专题 3.1 平方根（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“平方根”核心知识点，系统梳理平方根的定义、性质、表示方法、算术平方根及开平方运算，通过易错辨析构建从概念到运算的完整学习支架，助力学生逐步深化理解。 资料以分层题型设计为特色，夯实基础题型覆盖概念辨析与基础运算，综合提升题型融入实际应用（如面积求边长）和规律探究，培养学生抽象能力与运算能力，同步检测题帮助课后查漏补缺，提升教学效果与学习效率。

专题 3.1 平方根（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 2 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】平方根的定义 2 【知识点二】平方根的性质 2 【知识点三】平方根的表示方法 2 【知识点四】算术平方根 2 【知识点五】开平方运算 3 【知识点六】平方根与算术平方根易错辨析 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】求一个数的平方根 3 【题型2】求一个数的算术平方根 5 【题型3】识别符号含义并计算（、、） 6 【题型4】判断数是否存在平方根 8 四.题型精析（综合提升） 10 【题型5】利用平方根定义求参数 10 【题型6】平方根实际应用（面积求边长） 11 【题型7】平方根与算术平方根规律探究 13 【题型8】平方根与算术平方根混合计算 16 五.同步检测 18 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 18 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 21 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 24 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解平方根、算术平方根的概念，分清二者的联系与区别。 2. 掌握平方根的性质，会判断一个数有没有平方根。 3. 会求非负数的平方根、算术平方根，能识别、、的含义并进行计算。 4. 理解开平方运算，知道开平方与平方互为逆运算。 （二）重难点 重点：平方根、算术平方根概念，求数的平方根与算术平方根。 难点：区分平方根与算术平方根；符号、、理解；负数没有平方根。 二.知识梳理与解读 【知识点一】平方根的定义 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，也叫做的二次方根。 即：若，则叫做的平方根。 举例：，，所以是的平方根。 【知识点二】平方根的性质 1. 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数； 2. 零的平方根是零； 3. 负数没有平方根。 【要点提示】只有非负数（）才有平方根。 【知识点三】平方根的表示方法 1. 正数的正的平方根，记作，读作“根号”，也叫算术平方根； 2. 正数的负的平方根，记作，读作“负根号”； 3. 正数的两个平方根合起来记作，读作“正、负根号”。 【要点提示】叫做被开方数，。 【知识点四】算术平方根 正数的正的平方根叫做的算术平方根；的算术平方根是。 记作：。 例：的算术平方根是，记作；的算术平方根是，即。 【知识点五】开平方运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方。 开平方与平方互为逆运算，可以利用平方运算求一个数的平方根。 【要点提示】平方：已知底数求平方结果；开平方：已知平方结果求底数。 【知识点六】平方根与算术平方根易错辨析 项目 平方根 算术平方根 符号 结果个数 正数有两个，互为相反数 只有1个，非负数 取值 0 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】求一个数的平方根 【例题1】（24-25八年级下·山东菏泽·开学考试）求下列各数的平方根： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）直接根据平方根的定义求解； （2）把带分数化成假分数，再根据平方根的定义求解； （3）先化简，再根据平方根的定义求解； （4）先化简，再根据平方根的定义求解． （1）解：因为，所以的平方根是； （2）解：，因为， 所以的平方根是； （3）解：，因为，所以的平方根是； （4）解：，因为，所以的平方根是． 【变式1】（25-26七年级下·天津津南·期末）的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵， ∴的平方根是． 【变式2】（25-26七年级下·四川广安·期末）如果，则的平方根是_________． 【答案】 【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，求出，的值．代入代数式计算出结果后，再求该结果的平方根即可． 解：由题意可得，， ， ∴，， 解得，． 将，代入得：． ， 的平方根是． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： （1）1.69． （2）． 【答案】（1）；（2）/ 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）根据平方根的定义计算即可； （2）先计算出，再根据平方根的定义计算即可． （1）解：∵， ∴的平方根是． （2）解：∵， ∴的平方根是． 【题型2】求一个数的算术平方根 【例题2】（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的算术平方根： （1）64； （2）225； （3）． 【答案】（1）8；（2）15；（3） （1）解：∵， ∴64的算术平方根是8； （2）解：∵， ∴225的算术平方根是15； （3）解：∵， ∴的算术平方根是． 【变式1】（2025·新疆阿克苏·三模）的算术平方根为（     ） A． B．8 C． D．4 【答案】D 【分析】若正数满足，则为的算术平方根． 解：且， 的算术平方根为． 【变式2】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）直接表示出5的算术平方根_____． 【答案】 解：的算术平方根为． 【变式3】（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）求下列各数的算术平方根． （1）36； （2）； （3）． 【答案】（1）6；（2）0.09；（3） （1）解：； （2）解：； （3）解：． 【题型3】识别符号含义并计算（、、） 【例题3】（第12课平方根-【帮课堂】2025-2026学年七年级数学上册同步精品讲义（浙教版））先说出下列各式中的被开方数，再判断各式的结果正确与否，并把不正确的改正过来． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）被开方数是，原式正确；（2）被开方数是，原式错误，改正：；（3）被开方数是，原式错误，改正：；（4）被开方数是，原式正确 【分析】（1）根据算术平方根的定义计算． （2） 根据平方根的定义计算． （3）根据算术平方根的定义计算． （4） 根据平方根的定义计算． 解：（1）的被开方数是，原式正确． （2）的被开方数是，原式错误，改正：． （3）被开方数是，原式错误，改正：． （4）的被开方数是，原式正确． 【点拨】本题考查了算术平方根即正的平方根，平方根即（a≥0），则x叫做a的平方根，熟练掌握平方根、算术平方根的定义是解题的关键． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）在下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 【变式2】（25-26七年级下·福建厦门·期末）直接写出结果： （1）________；（2）________． 【答案】 【分析】（1）根据平方根的定义，求出25的正负平方根； （2）先计算平方，再依据算术平方根结果为非负数化简求值． 解：（1）； （2）． 【变式3】（26-27八年级·上海·暑假作业）化简： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）12；（3） （1）解：； （2）解：； （3）解：． 【题型4】判断数是否存在平方根 【例题4】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由． （1）0.36； （2）； （3）． 【答案】（1）0.36有平方根，平方根为；（2）没有平方根；（3）有平方根，平方根为． 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义进行解题． （1）根据正数有两个平方根可得答案； （2）根据负数没有平方根可得答案； （3）根据正数有两个平方根可得答案． 解：（1）略 （2）略 （3）略 【变式1】（25-26七年级下·西藏林芝·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 【答案】D 解：对应选项A：∵， ∴的平方根是，故A错误； 对于选项B：∵，的平方根是， ∴的平方根是，故B错误； 对于选项C：，正数有平方根，故C错误； 对于选项D：∵ ， ∴的平方根是和，故D正确． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若没有平方根，则x的值可能为________． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据平方根的性质，负数没有平方根，因此 ，解不等式可得 ，从而确定 的可能值． 本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握负数没有平方根是解决本题的关键． 解：∵没有平方根， ∴，即， 解得， 因此 的值可能为2（或其他小于 2.5 的数） 故答案为：2． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由． （1）； （2）； （3）； （4）0． 【答案】（1）；（2）没有平方根，理由如下： 没有实数的平方等于， 没有平方根； （3）； （4）0 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义进行解题． （1）根据平方根的定义求解即可； （2）负数没有平方根； （3）根据平方根的定义求解即可； （4）根据平方根的定义求解即可． （1）解：， 有平方根，平方根为； （2）略 （3）解：， 有平方根，平方根为； （4）解：， 有平方根，平方根为0． 四.题型精析（综合提升） 【题型5】利用平方根定义求参数 【例题5】（25-26七年级下·广东惠州·期末）若一个正数的平方根是与，求的值和这个正数的值． 【答案】， 【分析】根据平方根的概念列出方程，然后解方程求出的值，然后把的值代入即可求解． 解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴. 【变式1】（25-26八年级下·海南三亚·期中）若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是（   ） A．3 B．6 C．9 D．25 【答案】D 【分析】根据一个正数的两个平方根是和，可得，从而得到，即可求解． 解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得：， ∴这个正数是． 【变式2】（25-26七年级下·云南昆明·期末）已知的平方根是，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义求解即可． 解：的平方根是， ． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如果一个正数的两个不相等平方根，分别是和，求这个正数的值． 【答案】 【分析】根据正数的平方根互为相反数求出的值，再求出其中的一个平方根即可求解． 解：由题意得， ， 解得， ∴， ∴这个正数． 【题型6】平方根实际应用（面积求边长） 【例题6】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）花袱子印染属于我国较为古老的印花布工艺，在陕西关中一带分布十分广泛．现有一块长方形花袱子印染面料，长和宽之比为，面料面积为．求这块长方形花袱子印染面料的长和宽． 【答案】这块长方形花袱子印染面料的长为，宽为 【分析】设这块长方形花袱子印染面料的长为，则宽为，根据题意可得，再结合平方根的计算法则计算即可得出结果． 解：设这块长方形花袱子印染面料的长为，则宽为， 由题意可得， 整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴，， ∴这块长方形花袱子印染面料的长为，宽为． 【变式1】（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的实际应用，根据体积不变原理，正方体体积等于变形后的长方体体积．通过设立未知数，建立方程求解底面正方形的边长． 解：棱长为的正方体体积为， 设长方体实心铜块底面正方形的边长为，则底面积为， 由题知长方体实心铜块的高为，故体积为， 则，即， ∵， ∴， ∵正方形的边长为正数， ∴， 因此，底面正方形的边长为． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）在学校运动会开幕式上，196名学生组成方阵，每排有______名学生． 【答案】14 【分析】本题考查了平方根的应用，由方阵的总人数等于排数的平方，得出，求解即可得出结果，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． 解：由题意可得：， 解得或， ∵为正数， ∴， 故答案为：14． 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”刚好围成一个面积为的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． （1）“混天绫”的总长度是多少米？ （2）哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】（1）“混天绫”的总长度；（2）能够完成新阵法，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得，即． 解得， ∵， ∴， ∴长方形的长为20米，宽为12米， ∴长方形的周长为米， ∵， ∴能够完成新阵法． 【分析】本题考查了平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义求出正方形的边长为，进而计算即可； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． （1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度； （2）略 【要点提示】实际问题边长取算术平方根，舍去负根。 【题型7】平方根与算术平方根规律探究 【例题7】（25-26八年级上·全国·课后作业）求一个正数的算术平方根时，可以通过一组数的内在联系运用规律求得．请同学们观察下表： n 0.0016 0.16 16 1600 160000 … 0.04 0.4 4 40 400 … （1）根据表中所给的信息，你能发现什么规律？请将你发现的规律用文字表达出来． （2）已知，运用你发现的规律，求下列各式的值： ①_______； ②_______． 【答案】（1）规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动位，算术平方根的小数点就向左（或向右）移动位（为正整数）；（2）①0.1435  ②1435 【分析】此题考查的是探索规律题，掌握被开方数小数点的变化和开方后小数点的变化关系总结规律是解决此题的关键． （1）根据表格中被开方数小数点的变化和开方后小数点的变化关系总结规律即可； （2）①根据（1）总结的规律，计算即可； ②根据（1）总结的规律，计算即可； （1）解：由表可知：被开方数的小数点向左（或向右）移动位，算术平方根的小数点就向左（或向右）移动位（为正整数）； （2）解：①根据（1）总结规律，； ②根据（1）总结规律，， 故答案为：①0.1435  ②1435． 【变式1】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.15 0.4743 1.5 4.743 … 根据以上规律，（     ） A．47.43 B．15 C．474.3 D．150 【答案】A 【分析】先观察表格数据，总结被开方数与对应算术平方根的小数点移动规律，再根据规律计算所求结果. 解：由表格数据可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，算术平方根的小数点向相同方向移动1位， ∵的小数点向右移动2位得到，且， ∴的结果是将的小数点向右移动1位，即. 【变式2】（25-26七年级下·山东滨州·期末）例、下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，应该在第______行． 【答案】45 【分析】本题主要考查数字规律的探索，涉及开平方，根据题意可知第一行最后一位为1；第二行最后一位为2；以此类推，第n行最后一位为n，结合所在范围即可求得答案． 解：根据题意可知第一行最后一位为1；第二行最后一位为2；以此类推，第n行最后一位为n， ∵，， ∴在第45行， 故答案为：45． 【变式3】（25-26七年级下·湖北荆州·阶段检测）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：______； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请直接写出x的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）根据所给算式总结规律计算即可； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）由题中所给规律可进行求解． 解：（1）； ； ； …； ∴， ∴． 故答案为：； （2） ； （3）∵符合， ∴， ∴， ∴． 【题型8】平方根与算术平方根混合计算 【例题8】（24-25七年级下·贵州遵义·阶段检测）计算： 【答案】6 【分析】首先计算乘方和算术平方根，然后计算加法． 解： ． 【变式1】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）下列运算中错误的个数是（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据算术平方根有意义的条件以及平方根、算术平方根的定义，即可判断． 解：（1），故（1）正确； （2），故（2）错误； （3）无意义，故（3）错误； （4），故（4）错误； （5），故（5）错误； 综上所述，错误的共个． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则的平方根是_______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、平方根，先根据求出x的值，再求的平方根． 解：， ， ， 的平方根是， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）若一个正数的两个平方根分别为和，求a和这个数的算术平方根． 【答案】（1）；（2），1 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用平方根计算即可得到结果； （2）根据正数的平方根有2个，且互为相反数求出的值，即可确定出这个数的算术平方根． （1）解：原式 ； （2）解：根据题意得：， 解得：， 则，，这个数的算术平方根是． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）下列各数中，没有平方根的是（    ） A．0 B． C． D．4 【答案】C 解：根据平方根的性质可知：只有非负数才有平方根，负数没有平方根， ∴没有平方根． 2．（25-26七年级下·山东临沂·期末）4的算术平方根是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】明确算术平方根是非负数，只需根据定义计算即可得到结果． 解： 若一个非负数 的平方等于 ，即 ，则 叫做 的算术平方根，算术平方根一定为非负数， 又 ， 的算术平方根是 ． 3．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用非负数的性质求出与的值，然后计算的值即可． 解：， ∵，， ∴，且， ∴，， ∴． 4．（25-26七年级下·黑龙江双鸭山·期末）下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根及算术平方根的定义，逐一判断即可得出答案． 解：A．，故该选项错误，不符合题意， B．，故该选项错误，不符合题意， C．，故该选项错误，不符合题意， D．，故该选项正确，符合题意． 5．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）若一个正数的两个不相等的平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求解，再计算得到这个正数即可． 解：∵一个正数的两个不相等的平方根互为相反数， ∴， 整理得， 解得， 将代入得， ∵， ∴这个正数是． 6．（25-26七年级上·浙江温州·期中）小明在学习《平方根》一课后，知道“如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根”．他发现，则2025的平方根是（   ） A．45 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查平方根的定义．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 由可知，2025的平方根是． 解：， 根据平方根的定义，2025的平方根是． 故选：C． 7．（24-25七年级下·河北邢台·期末）嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案． 解：∵， ∴， 故选：A． 8．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用、正方形的面积等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． 根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是、2，再根据阴影部分的周长公式计算即可． 解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 2和4， ∴两个正方形的边长分别是、2， ∴阴影部分的周长为． 故选C． 9．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可． 解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 10．（24-25七年级下·四川德阳·阶段检测）下列说法：①；②；③没有平方根，则；④若则的算术平方根为2；⑤，则；其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 解：①，故①错误． ②∵，∴，故②正确． ③∵没有平方根，∴，解得，故③正确． ④由题意得且，∴，代入得，∴，其算术平方根为，故④错误． ⑤∵，∴，，解得，，∴，故⑤错误． 综上，正确的有个． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·青海西宁·一模）的平方根为__________． 【答案】 【分析】先根据有理数乘方的运算法则计算的结果，再根据平方根的定义求解即可． 解：由题意得，， ∵， ∴的平方根为，即的平方根为． 12．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）的算术平方根是________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．正数a有一个正的算术平方根， 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．根据算术平方根的定义，即可求解． 解：的算术平方根是 故答案为：． 13．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知（x+3）2+＝0，则x+y＝__． 【答案】-1 【分析】根据非负数的性质，求出x、y的值即可． 解：∵（x+3）2+＝0， ∴x+3＝0，y﹣2＝0， 解得：x＝﹣3，y＝2， 故x+y＝﹣3+2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点拨】本题考查了非负数的性质，解题关键是明确平方和算术平方根是非负数，求出未知数的值． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知某数的一个平方根为，则该数是_______________，它的另一个平方根是_______________． 【答案】 /0.25 / 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义，注意一个正数的两个平方根互为相反数． 根据平方根的平方等于被开方数和一个正数的平方根互为相反数，即可求解． 解：∵ 这个数的一个平方根为， ∴这个数为，另一个平方根为， 故答案为：；． 15．（2025·河南·一模）如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为________． 【答案】1 【分析】根据正方形的边长，进行估算，可得结论． 解：拼剪后的正方形的面积， ∴， ∵，即 ∴， ∴的整数部分是1， 故答案为：1． 【点拨】本题考查图形的拼剪，正方形的性质及无理数的估算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16．（25-26八年级上·四川雅安·期中）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 【答案】 / /0.5 【分析】根据绝对值的性质、算术平方根的定义、平方根的定义分别计算即可． 解：的绝对值是； ，算术平方根是； ，4的平方根是， 故答案为：，，． 17．（24-25七年级下·吉林延边·期中）如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是2和4，则两个长方形的面积和（阴影部分）是________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，求出两个小正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，再根据面积公式进行求解即可． 解：∵两个小正方形的面积分别是2和4， ∴两个小正方形的边长为， 由图可知，两个阴影部分均为长为，宽为的长方形， ∴两个长方形的面积和（阴影部分）是； 故答案为：． 18．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． 【答案】 【分析】将所有数统一改写为算术平方根的形式，归纳出被开方数的排列规律，再根据规律计算求解． 解：将原数表中所有数改写为算术平方根的形式，可得： 第1行：，， 第2行：，， 第3行：，， …… 归纳规律可得，数表中所有数是从开始的连续偶数的算术平方根，每行有个数， 第行从左向右第个数，是整个序列的第个数，对应被开方数为 将，代入得被开方数 因此第6行从左向右第2个数是． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·浙江湖州·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）16；（2）1 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，以及含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）先算乘法，再算加法即可； （2）先算乘方，算术平方根，再算乘法，最后算加法即可． （1）解：； （2）解：． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段检测）计算： 求下列各数的算术平方根： （1）900； （2）1； 求下列各数的平方根： （3）； （4）14． 【答案】（1）30；（2）1；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，注意正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根；正数的算术平方根有一个，0的算术平方根是0． （1）（2）考查了一个正数的算术平方根； （3）（4）考查了一个正数的平方根． 解：（1）900的算术平方根是30， （2）1的算术平方根是1， （3）的平方根是， （4）14的平方根是． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江宁波·期中）求如图方格中阴影正方形的面积和边长（小正方格的边长为个单位长度）． 【答案】图中阴影正方形面积为， 边长为 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握算术平方根的概念是解题的关键．先计算出阴影部分的面积，然后根据算术平方根的定义求解即可． 解：图中阴影正方形面积为：， 阴影正方形边长为． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级下·天津静海·阶段检测）求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）7.2． 【分析】本题考查了算术平方根的计算． （1）根据算术平方根的性质计算即可求解； （2）根据算术平方根的性质计算即可求解． （1）解： ； （2）解： ． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·北京密云·期末）已知一个正实数a的两个平方根分别是x和． （1）若，求a的值． （2）求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了根据平方根求原数，平方根的概念，熟知平方根的相关知识是解题的关键． （1）对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，则，即，再根据，利用整体代入法求解即可． （1）解：∵一个正实数a的两个平方根分别是x和，且， ∴； （2）解：∵一个正实数a的两个平方根分别是x和， ∴，即， ∴． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·河北邯郸·期中）在学习了平方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为，平方根为．求这个数．小明的解答过程如下．老师看完小明的解答后，说解答不正确． 解：这个数的算术平方根为．平方根为． 或．① （i）当时，解得，，，∴这个数为16；② （ii）当时，解得，，，∴这个数为4．③ 综上所述，这个数为16或4． （1）①②③中有问题的步骤是_____，错误原因是__________； （2）已知一个数的算术平方根是，平方根是，求这个数． 【答案】（1）③，算术平方根不能为负数；（2）25或 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的概念，正确理解平方根与算术平方根的概念是解题的关键． （1）错误的在第③部分，求出后，将x的值代入得，不符合算术平方根的概念，应舍去． （2）根据一个数的算术平方根是，平方根是，即或，求出m的值，即可解答． （1）解：这个数的算术平方根为．平方根为． 或． （i）当时， 解得， ， ， ∴这个数为16； （ii）当时， 解得， ， 由这个数的算术平方根为，得 ， ∴不符合题意，舍去． 故答案为：③，算术平方根不能为负数． （2）∵一个数的算术平方根是，平方根是， ∴或． （i）当时， 解得， ， ， ∴这个数为25； （ii）当时， 解得， ， ， ∴这个数为； 综上所述，这个数为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.1 平方根（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 2 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】平方根的定义 2 【知识点二】平方根的性质 2 【知识点三】平方根的表示方法 2 【知识点四】算术平方根 2 【知识点五】开平方运算 3 【知识点六】平方根与算术平方根易错辨析 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】求一个数的平方根 3 【题型2】求一个数的算术平方根 4 【题型3】识别符号含义并计算（、、） 4 【题型4】判断数是否存在平方根 4 四.题型精析（综合提升） 5 【题型5】利用平方根定义求参数 5 【题型6】平方根实际应用（面积求边长） 5 【题型7】平方根与算术平方根规律探究 6 【题型8】平方根与算术平方根混合计算 7 五.同步检测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 9 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解平方根、算术平方根的概念，分清二者的联系与区别。 2. 掌握平方根的性质，会判断一个数有没有平方根。 3. 会求非负数的平方根、算术平方根，能识别、、的含义并进行计算。 4. 理解开平方运算，知道开平方与平方互为逆运算。 （二）重难点 重点：平方根、算术平方根概念，求数的平方根与算术平方根。 难点：区分平方根与算术平方根；符号、、理解；负数没有平方根。 二.知识梳理与解读 【知识点一】平方根的定义 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，也叫做的二次方根。 即：若，则叫做的平方根。 举例：，，所以是的平方根。 【知识点二】平方根的性质 1. 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数； 2. 零的平方根是零； 3. 负数没有平方根。 【要点提示】只有非负数（）才有平方根。 【知识点三】平方根的表示方法 1. 正数的正的平方根，记作，读作“根号”，也叫算术平方根； 2. 正数的负的平方根，记作，读作“负根号”； 3. 正数的两个平方根合起来记作，读作“正、负根号”。 【要点提示】叫做被开方数，。 【知识点四】算术平方根 正数的正的平方根叫做的算术平方根；的算术平方根是。 记作：。 例：的算术平方根是，记作；的算术平方根是，即。 【知识点五】开平方运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方。 开平方与平方互为逆运算，可以利用平方运算求一个数的平方根。 【要点提示】平方：已知底数求平方结果；开平方：已知平方结果求底数。 【知识点六】平方根与算术平方根易错辨析 项目 平方根 算术平方根 符号 结果个数 正数有两个，互为相反数 只有1个，非负数 取值 0 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】求一个数的平方根 【例题1】（24-25八年级下·山东菏泽·开学考试）求下列各数的平方根： （1） （2） （3） （4） 【变式1】（25-26七年级下·天津津南·期末）的平方根是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·四川广安·期末）如果，则的平方根是_________． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： （1）1.69． （2）． 【题型2】求一个数的算术平方根 【例题2】（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的算术平方根： （1）64； （2）225； （3）． 【变式1】（2025·新疆阿克苏·三模）的算术平方根为（     ） A． B．8 C． D．4 【变式2】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）直接表示出5的算术平方根_____． 【变式3】（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）求下列各数的算术平方根． （1）36； （2）； （3）． 【题型3】识别符号含义并计算（、、） 【例题3】（第12课平方根-【帮课堂】2025-2026学年七年级数学上册同步精品讲义（浙教版））先说出下列各式中的被开方数，再判断各式的结果正确与否，并把不正确的改正过来． （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）在下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·福建厦门·期末）直接写出结果： （1）________；（2）________． 【变式3】（26-27八年级·上海·暑假作业）化简： （1）； （2）； （3）． 【题型4】判断数是否存在平方根 【例题4】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由． （1）0.36； （2）； （3）． 【变式1】（25-26七年级下·西藏林芝·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若没有平方根，则x的值可能为________． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由． （1）； （2）； （3）； （4）0． 四.题型精析（综合提升） 【题型5】利用平方根定义求参数 【例题5】（25-26七年级下·广东惠州·期末）若一个正数的平方根是与，求的值和这个正数的值． 【变式1】（25-26八年级下·海南三亚·期中）若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是（   ） A．3 B．6 C．9 D．25 【变式2】（25-26七年级下·云南昆明·期末）已知的平方根是，则的值是__________． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如果一个正数的两个不相等平方根，分别是和，求这个正数的值． 【题型6】平方根实际应用（面积求边长） 【例题6】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）花袱子印染属于我国较为古老的印花布工艺，在陕西关中一带分布十分广泛．现有一块长方形花袱子印染面料，长和宽之比为，面料面积为．求这块长方形花袱子印染面料的长和宽． 【变式1】（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）在学校运动会开幕式上，196名学生组成方阵，每排有______名学生． 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”刚好围成一个面积为的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． （1）“混天绫”的总长度是多少米？ （2）哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【题型7】平方根与算术平方根规律探究 【例题7】（25-26八年级上·全国·课后作业）求一个正数的算术平方根时，可以通过一组数的内在联系运用规律求得．请同学们观察下表： n 0.0016 0.16 16 1600 160000 … 0.04 0.4 4 40 400 … （1）根据表中所给的信息，你能发现什么规律？请将你发现的规律用文字表达出来． （2）已知，运用你发现的规律，求下列各式的值： ①_______； ②_______． 【变式1】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.15 0.4743 1.5 4.743 … 根据以上规律，（     ） A．47.43 B．15 C．474.3 D．150 【变式2】（25-26七年级下·山东滨州·期末）例、下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，应该在第______行． 【变式3】（25-26七年级下·湖北荆州·阶段检测）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：______； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请直接写出x的值． 【题型8】平方根与算术平方根混合计算 【例题8】（24-25七年级下·贵州遵义·阶段检测）计算： 【变式1】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）下列运算中错误的个数是（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则的平方根是_______． 【变式3】（25-26七年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）若一个正数的两个平方根分别为和，求a和这个数的算术平方根． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）下列各数中，没有平方根的是（    ） A．0 B． C． D．4 2．（25-26七年级下·山东临沂·期末）4的算术平方根是（     ） A． B． C．2 D． 3．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D．无法确定 4．（25-26七年级下·黑龙江双鸭山·期末）下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）若一个正数的两个不相等的平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．（25-26七年级上·浙江温州·期中）小明在学习《平方根》一课后，知道“如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根”．他发现，则2025的平方根是（   ） A．45 B． C． D．不存在 7．（24-25七年级下·河北邢台·期末）嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 8．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 9．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·四川德阳·阶段检测）下列说法：①；②；③没有平方根，则；④若则的算术平方根为2；⑤，则；其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·青海西宁·一模）的平方根为__________． 12．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）的算术平方根是________． 13．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知（x+3）2+＝0，则x+y＝__． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知某数的一个平方根为，则该数是_______________，它的另一个平方根是_______________． 15．（2025·河南·一模）如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为________． 16．（25-26八年级上·四川雅安·期中）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 17．（24-25七年级下·吉林延边·期中）如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是2和4，则两个长方形的面积和（阴影部分）是________． 18．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·浙江湖州·期末）计算： （1） （2） 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段检测）计算： 求下列各数的算术平方根： （1）900； （2）1； 求下列各数的平方根： （3）； （4）14． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江宁波·期中）求如图方格中阴影正方形的面积和边长（小正方格的边长为个单位长度）． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级下·天津静海·阶段检测）求下列各式的值． （1）； （2）． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·北京密云·期末）已知一个正实数a的两个平方根分别是x和． （1）若，求a的值． （2）求代数式的值． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·河北邯郸·期中）在学习了平方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为，平方根为．求这个数．小明的解答过程如下．老师看完小明的解答后，说解答不正确． 解：这个数的算术平方根为．平方根为． 或．① （i）当时，解得，，，∴这个数为16；② （ii）当时，解得，，，∴这个数为4．③ 综上所述，这个数为16或4． （1）①②③中有问题的步骤是_____，错误原因是__________； （2）已知一个数的算术平方根是，平方根是，求这个数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $