广州市2026-2027学年高三上学期数学9月月考练习卷

**基本信息** 高三数学月考卷以机器人与自动驾驶产业数据为真实情境，通过新定义“从属函数”考查数学抽象与逻辑推理，覆盖函数、数列等主干知识，梯度设计适配高三复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、双曲线、概率|单选考基础（如集合运算），多选考综合（如线性回归分析）| |填空题|3题15分|二项式定理、概率、函数零点|中档题为主，如函数零点求参数范围| |解答题|5题77分|解三角形、统计分布列、立体几何、数列、新定义函数|16题结合产业数据考统计，19题新定义“从属函数”考逻辑推理，体现数学建模与创新意识|

广州市2026—2027学年高三数学月考（练习卷） 数　学 满分150分　考试时间120分钟 命题：广州市某中学高三数学备课组　　审题：广州市某区教育发展研究院中学数学科 注意事项：1. 答卷前，考生务必将姓名、考生号填写在答题卡上。2. 选择题用2B铅笔涂卡，非选择题用黑色签字笔在指定区域作答。3. 考试结束后，试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．已知集合 A={x∈Z | (x−2)/(x+1) ≤ 0}，B={x | log₂(x−1) < 2}，则 A∩B =（　　） A．{0,1,2}　　B．{2}　　C．{1,2}　　D．{0,1} 2．已知复数 z 满足 (1−i)z = 2i，则 z =（　　） A．−1+i　　B．1−i　　C．−1−i　　D．1+i 3．命题"∃x∈{1,2,3}，x²−3x+2 < 0"的否定是（　　） A．∃x∈{1,2,3}，x²−3x+2 ≥ 0 B．∀x∈{1,2,3}，x²−3x+2 < 0 C．∀x∈{1,2,3}，x²−3x+2 ≥ 0 D．∃x∈{1,2,3}，x²−3x+2 < 0 4．sin(7π/6)·tan(7π/3) =（　　） A．−√3/2　　B．−1/2　　C．√3/2　　D．1/2 5．设 a = ln0.23，b = 0.32^0.23，c = log₀.₃₂0.23，则（　　） A．b < a < c　　B．a < c < b　　C．b < c < a　　D．a < b < c 6．设等差数列 {aₙ} 的前 n 项和为 Sₙ，若 S₉ < 0，a₄ + a₇ > 0，则下列结论正确的是（　　） A．a₅ > 0　　B．S₅ 是数列 {Sₙ} 的最小项　　C．S₆ 是数列 {Sₙ} 的最小项　　D．公差 d < 0 7．已知双曲线 C：x²/3 − y²/6 = 1，则下列说法正确的是（　　） A．C 的焦距为 2√3　　B．C 的离心率为 √3 C．C 的焦点在 y 轴上　　D．C 的渐近线方程为 y = ±√3 x 8．已知定义在 R 上的可导函数 f(x) 满足 f(x) + f(−x) = 0，且当 x ≥ 0 时 f′(x) < 1. 若 f(2m) + f(1−m) ≥ m + 1，则 m 的取值范围是（　　） A．(−∞,−1]　　B．[−1,+∞)　　C．(−∞,1/3]　　D．[1/3,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9．已知两个线性相关变量 x，y 的统计数据如下表，其经验回归方程为 ŷ = 5x + 3，则下列说法正确的是（　　） 　　x：1，2，4，5，8；　y：11，15，25，m，45 A．当 x = 3 时，y 的估计值为 20　　B．m = 19 C．这组数据的样本中心为 (4, 23)　　D．样本相关系数 r < 0 10．袋中有 3 个红球和 2 个白球，不放回地依次取出 2 个球，设事件 Aᵢ 表示"取出的 2 个球中恰有 i 个红球"（i = 0,1,2）。将取出的 2 个球全部放入另一个装有 3 个红球和 4 个白球的袋中，再从该袋中随机取出 1 个球，记事件 B 表示"取出的球为红球"。则下列结论正确的是（　　） A．P(B) = 18/35 B．P(B|A₂) + P(B̄|A₂) = 1 C．事件 A₁∪A₂ 与事件 B 不相互独立 D．P(B|A₁)/P(B̄|A₁) ≤ P(B|Ā₁)/P(B̄|Ā₁) 11．已知圆锥 SO（O 是底面圆心，S 是顶点）的底面半径为 1，母线长为 √3。若 P，Q 为底面圆周上任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A．三棱锥 O−SPQ 体积的最大值为 √2/6 B．△SPQ 面积的最大值为 √2 C．当 ∠POQ = 60° 时，平面 SPQ 与平面 SOQ 夹角的余弦值为 √6/3 D．四面体 SOPQ 外接球的表面积恒大于 4π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．(x + 2√x)⁵ 的展开式中，x³ 的系数为＿＿＿＿。 13．甲、乙两人投篮命中率分别为 2/3 和 1/2，且互不影响。现每人分别投篮两次，则甲比乙恰好多进 1 个球的概率为＿＿＿＿。 14．已知函数 f(x) = ln x − mx，若 f(x) 有两个零点，则实数 m 的取值范围是＿＿＿＿。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a = 2b，c = √3，C = π/3。 （1）求 b 的值；（2）求 sinB 的值；（3）求 sin(A−B) 的值。 16．（15分）某研究机构发布"2018—2025 年中国机器人与自动驾驶市场规模"统计数据如下（单位：千亿元）： 　　年份：2018—2025 年； 　　机器人市场规模：0.89，1.23，1.70，2.36，2.90，3.30，3.83，4.50； 　　自动驾驶市场规模：2.03，2.07，2.35，3.08，3.65，4.18，4.80，5.23。 （1）求 2018—2025 年中国机器人市场规模的中位数，以及自动驾驶市场规模的 75% 分位数； （2）将"自动驾驶市场规模比机器人市场规模多 0.8 千亿元"的年份称为"领先年份"。从上述 8 年中随机抽取 3 年，设抽到"领先年份"的个数为 X，求 X 的分布列与数学期望 E(X)。 17．（15分）如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，△ABD 为正三角形，且三棱锥 P−ABD 为正三棱锥。 （1）证明：PD⊥DC； （2）若平面 PBC 与平面 PDC 所成锐二面角的余弦值为 1/6，求 PA 的长。 18．（17分）设数列 {aₙ} 的前 n 项和为 Sₙ，a₁ = 2，且 aₙ₊₁ = (n+4)/n · Sₙ。 （1）证明：数列 {Sₙ/[n(n+1)]} 是等比数列； （2）设 bₙ = Sₙ/4ⁿ⁻¹，求数列 {bₙ} 的最大项； （3）设 cₙ = n(n+1)(n+5)·2ⁿ⁻¹，求数列 {cₙ} 的前 n 项和 Tₙ。 19．（17分）对于函数 y = f(x)，x∈D₁ 和 y = g(x)，x∈D₂，设 D = D₁∩D₂。若对任意 x₁，x₂∈D，且 x₁ ≠ x₂，都有 |f(x₁)−f(x₂)| ≥ |g(x₁)−g(x₂)| 成立，则称 g(x) 是 f(x) 的"从属函数"。 （1）若 D = R，g(x) 是 f(x) 的"从属函数"，且 f(x) 是偶函数，求证：g(x) 也是偶函数； （2）设 f(x) = x²，x∈[1,2]，g(x) = 2√(x²+1)，求证：g(x) 是 f(x) 的"从属函数"； （3）设 g(x) = 1/x² + 2ln x（x > 0）是 f(x) 的"从属函数"，且 y = f(x) 在区间 (0,+∞) 上存在两个零点 x₁，x₂，求证：x₁² + x₂² > 2。 参考答案与评分标准 一、二、选择题答案速查：1.B　2.A　3.C　4.A　5.D　6.B　7.B　8.A　9.BC　10.BCD　11.ABC 三、填空题：12．80；13．1/3；14．(0, 1/e)。 四、解答题解析 15．【解】（1）由余弦定理 c² = a² + b² − 2ab·cosC，得 3 = 4b² + b² − 2·2b·b·(1/2) = 3b²，解得 b = 1（此时 a = 2）。……4分 （2）由正弦定理 b/sinB = c/sinC，得 sinB = b·sinC/c = 1×(√3/2)/√3 = 1/2。……7分 （3）因为 b < a，所以 B < A，B 为锐角，cosB = √(1−1/4) = √3/2。于是 sin2B = 2sinBcosB = √3/2，cos2B = 1−2sin²B = 1/2。又 A − B = π − C − 2B = 2π/3 − 2B，所以 sin(A−B) = sin(2π/3 − 2B) = (√3/2)·(1/2) + (1/2)·(√3/2) = √3/2。……13分 16．【解】（1）机器人市场规模数据按从小到大排列后共 8 个，中位数为第 4、5 个数据的平均数：(2.36+2.90)/2 = 2.63（千亿元）。由 8×75% = 6 为整数，自动驾驶市场规模的 75% 分位数取第 6 个数据，即 3.30（千亿元）。……6分 （2）8 年中"领先年份"为 2018、2019、2023、2024 共 4 年。X 的可能取值为 0，1，2，3，且 P(X=k) = C(4,k)C(4,3−k)/C(8,3)。计算得 P(X=0) = 1/14，P(X=1) = 3/7，P(X=2) = 3/7，P(X=3) = 1/14。……10分 分布列为： X 0 1 2 3 P 1/14 3/7 3/7 1/14 数学期望 E(X) = 0×1/14 + 1×3/7 + 2×3/7 + 3×1/14 = 3/2。……15分 17．【解】（1）取 AB 中点 E，连接 DE，PE。因为三棱锥 P−ABD 为正三棱锥，所以 DA = DB，PA = PB，故 DE⊥AB，PE⊥AB。又 DE∩PE = E，所以 AB⊥平面 PDE，从而 PD⊥AB。因为底面 ABCD 为平行四边形，AB∥DC，所以 PD⊥DC。……6分 （2）设正三角形 ABD 的边长为 2。在 DE 上取点 O 使 DO = 2OE，连接 OP，则 OP⊥底面 ABCD。以 O 为原点，OE 方向为 x 轴、平行 AB 方向为 y 轴、OP 为 z 轴建立空间直角坐标系。设 OP = h，则 B(1,√3,0)，C(−2,2√3,0)，D(−2,0,0)，P(0,0,h)。……9分 设平面 PBC 的法向量 m = (1,√3,4/h)，平面 PDC 的法向量 n = (1,0,−2/h)。设所求锐二面角为 θ，则 cosθ = |m·n|/(|m||n|) = |h²−8|/[2(h²+4)] = 1/6，解得 h² = 5 或 h² = 14。……12分 因为 PA = √(OD² + h²) = √(4 + h²)，所以 PA = 3 或 PA = 3√2。……15分 18．【解】（1）由 aₙ₊₁ = Sₙ₊₁ − Sₙ = (n+4)/n·Sₙ，得 Sₙ₊₁ = (2n+4)/n·Sₙ，所以 Sₙ₊₁/[(n+1)(n+2)] = 2·Sₙ/[n(n+1)]。又 S₁/(1×2) = 1，故 {Sₙ/[n(n+1)]} 是首项为 1、公比为 2 的等比数列。……5分 （2）由（1）得 Sₙ = n(n+1)·2ⁿ⁻¹，故 bₙ = n(n+1)·2ⁿ⁻¹/4ⁿ⁻¹ = n(n+1)/2ⁿ⁻¹。考查比值 bₙ₊₁/bₙ = (n+2)/(2n)：当 n = 1 时比值为 3/2 > 1；当 n = 2 时比值为 1；当 n ≥ 3 时比值小于 1。所以 b₁ < b₂ = b₃ > b₄ > …，数列 {bₙ} 的最大项为 b₂ = b₃ = 3。……10分 （3）因为 cₙ = n(n+1)(n+5)·2ⁿ⁻¹ = n(n+1)(n+2)·2ⁿ − (n−1)n(n+1)·2ⁿ⁻¹，所以前 n 项和裂项相消得 Tₙ = n(n+1)(n+2)·2ⁿ。……17分 19．【解】（1）因为 f(x) 是 R 上的偶函数，所以 f(−x) = f(x)，即 |f(−x) − f(x)| = 0。因为 g(x) 是 f(x) 的"从属函数"，所以 |g(−x) − g(x)| ≤ |f(−x) − f(x)| = 0，故 g(−x) = g(x)，即 g(x) 也是偶函数。……3分 （2）对任意 x₁，x₂∈[1,2]，x₁ ≠ x₂，有 |f(x₁)−f(x₂)| = |x₁²−x₂²| = (x₁+x₂)|x₁−x₂| ≥ 2|x₁−x₂| > 0（不妨设 x₁ > x₂）。……6分 又 |g(x₁)−g(x₂)| = 2|√(x₁²+1) − √(x₂²+1)| = 2|x₁²−x₂²|/(√(x₁²+1)+√(x₂²+1))。因为 √(x₁²+1)+√(x₂²+1) ≥ 2√2 > 2，所以 |g(x₁)−g(x₂)| < |x₁²−x₂²| = |f(x₁)−f(x₂)|。故 |f(x₁)−f(x₂)| ≥ |g(x₁)−g(x₂)| 恒成立，g(x) 是 f(x) 的"从属函数"。……9分 （3）因为 f(x) 在 (0,+∞) 上存在两个零点 x₁，x₂，所以 f(x₁) = f(x₂)。又 g(x) 是 f(x) 的"从属函数"，所以 |g(x₁)−g(x₂)| ≤ |f(x₁)−f(x₂)| = 0，即 g(x₁) = g(x₂)，亦即 1/x₁² + 2ln x₁ = 1/x₂² + 2ln x₂。……11分 令 t₁ = x₁²，t₂ = x₂²，上式化为 1/t₁ + ln t₁ = 1/t₂ + ln t₂。记 h(t) = 1/t + ln t（t > 0），则 h(t₁) = h(t₂)。因为 h′(t) = (t−1)/t²，所以 h(t) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1,+∞) 上单调递增。要证 x₁² + x₂² > 2，即证 t₁ + t₂ > 2。不妨设 0 < t₁ < 1 < t₂，只需证 t₂ > 2 − t₁，即证 h(t₂) > h(2−t₁)，即证 h(t₁) > h(2−t₁)。……14分 设 H(t) = h(t) − h(2−t)（0 < t < 1），则 H(1) = 0，且 H′(t) = h′(t) + h′(2−t) = (t−1)/t² + (1−t)/(2−t)² = (t−1)·[1/t² − 1/(2−t)²]。当 0 < t < 1 时，t−1 < 0，而 1/t² > 1/(2−t)²，故 H′(t) < 0，H(t) 在 (0,1) 上单调递减，所以 H(t₁) > H(1) = 0，即 h(t₁) > h(2−t₁)，得证。所以 x₁² + x₂² > 2。……17分 【命题说明】本卷依据《中国高考评价体系》与广东省新高考数学科要求命制，覆盖集合与逻辑、复数、三角、数列、立体几何、解析几何、概率统计、函数与导数等主干知识；第 16 题情境对接广州人工智能与自动驾驶产业热点，第 19 题以新定义"从属函数"考查推理论证与数学抽象素养，体现"价值引领、素养导向"的命题导向。 1 学科网（北京）股份有限公司 $