专题 3.3 立方根（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦立方根核心知识点，系统梳理概念（定义、开立方）、性质（正负数零的立方根特点）、与平方根的区别（表格对比）及计算方法，构建从基础到应用的完整学习支架，帮助学生逐步深化理解。 资料通过分层题型设计（夯实基础与综合提升）和跨情境应用（如立方体体积、魔方问题），培养空间观念与应用意识。规律探究题（如华罗庚算立方根）提升推理能力，同步检测覆盖选择、填空、解答，助力课中教学与课后查漏补缺。

专题 3.3 立方根（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】立方根的概念 2 【知识点二】立方根的性质 2 【知识点三】立方根与平方根的区别 3 【知识点四】立方根的计算 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】立方根的概念辨析 3 【题型2】求一个数的立方根 3 【题型3】立方根的计算 4 四.题型精析（综合提升） 4 【题型4】立方根与平方根的区别 4 【题型5】立方根的实际应用 5 【题型6】立方根的探究与规律 6 五.同步检测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 9 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根； 2. 掌握立方根的性质，知道正数、负数、零的立方根的特点； 3. 理解开立方与立方互为逆运算，会求某些数的立方根； 4. 能区分立方根与平方根的不同，会进行含立方根的混合运算； 5. 能运用立方根的知识解决简单的实际问题。 （二）重难点 【重点】1. 立方根的概念和性质；2. 求一个数的立方根。 【难点】1. 立方根与平方根的区别与联系；2. 负数立方根的理解及含立方根的混合运算。 二.知识梳理与解读 【知识点一】立方根的概念 1. 立方根的定义 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根，记作。其中a是被开方数，3是根指数，符号""读作"三次根号"。 例如： 2. 开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方是立方运算的逆运算，可以运用立方运算求一个数的立方根。 3. 注意事项 （1） （2）任何实数都有唯一的立方根； （3）立方根等于它本身的数有：-1，0，1。 【知识点二】立方根的性质 一般地，我们有以下事实： （1）一个正数有一个正的立方根； （2）一个负数有一个负的立方根； （3）零的立方根是零。 重要公式： 即：互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数。 【知识点三】立方根与平方根的区别 区别 平方根 立方根 定义 若x²=a，则x叫做a的平方根 若x³=a，则x叫做a的立方根 表示方法 ±√a（根指数2省略） ∛a（根指数3不能省略） 正数 有两个平方根，互为相反数 有一个正的立方根 负数 没有平方根 有一个负的立方根 零 零的平方根是零 零的立方根是零 【知识点四】立方根的计算 1. 求一个数的立方根 根据立方根的定义，求一个数a的立方根，就是找一个数x，使 2. 常用立方数 3. 含立方根的混合运算 先算开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】立方根的概念辨析 【例题1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）已知与互为相反数，求3﹣6a+9b的平方根． 【变式1】（24-25七年级下·全国·周测）下列结论正确的是（    ） A．64的立方根是±4 B．没有立方根 C．－1的立方根为±1 D． 【变式2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则___________ 【变式3】（25-26八年级上·河北·课后作业）若是的算术平方根，是的立方根，求a与b的值． 【题型2】求一个数的立方根 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）的立方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）______ ；的立方根是______ ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课前预习）求下列各数的立方根： （1）1000； （2）； （3）； （4）0.008． 【题型3】立方根的计算 【例题3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）计算： （1） （2） 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．64的平方根是8 B．125的立方根是 C．算术平方根是它本身的数是0 D．的立方根是 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）计算：______． 【变式3】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）计算下列各小题． （1）； （2）． 四.题型精析（综合提升） 【题型4】立方根与平方根的区别 【例题4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法中不正确的是（    ） A．10的平方根是 B．8是64的一个平方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．16的平方根是4 B．任何实数都有立方根 C．如果一个数的绝对值是它本身，这个数是正数 D．算术平方根等于本身的数只有1 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．的平方根是 B．无理数就是开方开不尽的数 C．立方根等于它本身的数是1和0 D．实数包括有理数、无理数和零 【变式3】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）下列说法中，正确的是（    ） ①的立方根是；②49的算术平方根是7；③的平方根为；④的平方根是 A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【题型5】立方根的实际应用 【例题5】（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图1是一个立方体木块，其体积是． （1）求立方体的棱长； （2）如图2所示，在立方体木块中挖去一个圆柱体后，木块体积只剩，求圆柱体底面半径．（取3.14） 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少_______（用含的代数式表示），若，则棱长应减少_______． 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）魔方，又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的．魔方与中国人发明的“华容道”，法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图1是一个4阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64个小立方体组成，体积为． （1）求组成这个魔方的小立方体的棱长． （2）图中阴影部分是一个正方形，求出该正方形的面积和边长． （3）把正方形放在数轴上，如图2，使得点与1重合，那么点在数轴上表示的数是___________． 【题型6】立方根的探究与规律 【例题6】（25-26七年级下·重庆永川·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出了答案．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法（完成填空）试一试： （1）因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个 位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是 ； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是 ．所以 ． （2）已110592一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明． 【变式1】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）（1）已知，则_______； （2）已知 则 ________． 【变式3】（25-26七年级下·福建南平·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出：．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： （1）已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是___________； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是___________； ___________． （2）在软件研发过程中，小明需要处理一个由体素（即体积像素）构成的三维正方体模型，已知该原始模型的体素总数为．为了优化计算性能，需将该模型进行等比例缩小，使其体素总数变为原始模型体素的，求缩小后该正方体模型的边长． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列实数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段检测）若一个数的立方根是4，那么这个数的平方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 3．（25-26七年级上·浙江温州·期末）体积为立方分米的正方体的棱长为（　　） A．分米 B．分米 C．分米 D．分米 4．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 5．（25-26七年级下·山西忻州·期中）若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（    ） A．1 B．或 C． D．或 7．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列语句：①最大的负数是；②的平方根是；③两个负数的差一定是负数；④如果两个数互为相反数，那么这两个数的立方根也互为相反数．正确的序号是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 8．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．的立方根是 D．没有算术平方根 9．（24-25七年级下·河北唐山·阶段检测）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·山东德州·期中）按图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（   ）    A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若，则的值为__________． 12．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）4的平方根为，的立方根为，则的值为________． 13．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段检测）若，，则______． 14．（25-26七年级上·浙江温州·期末）一块体积为的金属块熔铸成四个相同的立方体金属块，则该立方体的棱长为___________． 15．（24-25七年级下·北京·阶段检测）正整数、分别满足、，则___________． 16．（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 17．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 18．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段检测）若a和b是有理数，且满足，则．根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为________； （2）若，则的平方根为_____． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知的立方根是的算术平方根是3． （1）求的值； （2）求的平方根． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级上·浙江宁波·期中）按要求完成下列各题： （1）求出下列各数：①绝对值等于的数；②的立方根；③的相反数； （2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上； （3）将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“”号连接． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知3是的平方根，是的立方根，是的整数部分， （1）求，，的值； （2）求的平方根． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级下·广东云浮·期中）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． （1）求出这个魔方的棱长； （2）图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长； （3）把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·福建福州·期中）【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 （1）写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； （2）证明：是无理数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.3 立方根（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】立方根的概念 2 【知识点二】立方根的性质 2 【知识点三】立方根与平方根的区别 3 【知识点四】立方根的计算 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】立方根的概念辨析 3 【题型2】求一个数的立方根 4 【题型3】立方根的计算 6 四.题型精析（综合提升） 8 【题型4】立方根与平方根的区别 8 【题型5】立方根的实际应用 10 【题型6】立方根的探究与规律 12 五.同步检测 15 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 15 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 19 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 22 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根； 2. 掌握立方根的性质，知道正数、负数、零的立方根的特点； 3. 理解开立方与立方互为逆运算，会求某些数的立方根； 4. 能区分立方根与平方根的不同，会进行含立方根的混合运算； 5. 能运用立方根的知识解决简单的实际问题。 （二）重难点 【重点】1. 立方根的概念和性质；2. 求一个数的立方根。 【难点】1. 立方根与平方根的区别与联系；2. 负数立方根的理解及含立方根的混合运算。 二.知识梳理与解读 【知识点一】立方根的概念 1. 立方根的定义 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根，记作。其中a是被开方数，3是根指数，符号""读作"三次根号"。 例如： 2. 开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方是立方运算的逆运算，可以运用立方运算求一个数的立方根。 3. 注意事项 （1） （2）任何实数都有唯一的立方根； （3）立方根等于它本身的数有：-1，0，1。 【知识点二】立方根的性质 一般地，我们有以下事实： （1）一个正数有一个正的立方根； （2）一个负数有一个负的立方根； （3）零的立方根是零。 重要公式： 即：互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数。 【知识点三】立方根与平方根的区别 区别 平方根 立方根 定义 若x²=a，则x叫做a的平方根 若x³=a，则x叫做a的立方根 表示方法 ±√a（根指数2省略） ∛a（根指数3不能省略） 正数 有两个平方根，互为相反数 有一个正的立方根 负数 没有平方根 有一个负的立方根 零 零的平方根是零 零的立方根是零 【知识点四】立方根的计算 1. 求一个数的立方根 根据立方根的定义，求一个数a的立方根，就是找一个数x，使 2. 常用立方数 3. 含立方根的混合运算 先算开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】立方根的概念辨析 【例题1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）已知与互为相反数，求3﹣6a+9b的平方根． 【答案】±3 【分析】根据立方根的性质和相反数的意义得到2a-3b=-2，整体代入求出3-6a+9b，再求平方根． 解：∵与互为相反数， ∴+=0， ∴1-3b+2a+1=0， ∴2a-3b=-2， ∴3-6a+9b=-3（2a-3b）+3=-3×（-2）+3=9， ∴3-6a+9b的平方根为±3． 【点拨】本题考查了相反数，立方根和平方根，正确理解立方根的意义是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·全国·周测）下列结论正确的是（    ） A．64的立方根是±4 B．没有立方根 C．－1的立方根为±1 D． 【答案】D 【分析】根据立方根的定义和性质，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，任何实数都有立方根，依次判断即可. 解：A、的立方根是，不是，所以 A错误； B、 任何实数都有立方根，的立方根是，所以 B错误； C、 的立方根是，不是，所以 C错误； D、 =， = ，∴ = ，故D正确. 【点拨】本题主要考查的是立方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则___________ 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，根据立方根的定义解方程，即可求解． 解： ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河北·课后作业）若是的算术平方根，是的立方根，求a与b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了立方根的定义，算术平方根的定义，熟记定义并利用根指数列出方程是解题的关键． 根据算术平方根和立方根的定义，利用根指数列出方程求解即可． 解：由题意得，，，且, 解得：，． 【题型2】求一个数的立方根 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键． （1）利用立方根的定义即可得到结果； （2）利用立方根的定义即可得到结果； （3）利用立方根的定义即可得到结果； （4）利用立方根的定义即可得到结果． （1）解：因为，所以的立方根是； （2）解：因为，所以的立方根是； （3）解：因为， 所以的立方根是； （4）解：因为， 所以的立方根是． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）的立方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即，那么x叫做a的立方根.根据立方根的定义求值，对照选项即可． 解：∵， ∴的立方根是， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）______ ；的立方根是______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，立方根的计算，根据立方根和平方根的定义，直接计算的值，以及先计算的值再求其立方根即可，解题的关键是掌握平方根和立方根的求解过程． 解：由； ∵， ∴的立方根是，即的立方根是， 故答案为：，． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课前预习）求下列各数的立方根： （1）1000； （2）； （3）； （4）0.008． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查的是立方根的计算，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即如果，那么x叫做a的立方根． （1）根据立方根的概念计算即可； （2）根据立方根的概念计算即可； （3）根据立方根的概念计算即可； （4）根据立方根的概念计算即可． （1）解：因为， 所以1000的立方根是10，即． （2）解：因为， 所以的立方根是，即． （3）解：因为， 所以的立方根是，即． （4）解：因为， 所以0.008的立方根是0.2，即． 【题型3】立方根的计算 【例题3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简绝对值、计算算术平方根，再计算除法，然后计算减法即可得； （2）先计算乘方和立方根，再计算有理数乘法的分配律，然后计算加减法即可得． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．64的平方根是8 B．125的立方根是 C．算术平方根是它本身的数是0 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根和立方根的定义，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义． 根据定义逐一判断各选项． 解：∵ 64的平方根是，而不是8， ∴ A错误； ∵ 125的立方根是5，而不是， ∴ B错误； ∵ 算术平方根是它本身的数有0和1，而不是只有0， ∴ C错误； ∵， ∴的立方根是， ∴D正确； 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根的计算，根据算术平方根和立方根的定义求解后相加即可． 解：表示4的算术平方根，因为，所以； 表示的立方根，因为，所以； 因此，． 故答案为：1． 【变式3】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）计算下列各小题． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查立方根和算术平方根，实数的运算，掌握运算法则是关键． （1）先进行加减运算，再进行开平方运算，即可解答． （2）先根据进行开立方以及开平方运算，再进行加减运算，即可解答． （1）解： （2） 四.题型精析（综合提升） 【题型4】立方根与平方根的区别 【例题4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法中不正确的是（    ） A．10的平方根是 B．8是64的一个平方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 【答案】A 【分析】本题考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，根据平方根，算术平方根和立方根的概念即可得出答案，熟练掌握相关知识是解题的关键． 解：A、10的平方根是，故选项符合题意； B、8是64的一个平方根，说法正确，故选项不符合题意； C、的立方根是，说法正确，故选项不符合题意； D、的算术平方根是，说法正确，故选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．16的平方根是4 B．任何实数都有立方根 C．如果一个数的绝对值是它本身，这个数是正数 D．算术平方根等于本身的数只有1 【答案】B 【分析】根据平方根，立方根，绝对值，算术平方根的性质依次判断即可． 本题考查了平方根、立方根、绝对值和算术平方根的性质，熟记概念与性质是解题的关键． 解：A、16的平方根是，故A选项错误； B、任何实数都有立方根，故B选项正确； C、如果一个数的绝对值是它本身，这个数是正数或0，故C选项错误； D、算术平方根等于本身的数有1和0，故D选项错误； 故选：B 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．的平方根是 B．无理数就是开方开不尽的数 C．立方根等于它本身的数是1和0 D．实数包括有理数、无理数和零 【答案】C 解：选项A：∵，的平方根是，∴的平方根是，A错误． 选项B：∵无理数是无限不循环小数，例如是无理数，但它不是开方开不尽得到的数，∴B错误． 选项C：∵的立方根是，的立方根是，的立方根是，∴立方根等于它本身的数是和，C正确． 选项D：∵零属于有理数，实数分为有理数和无理数，分类重复，∴D错误． 【变式3】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）下列说法中，正确的是（    ） ①的立方根是；②49的算术平方根是7；③的平方根为；④的平方根是 A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查立方根与平方根和算术平方根的相关知识，关键是掌握平方根和立方根的定义． 如果，那么叫作的立方根，根据立方根的定义，如，即可对①进行判断；再根据平方根及算术平方根的定义对②③④进行判断，即可得出答案． 解：根据立方根的定义可知：的立方根为，所以①正确； 49的算术平方根是7，没有平方根，的平方根是，所以②正确，③错误，④错误； 即说法正确的只有①、②． 故选：A． 【题型5】立方根的实际应用 【例题5】（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图1是一个立方体木块，其体积是． （1）求立方体的棱长； （2）如图2所示，在立方体木块中挖去一个圆柱体后，木块体积只剩，求圆柱体底面半径．（取3.14） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了立方根和平方根的应用，掌握正方体和圆柱体的体积是解题关键． （1）根据正方体的体积公式求解即可； （2）设圆柱体底面半径为，用正方体的体积减圆柱的体积列方程求解即可． （1）解：立方体木块的体积是， 则棱长为； （2）解：设圆柱体底面半径为， 则， 解得：（负值舍去）， 即圆柱体底面半径为． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 解：，且，， ． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少_______（用含的代数式表示），若，则棱长应减少_______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，代数式求值，根据题意求出立方体体积减少的体积，进而得到减少后立方体的棱长，可得棱长减少的数量，再把代入计算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 解：∵立方体的棱长为， ∴立方体的体积为， ∴立方体体积减少后剩余的体积为， ∴此时的棱长为， ∴棱长应减少， 当时，， ∴若，则棱长应减少， 故答案为：；． 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）魔方，又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的．魔方与中国人发明的“华容道”，法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图1是一个4阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64个小立方体组成，体积为． （1）求组成这个魔方的小立方体的棱长． （2）图中阴影部分是一个正方形，求出该正方形的面积和边长． （3）把正方形放在数轴上，如图2，使得点与1重合，那么点在数轴上表示的数是___________． 【答案】（1）；（2）正方形的面积为，边长为；（3） 【分析】本题主要考查了立方根，实数的运算，实数与数轴等，熟练掌握以上知识点是关键． （1）求出一个小正方体的体积，进而求出求棱长即可； （2）利用利用割补法求出正方形面积，再根据1算术平方根求出正方形的边长即可； （3）根据（2）所求结合数轴上两点距离计算公式求解即可． （1）解：， 组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为； （2）解：正方形的面积为，正方形的边长为，； （3）解：∵，点A表示的数为1， ∴点D表示的数为． 故答案为：． 【题型6】立方根的探究与规律 【例题6】（25-26七年级下·重庆永川·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出了答案．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法（完成填空）试一试： （1）因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个 位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是 ； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是 ．所以 ． （2）已110592一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明． 【答案】（1）两；9；3；39；（2）110592的立方根为48，说明见解析 【分析】（1）根据立方根的定义补全过程即可； （2）仿照题干思路作答即可． （1）解：因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个两位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是9； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是3．所以． （2）解：因为是一个立方数，即某个整数的立方， 由， 所以， 即能确定是一个两位数； 又∵的个位上的数是 ∴能确定的个位上的数是8； 划去后面的三位592得到数110，即将被开方数小数点向左移三位， ∵， ∴， 由此能确定的十位上的数是4． 所以． 【变式1】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 【变式2】（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）（1）已知，则_______； （2）已知 则 ________． 【答案】 0.2646 300 解：（1）∵，则； （2）已知 则 ． 【变式3】（25-26七年级下·福建南平·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出：．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： （1）已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是___________； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是___________； ___________． （2）在软件研发过程中，小明需要处理一个由体素（即体积像素）构成的三维正方体模型，已知该原始模型的体素总数为．为了优化计算性能，需将该模型进行等比例缩小，使其体素总数变为原始模型体素的，求缩小后该正方体模型的边长． 【答案】（1）2，2，22；（2）26 【分析】（1）根据立方数的个位数字规律和数的大小范围来逐步推导． （2）根据题意，先计算出缩小后模型的体素总数，然后利用（1）中学习的方法求其立方根，即可得到缩小后正方体模型的边长． （1）解：已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是2； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是2； ． （2）解：缩小后模型的体素总数为， 设缩小后正方体模型的边长为， 所以， 因为， 所以是一个两位数， 因为，个位数字是， 所以的个位数字一定是， 划去后面的三位得， 因为， 所以的十位数字一定是， 所以． 答：缩小后该正方体模型的边长为． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列实数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的定义，立方根与算术平方根，无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数，据此对各选项判断即可． 解：A选项是整数，属于有理数 B选项是分数，属于有理数 C选项，2是整数，属于有理数 D选项是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数 故选：D． 2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段检测）若一个数的立方根是4，那么这个数的平方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根和立方根的计算，能够通过立方根求出原数是解题关键． 先通过立方根求出原数为，再求平方根即可． 解：∵这个数的立方根是 ∴这个数为 ∴的平方根为 故选：D． 3．（25-26七年级上·浙江温州·期末）体积为立方分米的正方体的棱长为（　　） A．分米 B．分米 C．分米 D．分米 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用．根据立方根的定义即可求解． 解：体积为27立方分米的正方体的棱长为． 故选：A． 4．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 解：∵， ∴， 故选：A 5．（25-26七年级下·山西忻州·期中）若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用乘方法比较正数大小，带根号的正数同时乘相同次数的方去掉根号后，结果越大则原数越大，据此依次比较得到三者的大小关系． 解：∵，，均为正数，正数乘方后大小关系与原数一致， 先比较与，将两数同时平方得： ， ， ∵ ， ∴ ， 再比较与，将两数同时立方得： ， ， ∵ ， ∴ ， 综上可得 ． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（    ） A．1 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据平方根及立方根的定义求得x，y的值，然后代入中计算即可． 本题考查立方根，平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 解：的平方根是x， ， 的立方根是， ， 或， 故选：D 7．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列语句：①最大的负数是；②的平方根是；③两个负数的差一定是负数；④如果两个数互为相反数，那么这两个数的立方根也互为相反数．正确的序号是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】逐一判断每个语句的正确性：①负数没有最大值；②，其平方根为；③两个负数的差可能为正数；④互为相反数的数的立方根也互为相反数．本题主要考查平方根、立方根及算术平方根，正确理解平方根、算术平方根及立方根的概念是解题的关键． 解：∵ ①中，负数没有最大值，例如，故①错误； ∵ ②中，，3的平方根是，而非，故②错误； ∵ ③中，两个负数的差可能为正，如，故③错误； ∵ ④中，设两数为和，则与互为相反数，故④正确． ∴ 正确的序号是④． 故答案为：D． 8．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．的立方根是 D．没有算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根、立方根和算术平方根的概念．根据定义，算术平方根仅针对非负数，负数无算术平方根；平方根有两个值（正负）；立方根只有一个实数值． 解：∵ 算术平方根定义为非负数的非负平方根， ∴ 负数没有算术平方根，故D正确． A错误，的平方根是，而非仅； B错误，∵，的平方根是，而非； C错误，的立方根是，而非 故选：D． 9．（24-25七年级下·河北唐山·阶段检测）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查算术平方根和立方根，根据平方根和立方根进行计算即可求解． 解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 10．（25-26七年级下·山东德州·期中）按图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，无理数，直接利用算术平方根，立方根的定义按照程序图的步骤进行计算即可． 解：由所示的程序可得：64的算术平方根是8，8是有理数，故8取立方根为2，2的算术平方根为，为无理数，输出即可， 故选：B． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若，则的值为__________． 【答案】2 【分析】本题考查了立方根的概念和运算，解题关键在于理解立方根的定义． 根据立方根的定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么x叫做a 的立方根或三次方根，据此即可解答． 解：因为， 所以8的立方根是2， 故答案为：2． 12．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）4的平方根为，的立方根为，则的值为________． 【答案】或 【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根，解题关键在于掌握平方根、算术平方根、立方根的基本运算，特别注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．根据平方根、算术平方根、立方根的意义可得，然后分两种情况进行计算即可解答． 解：∵4的平方根是x，的立方根是y，且， ∴， ∴当时，； 当时，； 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 13．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段检测）若，，则______． 【答案】3750 【分析】本题考查被开方数和立方根之间的小数点位数的移动关系．根据被开方数和立方根之间的小数点位数的移动关系，进行计算即可． 解：∵0.1554，15.54， ∴． 故答案为：3750． 14．（25-26七年级上·浙江温州·期末）一块体积为的金属块熔铸成四个相同的立方体金属块，则该立方体的棱长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的实际应用，关键是熟练应用立方体的体积公式；金属块总体积不变，分成四个相同立方体，每个体积为总体积的四分之一，再根据立方体体积公式求棱长． 解：设立方体的棱长为， 则，解得． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·北京·阶段检测）正整数、分别满足、，则___________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算、代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法，正确得到值是解答的关键．根据立方根和算术平方根的概念进行估算，从而代入求解． 解：∵，，，， 又∵，是正整数， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根和算术平方根的定义，分别求出和的值，再计算的平方根． 解：因为且的立方根是它本身，所以． 因为的算术平方根是4，所以，解得． 因此， 所以的平方根为． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段检测）若a和b是有理数，且满足，则．根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为________； （2）若，则的平方根为_____． 【答案】 2 【分析】本题考查了平方根、立方根． （1）根据题中所给计算方法求出、的值，代入计算，再根据立方根的定义求解即可； （2）根据题中所给计算方法求出、的值，代入计算，再根据平方根的定义求解即可． 解：（1）由题意，得， 解得， ∴， ∴的立方根为2， 故答案为：2； （2）由题意，得， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查立方根． （1）根据立方根的定义求解即可； （2）根据立方根的定义求解即可； （3）根据立方根的定义求解即可； （1）解：； （2）解： ； （3）解：． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知的立方根是的算术平方根是3． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），；（2） 【分析】此题考查了立方根和平方根的定义，熟练掌握立方根和平方根的求法是关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义进行计算即可； （2）先求出代数式的值，再计算平方根即可． （1）解：由题意，得， ， 解得：； （2）解：， ∴的平方根是． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级上·浙江宁波·期中）按要求完成下列各题： （1）求出下列各数：①绝对值等于的数；②的立方根；③的相反数； （2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上； （3）将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“”号连接． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】（1）根据绝对值，立方根和相反数的定义求解； （2）根据有理数在数轴上的表示方法表示即可； （3）根据数轴上左边的数小于右边的数求解即可． （1）解：①绝对值等于的数为；②的立方根为；③的相反数是； （2）略 （3）略 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知3是的平方根，是的立方根，是的整数部分， （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）；；；（2）． 【分析】本题考查了平方根、立方根及无理数的估算，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平方根、立方根的定义和无理数的估算方法解答即可； （2）把（1）所得x，y，z的值代入代数式，求出代数式的值，再根据平方根的定义即可求解. （1）解：因为3是的平方根， 所以， 解得； 因为是的立方根， 所以； 因为，是的整数部分， 所以； （2）解：因为， 所以的平方根为． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级下·广东云浮·期中）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． （1）求出这个魔方的棱长； （2）图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长； （3）把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 【答案】（1）这个魔方的棱长为4；（2）阴影部分的边长为，阴影部分的面积为8；（3）点D在数轴上所表示的数为 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线的长，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）用点A表示的数减去边长即可得解． （1）解：． 答：这个魔方的棱长为4； （2）解：∵魔方的棱长为4， ∴每个小立方体的棱长为2， 阴影部分面积为：； 则阴影部分的边长为． （3）解：由（2）得， 则D在数轴上表示的数为． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·福建福州·期中）【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 （1）写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； （2）证明：是无理数． 【答案】（1）①；②；（2）证明：设，a与b是互质的两个整数，且，则， 所以， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为6的倍数． 设（n是整数）， ∴， ∴， ∴b也是6的倍数，与a与b是互质的整数矛盾， ∴是无理数． 【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 解：（1）略 （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $