27.3 实际问题与反比例函数 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

课题

27.3 实际问题与反比例函数（第1课时）

学科

数学

年级

九年级

教材版本

人教版（2024）

课时

第1课时

课型

新授课

教学目标

（1）理解反比例函数在实际问题中的意义，能准确找出实际问题中的反比例关系，会用反比例函数表达式 （k≠0）表示实际问题的变量关系，并能根据反比例函数的性质解决实际问题；

（2）通过对实际问题的分析、探究，培养观察、分析、归纳和概括的能力，提高从实际问题中抽象出数学模型的能力，体会函数思想与方程思想的应用；

（3）通过解决实际问题，感受数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣，培养勇于探索与创新的精神。

教学重点

准确找出实际问题中的反比例函数关系，会用反比例函数表达式表示变量关系，并根据反比例函数的性质解决实际问题。

教学难点

从实际问题中抽象出反比例函数模型，并灵活运用反比例函数的增减性等性质求值、求范围、优化方案。

教学方法

问题情境法、讲练结合、数形结合、小组合作

教学准备

多媒体课件、直尺、方格纸

课后练习

必做：针对训练基础题与当堂巩固；选做：拓展探究题；实践：用反比例函数分析身边两个成反比例关系的生活实例。

板书设计

见板书设计部分

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

一、情景导入

【情景导入】科技点亮生活

教师展示2025年蛇年春晚《秧BOT》机器人扭秧歌、转手绢的表演画面，介绍杭州宇树科技的Unitree H1机器人，提问：智能机器人已经走进我们的生活。很多生活与生产问题中，两个量之间都隐藏着函数关系。你能举出两个量成反比例关系的例子吗？

观看机器人表演画面，举例说出生活中成反比例关系的两个量（路程与时间、总价与单价等），明确学习目标。

以春晚机器人等真实情境激趣，从生活实例感知反比例关系，帮助学生建

学生举例：路程一定时，速度与时间成反比例；总价一定时，单价与数量成反比例；面积一定时，长方形的长与宽成反比例。教师顺势引入课题：今天我们就学习用反比例函数解决实际问题。

(设计意图：通过贴近生活的实例激发学习兴趣，感受科技创新赋能民生改善，自然引出“用反比例函数解决实际问题”的研究方向。)

立新旧知识的联系，自然导入课题。

二、新知探究

【新知探究】机器狗的速度问题

问题：某款机器狗的最快移动速度 v 是其载重后总质量 m 的反比例函数。已知载重后总质量 时，它的最快移动速度 。

问1：请求出它的反比例函数解析式。

解：设解析式为 。由题意得 ，即 。

∴反比例函数解析式为 。

问2：当其载重后总质量 m=40kg 时，求它的最快移动速度。

解：当 时，（m/s）。答：此时最快移动速度为 。

问3：当其最快移动速度为 20 m/s 时，求其载重后的总质量。

解：当 时，即 ，解得 （kg）。答：载重后总质量为 。

教师归纳：利用等量关系“v·m=k”建立反比例函数模型；已知一个变量求另一个变量，代入解析式即可。实际问题要注意检验答案是否符合实际意义（如质量、速度均为正数）。

设 ，由 得 ，代回求 或

以贴近生活的机器狗速度为情境，完整呈现“设—代—解—答”的建模流程，让学生经历由实际问题抽象出函数模型、应用模型求解的过程，突破本节重点。

三、典例精讲
（例1）

【典例精讲】

例1. 某市煤气公司要在地下修建一个容积为 的圆柱形煤气储存室。

(1) 储存室的底面积 S（单位：m²）与其深度 d（单位：m）有怎样的函数关系？

(2) 公司决定把储存室的底面积定为 S=500 m²，施工队施工时应向下掘进多深？

(3) 当施工队按(2)中的计划掘进到地下 15m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15m。相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？

解法分析

(1) 根据圆柱体的体积公式，得 。

∴ S 关于 d 的函数解析式为 ，d 为储存室的深度（d＞0）。

(2) 把 代入 ，得 ，解得 。

答：如果把储存室的底面积定为 ，施工时应向地下掘进 20m 深。

(3) 根据题意，把 代入 ，得 ，解得 （m²）。

答：当储存室深度为 15m 时，底面积应改为 。

方法点拨：利用反比例函数解决实际问题，首先要抓住实际问题中的等量关系（如圆柱体积=底面积×深度、路程=速度×时间等），把实际问题转化为函数问题。经常遇到两种情形：已知自变量的取值，求对应的函数值；或已知函数值的取值，求对应的自变量取值。

依据圆柱体积公式建立反比例函数模型，代入已知量求另一量，交流检验答案是否符合实际意义。

以教材例1为依托，示范“抓住等量关系→建立反比例函数模型→代值求解”的完整思路，规范解题步骤，落实本节重点。

四、典例精

【典例精讲·例2】卸货时间与效率

例2. 码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间。

(1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度 v（单位：吨/天）与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系？

抓住“货物总量=装载速度×天数”的等量关系，用反比例函数式表示v与t的关系，并利用增减性判断“每天至少卸货量”。

以卸货问题为例，训练用反比例函数式结合增减性或不