27.2 反比例函数的图象和性质（讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦反比例函数的图象和性质，系统梳理描点法画图象的步骤、双曲线特征，结合k的正负分析象限分布与增减性，深入讲解k的几何意义及平移型衍生函数，构建从基础绘制到综合应用的学习支架。 资料通过"随学随练+题型分类"设计，强化易错点（如增减性的象限限定），结合k的几何意义培养几何直观（数学思维），综合题型（一次函数与反比例函数综合）提升模型意识（数学语言），课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的图象和性质 课标要点 1. 会用描点法画反比例函数图象，认识双曲线的图象特征，能根据k的正负判断双曲线所在象限。 2. 掌握反比例函数的增减性，理解 “在每个象限内” 这一限定条件，能比较函数值的大小。 3. 理解反比例函数中k的几何意义，会求过双曲线上点作坐标轴垂线形成的矩形、三角形面积；能利用图象解决简单的函数不等式问题。 4. 体会数形结合思想，能结合图象分析自变量、函数值的对应关系。 学习重难点 重点： 1. 画反比例函数图象，掌握图象形状、所在象限与k符号的关系。 2. 反比例函数的增减性，利用性质比较函数值大小。 3. 反比例函数k的几何意义，相关面积计算。 难点： 1. 理解增减性必须强调 “在每个象限内”，不能跨象限直接比较函数值。 2. 利用k的几何意义处理变式面积题型。 3. 结合函数图象，求解简单的不等式，以及反比例与一次函数综合读图问题。 知识点 画反比例函数的图象 一、画反比例函数的图象(描点法) 反比例函数解析式：y=(k≠0) 画图步骤 1.列表 x不能取0,要选取正负成对的数值； 注意：不要只取正数，否则画不出完整两支双曲线。 2.描点 在平面直角坐标系中，把表格每一组(x,y)对应点描出来。 3.连线 分别把横坐标为正、横坐标为负的点，用平滑的曲线连接； 两支曲线分开，不能连在一起；曲线无限靠近坐标轴，但永远不和坐标轴相交。 图象基本特征 1.图象名称：双曲线，有两个分支。 2.与坐标轴关系：不与x轴、y轴相交。 原因：解析式中x≠0，y≠0，x、y都不可能等于0，只能无限靠近坐标轴。 特别提醒 ①列表x不能取 0，正负值都要选取； ②连线要用平滑曲线，不能画折线；两支分支不能相连； ③双曲线只是无限贴近坐标轴，没有交点。 随学随练 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）在如下图所示的平面直角坐标系中画出函数与的图象． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 3．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：______，______； x … 0 2 3 … y … m 0 n 2 … (3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． (4)结合函数的图象，解决问题： ①方程的解为：______； ②当函数值时，x的取值范围是：______． 知识点 反比例函数的性质 一、图象位置(由比例系数k的正负决定) 1.当k>0时，双曲线的两个分支分别在第一象限、第三象限。 2.当k<0时，双曲线的两个分支分别在第二象限、第四象限。 二、函数增减性(本小节最大易错点) 1.k>0：在每个象限内，y随c的增大而减小。 2.k<0：在每个象限内，y随c的增大而增大。 比较函数值大小两种方法 方法1：同一象限，直接用增减性； 方法2：跨象限，直接看所在象限：一、二象限y>0；三、四象限y<0，正数大于负数。 特别提醒 1）图象位置只由k的正负决定，与x取值无关；k≠0，图象永远不会落在坐标轴上。 2）描述增减性，“在每个象限内”这句话不能省略；跨象限的点，不能直接使用增减性比较函数值大小。 随学随练 1．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．如果当时，反比例函数的函数值随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 3．（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数的图象经过点，且，则下列说法错误的是（     ） A． B．图象位于二、四象限 C．当时，y随x增大而增大 D．点也在该图象上 4．（2026·山西长治·三模）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江·模拟预测）已知点，，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点 k的几何意义 k设点P(x，y)是反比例函数图象上任意一点。 过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别是M、N。 1.得到矩形PMON：矩形面积S矩形=|k| 2.连接原点OP，得到直角三角形PMO(或PNO)：三角形面积 特别提醒 面积一定是正数，必须带上绝对值；已知面积求k，求出|k|后，需要结合图象所在象限确定k的正负。 随学随练 1．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 2．（2026·广东深圳·三模）如图，点B在反比例函数 的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数 于点．连接，．若的面积为，则的值为____． 3．（25-26九年级·上海黄浦·自主招生）如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 拓展 分式变形得到平移型反比例衍生函数（探究新函数图象与性质） 题型特点：给出陌生分式函数，分母只含x,通过分离常数转化为基础反比例函数结合描点画图、图象性质、函数与方程不等式关系解题，注意。 步骤1：代数式变形(分离常数，转化熟悉模型) 对函数解析式拆分分式，化成(k、c为常数，形式。 1.拆分分子，把分子拆成分母的倍数加上常数； 2.约分整理，拆成反比例项加上常数c; 3.确定隐含条件： 目的：把陌生新函数转化课本学过的反比例函数，利用反比例知识分析新函数。 步骤2:完成表格，计算函数值 两种计算方法任选其一： 1.直接把表格的x代入原始函数表达式，计算y; 2.使用变形后的式子：同一个x,新函数值的函数值+c。 注意：x不能取0,表格不会出现x=0,计算留意符号。 步骤3:描点画出函数图象(描点法) 1.根据表格坐标(x,y),在坐标系描点； 2.分开连线：x<0的点连成一支平滑曲线；x>0的点连成另一支平滑曲线； 3.x=0位置断开，两支曲线不能相连，不能穿过y轴；曲线无限靠近y轴。 步骤4:分析函数图象性质 (1)平移规律 由反比例整体上下平移得到： ①c>0:向上平移c个单位；②c<0:向下平移|c|个单位。 (2)增减性分析 新函数增减性和原反比例保持一致，必须分范围描述： ①在x<0范围内，判断y随x增大如何变化；②在x>0范围内，判断y随x增大如何变化。 步骤5:函数、方程、不等式数形结合分析 设探究函数记为y1,另一个函数记为y2(常见为一次函数) 1.方程方程的解就是两个函数图象交点的横坐标；交点的数量就是方程实数解的个数。 2.不等式 ①找出两个函数所有交点的横坐标； ②观察图象，找出在上方(或下方)对应的x取值； ③一定要排除x=0,原函数x=0无定义； 步骤6:检验结果合理性 1.自变量不能等于0; 2.不等式解集要分段书写，不能忽略x=0把左右两段合并； 3.方程计算结果如果出现x=0,属于增根，必须舍去。 活学活用 1．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．因为 ，所以我们对函数进行探究． … 1 2 3 4 … … 1 2 4 … … 3 5 … (1)与的几组对应值如表：其中 ， ． (2)在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，画出函数的图象． (3)根据所画图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）； ②函数的图象是由的图象向 平移 个单位长度得到的． (4)进一步探究函数与的图象，结合函数、不等式、方程三者之间的关系，解决下列问题． ①方程有 个解； ②不等式的解集是 ． 2．（2026·河南鹤壁·三模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小亮根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整： (1)下表是与的几组对应值． …… 0 2 3 4 5 …… …… …… 直接写出的值，______； (2)在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；    (3)根据画出的函数图象，发现下列特征： ①该函数的图象与直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线______越来越靠近而永不相交． ②请再写出此函数的一条性质：______． (4)已知不等式的解集为或，则的值为______． 3．（25-26八年级下·北京昌平·期末）数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________： (2)下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： (4)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 题型一 一次函数与反比例函数图象综合 ▌例1（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（2025·安徽亳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26九年级上·湖南永州·期中）函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   题型二 画反比例函数图象 ▌例2 画反比例函数的图象． (1)列表（请填空）； x 1 2 3 4 y (2)描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）； (3)点在的图象上吗？为什么？ ▌对点练2-1．（25-26八年级下·河南周口·期中）下面表格信息反映的是反比例函数的几组自变量与对应的函数值． (1)直接写出各字母表示的数值：_______；______；______； (2)根据表中各数值和（1）中的结果，在平面直角坐标系中通过描点、连线，画出反比例函数的图象； (3)已知直线经过与两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，并直接写出当时自变量x的取值范围． ▌对点练2-2．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下面表格信息反映的是反比例函数的几组自变量与对应的函数值． 1 2 3 2 6 (1)直接写出各字母表示的数值： ； ； ； (2)根据表中各数值和（1）中的结果，在平面直角坐标系中通过描点连线，画出反比例函数的图象； (3)已知直线经过与两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，指出当时自变量的取值范围． 题型三 已知反比例函数的图象求解析式 解题贴士 1.设解析式设反比例函数解析式为 2.找点：从图象上读出一个完整坐标的点(x,y)(点在双曲线上)。 3.求k：把点(x，y)代入，利用，算出k。 4.写解析式：把k代回所设式子，写出最终解析式。 注意/易错点 1.图象如果给出象限，求出k|后，要结合图象所在象限确定k正负，不要符号出错。 2.必须使用图象上双曲线上的点，坐标轴上的点不能用(反比例函数x≠0，。 3.实际问题图象只有第一象限一支，依然用图象上点求k，记得注明自变量。 ▌例3 （25-26九年级上·湖南益阳·阶段检测）已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． ▌对点练3-1．（25-26九年级上·云南德宏·阶段检测）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求出这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应不低于多少？ ▌对点练3-2．（2025·全国·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象都经过点． (1)求点A的坐标及反比例函数的解析式； (2)结合图象写出在第一象限内时的x的取值范围． 题型四 由反比例函数的对称性求点的坐标 解题贴士 反比例函数图象是双曲线，两大核心对称性： 1.关于原点中心对称：若点A(a，b)在双曲线上，则它关于原点的对称点为(-a，-b)，也在双曲线上。 2.关于直线、直线轴对称 关于直线对称：点A(a，b)对称点(b，a) 关于直线y=x对称：点A(a，b)对称点(-b，-a) 解题步骤 1.确定已知点坐标，看清题目是哪一种对称(原点、。 2.套用对应对称坐标变换规则，写出对称点坐标。 3.验证(可选)：点在双曲线上，满足，代入检验横纵坐标乘积等于k。 ▌例4 （2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． ▌对点练4-1．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-2．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知正比例函数（为常数）与反比例函数的图象交于点、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型五 已知双曲线的分布求参数的取值范围 解题贴士 反比例函数 ·，图象在第一、三象限 ·，图象在第二、四象限 核心步骤 1.根据双曲线所在象限，列出关于参数的不等式： ①图象在一、三象限→k>0；②图象在二、四象限→k<0 2.解这个不等式，求出参数范围。 3.勿忘隐含条件：反比例函数要求比例系数k≠0，结合题意取舍。 ▌例5（2026·云南玉溪·二模）已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 ▌对点练5-1．（25-26八年级下·上海普陀·期末）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． ▌对点练5-2．（2026九年级下·江苏·专题练习）某学习小组用绘图软件绘制出了函数的图象，结合所学函数的知识，下列对大小的判断，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型六 反比例函数的性质综合（选择） ▌例6（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 ▌对点练6-1．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 ▌对点练6-2．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 解题贴士 反比例函数 ·k>0：在每个象限内，y随x的增大而减小 ·k<0：在每个象限内，y随x的增大而增大 解题步骤 1.根据题目给出的增减性，列出关于含参系数的不等式： ①y随x增大而减小→k>0 ②y随x增大而增大→k<0 2.解不等式，求出参数范围。 3.检验隐含条件：反比例函数比例系数k≠0(不等式已经满足，做题仍要留意)。 ▌例7 （25-26八年级下·河南周口·期末）已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． ▌对点练7-1．（2026·山东德州·中考真题）在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 ▌对点练7-2．（25-26八年级下·河南新乡·期中）已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型八 比较反比例函数值的大小 ▌例8 若点，在双曲线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． ▌对点练8-1．（2026·江西南昌·模拟预测）点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． ▌对点练8-2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 题型九 已知比例系数求特殊图形的面积 解题贴士 核心：k的几何意义 双曲线上任意一点向x轴，y轴作垂，与坐标轴围成矩形面积： 与原点构成直角三角形面积： 通用解题步骤 1.明确已知条件：读出k的值，先算|k|(面积一定是非负数，必须取绝对值)。 2.识别基础模型 ①点向两坐标轴作垂线，矩形：面积直接等于|k|; ②点向坐标轴作垂线，顶点在原点的直角三角形：面积等于 3.遇到复杂图形(梯形、组合图形) 把图形拆成多个基础三角形、矩形；或者用割补法，转化成标准k几何模型再计算。 4.算出最终面积。 ▌例9（2026·云南玉溪·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 ▌对点练9-1．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 ▌对点练9-2．（25-26九年级下·福建·阶段检测）如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点都在反比例函数的图象上，且边经过原点．则平行四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 题型十 根据图象的面积求比例系数 ▌例10（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． ▌对点练10-1．（2026·浙江宁波·模拟预测）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． ▌对点练10-2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 题型十一 一次函数与反比例函数的交点解不等式 解题贴士 不等式形式或几何含义： ：一次函数图像在反比例函数图像上方对应的x取值 ：一次函数国像在反比例函数图像下方对应的z取值 通用步骤 1.找分界点横坐标 求出两个图像交点的横坐标；同时必须加上反比例间断点x =0(此处函数无意义)。把所有的临界值从小到大排序，将x轴分成若干小段。 2.分段观察图像位置 在每一段内，看直线和双曲线谁在上、谁在下。 ▌例11（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． ▌对点练11-1．（25-26八年级下·河南周口·期末）一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 ▌对点练11-2．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）函数和的图象如图所示，当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 题型十二 反比例函数解答题综合（基础） ▌例12（25-26八年级下·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数与直线l交于点C，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出的x的取值范围． ▌对点练12-1．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且． (1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式； (2)求点B的坐标； (3)观察图象，直接写出时，x的取值范围． ▌对点练12-2．（2026·湖北·模拟预测）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，过点B作轴于点C，点是该反比例函数图象上的一点，且， (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出不等式：的解集． 题型十三 反比例函数与一次函数综合之面积问题 ▌例13（2026·四川自贡·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，其一边长为4，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上，函数（，k为常数，）的图象与交于点F，与矩形的对角线交于点D，与交于点E，连接，已知点D的坐标为． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积． ▌对点练13-1．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． ▌对点练13-2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． ▌对点练13-3．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，并延长交反比例函数图象于点C，直线交x轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P是x轴上一点，当时求点P的坐标． 题型十四 反比例函数与一次函数综合之存在性问题 ▌例14（2026·四川眉山·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求k的值及点B的坐标； (2)当x ______ 时，； (3)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形，且？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． ▌对点练14-1．（25-26九年级下·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点． (1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P是反比例函数右支下方x轴上的动点，且为等腰三角形，求出所有满足条件的P点． ▌对点练14-2．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． ▌对点练14-3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 题型十五 反比例函数与一次函数综合之最值问题 ▌例15（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)结合图象直接写出关于x的不等式的解集； (3)直线上有一点M，其横坐标为，在y轴上作一点Q，使的值最小，此时最小值为_______． ▌对点练15-1．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． ▌对点练15-2．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点D，交边于点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上找一点P使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积． 题型十六 反比例函数与一次函数综合之其他问题 ▌例16（25-26八年级下·重庆万州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴分别交于、两点，与反比例函数在第二象限相交于点，直线：与反比例函数在第二象限相交于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，若点是线段上一动点，当的面积为6时，求点的坐标； (3)如图3，若点是线段上一动点，连接，当时，求点的坐标． ▌对点练16-1．（25-26八年级下·福建漳州·期末）【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 (1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值． ▌对点练16-2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 基础通关 1．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点 3．y关于x的函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·山东烟台·期末）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（ ）米． ． A．100 B．110 C．115 D．120 7．（2026·湖南长沙·中考真题）在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 8．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． 9．（2026·山东威海·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 10．（2026·浙江温州·二模）如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点A，点B，连接．若轴，则的面积是______． 11．（25-26八年级下·四川遂宁·期末）如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 12．如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 13．如图，已知直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，的值； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围． 14．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． (1)根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； (2)在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； (3)观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； (4)函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 素养提升 1．（25-26九年级上·河北邢台·期末）已知点，，若反比例函数与线段有公共点时，的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 3．（2026九年级·贵州黔西南·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作y轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江温州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 5．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点的坐标分别为，，，点在点的右侧．动点从点出发，沿运动到点，反比例函数的图象经过点．则在点的运动过程中，图象经过两次的点是（） A． B． C． D． 6．（2026·浙江绍兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过正方形顶点C，若点、，则_____． 7．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，是反比例函数 图象上一点，过点作轴于点，点在轴上，的面积为．已知，点在该反比例函数的图象上，点是轴上一动点，若最小，点的坐标为__________． 8．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限内的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和，则有以下的结论： ①若点坐标为，点坐标为，则； ②阴影部分的面积为； ③当时，； ④若四边形是菱形，则两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称． 其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）． 9．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 10．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，已知直线：与轴分别交于点，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值，并求点的坐标； (2)若点为轴正半轴上一点，，求点的坐标，将它标在坐标系中，则点关于点的对称点坐标是 ； (3)约定：将（）中内部（不含边界）横、纵坐标都是整数的点称为“要点”．若曲线使得这些“要点”分布在它的两侧，且每侧个数相等，直接写出符合条件的的整数值． 11．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 迁移创新 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，如点，，，……都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个． (1)若点是反比例函数（n为常数，）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式； (2)函数，（k，n为常数）的图象上存在相同的“梦之点”，请求出“梦之点”的坐标和n的值； (3)若二次函数（a是常数且不为0）的图象上存在两个“梦之点”，，且，试求二次函数的顶点坐标． 2．（25-26九年级下·山东济南·开学考试）如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的图象和性质 课标要点 1. 会用描点法画反比例函数图象，认识双曲线的图象特征，能根据k的正负判断双曲线所在象限。 2. 掌握反比例函数的增减性，理解 “在每个象限内” 这一限定条件，能比较函数值的大小。 3. 理解反比例函数中k的几何意义，会求过双曲线上点作坐标轴垂线形成的矩形、三角形面积；能利用图象解决简单的函数不等式问题。 4. 体会数形结合思想，能结合图象分析自变量、函数值的对应关系。 学习重难点 重点： 1. 画反比例函数图象，掌握图象形状、所在象限与k符号的关系。 2. 反比例函数的增减性，利用性质比较函数值大小。 3. 反比例函数k的几何意义，相关面积计算。 难点： 1. 理解增减性必须强调 “在每个象限内”，不能跨象限直接比较函数值。 2. 利用k的几何意义处理变式面积题型。 3. 结合函数图象，求解简单的不等式，以及反比例与一次函数综合读图问题。 知识点 画反比例函数的图象 一、画反比例函数的图象(描点法) 反比例函数解析式：y=(k≠0) 画图步骤 1.列表 x不能取0,要选取正负成对的数值； 注意：不要只取正数，否则画不出完整两支双曲线。 2.描点 在平面直角坐标系中，把表格每一组(x,y)对应点描出来。 3.连线 分别把横坐标为正、横坐标为负的点，用平滑的曲线连接； 两支曲线分开，不能连在一起；曲线无限靠近坐标轴，但永远不和坐标轴相交。 图象基本特征 1.图象名称：双曲线，有两个分支。 2.与坐标轴关系：不与x轴、y轴相交。 原因：解析式中x≠0，y≠0，x、y都不可能等于0，只能无限靠近坐标轴。 特别提醒 ①列表x不能取 0，正负值都要选取； ②连线要用平滑曲线，不能画折线；两支分支不能相连； ③双曲线只是无限贴近坐标轴，没有交点。 随学随练 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）在如下图所示的平面直角坐标系中画出函数与的图象． 【答案】 【分析】根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可. 【详解】解：列表 描点，连线，如图即为两函数图象； 【点睛】本题侧重考查反比例函数的图象，通过列表，描点，连线画图是解题的关键． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 【答案】 解： 1 2 4 2 1 【分析】本题考查了反比例函数图象的画法，解题的关键是准确计算函数值、规范进行描点和连线操作． 先将的值代入反比例函数求出对应的值完成表格，再依据表格中的坐标进行描点、连线，画出函数图象 【详解】略 3．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：______，______； x … 0 2 3 … y … m 0 n 2 … (3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． (4)结合函数的图象，解决问题： ①方程的解为：______； ②当函数值时，x的取值范围是：______． 【答案】(1) (2)，3 (3) 如图所示，即为所求； (4)①，；② 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确理解题意并掌握一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件进行求解即可； （2）分别把，代入到函数解析式中求出对应的函数值即可得到答案； （3）先描点，再连线即可； （4）画出对应的函数图象，然后利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵要有意义， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，3； （3）解：略． （4）解：①由下图函数图象可知， 直线与函数交于点和， ∴方程的解为， 故答案为：； ②由下图函数图象可知当时，函数的图象在直线的上方， ∴当时，， 故答案为：． 知识点 反比例函数的性质 一、图象位置(由比例系数k的正负决定) 1.当k>0时，双曲线的两个分支分别在第一象限、第三象限。 2.当k<0时，双曲线的两个分支分别在第二象限、第四象限。 二、函数增减性(本小节最大易错点) 1.k>0：在每个象限内，y随c的增大而减小。 2.k<0：在每个象限内，y随c的增大而增大。 比较函数值大小两种方法 方法1：同一象限，直接用增减性； 方法2：跨象限，直接看所在象限：一、二象限y>0；三、四象限y<0，正数大于负数。 特别提醒 1）图象位置只由k的正负决定，与x取值无关；k≠0，图象永远不会落在坐标轴上。 2）描述增减性，“在每个象限内”这句话不能省略；跨象限的点，不能直接使用增减性比较函数值大小。 随学随练 1．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，熟记反比例函数图像与性质，利用数形结合的思想是解决问题的关键． 由图象推出，再取时，推出的大小，即可解题． 【详解】解：由图知，在第四象限，在第三象限， ， 如图，当时，， ； 故选：B． 2．如果当时，反比例函数的函数值随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象性质：与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①的图象在一、二、三象限；②的图象在一、三、四象限；③的图象在一、二、四象限；④的图象在二、三、四象限．反比例函数的图象性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．由反比例函数的性质可判断k的符号，再根据一次函数的性质即可判断一次函数的图象经过的象限． 【详解】解：由题意得：， ，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：B． 3．（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数的图象经过点，且，则下列说法错误的是（     ） A． B．图象位于二、四象限 C．当时，y随x增大而增大 D．点也在该图象上 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质与点和反比例函数图象的关系，先根据已知条件求出的值，再结合反比例函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：∵ 反比例函数经过点， ∴ 将点代入得 ， 解得， ∵ ，∴ ，A选项说法正确，不符合要求； ∵ ，∴ 反比例函数图象位于第二、四象限，B选项说法正确，不符合要求； ∵ 时，反比例函数在每个象限内随增大而增大，当时，图象在第四象限，满足随增大而增大，∴ C选项说法正确，不符合要求； ∵ 对点，计算横纵坐标乘积得，不满足反比例函数的关系，点不在图象上，∴ D选项说法错误，符合要求． 4．（2026·山西长治·三模）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定反比例函数的比例系数符号，再根据x的取值范围判断两点所在象限，结合反比例函数的增减性即可比较与的大小． 【详解】解：将反比例函数整理为的形式，可得． ∵， ∴反比例函数图象在第二，四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． 又∵， ∴点，都位于第四象限，根据增减性可得． 5．（2026·浙江·模拟预测）已知点，，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．由，根据反比例函数的图象上点的坐标特征即可判断． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象在第一象限，第三象限，在每个象限中，随的增大而减小； A、当，， ∴点，点在同一个象限， 若三个点都在第一象限时，则；若，则 ∴A错误； B、当，， ∴点，点在同一个象限， 若三点在第一象限，则；若点在第三象限，则； B、错误； C、当， ∴点，点在不同的象限， ∵， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴当点在第一象限时，；当点在第三象限时，； ∴C错误； D、当， ∴点在第三象限，点在第一象限，点在第一象限， ∴； D、正确． 知识点 k的几何意义 k设点P(x，y)是反比例函数图象上任意一点。 过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别是M、N。 1.得到矩形PMON：矩形面积S矩形=|k| 2.连接原点OP，得到直角三角形PMO(或PNO)：三角形面积 特别提醒 面积一定是正数，必须带上绝对值；已知面积求k，求出|k|后，需要结合图象所在象限确定k的正负。 随学随练 1．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 【答案】 9 【分析】连接、，设交轴于点，利用反比例函数系数的几何意义分别求出和的面积，进而得到的面积，最后根据平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 2．（2026·广东深圳·三模）如图，点B在反比例函数 的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数 于点．连接，．若的面积为，则的值为____． 【答案】 【分析】利用中心对称性质得出为中点，从而将的面积转化为的面积；再根据轴，将分割为 和 ，结合反比例函数的几何意义建立方程求解． 【详解】解：连接， 设交轴于点， ∵点与点关于原点对称， ∴为的中点，即， ∴， ∵， ∴ ， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∴． 3．（25-26九年级·上海黄浦·自主招生）如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】根据题意设此反比例函数为，据此得到E和F的坐标；根据反比例函数的图象和性质可得，再计算出的面积，接下来计算，再结合其值为即可得到关于的等式，据此即可解答此题． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 设此反比例函数为，则，， ∴，， ∴，， o，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或， ∵，即， ∴ ∴反比例函数为． 拓展 分式变形得到平移型反比例衍生函数（探究新函数图象与性质） 题型特点：给出陌生分式函数，分母只含x,通过分离常数转化为基础反比例函数结合描点画图、图象性质、函数与方程不等式关系解题，注意。 步骤1：代数式变形(分离常数，转化熟悉模型) 对函数解析式拆分分式，化成(k、c为常数，形式。 1.拆分分子，把分子拆成分母的倍数加上常数； 2.约分整理，拆成反比例项加上常数c; 3.确定隐含条件： 目的：把陌生新函数转化课本学过的反比例函数，利用反比例知识分析新函数。 步骤2:完成表格，计算函数值 两种计算方法任选其一： 1.直接把表格的x代入原始函数表达式，计算y; 2.使用变形后的式子：同一个x,新函数值的函数值+c。 注意：x不能取0,表格不会出现x=0,计算留意符号。 步骤3:描点画出函数图象(描点法) 1.根据表格坐标(x,y),在坐标系描点； 2.分开连线：x<0的点连成一支平滑曲线；x>0的点连成另一支平滑曲线； 3.x=0位置断开，两支曲线不能相连，不能穿过y轴；曲线无限靠近y轴。 步骤4:分析函数图象性质 (1)平移规律 由反比例整体上下平移得到： ①c>0:向上平移c个单位；②c<0:向下平移|c|个单位。 (2)增减性分析 新函数增减性和原反比例保持一致，必须分范围描述： ①在x<0范围内，判断y随x增大如何变化；②在x>0范围内，判断y随x增大如何变化。 步骤5:函数、方程、不等式数形结合分析 设探究函数记为y1,另一个函数记为y2(常见为一次函数) 1.方程方程的解就是两个函数图象交点的横坐标；交点的数量就是方程实数解的个数。 2.不等式 ①找出两个函数所有交点的横坐标； ②观察图象，找出在上方(或下方)对应的x取值； ③一定要排除x=0,原函数x=0无定义； 步骤6:检验结果合理性 1.自变量不能等于0; 2.不等式解集要分段书写，不能忽略x=0把左右两段合并； 3.方程计算结果如果出现x=0,属于增根，必须舍去。 活学活用 1．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．因为 ，所以我们对函数进行探究． … 1 2 3 4 … … 1 2 4 … … 3 5 … (1)与的几组对应值如表：其中 ， ． (2)在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，画出函数的图象． (3)根据所画图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）； ②函数的图象是由的图象向 平移 个单位长度得到的． (4)进一步探究函数与的图象，结合函数、不等式、方程三者之间的关系，解决下列问题． ①方程有 个解； ②不等式的解集是 ． 【答案】(1)2，0 (2)画图见解析； (3)①增大；②上，1 (4)①2；②或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，平移的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）把和分别代入，即可求得m、n的值； （2）根据表格数据，绘制函数的图象即可； （3）①利用函数图象的增减性即可得到答案；②结合表格信息，利用平移的性质即可得到答案； （4）①先画出函数的图象，观察图象即可解决问题．②利用即可解决问题． 【详解】（1）解：把和分别代入， ∴，； （2）解：先描点，再画图如下： （3）解：①当时，随的增大而增大； ②函数的图象是由的图象向上平移1个单位长度得到的． （4）解：的图象如图所示， ∴①由图象可得方程有个解； ②由图象可得的两个解为： ，，经检验符合题意； ∴函数图象的两个交点的横坐标为，， ∴不等式的解集是或． 2．（2026·河南鹤壁·三模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小亮根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整： (1)下表是与的几组对应值． …… 0 2 3 4 5 …… …… …… 直接写出的值，______； (2)在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；    (3)根据画出的函数图象，发现下列特征： ①该函数的图象与直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线______越来越靠近而永不相交． ②请再写出此函数的一条性质：______． (4)已知不等式的解集为或，则的值为______． 【答案】(1)1 (2) 图象如图所示：    (3)；y随x的增大而减小 (4) 【分析】（1）将代入函数解析式中求出m值即可； （2）连点成线即可画出函数图象； （3）观察函数图象即可求解． （4）根据不等式的解集确定函数图象经过的点，代入求出k，b的值 【详解】（1）解：当时，， 即m的值为1， 故答案为1； （2）略 （3）解：根据画出的函数图象，发现下列特征： 该函数的图象与直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交， 故答案为：． y随x的增大而减小， 故答案为y随x的增大而减小； （4）解：∵不等式的解集为或， ∴直线过， 两点， ∴， ∴， ∴ 故答案为．    【点睛】本题考查了函数图象和性质，自变量的取值范围，画函数图象，函数与不等式，熟练掌握由函数有意义的条件求自变量的取值范围，连点成曲线画出函数图象，根据不等式解集确定两个函数图象的交点坐标，是解题的关键． 3．（25-26八年级下·北京昌平·期末）数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________： (2)下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： (4)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 【答案】(1) (2)1； (3)如图， (4)①减小；②或 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，列出不等式求解自变量取值范围． （2）将代入函数解析式，分步计算求出对应的值，即． （3）根据表格内多组、对应坐标，在平面直角坐标系描点，结合反比例函数平移规律画出双曲线两支． （4）①观察函数分支的图象升降趋势，判断随的增减变化．②先作出直线，结合函数图象位置，确定双曲线图象在一次函数图象下方时的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， ∴自变量的取值范围是． （2）解：当时，； （3）略 （4）解：①由图可知该函数当时，随的增大而减小； ②如图，过点，作一次函数， 由图可知，当时，的取值范围：或． 题型一 一次函数与反比例函数图象综合 ▌例1（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两种情况分类讨论得出答案． 【详解】解：，分两种情况： ①当时，正比例函数的图象过第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； ②当时，正比例函数的图象过第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． ▌对点练1-1．（2025·安徽亳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系、反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴为直线，求得，从而得出，则可确定直线经过第一、二、四象限，再根据当时，，从而确定反比例函数的图象在第二、第四象限，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴ ∵二次函数图象的对称轴为直线 ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， ∵当时，， ∴反比例函数的图象在第二、第四象限， ∴只有D选项题意． 故选：D． ▌对点练1-2．（25-26九年级上·湖南永州·期中）函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数图象和一次函数图象，从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键． 根据一次函数与反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：对一次函数解析式进行变形，可得． 当时，，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数一定经过第一、三、四象限，故A、C错误； 当时，，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数一定经过第一、二、四象限，故B错误，D正确． 故选：D． 题型二 画反比例函数图象 ▌例2 画反比例函数的图象． (1)列表（请填空）； x 1 2 3 4 y (2)描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）； (3)点在的图象上吗？为什么？ 【答案】(1)依次填入：，，，，6，3，2， (2)反比例函数图象如图所示： (3)点在的图象上，理由如下： 当时，， 所以点在的图象上． 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量的值，即可求对应的函数值； （2）由（1）中表格信息，在平面直角坐标系中描点，再用平滑的曲线连接，绘制即可； （3）将代入解析式，根据函数值与点的纵坐标的关系，即可解答． 【详解】（1）解： ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 故表格中依次填入：，，，，6，3，2，． （2）略 （3）略 ▌对点练2-1．（25-26八年级下·河南周口·期中）下面表格信息反映的是反比例函数的几组自变量与对应的函数值． (1)直接写出各字母表示的数值：_______；______；______； (2)根据表中各数值和（1）中的结果，在平面直角坐标系中通过描点、连线，画出反比例函数的图象； (3)已知直线经过与两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，并直接写出当时自变量x的取值范围． 【答案】(1)；2； (2) (3)，或 【分析】（1）根据表格数据先求得，进而分别将，代入解析式求得的值； （2）根据表格数据，描点，连线，即可求解； （3）过与两点画出直线，再根据函数图象，写出一次函数在反比例函数图象上方时的自变量取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵时， ∴， 当时，， 当时，； （2）略 （3）直线图略 当时自变量x的取值范围为，或 ▌对点练2-2．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下面表格信息反映的是反比例函数的几组自变量与对应的函数值． 1 2 3 2 6 (1)直接写出各字母表示的数值： ； ； ； (2)根据表中各数值和（1）中的结果，在平面直角坐标系中通过描点连线，画出反比例函数的图象； (3)已知直线经过与两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，指出当时自变量的取值范围． 【答案】(1)；； (2) 图象如图所示： (3)或 【分析】（1）先根据表格得出反比例函数的图象经过点，代入求出k的值；再把点，代入函数解析式求出m、n的值； （2）先描点，再连线，画出函数图象即可； （3）连接点与画出函数的图象，观察函数图象，找出一次函数在反比例函数图象上方部分所对的自变量的范围即可得出当时自变量的取值范围． 【详解】（1）解：根据表格可知：反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 把，分别代入得： ，； （2）略 （3）解：直线的图象，如图所示： 观察图象，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， ∴当时，自变量的取值范围是或． 题型三 已知反比例函数的图象求解析式 解题贴士 1.设解析式设反比例函数解析式为 2.找点：从图象上读出一个完整坐标的点(x,y)(点在双曲线上)。 3.求k：把点(x，y)代入，利用，算出k。 4.写解析式：把k代回所设式子，写出最终解析式。 注意/易错点 1.图象如果给出象限，求出k|后，要结合图象所在象限确定k正负，不要符号出错。 2.必须使用图象上双曲线上的点，坐标轴上的点不能用(反比例函数x≠0，。 3.实际问题图象只有第一象限一支，依然用图象上点求k，记得注明自变量。 ▌例3 （25-26九年级上·湖南益阳·阶段检测）已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 【答案】(1)这个函数的表达式为；(2)不在这个函数的图象上，理由， 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （）把点代入即可求解； （）当时，即可判断点是否在这个函数的图象上． 【详解】（1）解：根据图象可知，反比例函数的图象过点， ∴， ∴这个函数的表达式为； （2）略 ▌对点练3-1．（25-26九年级上·云南德宏·阶段检测）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求出这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应不低于多少？ 【答案】(1) (2)以上的范围内． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． （1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，将点代入，利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【详解】（1）解：电流I与电阻R是反比例函数，设， ∵图象经过， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即用电器可变电阻应控制在以上的范围内． ▌对点练3-2．（2025·全国·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象都经过点． (1)求点A的坐标及反比例函数的解析式； (2)结合图象写出在第一象限内时的x的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，利用待定系数法求解是解题的关键． （1）先根据一次函数的图象经过点求出m的值，得到点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析求出k值，即可得到反比例函数的表达式； （2）在第一象限内找到一次函数图象在反比例图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴, 解得， ∴点A的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：由函数图象可得在第一象限内时，． 题型四 由反比例函数的对称性求点的坐标 解题贴士 反比例函数图象是双曲线，两大核心对称性： 1.关于原点中心对称：若点A(a，b)在双曲线上，则它关于原点的对称点为(-a，-b)，也在双曲线上。 2.关于直线、直线轴对称 关于直线对称：点A(a，b)对称点(b，a) 关于直线y=x对称：点A(a，b)对称点(-b，-a) 解题步骤 1.确定已知点坐标，看清题目是哪一种对称(原点、。 2.套用对应对称坐标变换规则，写出对称点坐标。 3.验证(可选)：点在双曲线上，满足，代入检验横纵坐标乘积等于k。 ▌例4 （2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． ▌对点练4-1．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． ▌对点练4-2．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知正比例函数（为常数）与反比例函数的图象交于点、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比例函数的对称性问题，熟悉关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．先通过反比例函数求点坐标，再根据反比例函数与一次函数的对称性即可解答． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴点． ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴点和点关于原点对称， ∴点坐标为． 故选：A． 题型五 已知双曲线的分布求参数的取值范围 解题贴士 反比例函数 ·，图象在第一、三象限 ·，图象在第二、四象限 核心步骤 1.根据双曲线所在象限，列出关于参数的不等式： ①图象在一、三象限→k>0；②图象在二、四象限→k<0 2.解这个不等式，求出参数范围。 3.勿忘隐含条件：反比例函数要求比例系数k≠0，结合题意取舍。 ▌例5（2026·云南玉溪·二模）已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，先由已知反比例函数的象限位置得到k的取值范围，再判断所求反比例函数比例系数的正负，即可确定其图象所在象限． 【详解】解：∵函数的图象位于第二､四象限， ∴， 解得， ∴， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数的图象位于第一､三象限． ▌对点练5-1．（25-26八年级下·上海普陀·期末）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴比例系数， 解得． ▌对点练5-2．（2026九年级下·江苏·专题练习）某学习小组用绘图软件绘制出了函数的图象，结合所学函数的知识，下列对大小的判断，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象可知，当时，，可知的取值范围，再由当时，函数值不存在即可求解． 【详解】解：由图象得，当时，， ， ， ， 由图象得，当时，， ， ， 也可得， 当时，函数值不存在， ，即． 综上，． 题型六 反比例函数的性质综合（选择） ▌例6（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【答案】D 【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据k的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解． 【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为y，正确，不符合题意； B、∵反比例函数的解析式为， ∴当时，y， ∴点在反比例函数图象上，正确，不符合题意； C、∵反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意； D、∵反比例函数的解析式为y， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，原说法错误，符合题意． ▌对点练6-1．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 【答案】D 【分析】根据反比例函数的解析式，将点的坐标代入解析式中，可判断A； 根据反比例函数的解析式，可得出其图象的位置，可判断B； 根据反比例函数的解析式，结合增减性，可判断C； 根据反比例函数的解析式，可判断其对称性，可判断D． 【详解】解：反比例函数， 当时，， ∴点不在它的图象上， 故A错误； ∵， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大反而减小， 故B错误，C错误； 由反比例函数的对称性可知，图象的两个分支关于原点对称，故D正确． ▌对点练6-2．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，图象在第一象限，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵当时，图象在第三象限，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围是或，故C错误，符合题意； 若点在函数图象上，则，即， ∴，即点也在函数图象上，故D正确，不符合题意． 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 解题贴士 反比例函数 ·k>0：在每个象限内，y随x的增大而减小 ·k<0：在每个象限内，y随x的增大而增大 解题步骤 1.根据题目给出的增减性，列出关于含参系数的不等式： ①y随x增大而减小→k>0 ②y随x增大而增大→k<0 2.解不等式，求出参数范围。 3.检验隐含条件：反比例函数比例系数k≠0(不等式已经满足，做题仍要留意)。 ▌例7 （25-26八年级下·河南周口·期末）已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当反比例函数比例系数大于0时，在的区间内，y随x的增大而减小，据此列出不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴反比例函数的比例系数大于0，即， 解得． ▌对点练7-1．（2026·山东德州·中考真题）在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断函数图象位置与增减性，再求出的值，分点在第三象限和第一象限两种情况讨论，即可得到的取值范围． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，. 将代入，得. 由得，分两种情况讨论： ① 当时，点在第三象限，，结合第三象限内随增大而减小，可得； ② 当时，点在第一象限，，由可知恒成立，即所有都满足条件； 综上，的取值范围是或． ▌对点练7-2．（25-26八年级下·河南新乡·期中）已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定x，y的大小关系判断反比例函数比例系数的符号，进而求解m的取值范围． 【详解】解：对于反比例函数，当时，在每个象限内，随的增大而减小． 时，， ， 解得． 题型八 比较反比例函数值的大小 ▌例8 若点，在双曲线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由确定双曲线的象限分布，结合点的横坐标符号判断函数值正负即可比较． 【详解】解：∵， ∴双曲线的两支分别位于第二、第四象限， ∵点的横坐标， ∴该点在第二象限，， ∵点的横坐标， ∴该点在第四象限，， ∴． ▌对点练8-1．（2026·江西南昌·模拟预测）点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴A点在第三象限， ∴， ∵， ∴B、C两点在第一象限， ∴， ∴． ▌对点练8-2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】先根据反比例函数系数判断图象位置和增减性，再结合m的范围确定三个点横坐标的范围，结合增减性比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， A、当时，可得，三点都在第二象限，根据增减性得，即，故该选项不符合题意； B、当时，可得，A、B在第二象限，C在第四象限，可得，且，，，即，故该选项符合题意； C、当时，可得，点A在第二象限，点B、C在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； D、当时，可得，三点都在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； 题型九 已知比例系数求特殊图形的面积 解题贴士 核心：k的几何意义 双曲线上任意一点向x轴，y轴作垂，与坐标轴围成矩形面积： 与原点构成直角三角形面积： 通用解题步骤 1.明确已知条件：读出k的值，先算|k|(面积一定是非负数，必须取绝对值)。 2.识别基础模型 ①点向两坐标轴作垂线，矩形：面积直接等于|k|; ②点向坐标轴作垂线，顶点在原点的直角三角形：面积等于 3.遇到复杂图形(梯形、组合图形) 把图形拆成多个基础三角形、矩形；或者用割补法，转化成标准k几何模型再计算。 4.算出最终面积。 ▌例9（2026·云南玉溪·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】B 【分析】延长交y轴于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为3，四边形的面积为11，即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． ▌对点练9-1．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数系数的几何意义可得，即，再根据为中点可得，进而求出矩形面积． 【详解】解：设点的坐标为 ∵点在反比例函数的图象上 ∴ 由图可知， ∴ ∵是的中点 ∴ ∴． ▌对点练9-2．（25-26九年级下·福建·阶段检测）如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点都在反比例函数的图象上，且边经过原点．则平行四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数的中心对称性可得点的坐标，再设点的坐标为，利用平行四边形的性质，表示出点的坐标，代入反比例函数解析式得到与的关系，最后根据三角形面积公式和平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：设点的坐标为， ∵ 四边形是平行四边形，且边经过原点， ∴点与点关于原点对称， ∴，且为的中点， ∴ ， ∴ ， 设， ∵ 四边形是平行四边形，且设点， ， 整理得：， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 整理得：，即， ∴，即． ∵在轴负半轴， ∴，符合题意． ∴． ∴． 故选：C． 题型十 根据图象的面积求比例系数 ▌例10（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，设点的坐标是，则点的坐标是，根据等腰三角形的性质可得，根据反比例函数的解析式可知点的纵坐标是，从而可得，根据三角形的面积公式即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 设点的坐标是，则点的坐标是， ，， 是等腰三角形， ， 轴 点的横坐标是，纵坐标是， 轴交双曲线于点， 点的横坐标是， 点的纵坐标是， ， ， ， ． ▌对点练10-1．（2026·浙江宁波·模拟预测）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数中心对称性及的几何意义，将四边形面积分割为三个三角形面积之和． 【详解】解：设，其中，， 点在反比例函数上， ， 直线过原点， 点与点关于原点对称， ， 轴，轴， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， ． ▌对点练10-2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质得出，结合反比例函数k的几何意义求解． 【详解】解：∵C为中点，且的面积为5， ∴， ∴， ∵轴，点C在反比例函数图像上， ∴， ∴，解得， ∵该反比例函数的图像在第一象限， ∴， ∴． 题型十一 一次函数与反比例函数的交点解不等式 解题贴士 不等式形式或几何含义： ：一次函数图像在反比例函数图像上方对应的x取值 ：一次函数国像在反比例函数图像下方对应的z取值 通用步骤 1.找分界点横坐标 求出两个图像交点的横坐标；同时必须加上反比例间断点x =0(此处函数无意义)。把所有的临界值从小到大排序，将x轴分成若干小段。 2.分段观察图像位置 在每一段内，看直线和双曲线谁在上、谁在下。 ▌例11（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． ▌对点练11-1．（25-26八年级下·河南周口·期末）一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 则时，的取值范围是或． ▌对点练11-2．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）函数和的图象如图所示，当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据图象即可求解． 【详解】解：观察图像可知，当时，x的取值范围是或． 题型十二 反比例函数解答题综合（基础） ▌例12（25-26八年级下·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数与直线l交于点C，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出的x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点A，点B的坐标，取中点D，易得点D的坐标，分别过点C，点D作y轴的垂线，垂足分别为，求出，证明，可得，进而得到点C的坐标，即可解答； （2）根据图象即可解答． 【详解】（1）解：令，解得，则， 将代入，则， ∴， ∴， 取中点D，则，，即， 分别过点C，点D作y轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数交于点C， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵，， 当时，反比例函数的图象在直线的图象上方，且反比例函数的图象与直线的图象都在轴上方， ∴的x的取值范围为． ▌对点练12-1．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且． (1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式； (2)求点B的坐标； (3)观察图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将点A分别代入到两个函数解析式即可解答； （2）联立一次函数和反比例函数的表达式即可解答； （3）观察函数图象得出反比例函数在一次函数上方或相等时x的取值范围即可； 【详解】（1）解：将点代入中得， ， ∴一次函数表达式为， 将点代入中得，解得：， ∴反比例函数表达式为； （2）解：联立与，得，即， 解得：或2， 经检验均是方程的解， 当时，， ∴点B的坐标为； （3）解：∵，， 根据函数图象可得，当时，或． ▌对点练12-2．（2026·湖北·模拟预测）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，过点B作轴于点C，点是该反比例函数图象上的一点，且， (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出不等式：的解集． 【答案】(1)；一次函数的表达式为 (2) 【分析】（1）将、代入反比例函数解析式中，即可求出m和n的值，进而求出反比例函数的解析式；确定直线的解析式，并确定出直线与x轴的交点，进而求出点A的坐标，确定一次函数的解析式； （2）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：把、代入反比例函数中， 得 解得 反比例函数的解析式为，、 延长交x轴于点M， 设直线的函数解析式为， 把、代入得， ，解得， 直线的函数解析式为， 当时，， ， 轴，， ， ， 在和中， ， ， 把，代入一次函数中， 得，解得 一次函数的解析式为． （2）解：观察图象可得，不等式的解集为． 题型十三 反比例函数与一次函数综合之面积问题 ▌例13（2026·四川自贡·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，其一边长为4，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上，函数（，k为常数，）的图象与交于点F，与矩形的对角线交于点D，与交于点E，连接，已知点D的坐标为． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，再求出点，，的坐标，进而可得，的长，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，将点代入函数得：， 则该反比例函数的解析式为． （2）解：由题意得：点的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， 将代入函数得：， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：， ∴， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， ∴的面积为． ▌对点练13-1．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先将点坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点完整坐标，再把点坐标代入反比例函数求出值，即可写出反比例函数表达式； （2）先把点坐标代入一次函数求出，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的取值范围； （3）设直线与轴交于点，求出点坐标，设，将面积拆分为与面积之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得 ，解得， ∴； 又， 由图可知，的解集为或； （3）解：如图，设直线与轴交于点， 令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． ▌对点练13-2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1)的值为 (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）联立方程，求出点的横坐标，再结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可； （3）直线交轴于点，先求出，设，则，根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ； （2）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得，解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或； （3）解：如图，直线交轴于点， 当时，， 则， 设，则， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，则或， 解得或， 则或． ▌对点练13-3．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，并延长交反比例函数图象于点C，直线交x轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P是x轴上一点，当时求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）由点，在反比例函数图象上，得横纵坐标乘积相等，求出，再用待定系数法求一次函数表达式． （2）先求出点，坐标，再设，利用直线与轴的交点把的面积转化为含的式子，由面积关系列方程求解． 【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上， ， 或0（舍去） ，， ， 反比例函数的表达式为． 设一次函数的表达式为， 把，代入，得 ， 解得，， 一次函数的表达式为． （2）解：作直线， 直线经过原点和点， 直线的表达式为． 联立与，得 ， 解得或， 点的坐标为． 直线的表达式为， 令，得， 点的坐标为， ． 点到轴的距离为， ． 设点的坐标为． ． 点，到轴的距离分别为，， ． ， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 题型十四 反比例函数与一次函数综合之存在性问题 ▌例14（2026·四川眉山·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求k的值及点B的坐标； (2)当x ______ 时，； (3)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形，且？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2) (3)点C的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求出，再把代入中，可得，即可求出点坐标； （2）根据函数图象的交点和位置进行解答即可； （3）设点C的坐标为，表示出，，，为等腰三角形，且，据此列方程并解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数，得， 把代入中，可得， 故，点坐标是 （2）解：由图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴当时，； （3）解：设点C的坐标为， 则，，． ∵为等腰三角形，且， ∴，即， 解得：或（此时，则不合题意，舍去）， ∴点C的坐标为． 故在x轴上存在点C，使得为等腰三角形，且，点C的坐标为．​ ▌对点练14-1．（25-26九年级下·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点． (1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P是反比例函数右支下方x轴上的动点，且为等腰三角形，求出所有满足条件的P点． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为， (2)或． 【分析】（1）将点代入求得即可得到反比例函数解析式，进而确定，再运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设，，先求得，再分、、三种情况列方程求得解并取符合题意的解即可解答． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， ∴， 将代入，得， ∴， 将代入， ∴，解得：， ∴． （2）解： 设，， ∵， ∴， 由为等腰三角形： ①当时，，解得： （不合题意舍去）或， ∴点P的坐标为：， ②当时，，解得：（不合题意舍去）或， ∴点P的坐标为； ③当时，，解得：（不合题意舍去）． 综上所述，P点的坐标为或． ▌对点练14-2．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出点B的坐标，可求出反比例函数的解析式，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法，即可求解； （2）设，根据四边形是矩形，可得，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴点B的坐标为， 把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点A的纵坐标是4， ∴，解得：， ∴点A的坐标为， 把点，代入，得： ，解得：， 即一次函数的解析式为； （2）解：存在， 对于，当时， ∴， ∴， ∵直线轴， ∴可设， ∵四边形是矩形， 如图，此时， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或． ▌对点练14-3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）通过解一元二次方程得到m，n的值，得到点的坐标，再根据矩形的性质即可得到点B的坐标，然后代入反比例函数即可解答； （2）根据中点的定义得到，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，，分3种情况讨论：①与互相平分；②与互相平分；③与互相平分，分别列出方程组，求出的值，即可得到Q点的坐标； （3）先利用A、D两点坐标求出直线解析式，联立直线与反比例函数，通过一元二次方程判别式算出双曲线与线段有一个交点时的临界；再求出双曲线过点B时的临界，分区间分析双曲线与四边形边的交点数量，得到恰好有两个交点时k的取值范围。 【详解】（1）解：， ， 解得：，， 由题意得，，， ，， ，， 四边形是矩形， ， 点的坐标为； 将代入，得． （2）解：存在， 点是的中点，， ， ， 反比例函数的解析式为， 设，， 以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形， 下面分3种情况讨论： ①当与互相平分，则 解得， ； ②当与互相平分，则 解得， ； ③当与互相平分，则 解得， ； 综上所述，点的坐标为或或． （3）已知，，设直线解析式为， 将两点代入得： 把代入，得 ， 解得， 直线的解析式为． 当的图象与直线恰好有一个交点时，联立方程： 两边同乘整理得：， 只有一个交点， 一元二次方程判别式， ， 解得． 当反比例函数图象经过点时，， 此时双曲线仅与四边形交于点，只有1个交点． 当时，双曲线与线段产生2个交点，交点总数超过2个，不符合题意； 当时，双曲线仅与线段、线段各有1个交点，恰好共2个交点； 当时，双曲线与四边形无交点． 反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点时，． 题型十五 反比例函数与一次函数综合之最值问题 ▌例15（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)结合图象直接写出关于x的不等式的解集； (3)直线上有一点M，其横坐标为，在y轴上作一点Q，使的值最小，此时最小值为_______． 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为 (2)不等式解集为或 (3) 【分析】（1）先将点代入反比例函数求，再代入点横坐标求，将A、B代入一次函数列方程组求a、b； （2）观察图像，找出一次函数图像在反比例函数图像下方对应的x取值范围； （3）先求M、C坐标，作关于轴的对称点，连接对称点与，线段长度即为最小值，用勾股定理计算长度． 【详解】（1）解：把代入， ，得， 反比例函数解析式为． 将代入，． ． 把代入， 两式相减：，， 代入得， 一次函数解析式为． （2）解：由图像可知，直线在双曲线下方的范围： 或， 不等式解集为或． （3）解：直线：， 令， ． 令，.得 ． 作关于轴对称点，连接交y轴于点Q,再连接. 由轴对称性质：， 两点之间线段最短，长为最小值． ， 即最小值为． ▌对点练15-1．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算可得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，再联立求解即可； （2）先求出，作点E关于x轴的对称点，则，根据轴对称性质，，则．当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．结合勾股定理计算即可得出的最小值为．求出直线的方程为，令，得，解得，即可得出结果； （3）过C作轴交于点T，设，则，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入直线得，， 解得， ∴一次函数的解析式为， 再将代入得，， ∴反比例函数的解析式为， 联立，得， 解得：（舍去），， ∴； （2）解：在中，当时，，则， 作点E关于x轴的对称点，则， 根据轴对称性质，， ∴． 当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度． ， ∴的最小值为． 设直线的方程为． 将和代入得， 解得． ∴直线的方程为 令，得，解得． ∴点P的坐标为． （3）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴点C的坐标为． ▌对点练15-2．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点D，交边于点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上找一点P使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）先求解，再进一步求解即可； （2）作点D关于轴的对称点F，连接交轴于点P，则点P就是所求点，再进一步求解即可． （3）利用，进一步计算即可． 【详解】（1）解：依题意，在矩形中，，， ∴， ∵为的中点， ∴ 反比例函数的图象经过点D， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：连接，作点D关于轴的对称点F，连接交轴于点P，则点P就是所求点． ∴， 把代入， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得： ， 解这个方程组，得， 当时，，， ． （3）解：如图，∵，，， ． 题型十六 反比例函数与一次函数综合之其他问题 ▌例16（25-26八年级下·重庆万州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴分别交于、两点，与反比例函数在第二象限相交于点，直线：与反比例函数在第二象限相交于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，若点是线段上一动点，当的面积为6时，求点的坐标； (3)如图3，若点是线段上一动点，连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先，求得点C的坐标，然后，求得反比例函数的解析式，最后，联立直线与反比例函数的解析式组成方程组，解方程组，再由点D所在的象限即可得出答案； （2）如图2，过点作轴交于点，首先，求得直线的解析式，然后，设，则，再由，的面积为6，代入数据转换为关于a的方程，解方程即可求得a的值，进而可得点P的坐标； （3）如图3，设交轴于，过作轴交轴于，过作交的延长线于，首先，证得是等腰直角三角形，得，再由，得，进而证得，得，可得点M的坐标，然后，可得直线的解析式，最后，联立直线与直线的解析式可得点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵直线：与反比例函数交于点， ∴，即点， 又∵反比例函数在第二象限内的图象过点， ，即反比例函数的解析式为， 联立：， 解得或， 在第二象限， ∴； （2）解：如图2，过点作轴交于点， 设直线的解析式为：， 把、，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：， ∴设，则， ， ∵的面积为6， ， 解得， ∴， ； （3）解：如图3，设交轴于，过作轴交轴于，过作交的延长线于， ∵，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ，， ． ，， 又∵， ， ∴， ∴， ． 设直线的解析式为， 把、，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立：，解得， ． ▌对点练16-1．（25-26八年级下·福建漳州·期末）【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 (1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)当是等腰三角形时，的值为或 【分析】（1）由矩形的性质可得点的坐标为，结合平移可得点的坐标为，进一步求解即可； （2）表示平移个单位长度后，点的坐标为，点的坐标为．可得，再进一步求解即可； （3）利用矩形的性质求解．当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，此时点与点重合，③当时，设，再进一步结合反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： 四边形是矩形，，， ∴，， 点的坐标为． 由平移得：点的坐标为． 把代入，得， 该双曲线的解析式为：． （2）解：平移个单位长度后，点的坐标为， 边平移后所在的直线为，， 点的坐标为． 点、在图象上， ， 解得：， 点的坐标为． （3）解：如图3，四边形是矩形， ． 当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， 由平移可得：，． ． 点、在图象上， ． 解得． ②当时，此时点与点重合， ，． 点、在图象上， ， 解得． ③当时，设． 由平移可得，， ， ， 解得， ． 点、在图象上， ． 解得． ， 这与题意不符，舍去． 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． ▌对点练16-2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 【答案】(1)，相等， (2)解：成立，理由如下： 反比例函数（）过，点， ∴，即， 设，设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为：， ∴， ∴，， ∵，， ∴. (3) 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解； （2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解； （3）设点，点，点，求解直线的解析式为： 直线的解析式为：，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点， ∴， 设直线为，而点， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为， ∴， ∴，， ∴. （2）略 （3）解：设点，点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 当，， 当，， 解得：， ∴点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 同理：点，点， ∴，， 与的乘积． 基础通关 1．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象的性质判断即可． 【详解】反比例函数，观察函数图象在第一象限，在第一象限内，随着值的增大，的值随之减小． 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质可得当时，图象位于第四象限，且随增大而增大；图象与坐标轴无交点，由此逐项分析即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数为，， ∴当时，图象位于第四象限，且随增大而增大；图象与坐标轴无交点； A、当时，，该项正确； B、由于，图象仅位于第四象限，不涉及第一、三象限，该项错误； C、当时，随增大而增大，该项错误； D、反比例函数图象不与轴相交，该项错误． 3．y关于x的函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质得出函数的图象位于一、三象限，根据函数图象的平移规律即可得出答案. 【详解】解：∵， ∴函数的图象位于一、三象限， ∵， ∴函数的图象向右平移个单位得到函数的图象， ∴函数的图象为 . 4．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数中的正负确定图象的象限与增减性，分象限比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 其图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. ∵ 点，在第三象限，且， ∴ . ∵ 点在第一象限， ∴ . ∴ . 5．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将、两点代入函数，求出的值，再结合图象，根据函数的图象在函数的图象上方部分对应的自变量取值直接作答即可． 【详解】解：将，两点代入， 得，， 解得：， ，， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， 当时，的取值范围是． 6．（25-26九年级下·山东烟台·期末）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（ ）米． ． A．100 B．110 C．115 D．120 【答案】B 【分析】先利用几何图形的对称性确定关键点的坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据上口宽确定点的横坐标，代入解析式求出其纵坐标，该纵坐标即为冷却塔的高度． 【详解】解：由题可知，四边形是矩形，在轴上，轴垂直平分， ∵， 根据对称性可知：， ∴， ∵，且， ∴， 设所在的反比例函数解析式为， 把代入中，得， 解得， ∴所在的反比例函数解析式为， ∵，且图形关于轴对称， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴把代入中，得， ∵所在直线为轴，即地面高度为0， ∴整个冷却塔的高度为110． 7．（2026·湖南长沙·中考真题）在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】 （任意大于的常数都正确） 【分析】反比例函数的图象位于第一、第三象限时，满足条件，只需写出一个符合要求的正数即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象两支分别位于第一、第三象限， ∴， 因此任意取一个大于的常数即可，例如符合条件． 8．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数和一次函数的性质可得，，即，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 9．（2026·山东威海·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】先求出点的坐标，再找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】解：将代入反比例函数的解析式得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式得， ∴， ∴， ∵直线与双曲线交于点和点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是或． 10．（2026·浙江温州·二模）如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点A，点B，连接．若轴，则的面积是______． 【答案】3 【分析】连接，，设交y轴于D，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，，进而求解即可． 【详解】解：连接，，设交y轴于D， ∵，轴， ∴，轴， ∵点A，点B在函数，的图象上， ∴，， ∴， ∴． 11．（25-26八年级下·四川遂宁·期末）如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 【答案】 【分析】分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 12．如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据反比例函数的性质得到，，，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点，在反比例函数图象上，， ，，，． ∵，垂直于y轴，，垂直于x轴， ∴四边形是矩形， ， ∴S与n的函数关系式为． 13．如图，已知直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，的值； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）把点代入反比例函数关系式即可确定的值，再把代入求出的值，把，分别代入直线即可求出的值； （2）先把不等式进行变形，再观察图象写出答案． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象交于，两点． ， ，即， 点坐标为． 一次函数的图象过，两点， ，解得， ，； （2）解：由得， ，， 不等式的解集为或． 14．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． (1)根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； (2)在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； (3)观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； (4)函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 【答案】(1) (2)函数图象如图： (3)①减小；②；③右，1 (4)或 【分析】（1）把代入即可得出m的值； （2）利用连线画出函数图象即可； （3）观察图象即可解答； （4）根据图象即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得， ； （2）略 （3）①当时，y随x的增大而减小； ②图象关于点中心对称； ③函数的图象是由的图象向右平移1个单位长度得到的； （4）的图象可由函数的图象向左平移2个单位得到， 当或时，． 素养提升 1．（25-26九年级上·河北邢台·期末）已知点，，若反比例函数与线段有公共点时，的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况，联立反比例函数与直线的解析式，结合线段的取值范围确定的取值范围． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得， ，解得， ∴直线的解析式为，线段的取值范围是， 联立， 整理得， 当时，反比例函数图象在第一、三象限，仅需考虑的情况， ∵二次函数开口向上，且当时，， ∴当，时，方程在内有解， 解得； ∴； 当时，反比例函数图象在第二、四象限，仅需考虑的情况， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在时，随增大而增大，且当时，， ∴当，时，方程在内有解， 解得， ∴； 综上，的取值范围是或． 2．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 【答案】B 【分析】联立方程组可求得点C坐标，可判断A；由一次函数图象与反比例函数图象相对点C坐标的位置关系可判断B；根据一次函数图象的平移，结合反比例函数图象的位置可判断C；先求得点A、B的坐标，再利用坐标与图形性质求得的面积可判断D，进而可得答案． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点C， ∴联立方程组，解得或（舍去）， ∴点C的坐标为，故A正确； 由图象知，当时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值，故B错误； ∵将直线向上平移k个单位后，直线始终经过第一象限，又反比例函数的图象位于第一象限， ∴将直线向上平移k个单位后与反比例函数的图象一定有交点， 故C正确； ∵点A在反比例函数的图象上，且点A的横坐标为1． ∴当时，，则点A坐标为， 又∵过点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B， ∴点B坐标为， ，如图， 则，故D正确． 3．（2026九年级·贵州黔西南·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作y轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用反比例函数的几何意义表示三角形面积，结合图形面积的和差关系进行判断． 【详解】解：∵点在反比例函数上，轴， ∴， ∵点、在反比例函数上，轴，轴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， A、，题目条件无法得出，故本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，由题意得，故本选项不符合题意； D、，因为，则，故本选项不符合题意． 4．（2026·浙江温州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：作轴于M， ∴轴， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∵， ∴，， ∴， 点，在反比例函数图象上， ，， ， ， 解得（负数舍去）． 5．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点的坐标分别为，，，点在点的右侧．动点从点出发，沿运动到点，反比例函数的图象经过点．则在点的运动过程中，图象经过两次的点是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点的坐标，分段讨论点在和上运动时的取值范围，找出公共范围并验证选项． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形，，点在点右侧， ∴，， ∴， 设，反比例函数解析式为，则， 当点在线段上运动时，，， ∴，即； 当点在线段上运动时，，， ∴，即， 若图象经过某点两次，则该点对应的值在两段运动中均能取到，且对应不同的点， ∴， 、，不在范围内，不符合题意； 、，在范围内，符合题意； 、，不在范围内，不符合题意； 、，不在范围内，不符合题意． 6．（2026·浙江绍兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过正方形顶点C，若点、，则_____． 【答案】24 【分析】根据全等三角形的判定方法可得求出C的坐标，代入，利用待定系数法求出k． 【详解】 解：如图，作轴于M， 由正方形的性质可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点、， ∴，， ∴， ， ∴， ∵反比例函数的图象经过正方形顶点C， ∴． 7．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，是反比例函数 图象上一点，过点作轴于点，点在轴上，的面积为．已知，点在该反比例函数的图象上，点是轴上一动点，若最小，点的坐标为__________． 【答案】 【分析】先设点坐标，利用三角形面积与求出点坐标，确定反比例函数解析式，求出点坐标；再利用轴对称求最短路径，作其中一点关于轴的对称点，求出对称点与另一点连线的直线解析式，直线与轴交点即为点． 【详解】解：轴，， 设，，点纵坐标为， ∵轴，轴轴， 以为底，高等于点纵坐标， ， ， ， ， ， 在上， ， 反比例函数解析式：， 在图象上， ， ， ， 作点关于轴的对称点，直线交轴于点，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得，此时最小， 设直线解析式为 ， 解得， 直线：， 令，， ， ． 8．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限内的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和，则有以下的结论： ①若点坐标为，点坐标为，则； ②阴影部分的面积为； ③当时，； ④若四边形是菱形，则两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称． 其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ，， 点坐标为，点坐标为， ，， 点的坐标为， 把 代入得：，结论符合题意 点在双曲线的一支上，点在双曲线的一支上， ，， ，， 阴影部分的面积为，结论不符合题意． 当时，是矩形， 不一定等于, 与不一定全等， 不一定等于，结论不符合题意． 连结交轴于点， 四边形是菱形， ，， 点、关于轴对称， 如图所示的两个图像关于轴对称， 双曲线和各自关于原点对称， 两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称，结论符合题意． 9．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，函数图像平移，得到函数中的值，再根据已知条件，得出点坐标，将点坐标代入反比例函数内，即可得到函数解析式． （2）根据为的中位线，得出，继而得出，两点坐标，通过，两点横坐标绝对值的差，即可得到的长度． 【详解】（1）解：由题意知，图像是由的图象向上平移1个单位得到， 得与为同一函数， ，， 一次函数为， 其交轴于点，则 ， 过点作轴于点，， 则的横坐标为， 在上，代入得， ， 点坐标为， 点B在反比例函数上， 将点B坐标代入得 ，， 则反比例函数表达式为 （2）解：过点作轴于点，为的中位线，， ，， 轴，， 点的横坐标为， 又点在一次函数上，代入得 ，， 点的坐标为 又 为水平线， 为与的交点， 将代入得 ，， 点的坐标为 ． 10．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，已知直线：与轴分别交于点，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值，并求点的坐标； (2)若点为轴正半轴上一点，，求点的坐标，将它标在坐标系中，则点关于点的对称点坐标是 ； (3)约定：将（）中内部（不含边界）横、纵坐标都是整数的点称为“要点”．若曲线使得这些“要点”分布在它的两侧，且每侧个数相等，直接写出符合条件的的整数值． 【答案】(1)，， (2)； (3) 【分析】（）将交点坐标分别代入两个函数解析式，利用待定系数法求出参数；再令一次函数，求解对应的值，得到直线与轴交点的坐标； （）过点作轴垂线得到三角形的高，依据面积相等推导出底边，求出点坐标；再利用中心对称中点关系，算出点关于的对称点坐标； （）先找出内部横纵坐标均为整数的“要点”，结合双曲线把这些点均分在曲线两侧的条件，确定取值范围，筛选出整数解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， ∴， 令，即， 解得， ∴， 将代入，得， 解得； （2）解：如图，作轴于， ∵， ∴， ∵在轴正半轴上， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在点左边个单位长度处， 故点关于点的对称点应在点右边个单位长度处， ∴点关于点的对称点坐标是； （3）解：在中共有个要点，在下方，在上方，如图： 把代入中，得， 把分别代入中，得， ∵双曲线在和之间得， 故． 11．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)不存在，理由如下： 设，即， ∵点E是线段上一动点，点F是线段上一动点， ∴， 在中，， ∴， ∴的周长，的面积， ∵直线将的周长和面积同时平分， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，此时，不符合题意， ∴不存在这样的直线． 【分析】（1）过点D作轴于点G，则，证明，可得，即可得到点D的坐标，即可求解； （2）过点C作轴于点F，交双曲线于点P，则，证明，可得，从而得到点C、P的坐标，即可求解； （3）设，即，其中， 根据直线将的周长和面积同时平分，可得，，从而得到，可求出m，n的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作轴于点G，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 把点代入中得：， 即， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：如图，过点C作轴于点H，交双曲线于点P，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，点P的纵坐标为7， 当时，， ∴， ∴点P的坐标为， ∴， 即将正方形沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； （3）略 迁移创新 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，如点，，，……都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个． (1)若点是反比例函数（n为常数，）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式； (2)函数，（k，n为常数）的图象上存在相同的“梦之点”，请求出“梦之点”的坐标和n的值； (3)若二次函数（a是常数且不为0）的图象上存在两个“梦之点”，，且，试求二次函数的顶点坐标． 【答案】(1) (2)“梦之点”坐标为， (3)顶点坐标为或 【分析】（1）根据“梦之点”定义求出的值，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算，即可求解； （2）设相同的“梦之点”坐标为，代入，即可求出 “梦之点”的坐标，再把“梦之点”的坐标代入即可求得n的值； （3）由题意可得“梦之点”满足，将代入二次函数得到一元二次方程，结合根与系数的关系和，即可求得，再把代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵点是“梦之点”， ∴， ∴， ∴把代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：设相同的“梦之点”坐标为， 将代入，得， 整理得， 当，即时，， ∴“梦之点”坐标为， 将代入，得， 解得； 当，即时，则函数为， ∴其图象上所有点均为“梦之点”，此时相同的“梦之点”不唯一，不符合题意，舍去.； ∴“梦之点”的坐标为，n的值为7． （3）解：∵“梦之点”满足， 将代入，得， 整理得， ∵， ∴无论取何值，方程都有实数根， 由题意得，该方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 由得，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 整理得， 即， ∴或， 当时，解得，符合题意， ∴二次函数解析式为， ∴顶点坐标为； 当时，解得，符合题意， ∴二次函数解析式为， ∴顶点坐标为； 综上所述，二次函数的顶点坐标为或． 2．（25-26九年级下·山东济南·开学考试）如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（）；点 (2)①3；存在，点M的坐标为或 【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标； （2）①延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，作AE⊥x轴，PF⊥x轴，由此即可得出AE，PF，EF的长度，根据反比例中的模型：三角形的面积公式等于梯形面积，即可得出结论； ②首先，由于四边形是矩形，其邻边必然垂直，即，过作的垂线分别交，于点，，已知点，所以可以求出直线的解析式；接下来，因为点必须落在平行四边形的边上，所以需要分情况讨论：分别令直线与平行四边形的两条边（、）所在的直线方程联立求解，最后，通过验证求出的交点是否在线段范围内，即可筛选出所有符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的关系式为. 四边形为平行四边形，且点，，点， 点，点. （2）解：①作轴于点E，作轴于点F，如图3所示， 点为线段的中点，点、， 点， 令中，则， 点， 根据反比例函数的几何意义得， ， ②假如四边形是矩形，则，过作的垂线分别交，于点，，作轴于点，如下图： 点， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 直线的关系式为， 联立， 解得， ； ∴点的坐标为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $