第2章 实数的初步知识 单元自测培优卷- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 苏科版八年级实数初步知识单元卷，融合多地中考及模拟真题，覆盖无理数、平方根、数轴应用等核心知识点，适配基础测试与周测，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|无理数比较、实数与数轴、平方根概念|结合河北保定三模等真题，基础概念辨析| |填空题|6/18|负无理数识别、数轴化简、平方根性质|考查符号意识，如第11题数轴化简| |解答题|7/58|实数计算、作差法比较、拼图求对角线|第21题拼图探究体现几何直观与创新意识，第20题规律证明培养推理能力|

第2章 实数的初步知识单元自测培优卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：苏科版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·河北保定·三模）下列各数中比3大比4小的无理数是（     ） A． B．3.6 C． D． 【答案】C 【分析】先根据无理数定义排除有理数选项，再通过平方估算无理数的范围，即可得到答案． 解：A、∵，∴，不符合题意； B、是有限小数，是有理数，不符合题意； C、∵，∴，且 是开方开不尽的数，属于无理数，满足所有条件，符合题意； D、是分数，是有理数，不符合题意． 2．（2026·山东威海·三模）在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据，，，确定绝对值的大小，根据实数的大小比较，求解即可． 解：3是正数，，，均为负数， ∵正数大于负数， ∴3是最大的数； ，，的绝对值分别为，，，且，，， ∵， ∴， ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴， 故是最小的． 3．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，数轴上的点A，B，C分别对应实数a，b，c．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴可知：，，即可判断选项A，B，C，根据即可判断选项D． 解：根据数轴可知：，， 故A选项错误，B选项正确，C选项错误， ∵， ∴D选项错误． 4．（2026·山东聊城·模拟预测）下列说法正确的是（     ） A．是的立方根 B．没有算术平方根 C．是的平方根 D．的平方根是 【答案】C 解：选项A：∵ ，，∴ 的立方根是，不是，故选项A不符合题意； 选项B：当时，，此时有算术平方根，故选项B不符合题意； 选项C：∵ ，∴ 是的平方根，故选项C符合题意； 选项D：∵ ，∴ 的平方根是，不是，故选项D不符合题意． 5．（2026·湖北孝感·一模）年月，中国三峡集团发布消息显示，年，三峡工程全年运行情况总体良好，三峡枢纽通过货运量万吨，同比增加，再创历史新高．请将万精确到千万位，并用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法和精确度，先把万转化为，再根据精确度和科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法和精确度确定和的值是解题的关键． 解：万， 故选：． 6．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知a，b是等腰三角形的两边长，且，则此等腰三角形的周长是（     ） A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 【答案】D 【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性求出，的值，再根据等腰三角形的腰的不同分类讨论，结合三角形的三边关系计算周长即可． 解：∵，且，， ∴， 解得， ①当是这个等腰三角形的腰长时，则它的三边长分别为，满足三角形的三边关系，此时它的周长为； ②当是这个等腰三角形的腰长时，则它的三边长分别为，满足三角形的三边关系，此时它的周长为； 综上，此等腰三角形的周长是7或8． 7．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 8．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 解：当时， ， ， ， ， ， …… ,     ， ， ， 故选: C． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在实数：，5，，，中，负无理数有_____个． 【答案】2 【分析】先将各数化简，再根据负无理数的定义逐一判断，统计得到负无理数的个数． 解：是负无理数，是正有理数，是负有理数，是负无理数，是正有理数， 因此负无理数共有个． 10．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）若实数，同时满足，，则的值是_________． 【答案】 【分析】对分两种情况进行讨论，解方程组代入求值即可． 解：对于， 当时，， 解方程组，解得， ； 当时，， 解方程组，解得， ， 不存在这种情况， 故的值是2． 11．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是__________． 【答案】 【分析】先根据数轴推出，进而得到，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 解：由数轴可知，，， ． 12．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”） 【答案】 【分析】通过变形将问题转化为比较和的大小，利用算术平方根的性质估算即可． 解：， ， ， ， ． 13．（25-26七年级下·广东湛江·期末）若一个正数的两个平方根分别是和，则是______________． 【答案】 【分析】根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出的值． 解：根据题意得：， 解得． 14．（24-25七年级下·上海·期末）已知：是的立方根，是的相反数，且．那么的（）次方根为___________． 【答案】当为偶数时，为；当为奇数时，为 【分析】根据立方根的定义得到根指数的关系，根据相反数的性质得到与的关系，结合已知列方程组求解，得到后再根据乘方的定义求的次方根． 解：是的立方根， ， 是的相反数， ， 两边立方得：， 又，， ， ， ， 整理得：， 联立， 解得：， ， ， 求的（）次方根：当为偶数时，正数的偶次方根有两个，互为相反数，结果为；当为奇数时，正数的奇次方根只有一个正根，结果为． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（24-25七年级下·贵州遵义·期中）求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【答案】（1）或；（2） （1）解：， 两边同除以4得：， 开平方得：， 解得：或； （2）解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 16.（8分）（25-26七年级下·广西梧州·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）11；（2）2 （1）解：原式 ； （2）解：原式． 17.（8分）（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知：，． （1）求 （2）若的小数部分是，的小数部分是，求 【答案】（1）；（2） （1）解：， ， ， ， ； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴的整数部分是0，的整数部分是3， ∴的小数部分是，的小数部分是， ∴． 18.（8分）（24-25八年级下·四川广元·阶段检测）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示． （1）化简： ＝ ；＝ ； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先判断，后化简计算即可． （2）根据，后化简计算即可． 解：（1）根据 ， ∴， ∴，， 故答案为：． （2）根据 ， ∴， ∴， ∴ ． 【点拨】本题考查了数轴上字母表示数，实数的大小比较，绝对值的化简，熟练掌握实数的大小比较，绝对值的化简是解题的关键． 19.（8分）（25-26七年级下·广东汕头·期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 【答案】 【分析】本题考查了作差比较大小，掌握作差的方法是解题的关键．直接作差，再通分计算即可． 解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 20.（8分）（24-25八年级下·北京朝阳·期中）（1）观察，计算，判断：（只填写符号：>，<，=） ①当，时，__________； ②当，时，__________； ③当，时，__________； … （2）根据第（1）问，当，时，判断与的数量关系并证明．（提示：） （3）实践应用：要制作面积为2平方米的长方形画框，利用第（2）问证明得出的结论直接写出画框周长的最小值为__________． 【答案】（1）①；②；③；（2），证明如下： ∵，， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴； （3）米 【分析】（1）将值代入计算后，再比较大小即可得出①②③的结论； （2）利用完全平方公式的非负性进行证明即可； （3）设长方形的长为米，宽为米，利用（2）中结论进行求解即可． 解：（1）①当，时，， ∵， ∴； 故答案为：； ②当，时，， ∴； 故答案为：； ③当，时，， ∵， ∴； 故答案为：； （2） 略 （3）设长方形的长为米，宽为米，由题意，得：， 由（2）中结论可得： ∴， ∴长方形的周长， ∴画框周长的最小值为米． 故答案为：米． 【点拨】本题考查完全平方公式的非负性，代数式求值，比较实数的大小关系．解题的关键是利用完全平方公式得到． 21.（10分）（24-25七年级下·贵州黔南·期末）【问题提出】 正方形的边长为1，求对角线的长． 【情境再现】 老师在课堂上引导同学们探究边长为1的正方形的对角线的长时，如图1，把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个等腰直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，大正方形的边长即为所求． 【问题探究】 （1）按上述情景，求对角线的长． （2）如图2，将这个边长为1的正方形沿虚线剪开，利用拼图的方法，先画出拼接后的图形，再求对角线的长． 【拓展应用】 （3）如图3，将长为2，宽为1的2个小长方形分别沿对角线剪开，得到4个直角三角形，请用这4个直角三角形在右边的正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）拼出顶点在格点上且边长为的正方形． 【答案】（1）；；（2）如图所示 ；（3）如图所示： 或 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）由算术平方根的定义，即可解答； （2）根据三角形的面积公式，即可解答； （3）根据正方形的面积为5，边长即为，即可解答． 解：【问题探究】（1）∵大正方形面积为2， ∴大正方形的边长． （2） 有， ∴， ∵， ∴， 解得 或（不符合题意，舍去）． 答：对角线的长为． （3）， ∴． 即正方形的边长为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数的初步知识单元自测培优卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：苏科版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·河北保定·三模）下列各数中比3大比4小的无理数是（     ） A． B．3.6 C． D． 2．（2026·山东威海·三模）在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 3．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，数轴上的点A，B，C分别对应实数a，b，c．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·山东聊城·模拟预测）下列说法正确的是（     ） A．是的立方根 B．没有算术平方根 C．是的平方根 D．的平方根是 5．（2026·湖北孝感·一模）年月，中国三峡集团发布消息显示，年，三峡工程全年运行情况总体良好，三峡枢纽通过货运量万吨，同比增加，再创历史新高．请将万精确到千万位，并用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知a，b是等腰三角形的两边长，且，则此等腰三角形的周长是（     ） A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 7．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 8．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在实数：，5，，，中，负无理数有_____个． 10．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）若实数，同时满足，，则的值是_________． 11．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是__________． 12．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”） 13．（25-26七年级下·广东湛江·期末）若一个正数的两个平方根分别是和，则是______________． 14．（24-25七年级下·上海·期末）已知：是的立方根，是的相反数，且．那么的（）次方根为___________． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（24-25七年级下·贵州遵义·期中）求下列各式中x的值： （1）； （2）． 16.（8分）（25-26七年级下·广西梧州·期中）计算： （1） （2） 17.（8分）（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知：，． （1）求 （2）若的小数部分是，的小数部分是，求 18.（8分）（24-25八年级下·四川广元·阶段检测）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示． （1）化简： ＝ ；＝ ； （2）化简：． 19.（8分）（25-26七年级下·广东汕头·期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 20.（8分）（24-25八年级下·北京朝阳·期中）（1）观察，计算，判断：（只填写符号：>，<，=） ①当，时，__________； ②当，时，__________； ③当，时，__________； … （2）根据第（1）问，当，时，判断与的数量关系并证明．（提示：） （3）实践应用：要制作面积为2平方米的长方形画框，利用第（2）问证明得出的结论直接写出画框周长的最小值为__________． 21.（10分）（24-25七年级下·贵州黔南·期末）【问题提出】 正方形的边长为1，求对角线的长． 【情境再现】 老师在课堂上引导同学们探究边长为1的正方形的对角线的长时，如图1，把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个等腰直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，大正方形的边长即为所求． 【问题探究】 （1）按上述情景，求对角线的长． （2）如图2，将这个边长为1的正方形沿虚线剪开，利用拼图的方法，先画出拼接后的图形，再求对角线的长． 【拓展应用】 （3）如图3，将长为2，宽为1的2个小长方形分别沿对角线剪开，得到4个直角三角形，请用这4个直角三角形在右边的正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）拼出顶点在格点上且边长为的正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $