第1章 三角形（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 聚焦初中数学三角形单元复习，通过基础概念辨析、情境应用与综合探究的梯度设计，融合几何直观、推理能力与应用意识，全面检测单元核心知识掌握情况。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|三角形三边关系、高的识别、全等判定|基础概念辨析，如第1题考查三边关系，第3题强化全等唯一性判定| |填空题|8/16|中线性质、垂直平分线、动点最值|结合生活情境，如第11题跷跷板游戏渗透中点性质，第14题动点问题培养空间观念| |解答题|11/68|全等证明、作图应用、综合探究|分层设计，如17题基础证明，26题多图变式探究，27题阅读材料题发展创新意识与推理能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章三角形（高效培优单元自测·强化卷) (考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 题号 2 6 6 7 8 答案 C D D B B C B C 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.2(或4，写出任意一个即可) 10.40°140度 11.40cm 12.20 13.2 14.6 15.15 5 16.2或3 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分， 27题11分。 17.证明：：AE∥DF, ∴∠A=∠D .AC=DB ∴.AB=DC 在△ABE与△DCF中， 「∠A=∠D ∠E=∠F AB=DC' △ABE≌ADCF(AAS) .BE=CF.3分 18.(1)证明：∠ACE=∠D=∠ABC=90°， ∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACB+∠BAC=90° 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAC=∠DCE, 在△ABC和△CDE中， [∠ABC=∠D=90° ∠BAC=∠DCE AC=CE ∴△ABC≌ACDE(AAS) .AB=CD:3分 (2)解：由(1)知：△ABC≌△CDE, .AB=CD=6,BC=DE=2, BD=CD-BC=6-2=4.5分 19.(1)解：AB=EC,理由如下： ~EF垂直平分AC, :AE EC, AD⊥BC,BD=DE, ..AB=AE, .AB=EC;2分 (2)解：△ABC的周长为28cm, .AB+BC+AC 28cm, AC =12cm, .AB+BC=16cm, .AB+BD+DE+EC=16cm, 由(1)可得：AB=EC, 又BD=DE, .DE+EC=AB+BD=二×16cm=8cm, 2 即DC=8cm, .DC长为8cm.5分 20.(1)证明：BE⊥AC, .∠CBE+∠C=90°， :AB=AC,AD是BC边上的中线， 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD⊥BC,∠BAD=∠CAD, .∠CAD+∠C=90°， ∴.∠CAD=∠CBE .∠CBE=∠BAD.2分 (2)证明：由(1)知∠CAD=∠CBE, I∠CBE=∠CAD ∠BEC=∠AEF=90° 在 和 中， BCE△AFE CE=EF .△BCE≌△AFE(AAS). .AF=BC, ,AD是BC边上的中线， ,BC=2BD」 .AF=2BD.5分 21.(I)证明：AC⊥BD, .∠AOD=∠COD=90°， AD=CD. ∠DAO=∠DCO, 在△AOD和△COD中， [∠AOD=∠COD ∠OAD=∠OCD AD=CD ∴.△AOD≌ACOD(AAS) 2分 (2)解：由(1)知，△COD≌aAOD, ∴.C0=A0=25cm, .AC=2A0=2×25=50cm, .四边形ABCD的面积为： Sm+5-方4CxD0+分x40x0-4cD0+80)-74CxD-0x72-180icm.5 1 2 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分 22.(I)解：如图，三角形ABD即为所求（答案不唯一）， B 3分 (2)解：如图，点G即为所求， .6分 23.(I)证明：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点G, ·∠BAD=∠DAF=∠BAC=60°， 2 AD=AB. ∴.△ABD是等边三角形，3分 (2)解：AB=AC=11,CF=8, ∴.AF=AC-CF=3, 由(1)可知：△ABD是等边三角形，∠DAF=60°， .BD=AD,∠DBE=60°. ∠DBE=∠DAF, 在△BDE和△ADF中， [∠DBE=∠DAF BD=AD ∠BDE=∠ADF' ·ABDE≌△ADF(ASA) .BE AF=3. 即BE的长为3.6分 4/11 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 24.(I):E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB,ED⊥OA, ∴DE=CE, .OE=OE. :RtAODES≌RtAOCE(HL), :.OD=OC, ∴.△DOC是等腰三角形， OE是∠AOB的平分线， .OE是CD的垂直平分线；3分 (2):OE是∠AOB的平分线，∠A0B=60°， .∠AOE=∠BOE=30°， EC⊥OB,ED⊥OA, ∴.OE=2DE.∠ODF=∠OED=60° .∠EDF=30° .DE =2EF, ..OE=4EF .OF=3EF.6分 25.(1)证明：如图，连接0C, :AC=BC,∠ACB=90°，点O为AB的中点， ∴.AO=C0=B0,∠AOC=∠EOF=90°，∠A=∠BC0=45°， ∴.∠AOE+∠COE=∠COF+∠COE=90°， ∴∠AOE=∠COF, ∴.△AOE≌aCOF, ∴.OE=OF: 3分 B (2)解：如下图所示，连接OC, :AC=BC,∠ACB=90°，点O为AB的中点， .A0=C0=B0,∠BOC=∠EOF=90°，∠ABC=∠ACO=45°. 5/11 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 .∠OCE=∠OBF=180°-45°=135°，∠COE+∠EOB=∠EOB+∠BOF=90°， .∠COE=∠BOF, △COE2aBOF, ..OE=OF=4. 1 .S。EoF=2 OE.OF=8 C : 6分 B 26.(①)∠ACP=∠DBC,理由如下： .∠ACB=90°，CP⊥BD ∴.∠ACP+∠PCB=∠DBC+∠PCB=90°. .∠ACP=∠DBC;3分 (2)证明：过点A作AH⊥CD交CD于点H,如图， A ! P D H B ..AC=AP, ..CH=HP=CP 2 在△ACH和△CBD中 ∠AHC=∠CDB=90° ∠ACP=∠DBC AC=BC .△ACH≌ACBD(AAS) 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴CH=BD, 则CP=2BD;6分 (3)解：过点A作AM⊥CP交CP的延长线于点M,如图， M D D B 同理可证△ACM≌ACBD, 则AM=CD,CM=BD 设CD=2x, ..DE=CD, .'DE =CD=2x, DE 2 :BE3, ∴.BE=3x, .'AM=DE=CD=2x,CM=BD=DE+BE=5x, 3 ·△CDE的面积为2， 9 15 ·△CBE的面积为4，ACDB的面积为4， 15 则。4CM的面积为4， 在△AFM和△EFD中 [∠AFM=∠EFD ∠AMF=∠EDF=90 AM=ED △AFM≌△EFD(AAS) ∴.FM=FD, FM-FD-DM-(CM-CD)-(x-2) 7/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Se-0E=x2x2=22-月即r- 2 4 .5.mw-FDDE 22 2 8 9 S.M=S.DE8 则5o=S.cw-SFw=159_21 488.…10分 27.(I)方法①：证明：如图，延长FE至点G,使GE=FE,连接CG, D E 在△DFE和aCGE中， DE=CE ∠DEF=∠CEG EF=EG ∴.△DFE≌ACGE(SAS) DF=CG,∠DFE=∠G, ...DF =AC, ..CG=AC, .∠CAG=∠G DF∥AB, ∠BAE=∠DFE, .∠BAE=∠CAG, ∴.AE平分∠BAC: 方法②：证明：如图，延长AE至点G,使GE=AE,连接DG, 8/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G 在△ACE和△GDE中， AE=GE ∠AEC=∠GED CE=DE ∴.△ACE≌AGDE(SAS) ∴AC=DG,∠CAE=∠G .DF=AC. :.DG=DF, ∠DFG=∠G, DF∥AB, ∠DFG=∠BAE, .∠BAE=∠CAE, .AE平分∠BAC;4分 (2)如图，延长AD至点G,使GD=AD,连接BG, E 是 边上的中线， D G .AD BC ∴.BD=CD 在△ACD和△GBD中， 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=BD ∠ADC=∠GDB AD=GD ∴△ACD≌△GBD(SAS) ∴.BG=AC,∠ACD=∠GBD, .BG∥AC, ∴.∠ABG+∠BAC=180°， .AC=AF, .BG=AF .∠BAE=∠CAF=90°」 .∠EAF=360°-∠BAE-∠CAF-∠BAC=180°-∠BAC, :∠ABG=∠ABC+∠GBD=∠ABC+∠ACD=18O°-∠BAC, ∠EAF=∠ABG, 在△AEF和△BAG中， AE=AB ∠EAF=∠ABG AF=BG ,∴.△AEF≌△BAG(SAS) ∴.∠AEF=∠BAG 设AD与EF交于点H, ∠BAE=90°， .∠BAG+∠EAH=90°， 又：∠AEF=∠BAG, ,∠AEF+∠EAH=90°， .∠AHE=90°， 即AD⊥EF.8分 (3)△ABC与△AEF面积相等，理由如下； 由(2)可知△ACD≌aGBD, 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SACD=SGBD .0+c G. SANCSN 由(2)可知△AEF≌△BAG, S.AEF =S.ABG 5.r-Sc …11分 11/11 第1章 三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，2，5 C．3，4，5 D．3，3，6 2．下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A．B． C． D． 3．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．，， B．， C．，， D．，， 4．如图，，点在同一条直线上，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 6．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，．①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交边于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；作直线交于点．则的面积为（     ） A． B． C． D． 8．已知：与都是等腰直角三角形，，，，三点共线，连接、．给出四个结论：①；②；③；④其中正确的结论个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．一个三角形的三边长分别为2，3，，若为偶数，则的值为____________．（写出一个即可） 10．如图，在中，是的中线，，则的度数为_______． 11．如图，梓青与米琦玩跷跷板游戏，跷跷板的支点（即跷跷板的中点）到地面的距离是，梓青和米琦在水平位置时离点的距离相等，当梓青（右）离地面的高度是时，米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是________________． 12．如图，在中，，，点在边上，且，点是边上的动点，连接、，若的最小值是3，则的度数为_______． 13．如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于________． 14．如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____________． 15．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，直线与直线相交于点，过点作于点．若的周长为30，则的长为______． 16．中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为________． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．如图，点在一条直线上，．求证：． 18．和的位置如图所示，点B在边上，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 19．如图，中，的垂直平分线交于点F，交于点E，且，连接． (1)吗？说明理由； (2)若的周长为，cm，求长． 20．如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 21．晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中，是风筝的支架且，，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 22．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，只用无刻度的直尺并保留作图痕迹． (1)在图中，作出与全等的格点三角形； (2)在图中，找出的重心点． 23．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 24．如图，已知：是的平分线上一点，，，、是垂足，连接，且交于点． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若，请你探究线段与线段之间有什么数量关系？并证明你的结论． 25．在中，，，点为的中点，，两边分别交，于，两点． (1)如图1，当点，分别在边和上时，求证：； (2)如图2，当点，分别在和的延长线上时，连接，，求的面积． 26．如图1，在中，，，为边上一点，连接，过点作直线的垂线，垂足为点． (1)请找出图中与相等的角，并说明理由； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，点在线段上，且，连接交于点，若，的面积为，求的面积． 27．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，2，5 C．3，4，5 D．3，3，6 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，只需验证两条较短边的和是否大于最长边，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：选项A∵，两条较短边的和等于最长边，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合题意． 选项B∵，两条较短边的和小于最长边，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合题意． 选项C∵，两条较短边的和大于最长边，满足三边关系，∴能组成三角形，符合题意． 选项D∵，两条较短边的和等于最长边，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合题意． 综上，选C． 2．下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．线段不是的高，不符合题意； B．线段不是的高，不符合题意； C．线段不是的高，不符合题意； D．线段是的高，符合题意． 3．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．，， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系和全等三角形的判定定理，能满足全等判定且可构成三角形的条件，即可画出唯一三角形． 【详解】解：A、已知，，，属于条件，不能唯一确定三角形，因此A不符合要求； B、已知和，条件不足，不能确定三角形各边的长度，无法画出唯一三角形，因此B不符合要求； C、已知三个内角，只能确定三角形的形状，不能确定边长大小，不能唯一确定三角形，因此C不符合要求； D、已知三边长，，，，，，满足三角形三边关系， 根据全等判定，三边确定即可画出唯一，因此D符合要求． 4．如图，，点在同一条直线上，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得，，结合即可． 【详解】解：，， ∴，， 则． 5．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴在中，． 6．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点， ∴ ∵的周长为 ∴ ∴的周长为． 7．如图，在中，，，．①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交边于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；作直线交于点．则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点作于点，于点．首先证明，求出的面积，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，设边上的高为h． 由作图可知平分， ， ， ， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ． 8．已知：与都是等腰直角三角形，，，，三点共线，连接、．给出四个结论：①；②；③；④其中正确的结论个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】证明，即可判断①；由全等三角形的性质得，由等腰直角三角形的性质得，即得到，即可判断②；由②可得，即可判断③；根据三角形的三边关系可判断④，综上即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵，， ∴， 即，故④错误； 综上，正确的结论有①②③，共个． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．一个三角形的三边长分别为2，3，，若为偶数，则的值为____________．（写出一个即可） 【答案】（或，写出任意一个即可） 【分析】先利用三角形三边关系确定的取值范围，再根据为偶数的条件确定符合要求的的值． 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为2，3，， ∴ ∴， ∵为偶数， ∴的值为或． 10．如图，在中，是的中线，，则的度数为_______． 【答案】/40度 【分析】根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴，即， ∵， ∴ 11．如图，梓青与米琦玩跷跷板游戏，跷跷板的支点（即跷跷板的中点）到地面的距离是，梓青和米琦在水平位置时离点的距离相等，当梓青（右）离地面的高度是时，米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是________________． 【答案】 【分析】过点作，过点作，可证，根据全等三角形的性质可知米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作， ， 在和中，， ， ， 由题意可知， ， 米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是． 12．如图，在中，，，点在边上，且，点是边上的动点，连接、，若的最小值是3，则的度数为_______． 【答案】20 【分析】根据有最小值可得，由此可得，结合角平分线的性质求解即可． 【详解】解：当有最小值时，则有， ∵， ∴， ∵， ∴为的角平分线， ∵ ∴． 13．如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于________． 【答案】 【详解】解：∵点、分别为边、的中点， ∴，， ∴． 14．如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】连接，由垂直平分线的性质得，推出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，P，C三点共线时，取得最小值，即的长度， ∵， ∴的最小值是． 15．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，直线与直线相交于点，过点作于点．若的周长为30，则的长为______． 【答案】15 【分析】连接，，，由线段垂直平分线的性质得出， ，由三角形周长得出，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形三线合一的性质得出． 【详解】解：连接，，， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴的周长为∶， ∵F是、垂直平分线的交点， ∴． ∵， ∴M是的中点， ∴． 16．中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为________． 【答案】2或 【分析】根据与全等时，对应边相等列式求解即可 ． 【详解】解：∵中，厘米，厘米，点为的中点． ∴，厘米， 设运动时间为秒， 则，，， 当与全等时，有， 当，时， 则，解得； 当，时， 则，解得， 综上，当与全等时，的值为2或． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．如图，点在一条直线上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ∴ 在与中， ， ∴． ∴． 【分析】根据，得出．由推出，根据角角边证明，即可得证． 【详解】略 18．和的位置如图所示，点B在边上，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 【答案】(1)证明：， ，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】（1）首先，由，证得，再由，证得，可得； （2）由（1）知，可得，，再由可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ，， ． 19．如图，中，的垂直平分线交于点F，交于点E，且，连接． (1)吗？说明理由； (2)若的周长为，cm，求长． 【答案】(1)解：，理由如下： 垂直平分， ， ，， ， ； (2)． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，于是结论得证； （2）由的周长为可得，再结合，可得，即，由（1）可得，再结合，可得，于是得解． 【详解】（1）略； （2）解：的周长为， ， ， ， ， 由（1）可得：， 又， ， 即， 长为． 20．如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴． (2)证明：由（1）知， 在和中，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 【分析】（1）根据垂直的定义得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，，可得，进而得出，即可得出； （2）利用证明，得出，根据是边上的中线，即可得出结论． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 21．晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中，是风筝的支架且，，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】本题考查垂线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据垂线的定义得到，再利用等腰三角形的性质得到，利用“”的判定方法进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，进而求出长，利用四边形的面积等于进行求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）知，， ， ， 四边形的面积为： ． 22．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，只用无刻度的直尺并保留作图痕迹． (1)在图中，作出与全等的格点三角形； (2)在图中，找出的重心点． 【答案】(1)解：如图，三角形即为所求（答案不唯一）， (2)解：如图，点即为所求， 【分析】（1）在网格图中，作出，通过即可得三角形与全等； （2）根据三角形的重心为三条中线的交点，先取的中点与点连接，再取的中点与点连接，两条线段的交点即可为重心． 【详解】（1）略 （2）略 23．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 24．如图，已知：是的平分线上一点，，，、是垂足，连接，且交于点． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若，请你探究线段与线段之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)是的平分线上一点，，， ， ∵， ， ， 是等腰三角形， 是的平分线， 是的垂直平分线； (2)是的平分线，， ， ，， ，， ， ， ， ． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出，，确定是等腰三角形，再由等腰三角形的性质即可证明； （2）根据题意得出，确定，，确定，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 25．在中，，，点为的中点，，两边分别交，于，两点． (1)如图1，当点，分别在边和上时，求证：； (2)如图2，当点，分别在和的延长线上时，连接，，求的面积． 【答案】(1)证明：如图，连接， ，，点为的中点， ，，， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）连接，可证，根据全等三角形的性质证明结论成立； （2）连接，可证，根据全等三角形的性质可知，根据三角形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：如下图所示，连接， ，，点为的中点， ，，， ，， ， ， ， ． 26．如图1，在中，，，为边上一点，连接，过点作直线的垂线，垂足为点． (1)请找出图中与相等的角，并说明理由； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，点在线段上，且，连接交于点，若，的面积为，求的面积． 【答案】(1)，理由如下： ∵，， ∴， ∴； (2)证明：过点作交于点，如图， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， 则； (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等即可得到； （2）过点作交于点，由等腰三角形的性质得到，利用证明，有，即可证明； （3）过点作交的延长线与点，同理可证，则和，设得到和，以及和，结合面积得的面积为，和的面积为，进一步证明，有，则有，求得，利用求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作交的延长线于点，如图， 同理可证， 则，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的面积为， ∴的面积为，的面积为， 则的面积为， 在和中 ∴， ∴， 则， ∵，即， ∴， ∴， 则． 27．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 方法②：证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， 设与交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． (3)与面积相等，理由如下； 由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 【分析】（1）方法①：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；方法②：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，即可得出，设与交于点H，由，即可得出，等量代换可得出，由三角形内角和定理即可得出． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：略； 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $