2026-2027学年北师大版八年级数学上册 第一次月考（第二章、第三章）试卷

**基本信息** 北师版八年级数学月考卷聚焦实数与坐标核心知识，以象棋盘坐标、蚂蚁爬行规律、海伦-秦九韶公式等情境设计，融合运算能力与几何直观，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/30|平方根、坐标表示|第5题象棋盘坐标考察空间观念| |填空|6/18|坐标平移、数学文化|第14题海伦-秦九韶公式渗透文化传承| |解答|8/72|对称作图、规律探究|第25题蚂蚁爬行规律发展创新意识|

第一次月考（第二章、第三章）试卷2026-2027学年北师版八年级数学上册（解析版） 全卷共三大题，25小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．4的平方根是（　 　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的性质，根据平方根的性质，即可求解．熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根等于0；负数没有平方根是解题的关键． 【详解】解：4的平方根是． 故选：C． 2．小李在教室里坐在第二排第五列，记作，那么小王坐在第三排第四列记作（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有序数对，正确理解题意是解题的关键．根据小李座位的记法，有序数对中第一个数表示排，第二个数表示列． 【详解】解：∵小李坐在第二排第五列记作， ∴排对应第一个数，列对应第二个数． ∵小王坐在第三排第四列， ∴记作． 故选A． 3．下列说法错误的是（　 　） A．的立方根是 B．是的算术平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】D 【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 的立方根是，正确，不符合题意；     B. 是的算术平方根，正确，不符合题意； C. 的平方根是，正确，不符合题意；     D. ，4的平方根是，即的平方根是，故选项错误，符合题意； 故选：D． 4．若点P(a，-1)关于y轴的对称点为Q(-2，b)，则a+b的值是（　 　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出，的值进而得出答案． 【详解】∵点P（，）关于y轴的对称点为Q（，）， ∴，， 则． 故选：C． 5. 如图，在象棋盘上，若“帅”位于点，“象”位于点，则“炮”位于点（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知点“帅”和“象”的坐标建立平面直角坐标系，进而确定“炮”的坐标． 【详解】解： “帅”位于点，“象”位于点 ， 建立平面直角坐标系如下： “ 6.若点在y轴上，则点P的坐标为（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， 解得：， 则， 则点P的坐标为． 故选：D． 7. 若，则的值是（　 　） A．10 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值、平方、算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值、平方、算术平方根的非负性是解题的关键． 根据绝对值、平方、二算术平方根的非负性，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：， ， ， 解得：， ， 故选：A． 8. 已知点，，且是的中点，则，， 也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中， 有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为， 则点的坐标是（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式，若两点关于某点对称，则该对称中心是两点连线的中点，分步计算和的坐标即可. 【详解】解：设坐标为， ∵点关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，，即， 设坐标为， ∵关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为. 9．有一个数值转换器，流程如图所示： 当输入x的值为64时，输出y的值是（　 　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根的概念和性质，一个正数的平方根有两个，正的平方根是这个数的算术平方根；注意有理数和无理数的区别，把64代入转换器，根据要求计算，得到输出的数值即可． 【详解】∵=8，是有理数， ∴继续转换， ∵=2，是有理数， ∴继续转换， ∵2的算术平方根是，是无理数， ∴输出， 故选：C． 10. 如图，一只蚂蚁在平面直角坐标系中按规律爬行：从原点出发，第1次向右到， 第2次向上到，第3次向左到，第4次向下到，第5次向右到， 第6次向上到，第7次向左到，第8次向下到，…， 按此规律，蚂蚁爬行到第2026次结束后所在点的坐标是（　 　） A. B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律探求，找准规律是解题的关键．先求出前几个点的坐标，找出规律，再根据规律解答． 【详解】解：∵从原点出发，第1次向右到，第2次向上到，第3次向左到，第4次向下到，第5次向右到，第6次向上到，第7次向左到，第8次向下到，… ∴ ∴． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．16的算术平方根是___________． 【答案】4 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 12．将点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移．点平移的规律“左减右加，上加下减”，由此即可求解． 【详解】解：点向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴， 故答案为：． 13． 如图是某校的平面示意图，已知教学楼的坐标为，食堂的坐标为， 则宿舍楼的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据题意建立直角坐标系，然后读出点的坐标即可． 【详解】解：根据题意建立直角坐标系如图所示： ∴宿舍楼的坐标为． 14． 中国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦，分别独立研究出利用三角形三边求面积的方法， 二者本质等价，后人将其合称为海伦—秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c， 记，那么三角形的面积．若的三边长分别为5，6，7， 则的面积为______． 【答案】 【详解】解：∵的三边长分别为5，6，7， ∴， ∴ ． 15．若，两点在平面直角坐标系中，且轴，且 ，则点的坐标为_____． 【答案】或 【分析】先根据轴得出点与点纵坐标相等，再结合，利用分类讨论思想，分点在点左侧和右侧两种情况计算点的横坐标，即可求解． 【详解】解：点的坐标为，且轴， 点的纵坐标与点的纵坐标相等，为， ， 当点在点的右侧时，横坐标为，此时， 当点在点的左侧时，横坐标为，此时， 综上所述，点的坐标为或． 16. 已知为实数，规定运算：，． 按上述规定，当时，的值等于______ 【答案】-1 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， …… ,     ， ， ， 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．根据平方根、立方根的定义解方程 （1）         （2） 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）先移项，化为 再利用立方根的含义可得答案； （2）先移项，再两边都除以化为：，再利用平方根的含义解方程即可. 【详解】解：（1） （2） 移项得： 或 或 18. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1) 若点在轴上，求点的坐标； (2) 若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据位于纵轴上的点的横坐标为零，列一元一次方程求解； （2）根据平行于横轴的点的纵坐标相等，列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得． ． 点的坐标为； （2）解：点的坐标为，且轴， ， 解得． ． 点的坐标为． 19．计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1) 若，，求出、的“如意数”； (2) 已知，且、的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 21． 如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为： A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图． (1) 画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（点A、B、C分别对应A1、B1、C1）； (2) △A1B1C1的面积＝　 　； (3) 若M（x，y）是△ABC内部任意一点，请直接写出这点在△A1B1C1内部的对应点M1的坐标　 　； (4) 请在y轴上找出一点P，满足线段AP＋B1P的值最小，并写出P点坐标　 　． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)（x，-y） (4)点P见解析，（0，2） 【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用割补法进行计算，即可得到△A1B1C1的面积； （3）根据点M和M1关于x轴对称可得结果； （4）直接利用轴对称求最短路线的方法得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：△A1B1C1点即为所求； （2）△A1B1C1的面积==2； （3）由题意可得：M1的坐标为（x，-y）； （4）如图所示：点P即为所求，点P的坐标为（0，2）． 22．阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=， 则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2 ∴==+ 请你仿照上例将下列各式化简 （1） ， （2）． 【答案】（1）1+；（2）. 【分析】参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴. 23．已知点是平面直角坐标系中的点． (1) 若点在轴上，则点的坐标为___________； (2) 若点在第一、三象限的角平分线上，则点的坐标为___________； (3) 已知点，且轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查点的坐标特征，根据题意列方程求解是解决问题的关键． （1）由轴上点的坐标特征，令求解即可得到答案； （2）由在第一、三象限的角平分线上点的坐标特征，令求解即可得到答案； （3）由轴时，直线上点的纵坐标相等列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在轴上， 横坐标为，即，解得，则点的坐标为， 故答案为：； （2）解：在第一、三象限的角平分线上， ，解得，则点的坐标为， 故答案为：； （3）解：、，且轴， ，解得，则点的坐标为． 24．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以 所以，即，所以． 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1) 计算：___________； (2) 计算：； (3) 若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)5 【分析】本题考查了二次根式的运算和求值，熟练掌握分母有理化的方法、弄清题干中提供的求值方法是解题的关键； （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）先将式子中的每一项都分母有理化，再计算加减即可； （3）仿照题干中的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解： ； （3）解：∵， ∴ ∴，即 ∴． 25． （1）问题发现： 如图1，和均为等边三角形，点在的延长线上，连接，求证：．    （2） 类比探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，点在边的延长线上， 连接．请判断：①的度数为_________．②线段之间的数量关系是_________． （3） 问题解决： 在（2）中，如果，求线段的长． 【答案】（1）证明：和是等边三角形 ，且 ，即 在和中 （2）①，②； （3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC=BC，∠BAC=60°，AD=AE，∠DAE=60°，利用等量代换得∠BAD=∠CAE，则可根据“SAS”判断△ABD≌△ACE； （2）根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，根据全等三角形的性质得到∠ACE=∠B=45°，BD=CE，等量代换即可得到结论； （3）先证明△CDE是直角三角形，再计算BC=2，从而可得CE=3，再运用勾股定理可得DE的长. 【详解】（1）略； （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴AB=AC，∠BAC=∠DAE，AD=AE， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴， ∴∠ACE=∠B=45°，BD=CE， 即BC+CD=CE， 故答案为：①；② （3）由（2）知： 又， ， 在中，， 又，由（2）得 在中， 则线段的长是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考（第二章、第三章）试卷2026-2027学年北师版八年级数学上册 全卷共三大题，25小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．4的平方根是（　 　） A． B．2 C． D． 2．小李在教室里坐在第二排第五列，记作，那么小王坐在第三排第四列记作（　 　） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（　 　） A．的立方根是 B．是的算术平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 4．若点P(a，-1)关于y轴的对称点为Q(-2，b)，则a+b的值是（　 　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 5. 如图，在象棋盘上，若“帅”位于点，“象”位于点，则“炮”位于点（　 　） A． B． C． D． 6.若点在y轴上，则点P的坐标为（　 　） A． B． C． D． 7. 若，则的值是（　 　） A．10 B． C．3 D． 8. 已知点，，且是的中点，则，， 也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中， 有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为， 则点的坐标是（　 　） A． B． C． D． 9．有一个数值转换器，流程如图所示： 当输入x的值为64时，输出y的值是（　 　） A．2 B． C． D． 10. 如图，一只蚂蚁在平面直角坐标系中按规律爬行：从原点出发，第1次向右到， 第2次向上到，第3次向左到，第4次向下到，第5次向右到， 第6次向上到，第7次向左到，第8次向下到，…， 按此规律，蚂蚁爬行到第2026次结束后所在点的坐标是（　 　） A. B． C． D． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．16的算术平方根是___________． 12．将点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的坐标是______． 13． 如图是某校的平面示意图，已知教学楼的坐标为，食堂的坐标为， 则宿舍楼的坐标为____________． 14． 中国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦，分别独立研究出利用三角形三边求面积的方法， 二者本质等价，后人将其合称为海伦—秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c， 记，那么三角形的面积．若的三边长分别为5，6，7， 则的面积为______． 15．若，两点在平面直角坐标系中，且轴，且 ，则点的坐标为_____． 16. 已知为实数，规定运算：，． 按上述规定，当时，的值等于______ 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．根据平方根、立方根的定义解方程 （1）          （2） 18. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1) 若点在轴上，求点的坐标； (2) 若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 19．计算： (1)． (2) 20．定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1) 若，，求出、的“如意数”； (2) 已知，且、的“如意数”，求的值． 21． 如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为： A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图． (1) 画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（点A、B、C分别对应A1、B1、C1）； (2) △A1B1C1的面积＝　 　； (3) 若M（x，y）是△ABC内部任意一点，请直接写出这点在△A1B1C1内部的对应点M1的坐标　 　； (4) 请在y轴上找出一点P，满足线段AP＋B1P的值最小，并写出P点坐标　 　． 22．阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=， 则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2 ∴==+ 请你仿照上例将下列各式化简 （1） ， （2）． 23．已知点是平面直角坐标系中的点． (1) 若点在轴上，则点的坐标为___________； (2) 若点在第一、三象限的角平分线上，则点的坐标为___________； (3) 已知点，且轴，求点的坐标． 24．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以 所以，即，所以． 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1) 计算：___________； (2) 计算：； (3) 若，求的值． 25． （1）问题发现： 如图1，和均为等边三角形，点在的延长线上，连接，求证：．    （2） 类比探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，点在边的延长线上， 连接．请判断：①的度数为_________．②线段之间的数量关系是_________． （3） 问题解决： 在（2）中，如果，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $