27.3 实际问题与反比例函数 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计以“实际问题与反比例函数”为核心，通过“建模三步”（找等量关系、设解析式求k、代入求解检验）系统梳理知识，结合路程、体积等定积模型构建知识网络，体现实际问题与函数模型的内在联系。 其亮点在于以生活实例（机器人速度、煤气储存室等）激发数学眼光，通过典例精讲培养建模与推理能力，分层作业（必做基础、选做拓展、实践探究）实现个性化学习，帮助学生巩固知识，教师精准把握学情。

27.3 实际问题与反比例函数（第1课时） 教学设计 课题 27.3 实际问题与反比例函数（第1课时） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 （1）理解反比例函数在实际问题中的意义，能准确找出实际问题中的反比例关系，会用反比例函数表达式 （k≠0）表示实际问题的变量关系，并能根据反比例函数的性质解决实际问题； （2）通过对实际问题的分析、探究，培养观察、分析、归纳和概括的能力，提高从实际问题中抽象出数学模型的能力，体会函数思想与方程思想的应用； （3）通过解决实际问题，感受数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣，培养勇于探索与创新的精神。 教学重点 准确找出实际问题中的反比例函数关系，会用反比例函数表达式表示变量关系，并根据反比例函数的性质解决实际问题。 教学难点 从实际问题中抽象出反比例函数模型，并灵活运用反比例函数的增减性等性质求值、求范围、优化方案。 教学方法 问题情境法、讲练结合、数形结合、小组合作 教学准备 多媒体课件、直尺、方格纸 课后练习 必做：针对训练基础题与当堂巩固；选做：拓展探究题；实践：用反比例函数分析身边两个成反比例关系的生活实例。 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、情景导入 【情景导入】科技点亮生活 教师展示2025年蛇年春晚《秧BOT》机器人扭秧歌、转手绢的表演画面，介绍杭州宇树科技的Unitree H1机器人，提问：智能机器人已经走进我们的生活。很多生活与生产问题中，两个量之间都隐藏着函数关系。你能举出两个量成反比例关系的例子吗？ 学生举例：路程一定时，速度与时间成反比例；总价一定时，单价与数量成反比例；面积一定时，长方形的长与宽成反比例。教师顺势引入课题：今天我们就学习用反比例函数解决实际问题。 (设计意图：通过贴近生活的实例激发学习兴趣，感受科技创新赋能民生改善，自然引出“用反比例函数解决实际问题”的研究方向。) 观看机器人表演画面，举例说出生活中成反比例关系的两个量（路程与时间、总价与单价等），明确学习目标。 以春晚机器人等真实情境激趣，从生活实例感知反比例关系，帮助学生建立新旧知识的联系，自然导入课题。 二、新知探究 【新知探究】机器狗的速度问题 问题：某款机器狗的最快移动速度 v 是其载重后总质量 m 的反比例函数。已知载重后总质量 时，它的最快移动速度 。 问1：请求出它的反比例函数解析式。 解：设解析式为 。由题意得 ，即 。 ∴反比例函数解析式为 。 问2：当其载重后总质量 m=40kg 时，求它的最快移动速度。 解：当 时，（m/s）。答：此时最快移动速度为 。 问3：当其最快移动速度为 20 m/s 时，求其载重后的总质量。 解：当 时，即 ，解得 （kg）。答：载重后总质量为 。 教师归纳：利用等量关系“v·m=k”建立反比例函数模型；已知一个变量求另一个变量，代入解析式即可。实际问题要注意检验答案是否符合实际意义（如质量、速度均为正数）。 设 ，由 得 ，代回求 或 以贴近生活的机器狗速度为情境，完整呈现“设—代—解—答”的建模流程，让学生经历由实际问题抽象出函数模型、应用模型求解的过程，突破本节重点。 三、典例精讲 （例1） 【典例精讲】 例1. 某市煤气公司要在地下修建一个容积为 的圆柱形煤气储存室。 (1) 储存室的底面积 S（单位：m²）与其深度 d（单位：m）有怎样的函数关系？ (2) 公司决定把储存室的底面积定为 S=500 m²，施工队施工时应向下掘进多深？ (3) 当施工队按(2)中的计划掘进到地下 15m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15m。相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？ 解法分析 (1) 根据圆柱体的体积公式，得 。 ∴ S 关于 d 的函数解析式为 ，d 为储存室的深度（d＞0）。 (2) 把 代入 ，得 ，解得 。 答：如果把储存室的底面积定为 ，施工时应向地下掘进 20m 深。 (3) 根据题意，把 代入 ，得 ，解得 （m²）。 答：当储存室深度为 15m 时，底面积应改为 。 方法点拨：利用反比例函数解决实际问题，首先要抓住实际问题中的等量关系（如圆柱体积=底面积×深度、路程=速度×时间等），把实际问题转化为函数问题。经常遇到两种情形：已知自变量的取值，求对应的函数值；或已知函数值的取值，求对应的自变量取值。 依据圆柱体积公式建立反比例函数模型，代入已知量求另一量，交流检验答案是否符合实际意义。 以教材例1为依托，示范“抓住等量关系→建立反比例函数模型→代值求解”的完整思路，规范解题步骤，落实本节重点。 四、典例精讲 （例2） 【典例精讲·例2】卸货时间与效率 例2. 码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间。 (1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度 v（单位：吨/天）与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系？ (2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 解： (1) 设轮船上的货物总量为 k 吨。根据已知条件得 。 所以 v 关于 t 的函数解析式为 （t＞0）。 (2) 把 代入 ，得 （吨/天）。 从结果看，如果全部货物恰好用 5 天卸载完，则平均每天卸载 48 吨。观察 可知，t 越小，v 越大。这样若货物不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨。 方法点拨：当题目中出现“至少”“超过”“不多于”等关键词时，既可以利用不等式解决问题，也可以利用反比例函数的增减性解决问题。 (设计意图：通过典例讲解鼓励学生在实践中探索，培养实验探究与问题解决能力，为后续学习打下坚实基础。) 抓住“货物总量=装载速度×天数”的等量关系，用反比例函数式表示v与t的关系，并利用增减性判断“每天至少卸货量”。 以卸货问题为例，训练用反比例函数式结合增减性或不等式求解“至少、不多于”类问题，体会函数性质在实际问题中的作用。 五、针对训练 【针对训练】杠杆与用电 1. 如图，小伟想要用撬棍撬动一块大石头。已知阻力为 1200N，阻力臂长为 0.5m（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受重力略去不计）。 (1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系？ (2) 当动力臂长为 1.5m 时，撬动石头至少需要多大的力？ (3) 若想使动力 F 不超过题(2)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ (4) 小伟若想使动力不超过 300N，在动力臂最大为 1.8m 的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由。 解：(1) 由题意可得 ，则 。 即 F 关于 l 的函数表达式为 。 (2) 当 时，代入得 （N）。故当动力臂长为 1.5m 时，撬动石头至少需要 400N 的力。 (3) 当 时，由 得 （m）。 ∵ 。∴ 若想使动力 F 不超过题(2)中所用力的一半，动力臂至少要加长 1.5m。 (4) 他不能撬动这块石头，理由如下：∵ ，则 。 当 时，，解得 。 ∵ 。∴ 他不能撬动这块石头。 2. 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220Ω。已知电压为 220V，这个用电器的电路图如图所示。 (1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系？ (2) 这个用电器功率的范围是多少？ 解：(1) 根据电学知识，当 时，得 ，即 。 (2) 根据反比例函数性质，电阻越大，功率越小。把电阻的最小值代入解析式，得到功率最大值 （W）； 把电阻的最大值代入解析式，得到功率最小值 （W）。 ∴ 用电器功率的范围为 。 3. 为了预防流感，某中学用药熏消毒法对教室进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间 x（分）成正比例；药物释放完毕后，y 与 x 成反比例，整个过程中 y 关于 x 的函数图象如图所示。据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.45 毫克以下时，学生方可进入教室，则从药物释放完毕到学生能够进入教室，至少要经过多少小时？ 解：设反比例函数解析式为 （k≠0）。 将图象上点 (12，9) 代入得：， ∴反比例函数解析式为 。 当 时，，解得 （分），即 4 小时； ∴ （小时）。 答：从药物释放完毕到学生能够进入教室，至少要经过 3.8 小时。 分组完成杠杆平衡中的反比例建模、用电器的功率范围计算和药熏消毒的分段函数图象问题，交流求取值范围的方法。 通过贴近生活的杠杆、用电、消毒问题，训练从实际问题抽象反比例函数并求值、求取值范围的能力，体现学科融合与学以致用。 六、拓展探究 【拓展探究】生活中的利润问题 1. 某商场出售一批进价为 2 元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价 x（元）与日销售量 y（个）之间有如下关系： (1) 请你认真分析表中数据，从一次函数、反比例函数和其他函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明理由，并求出它的解析式； (2) 设经营此贺卡的销售利润为 W 元，试求出 W（元）与 x（元）之间的函数关系式。若物价局规定此贺卡售价最高不能超过 10 元/个，当销售单价 x 定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 解：(1) 反比例函数能表示其变化规律。因为表中每对 x、y 的值的乘积均为 60，是一定的。其解析式为 （表中 x 取 3、4、5、6 时 y 分别取 20、15、12、10）。 (2) ∵ ，即 。 又 ∵ ，要使 W 最大，则 应取最小，即 x 取最大， ∴ 当 ，W 最大。故当日销售单价定为 10 元时，才能获得最大日销售利润。 方法点拨：判断函数类型可检验数据乘积是否为定值；求最值问题要结合自变量的取值范围，利用反比例函数随自变量增大而减小的性质来判断。 分析表格数据判断函数类型，建立利润函数关系式，结合自变量范围求最大利润，交流最值判断依据。 通过利润最值的探究，训练综合运用反比例函数性质与自变量取值范围解决实际最值问题的能力，提升思维深度。 七、当堂巩固 【当堂巩固】学以致用 1. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距 y 和物高不变时，火焰的像高（单位：cm）是关于物距 x（单位：cm）的反比例函数。当 x=6 时，y=2；若火焰的像高为 3cm，则小孔到蜡烛的距离为（　C　） A．2cm　　B．3cm　　C．4cm　　D．12cm 解析：由反比例函数设 ，代入 得 ，故 。当 时，，选 C。 2. 当汽车的功率 P（kW）一定时，汽车的行驶速度 v（m/s）与汽车所受阻力 F（N）之间成反比例函数关系，其图象如图所示。当汽车所受阻力低于 600N 时，汽车会有安全隐患，为保证汽车行驶安全，汽车的行驶速度应______（不大于/不小于）30m/s。 解析：由图象知 ，取点 (20，900) 得 。当 时，（m/s）。阻力越低，所需速度越大，故为保证安全，速度应不大于 30m/s。 3. 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走。 (1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？ (3) 在(2)的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 解：(1) ∵ ，∴ 。 (2) ，代入解析式得 （天）。 (3) 运了 8 天后剩余垃圾为 ；剩下任务不超过 6 天完成，则每天至少运 ；需拖拉机数 （辆），则至少增加 辆。 4. 我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系。现有某学生利用一个最大电阻为 200 欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示。当电阻 R 为 6 欧姆时，电流 I 为 24 安培。 (1) 求电流 I（安培）关于电阻 R（欧姆）的函数解析式； (2) 若 ，求电流 I 的变化范围。 解：(1) 设函数解析式为 （k≠0）。 ∵ 当 时 ，，解得 。 ∴ 电流 I 与电阻 R 之间的表达式为 。 (2) ∵ ，R＞0，图象在第一象限，I 随 R 的增大而减小。 把电阻最小值 代入，得电流最大值 （A）；把电阻最大值 代入，得电流最小值 （A）。 ∴ 电流变化范围为 。 5. 一辆汽车往返于甲、乙两地之间。如果汽车以 50 千米/时的平均速度从甲地出发，则经过 6 小时可达到乙地。 (1) 甲、乙两地相距多少千米？ (2) 如果汽车把速度提高到 v（千米/时），那么从甲地到乙地所用时间 t（小时）将怎样变化？ (3) 因某种原因，这辆汽车需在 5 小时内从乙地到甲地，则此汽车的平均速度至少应是多少？ (4) 已知汽车的平均速度最大可达 80 千米/时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间？ (5) 若甲、乙两地限速为 75 千米/时，如果一辆汽车早上 8 点从甲地出发，什么时候回到甲地就说明该车有超速违规的行为？（路上的速度均保持不变，其余时间忽略不计） 解：(1) 由题意可得甲、乙两地相距 千米。 (2) 路程不变，当速度提高后，所需时间将会减少，即 。 (3) 当 时，则 ，故此汽车的平均速度至少应是 60 千米/时。 (4) 当 时，则 ，故从甲地到乙地最快需要 3.75 个小时。 (5) 设 x 小时后返回甲地超速，则 ， ∴ ，即 8+4+4=16，故 16 点前回到甲地就说明该车有超速违规的行为。 独立完成小孔成像、汽车功率、垃圾清运、电流电阻、往返行程等实际问题，小组互评答案与步骤。 通过多类型当堂检测，全面巩固反比例函数在实际问题中的建模与求解，检验本节课目标的达成情况。 八、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 今天我们学习了哪些知识？ 1. 用反比例函数解决实际问题的步骤：审题找出等量关系（定积）→ 设反比例函数解析式并求出解析式 → 代入求解 → 检验是否符合实际意义并作答； 2. 已知自变量求函数值，或已知函数值求自变量，本质都是代入解析式求解； 3. 遇到“至少、不超过”等问题，可用反比例函数增减性或不等式求解； 4. 函数问题的实际意义：速度×时间=路程、电压固定时电流×电阻=电压、圆柱体积=底面积×深度 等定积关系都可建模为反比例函数。 （知识结构图完整呈现“实际问题 → 求解析式（待定系数法）→ 根据图象或性质解决问题（知自变量求函数值、知函数值求自变量）”，可据此系统回顾。） 结合知识结构图，回顾用反比例函数解决实际问题的步骤与方法，梳理常见定积模型。 以知识结构图引导学生系统回顾建模与求解的全过程，形成清晰知识脉络，加深理解与掌握。 九、布置作业 【布置作业】 必做：习题 27.3 及当堂巩固中的基础题； 选做：拓展探究题与当堂综合题； 实践：任选两个成反比例关系的实际量（如固定路程的速度与时间、固定电压的电流与电阻），写出其反比例函数解析式并描述图象特征。 记录分层作业内容。 分层作业，必做题巩固基础，选做题拓展提升，实践题联系生活，深化理解。 板书设计 27.3 实际问题与反比例函数 一、建模三步 1. 找等量关系（定积） 2. 设解析式、求k 3. 代入求解、检验作答 二、常见定积模型 v·t=s（路程定） S·d=V（体积定） I·R=U（电压定） F·l=1200×0.5（杠杆） 三、求范围的方法 反比例函数增减性 或不等式求解 板演：例1、例2 解题过程 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $