAC=40° 2 ∠ADC=∠B+LBAD=30°+40°=70°； (2)略 18.(6分)(25-26八年级上广东湛江期末)如图，4B‖CD,∠1=∠2， AD=AB+CD.求证：BE=CE: B 【答案】证明：延长AB,DE交于点F, 2 ABII CD .∠F=∠2， ∠1=∠2， 1=∠℉， .AD=AF, .AD=AB+CD,AF=AB+BF .DC=FB, 又：∠DEC=∠FEB, △DCE≌aFBE(AAS), ∴.BE=CE 【分析】延长AB,DE交于点F,则∠I=∠2=∠F,可得AD=AF,由AD=AB+CD,可得 DC=BF,根据AAS证得两三角形全等即可完成解答. 解：略 19.(8分)(2026陕西榆林·三模)如图，在△ABC和△DEF中，点E在AC边上，点 C在DF边上，若∠ACB=∠F,LA=∠D,请你从以下三个选项：①BC=EF;② AC=DF;③∠B=∠DEF中选择一个合适的选项作为补充条件，使得△ABC≌aDEF (1)你选择的补充条件是 (填序号)； (2)根据你选择的补充条件，写出△ABC≌aDEF的证明过程. 【答案】(1)①（或②）：(2)选①，证明如下： 在△ABC和△DEF中， 「∠ACB=∠F ∠A=∠D, BC=EF :.△ABC≌△DEF(AAS) 选②，证明如下： 在△ABC和△DEF中， 「∠ACB=∠DFE AC=DF ∠A=∠D .△ABC≌△DEF(ASA), 【分析】(1)根据三角形全等的判定定理进行求解即可： (2)若选择①，则根据“AAS”判定三角形全等：若选择②，则根据“ASA”判定三角形全 等 解：(1)略 (2)略 20.(8分)(2026四川乐山二模)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点， CE⊥BC,垂足为C.EF是由CD沿CE方向平移得到的，已知EF过点A,连接BE 交CD于点G. (1)求∠DCE的大小： (2)求证：BE⊥AC. B 【答案】(1)60°：(2)证明：EF是由CD沿CE方向平移得到的， .CD∥EF, ·.∠EAC=∠ACD, 由(1)可知∠ACD=30°， .∠EAC=∠ACD=30° :△ABC为等边三角形， .∠ACB=60°，AB=CB, .∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°， ∴.∠EAC=∠ECA, ∴.AE=CE 又：AB=CB, ∴.BE是AC的垂直平分线， .BE⊥AC 【分析】(I)根据等边三角形的性质及三线合一的性质求出∠BCD的度数，再根据直角三角 形的性质即可求出∠DCE的度数 (2)根据平移的性质和平行线的性质求出∠EAC的度数，再利用等边三角形的性质和直角三 角形的性质，利用角的和差关系求出∠ECA的度数，进而推出∠ECA=∠EAC,根据AB=CB ，利用线段垂直平分的判定即可推出BE⊥AC. (1)解：：△ABC是等边三角形， .∠ACB=60°， :D是AB的中点 .·.∠BCD=∠ACD=30° 又：CE⊥BC, ∠BCE=90°， ∴.∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-30°=60° (2)略 21.(8分】(2026黑龙江佳木斯三模)如图1，在△ABC中，AB=AC,AD1BC于 点D,点E在AD上. (I)求证：BE=CE: (2)如图2，若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°， 原题设其它条件不变.试探索AE与BD的数量关系，并证明你的结论. E E B D D 图1 图2 【答案】(I)证明：：AB=AC,点D是BC的中点， AD垂直平分BC, 点E在AD上. :.BE=CE: (2)AE=2BD. 证明：BF⊥AC, ∴.∠BFA=∠BFC=90°， ∴.∠FAB+∠FBA=90°，∠FBC+∠C=90°， :∠BAC=45° ∴.∠FBA=90°-45°=45°=∠FAB ∴AF=BF, AD垂直平分BC, ∴.∠EAF+∠C=90°.BC=2BD ∠CBF=LEAF, 在△AEF和△BCF中， I∠CBF=∠EAF AF=BF ∠AFE=∠BFC ∴△AEF≌△BCF(ASA)） .AE=BC .AE =2BD 【分析】(I)根据等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直平分BC,再根据线段垂直平分线 上的点到线段两端点的距离相等可得BE=CE； (2)判断出△ABF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AF=BF,再根据同 角的余角相等求出∠CBF=∠AEF,然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等，根据全等 三角形对应边相等可得AE=BC,从而得到AE=2BD. 解：(1)略 (2)略 22.(8分】(25-26八年级上江西南昌阶段检测)课外兴趣小组活动时，老师提出 了如下问题：如图(1)，在△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的 取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E, 使DE=AD,请根据小明的方法思考： (I)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)AD的取值范围是 A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7 D.1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角 形，把分散的己知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中. 【方法应用】 (3)如图(2)，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB, ∠BAC=∠BCA.求证：AE=2AD. 【拓展延伸】 (4)为了测量学校旗杆AB和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如图3 所示的测量方案，他们首先取地面BC的中点D,此时用测角仪恰好测得∠ADE=90 ,并量得旗杆高度AB=10.8m,教学楼高度CE=20.2m,则AE的长为 教 旗杆 楼 B D E (1) (2) (3) 【答案】(1)B:(2)C:(3)证明：延长AD至点M,使DM=AD,连结BM, B D M :AD为△ABC的中线， :BD=CD, :∠BDM=LCDA, .△BDM≌aCDA, .BM=AC,∠MBD=∠ACB ∠BAC=∠BCA, ∠MBD=LBAC, ∴.∠MBD+∠DBA=LBAC+∠DBA」 ∠MBA=∠ECA, :AB=CE,∠ABM=∠ACE,BM=AC, ,.△ABM≌△ECA, .AE=AM=2AD (4)31 【分析】本题考查了用倍长中线构造全等三角形，三角形的三边关系，正确理解题意作辅助线 构造全等是解题关键。 (1)由中线可得BD=CD,结合己知条件和对顶角相等即可确定结果。 (2)将AC转化为BE,利用三角形三边关系可知AB-AC<AE<AB+AC. (3)利用题目中给的延长中线的方法，构造△BDM≌△CDA,再利用己知条件证明 △ABM≌aECA即可证出AE=AM=2AD, (4)利用题目中给的延长中线的方法，构造△CDM≌aBDA可得AB=CM，,再证明 △MED≌aAED可得AE=EM,计算长度即可. (1)解：~D为BC中点， ∴BD=CD. :∠BDE=∠ADC,ED=AD. ∴△BDE≌aCDA, 证明方法为SAS, 故选：B. (2)解：由(1)得BE=AC=6, AB-BE AE AB+BE, 2<AE<14, .1<AD<7 故选：C (3)略 (4)解：延长AD至点M,使DM=AD,连结CM, B D M :D为BC中点， ∴.BD=CD, :∠ADB=∠CDM,AD=MD, ∴.△ABD≌AMCD ..CM=AB, :AD=MD,∠ADE=∠MDE=90°，ED=ED, .AAED≌AMED. ..AE=EM=EC+CM=EC+AB=20.2+10.8=31 23.(8分)(2026江苏扬州二模)如图1，四边形0ABC中，0A=a,OC=8, ∠AOC=∠BC0=90°，经过点O的直线I将四边形分成两部分，直线I与OC所成的角 设为0，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线I折叠，点C落在点D处（如图1）， (1)若点D与点A重合，则8=，a=_: (2)若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），则8的度数为_ (3)在(2)的条件下，求证：OE=BE+OA. E B E/B D D 图1 图2 【答案】(1)45°：8：；(2)30°；；(3)证明：如图：延长ED、OA,交于点F, C--- /B (111111 :∠AOC=∠BCO=90° .∠AOC+∠BC0=180°， :BCIlOA. .∠B=∠DAF, [∠B=∠DAF 在 和 中， BD=AD △BDE△ADF ∠BDE=∠ADF :△BDE≌△ADF(ASA), :.DE=DF,BE=AF, :∠ODE=∠OCE=90°， .∠ODF=90°. ∴OD垂直平分EF, :.OE=OF, .:OF=0A+AF, ∴.OE=BE+OA 【分析】(1)利用轴对称的性质即可解决问题； (2)延长ED、OA,交于点F，易证△BDE≌aADF,则有DE=DF,接着证明OD垂直平 分EF,根据垂直平分线的性质可得OE=OF,根据等腰三角形的性质可得∠EOD=∠POD，, 从而就可求出： (3)根据OD是EF的线段垂直平分线，得到OE=OF,结合△BDE≌△ADF,得到BE=AF ，故可求解 (1)解：若点D与点A重合， 则92c0A=45,0M=OC=8 故答案为：45°，8： (2)解：如图：延长ED、OA,交于点F, /B :∠AOC=∠BCO=90° .∠AOC+∠BC0=180° .BCI‖OA. .∠B=∠DAF, 在△BDE和△ADF中， ∠B=∠DAF BD=AD ∠BDE=∠ADF ABDE≌△ADF(ASA). :.DE=DF, :∠0DE=∠0CE=90°， .∠ODF=90°. ∴.OD垂直平分EF, ∴.OE=OF, ∴.∠EOD=∠FOD 由折叠可得∠EOD=∠EOC=0, ∴.∠C0A=30=90° .0=30°， 故答案为：30°： (3)略.