专题 3.4 实数的运算（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本初中数学讲义聚焦实数的运算核心知识点，系统梳理有理数运算法则与运算律在实数范围的适用性，明确运算顺序（先乘方开方，再乘除，后加减，括号优先），涵盖精确计算（无理数通过运算律消去合并）、近似计算（计算器使用与取近似值规则）及实际应用（建立数学模型解决问题），构建从基础到应用的学习支架。 资料亮点在于分层题型设计，夯实基础部分覆盖运算顺序、精确计算等基础题型，综合提升部分包含含绝对值的混合运算、数轴结合、实际应用及探究规律题型，如实际应用中自由落体模型培养模型意识，探究规律题型发展创新意识。同步检测含选择、填空、解答题，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升运算能力与应用能力。

专题 3.4 实数的运算（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 2 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】实数的运算法则与运算律 2 【知识点二】实数运算的顺序 2 【知识点三】实数的精确计算 3 【知识点四】实数的近似计算 3 【知识点五】实数运算的实际应用 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】实数的运算顺序 3 【题型2】实数的精确计算 5 【题型3】实数的近似计算 7 【题型4】无理数运算结果的判断 9 四.题型精析（综合提升） 12 【题型5】含绝对值和二次根式的实数运算 12 【题型6】实数运算与数轴 13 【题型7】实数运算的实际应用 16 【题型8】实数运算的探究规律 18 五.同步检测 21 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 21 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 24 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 27 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用； 2. 掌握实数运算的顺序，能熟练进行实数的四则运算和开方运算； 3. 能运用运算律进行实数的简便运算，化简含根号的代数式； 4. 会用计算器进行实数的近似计算，能按要求取近似值； 5. 能运用实数运算解决简单的实际问题。 （二）重难点 【重点】1. 实数运算的顺序和运算法则；2. 运用运算律进行实数的简便运算。 【难点】1. 含绝对值、二次根式的实数混合运算；2. 实数运算在实际问题中的应用。 二.知识梳理与解读 【知识点一】实数的运算法则与运算律 1. 运算法则 数从有理数扩展到实数，有理数的运算法则在实数范围内同样适用。实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算的意义与有理数运算一致。 2. 运算律 （1）加法交换律：a + b = b + a； （2）加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)； （3）乘法交换律：ab = ba； （4）乘法结合律：(ab)c = a(bc)； （5）分配律：a(b + c) = ab + ac。 以上运算律中的a、b、c可以是任意实数。 【知识点二】实数运算的顺序 实数运算的顺序是： （1）先算乘方和开方； （2）再算乘除； （3）最后算加减； （4）如果遇到括号，则先进行括号里的运算。 同级运算按照从左到右的顺序进行。 【知识点三】实数的精确计算 在实数运算中，如果算式中的无理数可以通过运算律消去或合并，则可以得到精确结果。 关键：利用分配律展开后，含根号的项可以相互抵消。 【知识点四】实数的近似计算 1. 近似计算的方法 当实数运算的结果无法得到精确值时，可以用计算器进行近似计算。近似计算时按题目的要求将计算器取得的结果取近似值。 2. 取近似值的规则 （1）精确到0.1（十分位）：看百分位，四舍五入； （2）精确到0.01（百分位）：看千分位，四舍五入； （3）精确到0.001（千分位）：看万分位，四舍五入。 3. 注意事项 （1）计算过程中应多保留一位小数，最后再按要求取近似值，以减少误差； （2）注意题目要求的是"精确到"还是"保留几个有效数字"。 【知识点五】实数运算的实际应用 实数运算在实际生活中有广泛应用，常见模型有： （1） 自由落体运动；（2）登高望远；（3）立方体体积与表面积 解决实际问题的关键是根据题意建立数学模型，再进行实数运算。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】实数的运算顺序 【例题1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）计算： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）先进行开立方、开算术平方根、计算绝对值，然后进行加减运算； （2）先进行乘方、开算术平方根，计算绝对值，再进行除法运算，最后进行加减法运算． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方根、立方根及绝对值的值，解题的关键是掌握以上运算法则． 分别计算平方根、立方根及绝对值的值，再合并结果． 解： ． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：____________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的运算，掌握先分别计算平方根、立方根、绝对值，再进行加减运算是解题的关键． 先计算平方根、立方根和绝对值，再进行实数加减运算． 解：，，， 所以原式 ． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查实数的运算、立方根及算术平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）先去绝对值，然后再根据实数的运算可进行求解； （2）根据立方根、算术平方根可进行求解． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型2】实数的精确计算 【例题2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算： （1）； （2） ． 【答案】（1）0；（2）7 【分析】本题考查有理数的运算，实数的混合运算： （1）根据有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）先进行开方和乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可． （1）解：原式． （2）解：原式． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键． 利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知x，y是两个不相等的有理数，且满足等式，则_______；_______． 【答案】 【分析】先将等式左边进行运算，利用等式左右两边有理数部分和无理数部分分别相等，列式计算即可． 解：， ∴， 解得：，； 故答案为：；． 【点拨】本题考查实数的运算．根据等式两边有理数部分和无理数部分分别相同进行求解是解题的关键． 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据算术平方根及立方根的定义将原式化简，再进行加减运算即可； （2）先根据绝对值的意义，算术平方根的定义将原式化简，再进行加减运算即可求解． （1）解： ； （2）解： ． 【题型3】实数的近似计算 【例题3】（24-25七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值： （1）； （2）； （3）（结果保留小数，点后三位）． 【答案】（1）31；（2）；（3） 【分析】此题考查的是用计算器计算一个数的算术平方根，掌握求算术平方根的按键顺序是解决此题的关键． （1）根据求算术平方根的按键顺序，计算即可． （2）根据求算术平方根的按键顺序，计算即可． （3）根据求算术平方根的按键顺序，计算即可． （1）解：依次按键，显示31． ． （2）依次按键，显示：． ． （3）依次按键，显示：……． ． 【变式1】（25-26七年级下·广东珠海·期末）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数的规律，以及用计算器的计算开方，得出让第十位的数字出现，只有想办法减少计算器上数位的个数是解决问题的关键． 因为计算器只能显示9位（包括小数点），要想知道第十位的数字是什么，必须想办法让第十位的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让第十位的数据出现． 解：A、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； B、，一共才8位，这样第十位的数字就会出现，故此选项符合题意； C、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； D、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）利用计算器计算：_________ （结果保留三位有效数字）． 【答案】 【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器计算平方根，会用科学记算器进行计算． 利用计算器计算即可． 解：， ∴， 保留三位有效数字为． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值： （1）； （2）（结果保留小数点后三位）； （3）； （4）（结果保留小数点后三位）． 【答案】（1）425；（2）；（3）34；（4） 【分析】本题主要考查了开平方运算，开立方运算： （1）利用开平方运算解答，即可求解； （2）利用开平方运算解答，即可求解； （3）利用开立方运算解答，即可求解； （4）利用开立方运算解答，即可求解． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型4】无理数运算结果的判断 【例题4】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段检测）先阅读材料，再解决问题． 材料：一节数学课上，王老师提出：“若，则”，这个说法正确吗？甲同学回答说：这个说法是正确的，但说不出理由；乙同学回答说：这个说法是错误的，例如，当时，．，但，所以这个说法是错误的．实际上，在数学中，要说明某种说法是错误的．可以像乙同学那样举出一个具体的例子，这样的例子又叫做“反例”． 问题：，都是无理数，是有理数，给出下列4种说法：①是无理数；②是无理数；③是无理数；④是无理数． （1）上述说法中，错误的是________________（填序号）； （2）对错误的说法分别举出一个“反例”加以说明． 【答案】（1）①③④；（2）①反例：当，时，是有理数；③反例：当，时，是有理数；④反例：当，时，是有理数 【分析】本题考查无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键． （1）利用题中提到的“反例”，逐一判断即可得到答案； （2）说明见解析． （1）解：∵，都是无理数，是有理数， ①当，时，为有理数，故是无理数错误； ②是无理数，此说法正确； ③当，时，是有理数，故是无理数错误； ④当，时，为有理数，故是无理数错误， 故答案为：①③④． （2）解：①反例：当，时，是有理数； ③反例：当，时，是有理数； ④反例：当，时，是有理数． 【变式1】（25-26七年级上·山东泰安·期中）下列说法：①是分数；②两个无理数的积仍为无理数；③两个正无理数的和是无理数；④一定是无理数．其中正确说法的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了有理数与无理数的定义，无限不循环小数是无理数，据此作答即可． 解：是无限不循环小数，它是无理数，不是分数，则①错误； 举例：与是无理数，但，是有理数，则②错误； 举例：，与都是无理数，但，是有理数，则③错误； 是无限不循环小数，它是无理数，则④正确； 综上，正确的说法有1个， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·上海·自主招生）已知a，b，c不全为无理数，关于三个数，给出下列说法： （1）可能均为有理数 （2）可能均为无理数 （3）可能恰有一个为有理数 （4）可能恰有两个为有理数 正确序号为：__________ 【答案】①②③ 【分析】本题考查实数的运算，根据a，b，c不全为无理数，得到三个数至少有一个是有理数，分种情况进行讨论，判断即可． 解：∵a，b，c不全为无理数， ∴a，b，c至少一个有理数， 当a，b，c有1个有理数时，不妨设为有理数，则：均为无理数，可能为有理数（互为相反数时），也可能是无理数， 当a，b，c有2个有理数时，不妨设为无理数，则：为无理数，为有理数， 当a，b，c都是有理数时，三个数都是有理数， 故①②③说法正确，④说法错误． 故答案为：①②③． 【变式3】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点、点分别表示实数和，且有与互为相反数． （1）求的值； （2）锦怡同学说：“蚂蚁从点沿数轴向右爬行的单位长度大于2个单位长度”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1）；（2）她的说法不正确，理由如下， ∵一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点、点分别表示实数和，， 表示的数分别为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴她的说法不正确． 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的混合运算，绝对值与算术平方根的非负性； （1）根据绝对值与算术平方根的非负性得出，代入代数式，化简绝对值即可求解； （2）根据题意得出，根据，即可求解． （1）解：∵与互为相反数 ∴，， ∴， ∴； （2）略 四.题型精析（综合提升） 【题型5】含绝对值和二次根式的实数运算 【例题5】（25-26七年级下·天津津南·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）去括号后合并同类二次根式即可得到结果； （2）先计算平方，化简绝对值，再去括号合并同类二次根式即可得到结果． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级下·河南焦作·期末）化简结果为（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 解：∵， ∴，， ∴原式 ． 【变式2】（25-26七年级下·山东滨州·期末）计算：=________． 【答案】1 解： ． 【变式3】（24-25七年级下·吉林·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： . 【题型6】实数运算与数轴 【例题6】（25-26七年级下·山西忻州·期中）计算、在数轴上表示数并比较大小： （1）． （2）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． ． 【答案】（1）；（2）在数轴上表示如下： 【分析】（1）根据平方根、立方根的计算法则化简各项，再计算减法，即可解题； （2）先化简各个数，再在数轴上表示各数，最后利用数轴比较大小即可． 解题关键在于正确掌握实数运算的基本法则． （1）解：原式． （2）解：略． 【变式1】（25-26八年级下·云南曲靖·期中）如图，若数轴上的点，分别与实数，对应，用圆规在数轴上画点，则与点对应的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数与数轴上的点一一对应，先求出，再根据半径相等得到，即可求出与点对应的实数． 解：数轴上的点，分别与实数，对应， ， ， 与点对应的实数是：， 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴上点A表示的数是，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先画出图形，再求出的长，然后根据数轴的性质求解即可得． 解：由题意，画出数轴如下： ∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∵点分别位于点的两侧，且到点的距离相等, ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·广东广州·期中）实数和在数轴上对应的点如图所示． （1）将和对应的点标在数轴上，并将，，，按从小到大的顺序用“”排列； （2）若实数为8的立方根，求代数式的值． 【答案】（1）如图所示，；（2）2 【分析】（1）先在数轴上表示出和对应的点，再根据数轴上左边的数小于右边的数可得答案； （2）根据立方根的定义求出c的值，再判断出，据此计算算术平方根和绝对值，再根据整式的加减运算法则化简即可得到答案． （1）解：略； （2）解：∵实数为8的立方根， ∴； 由数轴可得， ∴， ∴ ． 【题型7】实数运算的实际应用 【例题7】（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的速度v（单位：米／秒）与质量m（单位：千克），动能（单位：焦耳）近似满足公式．一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克．若动能是2000焦耳，求该运动员的跑步速度． 【答案】该运动员的跑步速度是米／秒 【分析】根据题意得到，，将上述数据代入公式即可求得跑步速度． 解：，代入， 得， ∴该运动员的跑步速度是米／秒． 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·阶段检测）如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 【变式3】（24-25七年级下·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． （1）“混天绫”的总长度是多少米？ （2）哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】（1）；（2）能；理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． （1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）略 【题型8】实数运算的探究规律 【例题8】（25-26七年级下·河南新乡·期末）探究以下问题： （1）【特例探究】 ________，________，________； （2）【规律总结】 对于实数，当时，________，当时，________； （3）【学以致用】 计算：． 【答案】（1）6；0；3；（2）；；（3） 【分析】（1）根据算术平方根的性质即可求出各数的值； （2）根据正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，求解即可； （3）运用（2）得出的规律进行运算即可． （1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，当时，； 当时，； （3）解：∵，，，……，， ∴ ． 【变式1】（24-25七年级下·贵州遵义·阶段检测）如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（   ） A．2020 B．2021 C． D． 【答案】D 【分析】经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为，从而得出答案． 解：经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有个数，且第n行的第n个数为， ∴第2021行从左向右数第2021个数是2021， ∴第2021行从左向右数第2020个数是． 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）（1）若，则代数式的值为_____________． （2）如下是按规律排列的一列单项式： ，… 则第10个单项式是______________． 【答案】 【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可求解； （2）根据单项式的系数的绝对值为，字母都为，指数的规律为对应的序号，系数的符号奇数个时为正，偶数个时为负，乘以即可求解． 解：（1）∵， ∴ 故答案为：； （2），… ∴第个单项式为， ∴第10个单项式是． 故答案为：． 【点拨】本题考查了实数的计算，单项式规律，掌握实数的运算法则以及找到单项式的规律是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级下·安徽淮北·阶段检测）阅读下列材料：，即的整数部分为3，小数部分为．请你观察上述的规律后，解答下面的问题： （1）如果介于连续的两个整数和之间，且，求a，b的值． （2）如果是的小数部分，是的整数部分，求的值． （3）求的算术平方根． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的估算、实数的运算，熟练掌握无理数的估算是解题关键． （1）根据可得，由此即可得； （2）先求出，，由此即可得； （3）先代入计算的值，再计算算术平方根即可得． （1）解：，即， ∵介于连续的两个整数和之间，且， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵是的小数部分，是的整数部分， ∴，． （3）解：由（2）已得：， ∴， ∴的算术平方根为． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：选项A：，本选项计算错误； 选项B：，本选项计算正确； 选项C：，本选项计算错误； 选项D：，本选项计算错误． 2．（25-26七年级下·湖北鄂州·期末）下列各式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据算术平方根的非负性、立方根的符号规律、同类二次根式的合并要求，逐一计算验证每个选项的运算是否正确． 解：A、，因此，计算正确； B、负数的立方根是负数，，计算错误； C、算术平方根本身非负，，计算错误； D、和不是同类二次根式，不能直接合并，等式不成立，错误． 3．（25-26九年级下·广东河源·阶段检测）计算的结果为（    ） A．11 B． C．1 D． 【答案】D 解：． 4．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据选项代入判断即可． 解：A．与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； B．，均为有理数，故本选项不符合题意； C．，为有理数，故本选项不符合题意； D．，均为有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 5．（2026·山东淄博·二模）科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据计算器按键功能， 表示开立方运算， 表示分数输入，确定算式为 ，计算即可． 解：由按键顺序可知，该算式为，， ∴． 6．（25-26七年级下·河南新乡·期末）若的整数部分为，小数部分为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过平方数估算的取值范围，得到的整数部分，再表示出小数部分，代入所求代数式化简计算即可． 解：∵，，且， ∴， ∴的整数部分，小数部分 ∴． 7．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）如图，数轴上与实数相对应的点分别为，若点与点关于点对称，则点所表示的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点所表示的实数是，根据关于点的对称点到点的距离相等列方程求解即可． 解：设点所表示的实数是， ∵数轴上与实数相对应的点分别为，若点与点关于点对称， ∴， 解得：． 8．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是（     ） 　 A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出即可． 解：当时，是有理数， 当时，是无理数， 故输出的y值为，选项C符合题意． 9．（2025七年级下·浙江·竞赛）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算开方，再算括号内运算，后算除法，最后算加减的顺序求解即可． 解：∵==，=，=， ∴原式 = = =． 10．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左（右）平移两个数位，算术平方根的小数点向左（右）平移1个数位，进行判断即可． 解：右图可知：， ∴， ∴； 故选D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）若，为实数，则，那么__________． 【答案】 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求解，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，先求出m和n的值，再代入计算即可． 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 12．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）计算的结果为________． 【答案】 【分析】根据平方、立方的运算法则计算即可． 解： ． 13．（25-26七年级下·天津·阶段检测）计算________． 【答案】/ 解： ． 14．（25-26七年级下·天津河东·期末）计算：________． 【答案】/ 解： ． 15．（第3章实数（单元重点综合测试）-2026-2025学年七年级数学上册单元速记�巧练（浙教版2026））设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求_________． 【答案】或1/1或 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 故答案为：或1． 16．（25-26七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 17．（25-26七年级下·天津红桥·期末）计算：__________． 【答案】 解： ． 18．（25-26七年级下·福建厦门·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中为有理数，为无理数，那么且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中为有理数，那么，且． 解决问题：如果，其中为有理数，则的平方根为___________． 【答案】 【分析】先将原方程化为，再根据题意得到，即可求解． 解：， ， 即， ， ， ∴ 的平方根为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）去括号后再依次做加减运算即可； （2）先分别计算算术平方根、绝对值，再依次做加减运算即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级下·山东日照·阶段检测）解答下列各题 （1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （2）已知实数的平方根是，，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先估算无理数和的大小，得到和的值，再代入代数式计算即可 （2）根据平方根和立方根的定义求出和的值，再计算的平方根即可． （1）解： 的小数部分 的整数部分 将，代入得：； （2）解：实数的平方根是 解得 解得 的平方根为． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，． （1）如果，求的长． （2）如果，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数的应用，求三角形的面积， 根据三角形的面积公式求出，进而得出答案． （1）解：在中，，且， ∴， 则，， 解得； （2）解：在中，，且， ∴， 则，， 解得． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） （1）求摆针摆动的周期． （2）如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】（1）；（2）该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． （1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点拨】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）已知三角形的三边分别为，，，且满足． （1）求，，的值； （2）求出三角形的周长． 【答案】（1），，；（2）三角形的周长为 【分析】（1）根据非负数的性质，几个非负数的和为0时每个非负数都为0，分别求解得到的值； （2）代入的值，即可求出三角形的周长． （1）解：， 且， ， 解得； （2）解：由（1）得，，，且三角形的三边分别为，，， 三角形周长为． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·河南新乡·期末）探究以下问题： （1）【特例探究】 ________，________，________； （2）【规律总结】 对于实数，当时，________，当时，________； （3）【学以致用】 计算：． 【答案】（1）6；0；3；（2）；；（3） 【分析】（1）根据算术平方根的性质即可求出各数的值； （2）根据正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，求解即可； （3）运用（2）得出的规律进行运算即可． （1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，当时，； 当时，； （3）解：∵，，，……，， ∴ ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.4 实数的运算（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 2 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】实数的运算法则与运算律 2 【知识点二】实数运算的顺序 2 【知识点三】实数的精确计算 3 【知识点四】实数的近似计算 3 【知识点五】实数运算的实际应用 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】实数的运算顺序 3 【题型2】实数的精确计算 4 【题型3】实数的近似计算 4 【题型4】无理数运算结果的判断 5 四.题型精析（综合提升） 6 【题型5】含绝对值和二次根式的实数运算 6 【题型6】实数运算与数轴 6 【题型7】实数运算的实际应用 7 【题型8】实数运算的探究规律 7 五.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 10 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 11 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用； 2. 掌握实数运算的顺序，能熟练进行实数的四则运算和开方运算； 3. 能运用运算律进行实数的简便运算，化简含根号的代数式； 4. 会用计算器进行实数的近似计算，能按要求取近似值； 5. 能运用实数运算解决简单的实际问题。 （二）重难点 【重点】1. 实数运算的顺序和运算法则；2. 运用运算律进行实数的简便运算。 【难点】1. 含绝对值、二次根式的实数混合运算；2. 实数运算在实际问题中的应用。 二.知识梳理与解读 【知识点一】实数的运算法则与运算律 1. 运算法则 数从有理数扩展到实数，有理数的运算法则在实数范围内同样适用。实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算的意义与有理数运算一致。 2. 运算律 （1）加法交换律：a + b = b + a； （2）加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)； （3）乘法交换律：ab = ba； （4）乘法结合律：(ab)c = a(bc)； （5）分配律：a(b + c) = ab + ac。 以上运算律中的a、b、c可以是任意实数。 【知识点二】实数运算的顺序 实数运算的顺序是： （1）先算乘方和开方； （2）再算乘除； （3）最后算加减； （4）如果遇到括号，则先进行括号里的运算。 同级运算按照从左到右的顺序进行。 【知识点三】实数的精确计算 在实数运算中，如果算式中的无理数可以通过运算律消去或合并，则可以得到精确结果。 关键：利用分配律展开后，含根号的项可以相互抵消。 【知识点四】实数的近似计算 1. 近似计算的方法 当实数运算的结果无法得到精确值时，可以用计算器进行近似计算。近似计算时按题目的要求将计算器取得的结果取近似值。 2. 取近似值的规则 （1）精确到0.1（十分位）：看百分位，四舍五入； （2）精确到0.01（百分位）：看千分位，四舍五入； （3）精确到0.001（千分位）：看万分位，四舍五入。 3. 注意事项 （1）计算过程中应多保留一位小数，最后再按要求取近似值，以减少误差； （2）注意题目要求的是"精确到"还是"保留几个有效数字"。 【知识点五】实数运算的实际应用 实数运算在实际生活中有广泛应用，常见模型有： （1） 自由落体运动；（2）登高望远；（3）立方体体积与表面积 解决实际问题的关键是根据题意建立数学模型，再进行实数运算。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】实数的运算顺序 【例题1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）计算： （1） （2）． 【变式1】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：____________． 【变式3】（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【题型2】实数的精确计算 【例题2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算： （1）； （2） ． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知x，y是两个不相等的有理数，且满足等式，则_______；_______． 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）计算： （1）； （2）． 【题型3】实数的近似计算 【例题3】（24-25七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值： （1）； （2）； （3）（结果保留小数，点后三位）． 【变式1】（25-26七年级下·广东珠海·期末）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）利用计算器计算：_________ （结果保留三位有效数字）． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值： （1）； （2）（结果保留小数点后三位）； （3）； （4）（结果保留小数点后三位）． 【题型4】无理数运算结果的判断 【例题4】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段检测）先阅读材料，再解决问题． 材料：一节数学课上，王老师提出：“若，则”，这个说法正确吗？甲同学回答说：这个说法是正确的，但说不出理由；乙同学回答说：这个说法是错误的，例如，当时，．，但，所以这个说法是错误的．实际上，在数学中，要说明某种说法是错误的．可以像乙同学那样举出一个具体的例子，这样的例子又叫做“反例”． 问题：，都是无理数，是有理数，给出下列4种说法：①是无理数；②是无理数；③是无理数；④是无理数． （1）上述说法中，错误的是________________（填序号）； （2）对错误的说法分别举出一个“反例”加以说明． 【变式1】（25-26七年级上·山东泰安·期中）下列说法：①是分数；②两个无理数的积仍为无理数；③两个正无理数的和是无理数；④一定是无理数．其中正确说法的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25九年级下·上海·自主招生）已知a，b，c不全为无理数，关于三个数，给出下列说法： （1）可能均为有理数 （2）可能均为无理数 （3）可能恰有一个为有理数 （4）可能恰有两个为有理数 正确序号为：__________ 【变式3】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点、点分别表示实数和，且有与互为相反数． （1）求的值； （2）锦怡同学说：“蚂蚁从点沿数轴向右爬行的单位长度大于2个单位长度”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由． 四.题型精析（综合提升） 【题型5】含绝对值和二次根式的实数运算 【例题5】（25-26七年级下·天津津南·期末）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级下·河南焦作·期末）化简结果为（     ） A． B． C． D．1 【变式2】（25-26七年级下·山东滨州·期末）计算：=________． 【变式3】（24-25七年级下·吉林·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【题型6】实数运算与数轴 【例题6】（25-26七年级下·山西忻州·期中）计算、在数轴上表示数并比较大小： （1）． （2）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． ． 【变式1】（25-26八年级下·云南曲靖·期中）如图，若数轴上的点，分别与实数，对应，用圆规在数轴上画点，则与点对应的实数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴上点A表示的数是，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是________． 【变式3】（25-26七年级下·广东广州·期中）实数和在数轴上对应的点如图所示． （1）将和对应的点标在数轴上，并将，，，按从小到大的顺序用“”排列； （2）若实数为8的立方根，求代数式的值． 【题型7】实数运算的实际应用 【例题7】（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的速度v（单位：米／秒）与质量m（单位：千克），动能（单位：焦耳）近似满足公式．一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克．若动能是2000焦耳，求该运动员的跑步速度． 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·阶段检测）如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【变式3】（24-25七年级下·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． （1）“混天绫”的总长度是多少米？ （2）哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【题型8】实数运算的探究规律 【例题8】（25-26七年级下·河南新乡·期末）探究以下问题： （1）【特例探究】 ________，________，________； （2）【规律总结】 对于实数，当时，________，当时，________； （3）【学以致用】 计算：． 【变式1】（24-25七年级下·贵州遵义·阶段检测）如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（   ） A．2020 B．2021 C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）（1）若，则代数式的值为_____________． （2）如下是按规律排列的一列单项式： ，… 则第10个单项式是______________． 【变式3】（24-25七年级下·安徽淮北·阶段检测）阅读下列材料：，即的整数部分为3，小数部分为．请你观察上述的规律后，解答下面的问题： （1）如果介于连续的两个整数和之间，且，求a，b的值． （2）如果是的小数部分，是的整数部分，求的值． （3）求的算术平方根． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖北鄂州·期末）下列各式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·广东河源·阶段检测）计算的结果为（    ） A．11 B． C．1 D． 4．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 5．（2026·山东淄博·二模）科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·河南新乡·期末）若的整数部分为，小数部分为，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）如图，数轴上与实数相对应的点分别为，若点与点关于点对称，则点所表示的实数是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是（     ） 　 A． B．4 C． D．8 9．（2025七年级下·浙江·竞赛）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）若，为实数，则，那么__________． 12．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）计算的结果为________． 13．（25-26七年级下·天津·阶段检测）计算________． 14．（25-26七年级下·天津河东·期末）计算：________． 15．（第3章实数（单元重点综合测试）-2026-2025学年七年级数学上册单元速记�巧练（浙教版2026））设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求_________． 16．（25-26七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 17．（25-26七年级下·天津红桥·期末）计算：__________． 18．（25-26七年级下·福建厦门·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中为有理数，为无理数，那么且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中为有理数，那么，且． 解决问题：如果，其中为有理数，则的平方根为___________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）计算： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级下·山东日照·阶段检测）解答下列各题 （1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （2）已知实数的平方根是，，求的平方根． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，． （1）如果，求的长． （2）如果，求的长． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） （1）求摆针摆动的周期． （2）如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 23．（本小题满分10分）（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）已知三角形的三边分别为，，，且满足． （1）求，，的值； （2）求出三角形的周长． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·河南新乡·期末）探究以下问题： （1）【特例探究】 ________，________，________； （2）【规律总结】 对于实数，当时，________，当时，________； （3）【学以致用】 计算：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $