第一章特殊平行四边形单元练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）性质与判定，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查几何直观、推理能力及空间观念，适配九年级上册第一章单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|矩形对角线性质、菱形判定、折叠角度计算|结合函数图像（第8题）考查动态几何，体现几何直观| |填空题|5题|矩形折叠线段长、菱形面积计算、动点最值|第15题折叠与中位线结合，培养空间观念| |解答题|5题|矩形证明、菱形尺规作图、正方形综合探究|第20题问题拓展（折叠与勾股定理），提升推理能力与创新意识|

第一章特殊平行四边形 单元练习 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在矩形中，，在上取一点，使，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，菱形的对角线、相交于点，、分别是、边上的中点，连接，若，，则菱形的周长为（     ） A．4 B． C． D．28 5．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于，两点；与交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，，则（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）如图①，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，．将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．已知直线在起始位置的解析式为．设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图②所示，则矩形的面积为（     ） A． B．6 C． D．8 9．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，小明把长为，宽为的两个长方形沿对角线剪开，围成如图所示的一个大正方形，则空白部分的面积是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在正方形中，E是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接、，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在平行四边形中，延长到点，使，连接，请你添加一个条件_____，使四边形是矩形． 12．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使得点落在线段的点处，则线段的长为_________． 13．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，菱形中，，，，，垂足分别为、，连接，则的面积是_____． 14．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在等边中，，过点作，过点作，、相交于点，则的长度为______． 15．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连结交矩形的对角线于点，且，将矩形沿所在直线折叠，点，的对应点分别是点，，点是的中点，连结，则长的最大值为_________． 三、解答题 16．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 17．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平行四边形中，是对角线． (1)利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交于点，交于点，连接、；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)试猜想四边形是什么图形，并加以证明． 18．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，于，于，为的中点． (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 19．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的长； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 20．（26-27九年级上·湖北襄阳·开学考试）探究以下问题： (1)【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，分别在边、上，且，垂足为，判断：______（填“”或“”） (2)【问题探究】如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； (3)【问题拓展】如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则线段的长为______． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第一章特殊平行四边形 单元练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C A D C D B B 1．D 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分求解即可． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ，， 又， ． 2．C 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，然后逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴A项不符合题意， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴B项不符合题意， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴C项符合题意， ∵，无法判定平行四边形是矩形， ∴D项不符合题意． 3．C 【分析】取的中点，连接，根据矩形的性质和已知条件，得到是等边三角形，据此可知，从而求得，然后根据等边对等角和三角形内角和定理得到，继而求得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 四边形是矩形， ，， 点是直角斜边的中点， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 4．C 【分析】根据中位线定理得到，利用菱形的性质，得到线段、的长、和，结合直角三角形勾股定理得到线段的长，进而得出周长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵、分别是、边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴菱形的周长为：． 5．A 【分析】由作图方法可得垂直平分，则O点是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，由等边对等角得出，最后由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， ∴， ∴为中线， 又中，， ∴， ∴， ∴． 6．D 【分析】根据矩形对角线互相平分且相等求出，的长，利用线段垂直平分线的性质得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴, ∵垂直平分线段， ∴． 7．C 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分求边长，再结合面积法求． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， ，即， 解得． 8．D 【分析】由图象可知，当时，，此时直线平移后过点，图②中点位置表示直线平移后过点，点位置表示直线平移后过点，当时，，此时直线平移后过点．如图①，当时，直线平移后解析式为，可得，，从而可以求得当直线过点时与轴的交点为，直线过点时．由直线从点平移到过点，对应从变化到，历经的时间为秒，求得点坐标为，进而求得的长，最后根据计算求解即可． 【详解】当时，，此时直线平移后过点，图②中点位置表示直线平移后过点，点位置表示直线平移后过点，当时，，此时直线平移后过点，直线移动过程如图所示． 当时，直线平移后的解析式为， 令，则，即点坐标为， ， 点坐标为． 当直线经过点时，设直线解析式为， 代入点坐标得， 此时，直线与轴交点为． 点坐标与之间的距离为， 对应从变化到， 当直线经过点时，． 当从变化到时，该直线被矩形的边截得的线段长度为没有变化， 对应坐标向左平移个单位， 点坐标为． 又四边形为矩形， ， 点坐标为， ， ． 9．B 【分析】求得小长方形的面积和大正方形的面积即可求解． 【详解】解：由题意，小长方形的面积为，大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴空白部分的面积是． 10．B 【分析】利用折叠的性质证明，从而得出，并利用勾股定理求出的长度，进而逐一判断各个结论的真假． 【详解】解：如图，连接． ∵正方形，，， ∴，． 由折叠得：，，，， ∴， ∵，， ， ，， ，故①正确； 设，则，， 在中，由勾股定理， 即， ，解得， ∴，，， 若，则是等边三角形，， ∴， ∴，不符合题意， ∴， 即不是等边三角形，，故②错误； ， ， ， ，， ， ，故③正确， 在中，，， ∴， ∵和的顶点C相同，底边和在同一条直线上， ∴它们的高相等，面积之比等于底边之比， ∴， ∵，故④错误， 综上所述，正确的结论是①和③，共2个． 11． (答案不唯一) 【分析】要使四边形是矩形，由已知条件，易证得平行且等于，得出四边形是平行四边形，根据矩形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加一个条件． 根据有一个角是直角的平行四边形为矩形，可以添加等． 12．3 【分析】由矩形与折叠可得，，再利用勾股定理求解． 【详解】解：矩形，，， ，， 折叠， ， 在中，． 13． 【分析】先证明，推出，，再证明是等边三角形，据此计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 在中，， ∴， ∴， 作于点， ∴， ∴， ∴． 14．2 【分析】由等边三角形三线合一的性质，判断、与的关系后即可求解． 【详解】解：如图，作交于点, 为等边三角形，， 垂直平分, , 又四边形中，，，， ，， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 平行且等于，平行且等于， 故的长度为． 15． 【分析】连接，由题意易得，则有，然后根据三角形中位线可得，由折叠可知：，进而根据即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 由折叠可知：， ∴，即， ∴长的最大值为8． 16．(1)证明：四边形是菱形， ，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，结合，推出四边形是平行四边形，根据，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，，，根据直角三角形的斜边中线定理可得，，再由勾股定理求出，进而得到，根据可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，，，，即为的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 17．(1)如图所示： (2)解：四边形是菱形，证明如下： 垂直平分， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， 在和中， ， ， 互相垂直平分， 四边形是菱形． 【分析】（1）分别以为圆心，大于为半径画弧交于两点，过这两点画直线即为线段的垂直平分线； （2）连接，，由垂直平分，得到，，再由平行四边形的性质得到，，进而证明，得到，互相垂直平分，由此证明四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 18．(1)21 (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，于是得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，，根据平角的定义和三角形的内角和得到结论． 【详解】（1）解：∵于，于， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴的周长； （2）解：∵，M为的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 19．(1)证明：如图，作交于点，交于点． 四边形为正方形， ∴平分，， ∵点在对角线上，，， ， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 四边形是矩形， ， ∴， ． 在和中， ， ， ， 矩形是正方形． (2) (3)或 【分析】（1）作于交于点，交于点，通过证明，得到，从而根据正方形的判定定理证明； （2）通过计算发现点是中点，点与点重合，结合矩形是正方形的结论求得的长； （3）分与的夹角为和与夹角为两种情形考虑问题即可． 【详解】（1）略． （2）解： 如图，在中，， ， ， 点是中点，点与点重合， 由（1）可知，矩形是正方形， ． （3）解：①当与的夹角为时，点在边上，，如图所示， 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得 ． ②当与夹角为时，点在的延长线上，，如图所示， ，，由三角形内角和定理， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查正方形的性质和判定、矩形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题． 20．(1) (2)． 证明：如图2，过点A作，交于点H，交于点N，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵于M， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点A作，交于点H，交于点N，先证明四边形是平行四边形得到，再证明得到，进而可得结论； （3）连接交于M，过点A作，交于点H，交于点N，由折叠性质得，同（2）方法可得，然后根据正方形的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：连接交于M，过点A作，交于点H，交于点N， 由折叠性质得， 同（2）可得四边形是平行四边形，， ∴， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $