专题 3.2 从有理数到实数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“从有理数到实数”核心内容，系统梳理无理数概念、实数分类、实数与数轴的一一对应关系，以及实数的相反数、绝对值和大小比较，构建从定义到性质再到应用的学习支架，衔接有理数知识，实现数系扩展的平稳过渡。 该资料亮点在于分层题型设计，夯实基础部分通过无理数识别、实数分类等实例培养抽象能力，综合提升部分以估算、数轴应用等题型发展推理意识。同步检测涵盖选择、填空、解答题，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，体现数学语言表达现实世界的应用意识。

专题 3.2 从有理数到实数（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】无理数的概念 2 【知识点二】实数的概念与分类 2 【知识点三】实数与数轴 3 【知识点四】实数的相反数与绝对值 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】无理数的识别 3 【题型2】实数的分类 4 【题型3】实数的相反数与绝对值 4 【题型4】实数大小的比较 5 四.题型精析（综合提升） 5 【题型5】无理数的估算与整数部分、小数部分 5 【题型6】实数与数轴的综合应用 6 【题型7】实数运算中的新定义问题 7 【题型8】实数的探究与规律问题 8 五.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 10 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解无理数和实数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数； 2. 掌握实数的分类方法，能按不同标准对实数进行分类； 3. 理解实数与数轴上的点一一对应的关系，能在数轴上表示无理数； 4. 掌握实数的相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值； 5. 会比较两个实数的大小，能运用估算的方法确定无理数的大致范围。 （二）重难点 【重点】1. 无理数和实数的概念；2. 实数的分类及实数与数轴上点的一一对应关系。 【难点】1. 无理数概念的理解（无限不循环小数的特征）；2. 在数轴上表示无理数及实数大小的比较。 二.知识梳理与解读 【知识点一】无理数的概念 1. 无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数。如 = 1.4142135623730950488…，它既不是有限小数，也不是无限循环小数（不能化为分数），所以是无理数。 2. 常见的无理数类型 （1）开方开不尽的数，如等； （2）含有的数，如等； （3）有规律但不循环的无限小数，如1.01001000100001…（两个"1"之间依次多一个"0"）。 3. 注意事项 （1）无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数（无限循环小数是有理数）； （2）带根号的数不一定是无理数，如都是有理数； （3）分数都是有理数，无理数不能写成分数形式。 【知识点二】实数的概念与分类 1. 实数的定义 有理数和无理数统称为实数（real number）。 2. 实数的分类 （1）按定义分类： 实数 有理数 无理数 正有理数 零 正无理数 负有理数 负无理数 有限小数和无限循环小数 无限不循环小数 （2）按正负分类： 正实数（正有理数、正无理数）、零、负实数（负有理数、负无理数）。 【知识点三】实数与数轴 1. 实数与数轴上点的关系 每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。我们说实数和数轴上的点一一对应。 2. 实数大小的比较 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。即：正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数；两个负实数比较，绝对值大的反而小。 【知识点四】实数的相反数与绝对值 1. 相反数 数的相反数是（表示任意一个实数）。如互为相反数，互为相反数。 2. 绝对值 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即： 。 例如：。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】无理数的识别 【例题1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）一组实数：，，，，，0，，， 将它们分类，填在相应的大括号内： 有理数：{____________________________________________…}； 无理数：{____________________________________________…}． 【变式1】（25-26七年级下·山西吕梁·期末）下列各数中，属于无理数的是（     ） A． B． C．1.414 D． 【变式2】（25-26七年级下·云南曲靖·期末）在实数，，0，，中，无理数有______个．   【变式3】（25-26七年级下·安徽滁州·阶段检测）已知实数，满足关系式． （1）求，的值． （2）是有理数还是无理数？ 【题型2】实数的分类 【例题2】（25-26七年级下·四川自贡·期中）把下列各数填在相应的括号内：，，，0，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）． 整数集合｛                              } 分数集合｛                              } 无理数集合｛                             } 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列实数，，，中，是负无理数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 【变式3】（25-26八年级上·河南开封·期中）把下列各数填在相应的集合中． 正整数集合{           ……} 非负数集合{           ……} 整数集合{           ……} 无理数集合{           ……} 【题型3】实数的相反数与绝对值 【例题3】（2025·广东深圳·一模）求下列各数的绝对值和相反数． （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级下·安徽滁州·期末）下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【变式2】（25-26七年级下·天津·期中）的相反数是______，的绝对值是______． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数、倒数和绝对值． （1）； （2）； （3）． 【题型4】实数大小的比较 【例题4】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）在数轴上标出表示下列各数的点，并将这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【变式1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列各数中，最小的数是（     ） A．－1 B．2 C．0 D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”） 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： （1）与． （2）与． 四.题型精析（综合提升） 【题型5】无理数的估算与整数部分、小数部分 【例题5】（25-26七年级下·湖北十堰·期末）阅读理解：，， 的整数部分为，小数部分为． ， 的整数部分为，的小数部分为． 解决问题：已知是的小数部分，是的整数部分． 求： （1），的值； （2）的平方根． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A．6 B． C． D．1 【变式2】（2025七年级下·云南保山·竞赛）若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____． 【变式3】（25-26七年级下·山东临沂·期中）若，则2为p的整数部分，p减去其整数部分2的差即为它的小数部分． 例如：，则的整数部分为1，小数部分为． （1）已知的整数部分是a，小数部分是b，则a＝______；b＝______． （2）若的整数部分是m，的小数部分是n，求的平方根． （3）已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【题型6】实数与数轴的综合应用 【例题6】（25-26七年级下·河北沧州·期中）已知实数a，b满足：． （1）求a，b的值； （2）求的平方根，并在图所示的数轴上标出平方根的大概位置．（标出后在对应位置旁写出你求的平方根） 【变式1】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图，在数轴上，与之间的整数的个数是________． 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期末）教材第82页的合作学习，探究发现了无理数（每一方格的边长为1个单位长度）． （1）如图1，求方格中阴影正方形的面积和它的边长． （2）请类比（1）的方法，在图2中画出实数在数轴上表示的点（保留作图痕迹）． 【题型7】实数运算中的新定义问题 【例题7】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为的相邻值为．请回答下列问题： （1）的相邻值为__________；的相邻值为__________； （2）若实数x，y满足关系式：，求的相邻值． 【变式1】（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．若满足关系式：，求的“共同体区间”是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河北衡水·期末）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作．例如，，按此规定，______，______． 【变式3】（24-25八年级上·山东烟台·期末）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： （1）的“共同体区间”为________； （2）若x，y满足关系式：，求的“共同体区间”． 【题型8】实数的探究与规律问题 【例题8】（25-26七年级下·安徽淮北·期中）根据下表中的数据规律，解答下列问题： a 14 196 （1）213.16的平方根是 ； （2） ， ， ； （3）的整数部分是m，求的值的平方根． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期中）已知：、，根据以上规律，那么（    ） A．44.72 B．14.414 C．28.828 D．以上均不正确 【变式2】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第_____数． 【变式3】（24-25七年级下·广东珠海·期中）已知，，，，…… （1）填空：________； （2）已知，用含的代数式表示，则________； （3）根据规律写出与的大小情况． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·天津津南·期末）下列四个数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）实数的相反数是（     ） A． B． C．2 D． 3．（24-25七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）在实数、、、、中，属于无理数的有（     ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列实数中，是有理数的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·吉林·期末）实数16的平方根是（     ） A．8 B． C．4 D． 6．（24-25七年级下·吉林·阶段检测）数轴的正半轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为1和，点C到原点O的距离与点B到点A的距离相等，则点C所表示的数为（     ） A．1 B． C． D．或 7．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）以下实数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是分数 C．是无理数 D．无限小数是无理数 9．（25-26七年级下·新疆和田·期末）正方形面积为13，其边长是x，以下说法正确的是（     ） A．x是有理数 B． C． D．在数轴上找不到表示实数x的点 10．（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线（图中虚线）剪开，得到4个完全一样的直角三角形，将这4个直角三角形拼成一个大正方形，估计这个大正方形的边长应在（     ） A．0和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和1.5之间 D．1.5和2之间 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）写出一个你喜欢的无理数________． 12．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）的相反数是_________． 13．（25-26七年级下·山东临沂·阶段检测）的相反数是______，的绝对值是______． 14．（24-25七年级下·吉林·阶段检测）如图，数轴上在点A，点B之间，且表示整数的点有_____个． 15．（25-26七年级下·广东汕头·期末）在低温实验中，甲设备的温度下限是℃，乙设备的温度下限是 ℃，比较：__________．（填“＞”“＜”或“＝”） 16．（25-26七年级下·海南·期末）在实数，，，，中，最小的是________． 17．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）若为正整数，且满足，的值是_____． 18．（25-26七年级下·河北邢台·期末）我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则的值是_______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各数填在相应的括号里：，，，0，，，2.9，1.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个0）． （1）整数：{                                                    …}； （2）分数：{                                                    …}； （3）无理数：{                                                    …}． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·河北唐山·期中）已知实数满足：． （1）求和的值； （2）若正实数的两个不相同的平方根分别为和，求和的值． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在数轴上，B，C两点关于点A对称，A，B两点所对应的实数分别是和1．求点C所对应的实数． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河北沧州·期末）在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你回答下列问题： （1）介于连续的两个整数a和b之间，且，那么 ， ； （2）的整数部分是 ，小数部分是 ； （3）已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的值． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·福建泉州·期中）先填写表，通过观察后再回答问题： a … 4 … … x 2 y … （1）表格中______，______； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______； （3）试比较与a的大小． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·湖北孝感·期中）探究与实践 【问题发现】 （1）如图1，把两个面积都为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，求该大正方形的边长． 【知识迁移】 （2）若一个圆与一个正方形的面积都是，记这个圆的周长为，这个正方形的周长为，试比较与的大小关系； 【拓展延伸】 （3）如图2，有一块面积为300，且长宽之比为的长方形纸片，李明想沿着边的方向裁出一块面积为256的正方形纸片，李明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.2 从有理数到实数（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】无理数的概念 2 【知识点二】实数的概念与分类 2 【知识点三】实数与数轴 3 【知识点四】实数的相反数与绝对值 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】无理数的识别 3 【题型2】实数的分类 5 【题型3】实数的相反数与绝对值 7 【题型4】实数大小的比较 8 四.题型精析（综合提升） 10 【题型5】无理数的估算与整数部分、小数部分 10 【题型6】实数与数轴的综合应用 12 【题型7】实数运算中的新定义问题 15 【题型8】实数的探究与规律问题 18 五.同步检测 20 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 20 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 24 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 26 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解无理数和实数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数； 2. 掌握实数的分类方法，能按不同标准对实数进行分类； 3. 理解实数与数轴上的点一一对应的关系，能在数轴上表示无理数； 4. 掌握实数的相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值； 5. 会比较两个实数的大小，能运用估算的方法确定无理数的大致范围。 （二）重难点 【重点】1. 无理数和实数的概念；2. 实数的分类及实数与数轴上点的一一对应关系。 【难点】1. 无理数概念的理解（无限不循环小数的特征）；2. 在数轴上表示无理数及实数大小的比较。 二.知识梳理与解读 【知识点一】无理数的概念 1. 无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数。如 = 1.4142135623730950488…，它既不是有限小数，也不是无限循环小数（不能化为分数），所以是无理数。 2. 常见的无理数类型 （1）开方开不尽的数，如等； （2）含有的数，如等； （3）有规律但不循环的无限小数，如1.01001000100001…（两个"1"之间依次多一个"0"）。 3. 注意事项 （1）无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数（无限循环小数是有理数）； （2）带根号的数不一定是无理数，如都是有理数； （3）分数都是有理数，无理数不能写成分数形式。 【知识点二】实数的概念与分类 1. 实数的定义 有理数和无理数统称为实数（real number）。 2. 实数的分类 （1）按定义分类： 实数 有理数 无理数 正有理数 零 正无理数 负有理数 负无理数 有限小数和无限循环小数 无限不循环小数 （2）按正负分类： 正实数（正有理数、正无理数）、零、负实数（负有理数、负无理数）。 【知识点三】实数与数轴 1. 实数与数轴上点的关系 每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。我们说实数和数轴上的点一一对应。 2. 实数大小的比较 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。即：正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数；两个负实数比较，绝对值大的反而小。 【知识点四】实数的相反数与绝对值 1. 相反数 数的相反数是（表示任意一个实数）。如互为相反数，互为相反数。 2. 绝对值 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即： 。 例如：。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】无理数的识别 【例题1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）一组实数：，，，，，0，，， 将它们分类，填在相应的大括号内： 有理数：{____________________________________________…}； 无理数：{____________________________________________…}． 【答案】有理数：；无理数． 【分析】根据定义，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，逐个判断即可． 解：略． 【变式1】（25-26七年级下·山西吕梁·期末）下列各数中，属于无理数的是（     ） A． B． C．1.414 D． 【答案】B 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 解：A.是分数，属于有理数； B.开方开不尽，属于无理数； C.1.414是有限小数，属于有理数； D.，是整数，属于有理数. 【变式2】（25-26七年级下·云南曲靖·期末）在实数，，0，，中，无理数有______个．   【答案】2 【分析】初中阶段无理数包括三方面的数：①类似于，这样的数，②开方开不尽的数，③无限不循环小数，据此作出判断即可． 解：是无限不循环小数，是无理数； 开方开不尽，是无理数； 是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 因此无理数共有个． 【变式3】（25-26七年级下·安徽滁州·阶段检测）已知实数，满足关系式． （1）求，的值． （2）是有理数还是无理数？ 【答案】（1），；（2）当时，是无理数；当时，是有理数 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出结果； （2）分两种情况，结合有理数和无理数的定义分析即可得出结果． （1）解：∵，且，， ∴，， 解得， 解得； （2）解：当时，是无理数； 当时，是有理数． 【题型2】实数的分类 【例题2】（25-26七年级下·四川自贡·期中）把下列各数填在相应的括号内：，，，0，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）． 整数集合｛                              } 分数集合｛                              } 无理数集合｛                             } 【答案】整数集合｛， ｝；分数集合｛｝；无理数集合｛，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）} 【分析】先将化简，再根据实数的分类，填入相应的集合即可求解． 解：0，是整数，是分数；，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）是无理数． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列实数，，，中，是负无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据负无理数的两个条件，即小于0且为无理数，逐一判断各数即可得到结果． 解：是正有理数，不符合要求； 是负无理数，符合要求； 是有理数，且既不是正数也不是负数，不符合要求； 是正无理数，不符合要求． 【变式2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的定义，整数与分数统称有理数，无限不循环小数是无理数，只需逐个判断各数，即可得到有理数的个数，即可求解． 解： 是有限小数，属于分数，是有理数； 是分数，是有理数； （每两个之间依次多 个 ）是无限不循环小数，是无理数； 中 是无限不循环小数，故是无理数； 是整数，是有理数； 开方开不尽，是无理数； 综上，有理数共有 个． 【变式3】（25-26八年级上·河南开封·期中）把下列各数填在相应的集合中． 正整数集合{           ……} 非负数集合{           ……} 整数集合{           ……} 无理数集合{           ……} 【答案】；，，，171，0，，π；，，171，0；，π 【分析】本题考查实数的分类，需明确以下概念：正整数指大于0的整数，如1，2，3，．．．．非负数指大于或等于0的数，包括正数和0．整数指不含小数部分的数，包括正整数、负整数和0．无理数指不能表示为分数的实数，通常是无限不循环小数，如、π．根据实数的分类解答即可． 解：正整数集合{，……} 非负数集合{，，，171，0，，π，……} 整数集合{，，171，0……} 无理数集合{，π……} 【题型3】实数的相反数与绝对值 【例题3】（2025·广东深圳·一模）求下列各数的绝对值和相反数． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）的绝对值是，相反数是；（2）的绝对值是，相反数是；（3）的绝对值是，相反数是；（4）的绝对值是，相反数是 【分析】本题考查了相反数和绝对值，只有符号不同的两个数是互为相反数；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． （1）（2）（3）（4）根据相反数和绝对值的定义求解即可． （1）解：的绝对值是，相反数是 （2）解：的绝对值是，相反数是 （3）解：的绝对值是，相反数是 （4）解：的绝对值是，相反数是 【变式1】（25-26七年级下·安徽滁州·期末）下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【答案】D 【分析】根据绝对值，相反数，倒数，有理数和无理数的定义逐一判断选项，找出错误说法. 解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，，A选项说法正确； ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，B选项说法正确； ∵ 乘积为的两个数互为倒数，，的倒数是，C选项说法正确； ∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，是无理数，不是有理数，D选项说法错误. 【变式2】（25-26七年级下·天津·期中）的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 解：的相反数为. ， ，则 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数、倒数和绝对值． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），，；（2），，；（3），， 【分析】（1）（2）直接利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案； （3）利用立方根的定义化简，再利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案． 本题考查了实数的相反数、倒数的定义和绝对值的非负性，解题关键在于掌握各性质和定义． 解：（1）的相反数是，倒数是，绝对值是； （2）的相反数是，倒数是，绝对值是； （3）的相反数是，倒数是，绝对值是． 【题型4】实数大小的比较 【例题4】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）在数轴上标出表示下列各数的点，并将这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】详见解析， 【分析】先计算算术平方根，估算无理数的大小，再在数轴上标出表示下列各数的点，根据数轴比较大小，即可求解． 解：，，，则 如图所示： 上述各数大小关系为： 【变式1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列各数中，最小的数是（     ） A．－1 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】先根据正负数的大小关系缩小候选范围，再比较两个负数的绝对值确定最小数． 解：∵，，， ∴最小的数为或． ∵，，且， ∴，即最小的数为． 【变式2】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”） 【答案】 【分析】通过变形将问题转化为比较和的大小，利用算术平方根的性质估算即可． 解：， ， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： （1）与． （2）与． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法比较实数大小的方法是解题的关键． （1）使用作差法，计算两数之差，通过判断差的正负来比较大小； （2）使用作差法，计算两数之差，若差为正，则被减数大于减数． （1）解：， ． （2）解：， ． 四.题型精析（综合提升） 【题型5】无理数的估算与整数部分、小数部分 【例题5】（25-26七年级下·湖北十堰·期末）阅读理解：，， 的整数部分为，小数部分为． ， 的整数部分为，的小数部分为． 解决问题：已知是的小数部分，是的整数部分． 求： （1），的值； （2）的平方根． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）先估算的取值范围，再推出的整数部分与小数部分，小数部分的拆分方法：无理数整数部分+小数部分（小数部分）． （2）把、代入代数式求值，最后求该结果的平方根． （1）解：， ， 两边同时减4： ，即， 根据整数部分定义：的整数部分． ∴； （2）解： ， 一个正数有两个互为相反数的平方根， ， 的平方根为． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A．6 B． C． D．1 【答案】A 【分析】先判断，可得，，再代入计算即可． 解：， ， ，， 原式． 【变式2】（2025七年级下·云南保山·竞赛）若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，再推导的取值范围，最后根据题目规定的的定义求出结果． 解：，， ， 不等式两边同时减，得 ， 根据表示实数的整数部分的定义，可得． 【变式3】（25-26七年级下·山东临沂·期中）若，则2为p的整数部分，p减去其整数部分2的差即为它的小数部分． 例如：，则的整数部分为1，小数部分为． （1）已知的整数部分是a，小数部分是b，则a＝______；b＝______． （2）若的整数部分是m，的小数部分是n，求的平方根． （3）已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】（1）3；；（2）；（3） 【分析】（1）根据解答即可； （2）先由（1）确定m＝3，，再求出代数式的值，然后根据平方根的定义解答； （3）先确定的取值范围，即可得出，，进而求出，最后根据相反数的定义解答． （1）解：∵， ∴， 所以的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 所以的平方根是； （3）解：∵ ， ∴． 又∵x是整数，且， ∴，， 则， ∴的相反数是． 【题型6】实数与数轴的综合应用 【例题6】（25-26七年级下·河北沧州·期中）已知实数a，b满足：． （1）求a，b的值； （2）求的平方根，并在图所示的数轴上标出平方根的大概位置．（标出后在对应位置旁写出你求的平方根） 【答案】（1），；（2），图见解析 【分析】（1）根据算术平方根，绝对值的非负性求解即可； （2）先求解的平方根为，再估算，进一步画图即可. （1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为， ∵，， ∴数轴表示如下图所示 . 【变式1】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：正方形的面积为10， 正方形的边长为， 点E表示的数为． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图，在数轴上，与之间的整数的个数是________． 【答案】4 【分析】先估算和的取值范围，找出二者之间包含的整数，再统计整数的个数． 解：， ， ， 找出与之间的整数：， 整数一共有个． 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期末）教材第82页的合作学习，探究发现了无理数（每一方格的边长为1个单位长度）． （1）如图1，求方格中阴影正方形的面积和它的边长． （2）请类比（1）的方法，在图2中画出实数在数轴上表示的点（保留作图痕迹）． 【答案】（1）阴影正方形的面积为，它的边长为；（2）如图，点即为所求， 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴； （1）根据大正方形的面积减去4个小三角形的面积，即可求得阴影正方形的面积，根据算术平方根求得它的边长； （2）先得出边长为的小正方形的对角线长为，再在数轴上构造边长为的正方形，即可求解． （1）解：阴影正方形的面积为 它的边长为； （2）解：如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形． ∴大正方形的面积为，则小正方形的对角线长为， 如图，画边长为的正方形，则边长为的小正方形的对角线长为， ∴点即为所求． 【题型7】实数运算中的新定义问题 【例题7】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为的相邻值为．请回答下列问题： （1）的相邻值为__________；的相邻值为__________； （2）若实数x，y满足关系式：，求的相邻值． 【答案】（1）；；（2） 【分析】（1）根据，，结合相邻值的定义可得答案； （2）根据非负数的性质求出x、y的值，进而得到的值，再根据相邻值的定义求解即可． （1）解：∵， ∴的相邻值为； ∵， ∴的相邻值为， ∴的相邻值为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的相邻值为； 【变式1】（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．若满足关系式：，求的“共同体区间”是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，无理数的估算，利用非负数的性质可得，，即得，进而根据即可求解，理解题意是解题的关键． 解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴的“共同体区间”是， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·河北衡水·期末）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作．例如，，按此规定，______，______． 【答案】 1 －4 【分析】先估算出、的大小，然后求得的范围，最后根据的意义即可得到答案． 解：， ， ， ， ， 故答案为：1；-4. 【点拨】本题考查了估计无理数的大小，正确理解是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级上·山东烟台·期末）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： （1）的“共同体区间”为________； （2）若x，y满足关系式：，求的“共同体区间”． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据已知得，进而得出代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． （1）解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴的“共同体区间”为． 【题型8】实数的探究与规律问题 【例题8】（25-26七年级下·安徽淮北·期中）根据下表中的数据规律，解答下列问题： a 14 196 （1）213.16的平方根是 ； （2） ， ， ； （3）的整数部分是m，求的值的平方根． 【答案】（1）；（2）；；143；（3） 【分析】本题考查的是平方根与算术平方根的含义，无理数的整数部分的含义，理解表格信息是解本题的关键； （1）根据表格信息可得，从而可得答案； （2）根据表格信息可得，再结合算术平方根的规律变化可得答案； （3）根据表格信息可得，结合算术平方根的含义可得的值，从而可得答案． （1）解：∵由表可知：， ∴ ∴的平方根是． （2）∵， ∴， ， ； （3）∵， ∴， ∵的整数部分是m， ∴， ∴， ∴的值的平方根为． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期中）已知：、，根据以上规律，那么（    ） A．44.72 B．14.414 C．28.828 D．以上均不正确 【答案】A 【分析】根据进行求解即可． 解：∵， ∵， 故选A． 【点拨】本题主要考查了无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第_____数． 【答案】 【分析】本题考查无理数，新建一列数，找出其中有理数的个数，即可求解． 解：新建一列数：，共有2025个数， ， 该列数中包括有理数：，个数为：， ， 无理数列中，是这列无理数中的第个数， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·广东珠海·期中）已知，，，，…… （1）填空：________； （2）已知，用含的代数式表示，则________； （3）根据规律写出与的大小情况． 【答案】（1）0.01；（2）10000x；（3）当0<a<1时，＞a；当a=1或a=0时，=a；当a>1时，<a 【分析】（1）根据被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律即可求解； （2）根据被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律即可得出x、y的关系，进而求解． （3）分三种情况：①当0<a<1时，②当a=1或a=0时，③当a>1时，分别求解即可． （1）解：∵，，，， ∴0.01， 故答案为：0.01； （2）解：∵，， 又∵， ∴y=10000x， 故答案为：10000x； （3）解：分三种情况：①当0<a<1时， ∵， ∴＞a； ②当a=1或a=0时， ∵ ∴=a； ③当a>1时， ∵，， ∴<a． 【点拨】本题考查了估算无理数的大小、规律型-数字的变化，算术平方根，解决本题的关键是观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，并运用规律． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·天津津南·期末）下列四个数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断整数为有理数，再验证带根号的数是否开方开尽． 解：∵ ，，是整数， ∴ 这三个数是有理数， ∴B选项，C选项，D选项不符合题意； ∵ 开方开不尽， ∴是无理数． 2．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）实数的相反数是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据相反数定义即可直接求出结果． 解：∵ 根据相反数定义，只有符号不同的两个数互为相反数，数的相反数为， ∴ 的相反数为 ． 3．（24-25七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）在实数、、、、中，属于无理数的有（     ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，据此逐一判断即可． 解：是开方开不尽的数，属于无理数， 是无限循环小数，属于有理数， 含无理数，属于无理数， 是有限小数，属于有理数， 是分数，属于有理数， 综上，无理数共2个． 4．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列实数中，是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数属于有理数优先判断D选项，再验证其余选项为无理数即可． 解：是分数，属于有理数； ，均为开方开不尽的数，是无理数； 是无限不循环小数，是无理数． 5．（25-26七年级下·吉林·期末）实数16的平方根是（     ） A．8 B． C．4 D． 【答案】D 解：根据平方根的定义，若，则是的平方根， ∵ ， ∴ 16的平方根是. 6．（24-25七年级下·吉林·阶段检测）数轴的正半轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为1和，点C到原点O的距离与点B到点A的距离相等，则点C所表示的数为（     ） A．1 B． C． D．或 【答案】C 解：∵点A表示的数为，点B表示的数为，且， ∴， ∵点C在数轴正半轴上，到原点的距离等于的长度， ∴点C表示的数为. 7．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）以下实数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数比较大小的基本规则判断． 解：根据实数比较大小的方法，可得， 故最小的数是． 8．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是分数 C．是无理数 D．无限小数是无理数 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义，平方根的定义，无理数与有理数的定义逐一判断即可． 解：A、的平方根是，原说法错误，不符合题意； B、是无理数，而分数属于有理数，故不是分数，原说法错误，不符合题意； C、是无理数，原说法正确，符合题意； D、无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，原说法错误，不符合题意． 9．（25-26七年级下·新疆和田·期末）正方形面积为13，其边长是x，以下说法正确的是（     ） A．x是有理数 B． C． D．在数轴上找不到表示实数x的点 【答案】C 【分析】先根据正方形面积公式求出边长，再结合无理数定义、无理数大小估算、实数与数轴的关系逐一判断选项即可. 解：由正方形面积公式可得，边长为正数， ∴ ， ∵ 是无理数， 因此选项A错误； ∵ ，，且， ∴ ， 因此选项B错误，选项C正确； ∵ 实数与数轴上的点一一对应，所有实数都能在数轴上找到对应点， 因此选项D错误. 10．（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线（图中虚线）剪开，得到4个完全一样的直角三角形，将这4个直角三角形拼成一个大正方形，估计这个大正方形的边长应在（     ） A．0和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和1.5之间 D．1.5和2之间 【答案】C 【分析】计算出大正方形的面积，从而得出大正方形的边长，再进一步估算即可． 解：∵两个小正方形的面积都为1， ∴大正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为， ∵， ∴． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）写出一个你喜欢的无理数________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，任选一个满足定义的数即可． 解：是无限不循环小数，符合无理数的定义 12．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）的相反数是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 解：的相反数是， 故答案为：． 13．（25-26七年级下·山东临沂·阶段检测）的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 / / 解：的相反数为． ∵， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·吉林·阶段检测）如图，数轴上在点A，点B之间，且表示整数的点有_____个． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴估算无理数的大小，解题关键是先判断和的范围． 由大于的最小整数为，小于的最大整数为，即可确定，两点之间表示整数的点的个数． 解：∵，， ∴数轴上介于和之间的整数有、、、， ∴在数轴上的点，点之间表示整数的点有4个． 15．（25-26七年级下·广东汕头·期末）在低温实验中，甲设备的温度下限是℃，乙设备的温度下限是 ℃，比较：__________．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】先比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的法则，判断与的大小关系． 解：， ，即， ， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得． 16．（25-26七年级下·海南·期末）在实数，，，，中，最小的是________． 【答案】 【分析】先根据正负性判断，负数小于0和正数，再比较两个负数的大小，利用“绝对值大的负数反而小”得到结果. 解：对给出的数按正负分类：负数为，；非负数为，，； ∵负数小于所有非负数， ∴最小的数一定在和中； ∵，，， ∴根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得， 因此最小的数是. 17．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）若为正整数，且满足，的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查无理数大小的估算，有理数的乘方计算，确定所在的整数范围是解题关键，通过比较相邻完全平方数得到的范围，进而求出的值，再计算即可． 解：，， ， ，且为正整数， ， 则． 18．（25-26七年级下·河北邢台·期末）我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则的值是_______． 【答案】 【分析】先估算的大小，再得到的取值范围，最后根据整数部分的定义求解即可． 解： ∴ ∴ 根据的定义，不超过的最大整数为 ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各数填在相应的括号里：，，，0，，，2.9，1.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个0）． （1）整数：{                                                    …}； （2）分数：{                                                    …}； （3）无理数：{                                                    …}． 【答案】（1）整数：；（2）分数：；（3）无理数：{，，（相邻两个3之间依次多一个0）}． 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键； 根据实数的分类将题干的八个数分别填到三个空内． 解：是整数；无法化简也不能化为分数形式，是无理数；是分数；0是整数，是无理数；是有限小数，是分数；是有限小数，是分数；（相邻两个3之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数； ∴整数：； 分数：； 无理数：{，，（相邻两个3之间依次多一个0，…} ． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·河北唐山·期中）已知实数满足：． （1）求和的值； （2）若正实数的两个不相同的平方根分别为和，求和的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）先根据正实数的两个不相同的平方根互为相反数列式求出，再求的值． （1）解：∵． ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得， ∴正实数的两个不相同的平方根分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在数轴上，B，C两点关于点A对称，A，B两点所对应的实数分别是和1．求点C所对应的实数． 【答案】点C所对应的实数是 【分析】本题主要考查了实数的运算，数轴上两点间的距离，对称的性质，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 由，两点所对应的实数可求出的长度，再根据，两点关于点对称，可得到，设点所对应的实数是，根据两点间的距离公式列方程，求解即可得到答案． 解：，两点所对应的实数分别是，1， ． 又，两点关于点对称， ． 设点所对应的实数是， 则， 解得． 故点所对应的实数是． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河北沧州·期末）在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你回答下列问题： （1）介于连续的两个整数a和b之间，且，那么 ， ； （2）的整数部分是 ，小数部分是 ； （3）已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的值． 【答案】（1）2；3；（2）3；；（3） 【分析】（1）利用夹逼法即可解答； （2）利用夹逼法求得的取值范围，即可得到的整数部分和小数部分； （3）利用夹逼法求得的整数部分和的小数部分，代入即可解答． （1）解：， ，即， ，； （2）解：， ，即， 的整数部分是，小数部分是； （3）解：， ，即， 的整数部分， ，即， 的整数部分为，小数部分， ． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·福建泉州·期中）先填写表，通过观察后再回答问题： a … 4 … … x 2 y … （1）表格中______，______； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______； （3）试比较与a的大小． 【答案】（1），；（2）①；②；（3）当或1时，；当时，；当时，． 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案； （3）根据的取值范围分情况讨论即可得到答案． （1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当或1时，；当时，；当时，． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·湖北孝感·期中）探究与实践 【问题发现】 （1）如图1，把两个面积都为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，求该大正方形的边长． 【知识迁移】 （2）若一个圆与一个正方形的面积都是，记这个圆的周长为，这个正方形的周长为，试比较与的大小关系； 【拓展延伸】 （3）如图2，有一块面积为300，且长宽之比为的长方形纸片，李明想沿着边的方向裁出一块面积为256的正方形纸片，李明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．    【答案】（1）；（2）；（3）李明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，理由如下： 设长方形的长、宽分别为，则， 解得：， ∵， ∴， ∴面积为256的正方形的边长大于长方形纸片的宽， ∴李明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 【分析】本题考查了算术平方根的应用： （1）根据大正方形的面积为2，由算术平方根即可求得正方形的边长； （2）分别求出圆的半径、正方形的边长，即可求出它们的周长，比较即可； （3）设长方形的长、宽分别为，由面积关系建立方程即可求得的值，再把长方形的宽与正方形的边长比较即可作出判断． 解：（1）由题意得大正方形的面积为，则其边长为； （2）设圆的半径为r，则有，解得：，则； 设正方形的边长为a，则，解得：，则； ∵， ∴， 故答案为：； （3）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $